初中数学解题方法与技巧教学的研究

初中数学解题方法与技巧教学的研究

专题讲座

初中数学解题方法与技巧教学的研究

吴文丽北京市丰台区实验学校

一、解数学题的意义

美国著名的心理学家威廉. 詹姆斯这样说：解题是最突出的一类特殊的自由思维。解数学题是数学学习中最重要的一种活动，是数学训练中最主要的学习方式。其本质目的是锻炼人们解决实际生活中的问题的能力。一般可归为三类：一类是解答数学学习过程中的数学题；一类是将实际生活中问题运用数学知识去问题解决。

（一）解答数学学习过程中的数学题的意义解答数学学习过程中的数学题一般有明确的目的。主要是巩固已有的知识，掌握这些知识运用的基本技能。因此重要性是不可忽视的。1. 明确做练习的基本价值。练习题具有典型性，为某个目标确定的。因此通过做练习可以了解学生对概念的理解程度，可以使学生将问题与所学数学知识联系在一起，培养学生的基本技能和基本的思维，因此是不可或缺的。

1. 可以构建数学模型的非常规的实际问题。这类问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情景，一种实际需求，只是为了解决遇到的困难，需要讲实际问题转化为数学模型并进行解释与解决。这是在生活和实践中运用数学最常用的方式，培养的是学生面对实际进行的问题解决能力。

2. 探究性问题：要求的是通过一定的探索，研究来认识数学对象的性质，去发现其数学规律，这种问题要求一种研究式的思维能力，在问题解决过程中感受发现的乐趣，它培养的是一种主动探索精神和科学态度。

3. 开放性问题：是问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度的问题，学生在研究这类问题时通常采用的是合作研究，这种方式可互相启发学生的合作与交流，在交流和合作中完善和优化自己的思维。这类问题的解决可培养学生的思维的灵活性和发散性。培养学生的创新意识。

二、解题的方法与技巧

数学思想方法在解题中有不可忽视的作用

解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。

基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说过“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。”

教师在教学设计中要让学生解好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。

（一）中国古代解题中的的数学思想：

1. 早在甲骨文中出现的十进位制记数方法，就是早期的数学计算思想；商

代的骨尺和牙尺上也有寸和分的刻度，主要的意义在便于计算。《九章算术》中开放紧纳性的表述系统，是按个别到一般的方法建立起来的，是由一个或几个问题归纳出基本规律和一般解法，再把各种算法进行综合，得到解决某领域中

各种问题的方法，再把各领域的方法形成一章，汇成《九章算术》，形成抽象化的数学计算思想2. 《周易》中的六十四别卦，其核心是八经卦，它的符号表示实际上是一

种特殊的数表，是由一堆数字组合而成，有限的符号在不同的位置上相互配置，组合生成无穷多的意义，形成早期的组合的数学思想，是离散数学的基础。

3. 《礼记》中指出初等教育要有数的教育，《周礼》中提到数的教育要有日

常生活中的计算。成为早期的培养人才的“经世致用” 的数学实用思想。《周髀算经》中系统的把数学应用在天文地理中，突出了数学的实用思想。

4. 三国时代的魏人刘徽为《九章算术》作注解10 卷时提出的“出入相补

原理”成为我国最早的数形结合思想，尤其重要的是他所创造的“割圆术”使极限思想在世界上开了先例。

5. 庄子天下篇中有一句话是“一日之锤，日取

其半，万世不竭”首次提

出了“无限的思想”进而出现了无限向有限转化的辩证思想。

概括中国古代数学思想有如下的特点：经世致用的实用思想；算法化、模

型化、数值化、离散化的计算思想；朴素的辩证思想；极限思想；数形结合思想等。成为数学问题解决的常用的思想方法。

（二）中学数学解题中的的基本思想：

中学数学中常见的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想。这典型的四类数学思想对初中数学问题的解决有着重要的思维指导作用。

1. 函数与方程的思想：函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2. 数形结合的思想：数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

3. 分类讨论的思想

分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。常见的类型：类型 1 ：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型 2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型 3 ：

由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。类型 5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

如分类讨论的案例：在一张长为9 厘米，

宽为8 厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为 5 厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请计算剪下的等腰三角形的面积？

分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的分类标准；③按所分类别进行讨论；④归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。

4 ．转化与化归的思想

转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相

互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。

常见的转化方法有：

（ 1 ）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（ 2 ）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

（ 3 ）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.

（ 4 ）等价转化法：把原问题转化为一个易

于解决的等价命题，达到化归的目的.

（ 5 ）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题.

（ 6 ）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.

（7 ）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径转化与化归的指导思想

（ 1 ）把什么问题进行转化，即化归对象.

（ 2 ）化归到何处去，即化归目标. 0

（ 3 ）如何进行化归，即化归方法.

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.

（三）中学数学解题中的的基本方法：

1. 观察与实验

（ 1 ）观察法：有目的有计划的通过视觉直观的发现数学对象的规律、性质和解决问题的途径。

例如化简

经整体观察可知：无法通分，只能单个处理，因此可进行分母有理化，得到结论。

例如北京版数学八年级上15 册p81 页的图表

请同学们做的是观察图形、发现规律，填写表格。就是一种观察归纳的方法。

（ 2 ）实验法：

实验法是有目的的、模拟的创设一些有利于观察的数学对象，通过观察研究将复杂的问题直观化、简单化。它具有直观性强，特征清晰，同时可以试探解法、检验结论的重要优势。

例如求三角形内角和时用量的方法进行试验发现规律。

通过撕纸的方法进行实验，使三角形内角和转为平角得出180 0 的结论。

发现规律在进行证明问题等同于知道了目的地在寻求证明的途径就容易得多了，同时在实验的过程中发现平行线的的性质，内错角同位角分别相等的转化方法，即发现证明的途径。

当三角形动的时候可看出三个角的值在变化，但和不变为180 0 的

重要结论

2. 比较与分类

（ 1 ）比较法

是确定事物共同点和不同点的思维方法。在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好比较。我们常比较两类数学对象的相同点、相异点或者是同异综合比较。

例如比较一次函数的图像性质时，常采用比较法

（ 2 ）分类的方法

分类是在比较的基础上，依据数学对象的性质的异同，把相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归为不同类的思维方法。如上图中一次函数的k 在不等于零的情况下的分类是大于零和小于零体现了不重不漏的原则。

如实数的分类是有理数和无理数等

3 ．特殊与一般

（ 1 ）特殊化的方法

特殊化的方法是从给定的区域内缩小范围，甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形