中考数学一轮专题复习垂径定理圆心角圆周角定理
部编数学九年级上册专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型(解析版)含答案
专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型利用垂径定理求值【答案】2【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设OC=△中，由勾股定理得，在Rt COE【变式训练】【答案】45cm/4【分析】连接BO，延长22=，即可求解．BC OB OC-【详解】解：如图，连接=，由折叠得：CD CEQ D是OC的中点，\=，CD OD\==，CE CD OD2\==，4OC OE【答案】310【分析】由题意易得【详解】解：连接OD∵AB 是O e 的直径，AB ∴152OD OB AB ===，∵CD AB ^，6CD =，∴13,2DE CD DEO ==Ð∴22OE OD DE =-=垂径定理的实际应用【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O （O 在水面上方）为圆心的圆，且圆O 被水面截得的弦AB 长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米【答案】D 【分析】过圆O 作OD AB ^于E ，如图所示，由垂径定理可知4AE BE ==，设圆的半径为r ，再利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：过圆O 作OD AB ^于E ，如图所示：Q 弦AB 长为8米，\4AE BE ==，Q 盛水桶在水面以下的最大深度为2米，设圆的半径为r ，在Rt AOE △中，90AEO Ð=°，OA r =，4AE =，2OE OD ED r =-=-，则由勾【答案】26【分析】连接AO ，依题意，得出222AO AC CO =+，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接∵1CD =，10AB =，AB ∴5AC =，设半径为r ，则AO r =在Rt AOC V 中，2AO =利用弧、弦、圆心角的关系求解A．AB OC=C．12ABC BOC Ð+Ð=【答案】D 【变式训练】【答案】80°/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出即可求出答案．Ð【详解】解：∵OBC半圆（直径）所对的圆周角是直角A．43【答案】B【分析】如图：连接AQ QB=，最后根据勾股定理即可解答．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．【变式训练】【答案】13【分析】连接BD ，先由三角形内角和定理求出求出30ABD Ð=°，即有【详解】解：连接BD∵在ABC V 中，55B Ð=∴60A Ð=°，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB CDB Ð=Ð=°Ð的度数；(1)求BAC(2)若点E为OB中点，CE 【答案】(1)45°(2)3590°的圆周角所对的弦是直径例题：（2023上·广东汕头DA DC =，2AB BC ==【答案】32【分析】连接AC ，过点角三角形，勾股定理求得∵90ADC Ð=°，∴AC 是直径，∴90ABC Ð=°【变式训练】1．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 点沿线段AD 由A 向D【答案】2p【分析】连接BD 交EF 于点1222OB OD BD ===，再由∵四边形ABCD 是正方形，∴4BC AB AD ===，EDO Ð∴242BD AB ==，【答案】90°Ð【分析】（1）由ABP （2）首先证明点P理求出OC即可得到则OP OA OB ==，\点P 在以AB 为直径的O e 在Rt BCO V 中，90OBC Ð=225OC BO BC \=+=，532PC OC OP =-=-=，已知圆内接四边形求角度【答案】102°【分析】根据圆内接四边形的性质得出【详解】解：∵四边形∴180A DCB Ð+Ð=°，又180DCE DCB Ð+Ð=°，∴102DCE A ÐÐ==°，故答案为102°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．【变式训练】【答案】40【分析】根据已知可得»»BCBD =56DAC BAC BAD Ð=Ð+Ð=°，再利用圆内接四边形对角互补以及平角的定义可得56DBE DAC Ð=Ð=°，继而利用角平分线定义及三角形内角和定理即可求解．(1)求证：A AEBÐ=Ð(2)若90Ð=°，点CEDC【答案】(1)见解析e的半径为25 (2)O一、单选题1．（2023上·河北张家口·九年级统考期末）O e 中的一段劣弧»AB 的度数为80o ，则AOB Ð=（ ）A ．10oB ．80oC ．170oD ．180o【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．【详解】解：Q O e 中的一段劣弧»AB 的度数为80°，80AOB \Ð=°，故选：B ．A ．32°B ．42【答案】A 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到小即可．【详解】解：∵50A Ð=°，∴50D A Ð=Ð=°，A ．10【答案】D∴12AH BH AB===在Rt BOHV中，OH∴线段OP长的最小值为A．105°B．110【答案】D【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求出求解．A ．1米B ．()35+米C ．3米【答案】D 【分析】连接OC 交AB 于D ，根据圆的性质和垂径定理可知理求得OD 的长，由CD OC OD =-即可求解．