第十章 结构的动力计算例题
结构力学 结构的动力计算
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别 结构 （系统）
输入 （动荷载）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别 输入 （动荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
2．结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规 律，找出动荷载作用下结构的最大动内 力和最大动位移，为结构的动力可靠性 设计提供依据。
第13章
结构的动力计算
§13－1 动力计算的特点和动力自由度
一．动荷载及其分类
动荷载是指其大小、方向和作用位置随 时间变化的荷载．由于荷载随时间变化较快 ，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯 性力的影响是结构动力学的最主要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载 是坐标和时间的函数。
动荷载按其随时间的变化规律进行分类：
质量 m 在 t 时刻的位移y(t)是由此时作 用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：
y(t ) [m(t )] y
整理，
m(t ) y 1
y (t ) 0
(a) (b)
单自由度体系： k
1
式（13－1）或（a）称为单自由度体系 自由振动运动方程（微分方程）
二.自由振动运动方程的解
由式（13－4）
y (t ) A sin(t ) A sin(t 2 ) A sin[ (t 2 ) ] y (t 2 )
y(t)是周期函数
T 2
－自振周期（固有周期） －自振频率（固有频率）
2 T
1. 结构自振周期 T 和自振频率 的各种等 价计算公式
结构的动力计算习题
《结构的动力计算》习题一、判断题1、图示等效体系的关系是：3211111k k k k ++=。
（ ）2、结构的动力反应只与初始条件及动荷载有关。
（ ）3、任何动力荷载作用下均可以采用公式：1221-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ωθβ计算动力系数。
（ ） 4、外界感干扰力只影响振幅、不影响体系的自振频率。
（ ）5、体系的动力自由度数与质点的个数无关、也与结构静定或超静定无关。
（ ）6、图示体系各杆自重不计、EA =∞，则该体系在初始时刻的干扰力作用下将做竖向振动。
（ ）二、选择题1、增加单自由度体系的阻尼、但仍保持为低阻尼体系，其结果是（ ）。
A 、周期变长 B 、周期不变 C 、周期变短 D 、 周期视具体体系而定2、图示两个等效结构，正确的刚度关系是（ ）。
A 、k=k 1+k 2 B 、21111k k k += C 、21211k k k k k += D 、2112k kk k k +=3、图示体系不计阻尼，平稳阶段最大动位移y max =4Pl 3/7EI ，其最大动力弯矩为（ ）。
A 、3Pl /7 B 、4Pl /7 C 、12Pl /7 D 、4Pl /21 4、下列哪句话有错误或不够准确（）。
第3题图A、在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率和相应的主振型； B 、多自由度体系的自振频率不止一个，其个数与自由度个数相等；C 、每个自振频率都有自己相应的主振型，主振型就是多自由度体系振动时各质点的位移变化形式；D 、与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和相应的主振型也是体系本身的固有性质。
5、图示单自由度体系自振周期的关系为（ ）。
A 、(a)=(c)B 、(a)=(b)C 、(b)=(c)D 、都不相等6、单自由度振动体系中，若质点在杆的中点，各杆EI 、l 相同，其自振周期的大小排列顺序为（A 、(c)＞(a)＞(b)B 、(c)＞(b)＞(a) C 、(a)＞(b)＞(c) D 、(b)＞(c)＞(a)三、分析计算题1、梁的抗弯刚度为EI2m3、柱的自重不计，求图示刚架的自振频率。
结构力学专题七(单自由度体系的动力计算)
设： 2
k11 m
1
m11
运动方程： y(t) 2 y(t) 0
1、运动方程的解
y(t) c1sin t c2 cos t
(a)
或 y(t) csin( t )(ຫໍສະໝຸດ )当 y0、y0 为已知时
y(t)
y 0
sin
t
y
0
cos
t
(c)
方程（a）、（b）、（c）称为位移方程。
2、位移方程的几何意义
A1 5cm2
W 0.1kN
3m
（1）求竖向振动时的频率和周期，
(2)设： y0 10cm(向下），y0 0;
求： t
4
90
时质体的绝对位移。
A2 10cm2
4m
补2（选作）：求图示体系的自振频率：
m
EI
m
k
l
l
l EI
FP (t)
EI
l/2 l/2
三、举例与讨论
例1： 建立图示体系运动微分方程 FP (t)
m EI
l/2 l/2
方程：
L3 48EI
(my(t)
cy(t))
y(t)
L3 48EI
FP (t)
my(t) cy(t)
48EI L3
y(t)
FP (t)
例2： 建立图示体系运动微分方程
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
方程：
my(t) cy(t)
m
EI FP (t)
l/2 l/2
例3： 求图示体系的自振频率。
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
结构动力分析计算示例
（11）进行振动特征向量分析 运行Solution> Solve>Current LS。 （12）后处理 运行General Postproc>Results Summary。
图9-19 结果列表
8
要读取一阶模态分析动画 演示，可以运行General Postproc>Read Results>First Set。再运行PoltCtrls>Animate >Mode Shape，弹出图示对话 框，在Display Type 选项栏中 选择 DO F solu tion 和 Def + undeformed 。即可观看一阶模 态分析动画过程。要读取下阶 模态分析动画演示，可以运行 General Postproc>Read Results >Next Set ，再运行PoltCtrls> Animate>Mode Shape。要读取 任意阶模态分析动画演示，可 以运行General Postproc>Read Results>By Set Number。再运 行 PoltCtrls>Animate>Mode Shape。
