有理数简便运算技巧十五法
有理数混合运算简便算法与技巧
有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。
一、四个原则：①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。
二、运算技巧①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－441 =－2解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例：计算：--+-+-11622344551311638. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。
有理数的加法运算规则及简便方法
有理数的加法运算规则及简便方法有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和小数。
它们可以用来表示各种实际问题中的量，如温度、时间、距离等等。
在进行有理数的运算中，加法是常见且重要的一种运算。
本文将介绍有理数的加法运算规则及简便方法，以帮助读者更好地理解和运用。
一、有理数的加法运算规则1. 同号整数相加：当两个整数的符号相同时，只需将它们的绝对值相加，然后保留它们的符号，即可得到它们的和。
例如：(-3) + (-5) = -8，(-7) + (-2) = -92. 异号整数相加：当两个整数的符号不同时，我们可以按照以下步骤进行运算：a. 求两个整数的绝对值之差。
b. 取绝对值较大的整数的符号作为和的符号。
例如：(-4) + 7，先计算绝对值之差，即 |(-4)| - |7| = 3；因为绝对值较大的整数是7，所以和的符号为正，即：(-4) + 7 = 33. 小数和整数相加：将小数和整数转化为分数形式，然后再进行运算。
例如：1.5 + 2 = 1.5 + 2.0 = 3.54. 分数相加：分数相加的一般步骤如下：a. 确定两个分数的公共分母。
b. 将两个分数的分子相加，分母保持不变。
c. 对所得的分数进行约分，得到最简形式。
例如：1/3 + 2/5，公共分母为3和5的最小公倍数15，所以1/3 + 2/5 = (1 * 5)/(3 * 5) + (2 * 3)/(5 * 3) = 5/15 + 6/15 = 11/15二、有理数加法的简便方法有理数加法的规则虽然清晰，但在实际计算中可能会比较繁琐。
为了简化计算，我们可以使用一些常见的简便方法，如下所示：1. 利用数轴进行计算：将有理数在数轴上表示出来，根据符号和数轴上的位置进行加法运算。
这种方式直观且易于理解，尤其适合初学者。
2. 利用整数的法则：将有理数化为整数的和，然后按照整数的加法法则进行计算。
最后再根据题目要求将结果转换为有理数形式。
3. 利用分数的法则：将有理数化为分数的和，然后按照分数的加法法则进行计算。
初中数学方法归纳有理数的简便计算
初中数学方法归纳有理数的简便计算方法1 用运算律进行简便计算【例1】计算：(-24)×(-++-).【方法总结】有理数的运算是整个初中数学的基础，牢固掌握运算法则，灵活运用运算律(加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律)，能简化计算，提高计算速度和能力.常采用的方法有：①在运用加法运算律时，有同号结合、同分母结合、互为相反数的结合、能凑成整(十、百)数的结合；②在运算乘法运算律时，互为倒数的数相乘、相乘得整(十、百、千)数的相乘，正向、逆向运用乘法分配律.变式练习1 计算：(1)(+6)+(-18)+(+4)+(-6.8)+18+(-3.2)； (2)(-8)×(+9)×(-0.125)×(-1)；(3)×(-)-2×(-)+×(-14).方法2 用倒数法进行简便计算【例2】计算：÷(+--+(+--)÷.【方法总结】数学中有些问题根据已知条件及式子的特点和内在规律，把其中相关的式子取其倒数，用倒数法来分析，能奏奇效，顺利解决问题.变式练习2 计算：(-)÷(--).方法3 运用错位相减法进行简便计算【例3】(2013·张家界)阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22 013.解：设S=1+2+22+23+24+…+22 013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22 013+22 014.将下式减去上式得2S-S=22 014-1.即S=1+2+22+23+24+…+22 013=22 014-1.请你仿照此法计算：(1)1+2+22+23+24+ (210)(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【方法总结】在有理数的运算中，某些算式很复杂，不易计算出结果，但相邻两项的比相等，可以乘以一个数将这一数列的项与另一个数列的项错位相减，从而出奇制胜，求出结果.变式练习3 (2013·天水)观察下列运算过程：S=1+3+32+…+32 012+32 013①，①×3得3S=3+32+33+…+32 013+32 014②，②-①得2S=32 014-1，S=.通过上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52 012+52 013=_________.方法4 运用裂项法进行简便计算【例4】观察下面的变形规律：=1-；=-；=-；…=-；…解答下面的问题：(1)试求+++…+；(2)若n为正整数，请你猜想=________；(3)试求+++…+的值.【方法总结】裂项就是将一个数分裂成两个或多个数之和差，使它与原数相等，再与其他数进行运算，从而快捷、简便地计算.变式练习4设S=+++…+,T=+++…+,则S-T=( )。
有理数运算技巧十五招
有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数运算技巧十招
2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。 解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序 运用运算律改变运算顺序。
1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从 着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收 到化繁为简，化难为易的效果． 例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31
4 5
1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12
5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18
有理数计算运算技巧讲解
初一数学竞赛选讲有理数的巧算（一）有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 34345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n 2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n 2-(n 2-12)=n 2-n 2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690． 例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(．解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… =(232-1)(232+1) =264-1．1、若单项式324y x m --与单项式n y x 27332-能合并成一项，求()n m n m 2222--+的值．2、设P=223b ab a ++，Q=223b ab a +-且P －[Q －2P －（－P －Q ）]+R=222b ab a ++，求R ． 3、计算：①求)26532(3)54332(2434-+---+-x x x x x x 的值，此时x=21- ②求32332331)]}3(2[22{23b ab a b a b ba b a a --+--+-的值，此时a=2，b=3．1、 求代数式1234567891023456789+++++++++x x x x x x x x x ，当x=－1时的值时由于将式子中某两项的“+”号看成了“－”号，算出的结果为7，看错的是哪几项？ 2、 多项式42112435--++-++m n n nm nmnmy x v uy x v u （其中m 、n 为正整数）化简后为三项式，求mn 的值。
有理数乘除法简便计算
有理数乘除法简便计算理数是整数和分数的统称。
乘除法是理数运算的两种基本形式。
在计算理数的乘除法时，我们可以采用一些简便的方法，以提高计算速度和准确度。
首先，让我们来讨论理数的乘法。
1.乘法的交换律：理数的乘法满足交换律，即a*b=b*a。
这意味着我们可以任意改变乘法的顺序，不影响最终的结果。
例如，2*3=3*2=62.乘法的分配律：理数的乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
这意味着我们可以先将一个数乘以两个数的和，再将乘积相加；或者先将两个数分别乘以一个数，再将乘积相加，结果是相同的。
例如，2*(3+4)=2*3+2*4=143.正数乘以正数：当两个正数相乘时，我们可以直接将它们的绝对值相乘，并加上它们的符号。
例如，(+2)*(+3)=+64.正数乘以负数：当一个正数乘以一个负数时，我们可以先将它们的绝对值相乘，再加上它们的符号。