则OC AB ^，12AD BD AB ==在Rt OAD △中，3OA =，AD ∴225OD AO AD =-=，【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．【答案】120【分析】过O 点作OD AC ^AD CD =，根据三角形中位线定理可得由折叠可得：12OD OE ==∵AB 是直径，∴90ACB Ð=°，12OD BC =【答案】64°/64度【分析】根据在同圆中，Ð=Ð可推出AOC BOD【详解】解：Q»AE=【答案】3【分析】由圆的性质可得OA后根据中位线的性质即可解答．【答案】45【分析】连接AC ，如图所示，由直径所对的圆周角为直角可知及勾股定理求出AC 【详解】解：连接Q OC AB ^，AB =12AD BD AB \==在Rt AOD V 中，OA 420r \=，解得r【答案】4【分析】如图，连接CD直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．三、解答题e的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，11．（2023上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，O，．==28AE CD(1)求O e 的半径长；(2)连接 BC ，作OF BC ^【答案】(1)5(2)5在Rt OCE V 中，2OE ∴()22224R R -+=，解得5R =，∴O e 的半径长为5；(1)若这个输水管道有水部分的水面宽半径；OE AB ^Q ，11168cm 22BD AB \==´=(1)连接AD，求证：(2)若52,==CD AB 【答案】(1)详见解析；(2)6Ð相等吗？为什么？(1)BAFÐ和CAD^，垂足为(2)过圆心O作OH AB【答案】(1)相等，理由见解析(2)10【详解】（1）解：连接BF ，Q AF 是O e 的直径，90F BAF \Ð+Ð=°Q AC BD ^，\90CAD BDA Ð+Ð=°，Q F BDA Ð=Ð，\BAF CAD Ð=Ð．（2）解：OH AB ^Q ，AH BH \=，OA OF =Q ，210BF OH \==，BAF CAD Ð=ÐQ ，10CD BF \==．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等角的余角相等，圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质，垂径定理，掌握圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质以及垂径定理是解题的关键．15．（2023上·山东威海·九年级统考期末）【初识模型】如图1，在ABC V 中，,90AB AC BAC =Ð=°．点D 为BC 边上一点，以AD 为边作ADE V ，使=90DAE а，AE AD =，连接CE ，则CE 与BD 的数量关系是__________；【构建模型】如图2，ABC V 内接于,O BC e 为O e 的直径，AB AC =，点E 为弧AC 上一点，连接,,AE BE CE ．若3,9CE BE ==，求AE 的长；【运用模型】如图3，等边ABC V 内接于O e ，点E 为弧AC 上一点，连接,,AE BE CE ．若6,10CE BE ==，求AE 的长．【答案】（1）BD CE =；（2）32；（3）4【分析】（1）只需要利用SAS 证明BAD CAE V V ≌，即可证明BD CE =（2）如图所示，过点A 作AD AE ^交BE 于D ，由BC 是直径，得到明BAD CAE Ð=Ð，再证明45ADE AED Ð=Ð=°，得到AD AE =，即可证明2（3）如图所示，在BE 上取一点∵ABC V 是等边三角形，∴60AB AC ACB ==°，∠，∴60AEB ACB Ð=Ð=°，∴ADE V 是等边三角形，∴60AE DE DAE ==°=，∠∠∴BAC CAD DAE Ð-Ð=Ð-Ð【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
2025年九年级中考数学一轮复习课件：第20讲圆的有关性质
④了解三角形的外心.
核心知识梳理
串联体系，厘清脉络
. 定义：经过三角形三个顶点的圆
三
角
形
外
接圆ຫໍສະໝຸດ 垂直平分线 的交点). 圆心 ：外心(三角形三条边的㉓ ___________
. 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
BD.若∠BOC＝2∠COD，则∠CBD＝(
A.25°
B.30°
A)
C.35°
D.40°
三角形的内心与外心
15.(2023·内蒙古)如图，☉O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，
OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周
长为21，则EF的长为(B
☉O于点F，连接AF，则∠BAF等于( B )
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，☉O是△ABC的外接圆，
点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是
.
考查角度2：跨学科整合
19.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
OB，OC.若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为
100° .
垂径定理及其应用
3.(2024·北京)如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝
55
°.