5
图9-12 设置网格尺寸对话框
（6）施加约束
图9-13 长方形板有限元模型
运行 Solution>Define Loads>Apply >Structure> Displacement>On Lines，选择长方形底边，施加全约束。
（7）设定自然振动分析模型 运行Solution>Analysis Type>New Analysis，从弹 出的对话框中选择 Modal ， 如 图 9 - 1 4 所 示 。
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
结构力学课后答案第10章结构动力学
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
在线测试题试题库及解答(第十章)结构动力学
在线测试题试题库及解答第十章结构动力学基础一、单项选择题1、结构的主振型与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案 A2、结构的自振频率与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案 A3、单自由度体系在简谐荷载作用下，下列哪种情况内力与位移的动力系数相同？A、均布荷载作用B、荷载作用在质点上与质点运动方向垂直C、荷载不作用在质点上D、惯性力与运动方向共线标准答案 D4、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案 D5、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案 D6、当简谐荷载作用于有阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远大于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、重力C、阻尼力D、惯性力标准答案 D7、设ω为结构的自振频率，θ为荷载频率，β为动力系数下列论述正确的是A、ω越大β也越大B、θ/ω越大β也越大C、θ越大β也越大D、θ/ω越接近1，β绝对值越大标准答案 D8、如果体系的阻尼增大，下列论述错误的是A、自由振动的振幅衰减速度加快B、自振周期减小C、动力系数减小D、位移和简谐荷载的相位差变大标准答案 B9、无阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力C、惯性力与弹性力的合力D、没有力标准答案 D10、有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力与弹性力的合力C、惯性力D、阻尼力标准答案 D11、当简谐荷载作用于无阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远小于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、阻尼力C、惯性力D、重力标准答案 A12、一单自由度振动体系，其阻尼比为ξ，动力系数β，共振时下列结果正确的是A、ξ=0.05，β=10B、ξ=0.1，β=15C、ξ=0.15，β=20D、ξ=0.2，β=25标准答案 A13、一单自由度振动体系，由初始位移0.685cm，初始速度为零产生自由振动，振动一个周期后最大位移为0.50cm，体系的阻尼比为A、ξ=0.05B、ξ=0.10C、ξ=0.15D、ξ=0.20标准答案 A14、在低阻尼体系中不能忽略阻尼对什么的影响？A、频率B、主振型C、周期D、振幅标准答案 D15、单自由度体系受简谐荷载作用，ω为体系自振频率，θ为荷载频率，动位移 y(t)与荷载 P(t) 的关系是A、当θ/ω＞1时，y(t)与P(t)同向，当θ/ω＜1时，y(t)与P(t)反向。
结构动力计算课后习题答案
结构动力计算课后习题答案结构动力计算课后习题答案在学习结构动力学这门课程时，我们经常会遇到各种各样的习题。
这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践的机会。
在这篇文章中，我将为大家提供一些结构动力计算课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 计算一个简支梁的固有频率。
答案：简支梁的固有频率可以通过以下公式计算：f = (1/2π) * √(k/m)其中，f为固有频率，k为刚度，m为质量。
在简支梁的情况下，刚度k等于弹性模量E乘以截面面积A除以长度L。
质量m等于密度ρ乘以截面面积A除以长度L。
2. 计算一个悬臂梁的固有频率。
答案：悬臂梁的固有频率可以通过以下公式计算：f = (1/2π) * √(3k/m)在悬臂梁的情况下，刚度k等于弹性模量E乘以截面面积A的三次方除以长度L的四次方。
质量m等于密度ρ乘以截面面积A除以长度L。
3. 计算一个简支梁的振动模态。
答案：简支梁的振动模态可以通过以下公式计算：f_n = (n^2 * v) / (2L)其中，f_n为第n个振动模态的频率，v为波速，L为长度。
n为振动模态的序号，从1开始。
4. 计算一个悬臂梁的振动模态。
答案：悬臂梁的振动模态可以通过以下公式计算：f_n = (2n-1) * (v/4L)其中，f_n为第n个振动模态的频率，v为波速，L为长度。
n为振动模态的序号，从1开始。
5. 计算一个简支梁的最大挠度。
答案：简支梁的最大挠度可以通过以下公式计算：δ_max = (5qL^4) / (384EI)其中，δ_max为最大挠度，q为均布载荷，L为长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
6. 计算一个悬臂梁的最大挠度。
答案：悬臂梁的最大挠度可以通过以下公式计算：δ_max = (qL^4) / (8EI)其中，δ_max为最大挠度，q为均布载荷，L为长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
以上是一些常见的结构动力计算课后习题的答案。
通过解答这些习题，我们可以更好地理解结构动力学的概念和原理，提高我们的计算能力和问题解决能力。