例如，(+2)*(-3)=-65.负数乘以负数：当两个负数相乘时，我们可以直接将它们的绝对值相乘，并将结果变为正数。
例如，(-2)*(-3)=+6通过上述规则，我们可以简化理数的乘法计算，提高计算效率。
例如，计算(-5)*(-3)时，可以直接将绝对值相乘，再将结果变为正数，即(+5)*(+3)=+15接下来，我们来讨论理数的除法。
1.除法的分配律：可以将除法视为乘法的逆运算。
即a/(b*c)=(a/b)/c。
这意味着，如果我们要将一个数除以两个数的积，可以先将该数除以其中一个数，再将结果除以另一个数得到的商是相同的。
例如，12/(2*3)=(12/2)/3=22.正数除以正数：当两个正数相除时，直接将它们的绝对值相除即可。
例如，(+6)/(+2)=+33.正数除以负数：当一个正数除以一个负数时，先将它们的绝对值相除，然后在商前面加上负号。
例如，(+6)/(-2)=-34.负数除以负数：当两个负数相除时，直接将它们的绝对值相除，并将结果变为正数。
例如，(-6)/(-2)=+3通过上述规则，我们可以简化理数的除法计算。
有理数简便运算与技巧
有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征,注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-. 解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算.例2 计算：36.54228263.46+-+. 解:原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算.例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算:55115521012249186---+. 解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=- 13524=-.五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式. 例5 计算:111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-。
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有理数简便运算技巧（十五法）
有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类
将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ 3=-。
二、凑整
将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++- 40=。
三、对消
将相加得零的数结合计算。
例3
计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 9=。
四、组合
将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式55511125210624918⎛
⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
135
24
=-。
五、分解
将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：11112
5434236
-+-+。
原式()111125434236⎛⎫
=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭
六、转化
将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例
6：计算：例
8 计算：
()()()412.5310.15⎛⎫
-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭
解：原式412.50.1315⎛⎫
=-⨯
⨯⨯ ⎪⎝⎭
13131=-⨯=-。
七、变序
运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫
-⨯+⨯-
⨯- ⎪⎝⎭
解：原式412.50.1315⎛⎫
=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭。
。
八、约简
将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
解：原式88815
59158
⎛⎫=---⨯
⎪⎝⎭ 13
=-。
九、逆用
正难则反，逆用运算律改变次序。
例11 计算：
2283210.2555214⎛⎫⎛⎫
÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式258715122144
⎛⎫⎛⎫=
⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14
=。
十、观察
根据0、1、1-在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算。
例12 计算：()()2009
1312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：
33.75304
-=，()2009
11-=-。
∴原式()011=+-=-。
十一、变量替换
通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．
例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋3
2
3
417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =51
2769-，则
512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋3
2
3
417512769+-)
=
c ab a +×(b ＋a
c
) =
c ab a
+×a
c ab + = 1．
评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：3
2
3417+，0.125，5
1
2769
-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 十二、倒序相加
在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．
例8 计算
21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋60
2
＋…＋6058＋60
59
)．① 解：把①式括号内倒序后，得：
21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋60
1)， ②
①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，
∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋60
59) =
2
1
(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度． 十三、添数配对
例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋＋8＋99． 解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得： 11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋＋8＋99．
= 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 20－45 = 75．
评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．
十四、整体换元
对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．
例10 计算1－
21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561． 解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561
= x ，①
则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－2
1
x ， ②
① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256
171
，故
1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256
171．
十五、分组搭配
观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算． 例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69． 解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69 = (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0．
评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．。