4.(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半
径长为( B )
A.4
B.4
中考考点突破之圆的专题复习
中考考点突破之圆的专题复习考点精讲1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；2.探索并证明垂径定理；3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；考点解读考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧AD; ②弧B D=弧C B；③C E=D E; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ,∠A =1/2∠O .图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A =∠C .② 直径所对的圆周角是直角.如图c ,∠C =90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A +∠C =180°，∠ABC +∠ADC =180°.考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d .(1)d <r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d >r ⇔点在⊙O 外．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a )、中心(O )、中心角(∠AOB )、半径(R ))、边心距(r ),如图所示①. 222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R r 边心距n ︒=360中心角②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：2180n R l r ππ==, S 侧=12lR =πrl考点突破1．（2021秋•德城区校级期中）在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB 为⊙C 的直径，若点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣a ﹣1，﹣b ）B ．（﹣a +1，﹣b ）C ．（﹣a +2，﹣b ）D ．（﹣a ﹣2，﹣b ）2．（2021秋•普兰店区期末）如图，⊙O 的半径为5，C 是弦AB 的中点，OC ＝3，则AB 的长是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2021秋•禹州市期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2020秋•永城市期末）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC 及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（2022•泗洪县一模）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D 的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC 于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．（2021秋•舞阳县期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上9．（2021秋•丛台区校级期中）下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在10．（2021秋•射阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等C．相等的弦所对的圆心角相等D．三角形的外心到三角形各边距离相等11．（2021秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．12．（2021•五通桥区模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC ＝4，CD的长为．13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．（2021秋•西峡县期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝．15．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝．16．（2021•内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，．求证：．17．（2021秋•长垣市期末）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD 于点E，AB＝3km，DF＝450m．（1）求圆的半径；（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．18．（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．19．（2021秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．20．（2021•信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．。
垂径定理、圆周角与圆心角
圆1一、知识点1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。
（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。
）4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。
（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。
）5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。
推论：圆的两条平行弦所夹弧。
6、与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.7、垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.二、例题(泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45 B．60 C．75 D．902．(PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）`A．52B．56C．2 D．53、(南京市2008年)如图3，已知O的半径为1，AB与O 相切于点A，OB与O交于点C，OD OA⊥，垂足为D，则cos AOB∠的值等于（）A．OD B．OA C．CD D．AB）4、(威海市2008年)如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，32），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为A．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5823,B．()13,- C．⎪⎭⎫⎝⎛-5954,D．()31,-5、(2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若，则BD的长为（）A．B．C．D．6、（09湖南邵阳）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若45ABC∠=°，则下列结论正确的是（）A．12AD BC= B．12AD AC= C．AC AB> D．AD DC>7．如图，在⊙O中，弦BC15∶AB AB BC CD==50ACABC∆AB O60,70B C∠=∠=BOD∠AB O COA OB=O4,8AB=OB sin A A B C O//AB OC（1）求证：AC平分OAB∠.|（2）过点O作OE AB⊥于点E，交AC于点P. 若2AB=30AOE∠=︒，求PE的长．30CAB∠=°2R3R R32R~ABCO D xyO11BACBA OMBADCEC、BDOAOPBDEOBC、18、（2010湖北荆门）如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA =4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． （1）求证：AC ·CD=PC ·BC ；（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大并求出这个最大面积S 。
垂径定理-弦-弧-圆心角-圆周角-
圆的对称性，圆周角1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（A 、CE=DEB 、 BCBD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD，点O 是 CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为 CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？第4题CE OA DB 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。
垂径定理和圆周角圆心角
一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
(名师整理)最新人教版数学中考《垂径定理 圆心角 圆周角定理》专题精练(含答案解析)
垂径定理圆心角圆周角定理一选择题：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42°B．48°C．52°D．58°2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( )A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（）A．100° B．110° C．120°D．130°4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（）A.3≤OM≤5B.3≤OM＜5C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜55、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )A．15°B．28° C.29°D．34°7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( )8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（）A. B. C． D.9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20º，则∠ACB，∠DBC分别为（）A．15º与30º B．20º与35º C．20º与40º D．30º与35º10.图中∠BOD的度数是（）A．55° B．110° C．125° D．150°11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°12.如图,弦AB∥CD，E为上一点，AE平分，则图中与相等（不包括）的角共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个13、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则的值等于（）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长14.如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分15.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）A. B. C.或 D.或或16.如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，，则下列式子中，不正确的是（）A. B. C. D.17.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．718.如图，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q。
中考数学--圆的必考点2
圆的必考基础知识2一、圆的八大定理的定义1、垂径定理：垂直于弦的直径（ ）这条弦，并且（ ）弦所对的两条弧平分2、相交弦定理：圆中两条相交弦被交点分成的两条线段长的（ ）是相等积3、切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长（ ），那点与圆心的连线（ ）切线的夹角。
相等，平分4、切割线定理：圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A、B两点，则有( )PC²=PA·PB5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.圆外是P点，交点是ABCD,则有()PA.PB=PC.PD6、弦切角定理：弦切角（ ）对应的圆周角。
等于7、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧（ ），所对的弦（ ），所对的弦的弦心距（ ）。
相等8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的（ ）。
一半二、圆的公式：圆的周长＝弧长的公式 =以后看到22.5度，一般会有对应45度1、长度相等的两条弧是等弧（对或错 ）错2、等弧的长度是相同的（对或错 ）对3、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧。
（对或错 ）对4、周长相等的两个圆一定是等圆（对或错 ）对5、同心圆就是圆心相同的圆。
（对或错 ）错6、同心圆就是圆心相同，但半径不等的两个圆。
（对或错 ）对7、相等的圆心角所对的弧相等（对或错 ）错8、相等的圆心角所对的弦相等（对或错 ）错9、等弦所对的弧相等（对或错 ）错10、等弧所对的弦相等（对或错 ）对11、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧（ ），所对的弦（ ），所对的弦的弦心距也（ ）相等12、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等13、平行四边形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）错矩形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）对菱形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）错正方形4个顶点在同一个圆上。
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垂径定理圆心角圆周角定理一选择题：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42°B．48°C．52°D．58°2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( )A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（）A．100° B．110° C．120° D．130°4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（）A.3≤OM≤5B.3≤OM＜5C.4≤OM≤5D.4≤OM＜55、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠A．15°B．28° C.29°D．34°7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( )8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（）A. B. C． D.9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20º，则∠ACB，∠DBC分别为（）A．15º与30º B．20º与35º C．20º与40º D．30º与35º10.图中∠BOD的度数是（）A．55° B．110° C．125° D．150°11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°12.如图,弦AB∥CD，E为上一点，AE平分，则图中与相等（不包括）的角共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个13、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则的值等于（）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长14.如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分15.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ 是直角三角形时，t的值为（）A. B. C.或 D.或或16.如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，，则下列式子中，不正确的是（）A. B. C. D.17.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．718.如图，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q。
若MP+NQ=14，AC+BC=20，则AB的长是（）A. B. C.13 D.1620.如图,AB是⊙O的直径,M是⊙O上一点,MN⊥AB,垂足为N，P、Q分别是弧AM、弧BM上一点（不与端点重合）．若∠MNP=∠MNQ.下面结论：①∠PNA=∠QNB；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN•QN．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二填空题:21.如图所示,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=54°，则∠BCD= ．22.如图,点A,B,C,D在⊙O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD= °．23、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，以B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD，则∠DAC 的度数是_______°．24.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为________．25.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为．26.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．27.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为．28.如图，AB是圆O的一条弦，C是圆O上一动点且∠ACB=450，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与圆O交于点G、H.若圆O的半径为2，则GE+FH的最大值为 .29.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．30.如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于另一点Q，如果QP=QO，则∠OCP=_______．三简答题:31.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．32.已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．33.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线被⊙P截得的弦AB的长为，求点P的坐标．34.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．35.如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．（1）∠ E= 度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长．36.如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E,F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC.求证： BC=2CD.37.如图,△内接于⊙，∠与∠的角平分线相交于点，延长交⊙于点，连接，，且∠（1）求∠的大小；（2）求证：△为等边三角形；（3）若∠，⊙的半径为，求等边三角形的边长．38.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r。
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．39.如图，有两条公路 OM、ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A．当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心 50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米/时．（1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离；求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间．40.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．参考答案1、B．2、D3、A4、A5、D6、B．7、A8、B9、B 10、B 11、B． 12、C 13、A14、B 15、A 16、D 17、B． 18、B 19、D 20、B．试题分析：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图：∵MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90°，∵∠MNP=∠MNQ，∴∠PNA=∠QNB，故①对；∵∠P+∠PMN＜180°，∴∠P+∠Q＜180°，故②错；因为AB是⊙O的直径，MN⊥AB，∴，∵∠PNA=∠QNB，∠ANC=∠QNB，∴∠PNA=∠ANC，∴P，C关于AB对称，∴，∴，∴∠Q=∠PMN，故③对；∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，∴△PMN∽△MQN，∴MN2=PN•QN，PM不一定等于MQ，所以④错误，⑤对．故选B．21、36°．22、60 23、30； 24.61° 25、2． 26、π． 27、y=（x＞0）28、29、 30、40°或100°或20°．【解答】解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCP，在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，又∵∠AOC=30°，∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，整理得，3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°．②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC=OQ，∴∠OQP=（180°﹣∠QOC）×①，∵OQ=PQ，∴∠OPQ=（180°﹣∠OQP）×②，在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，把①②代入③得：60°+∠QOC=∠OQP，∵∠OQP=∠QCO，∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°，∴∠QOC=20°，则∠OQP=80°∴∠OCP=100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=（180°﹣∠COQ）×①，∵OQ=PQ，∴∠P=（180°﹣∠OQP）×②，∵∠AOC=30°，∴∠COQ+∠POQ=150°③，∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，①②③④联立得∠P=10°，∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．故答案为：40°或100°或20°．31、【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．32、解：（1）AC=8… BD=CD=…（2）BD=5…33、解：延长CP交AB于点E，过点P做PD⊥AB于D∴AD=BD==连接PA 在△PDA中，∠PDA=90°，PA=4，AD=∴PD=2∵⊙P与y轴相切于点C∴PC⊥y轴，∴∠OCE=90°∵直线y=x, ∴∠COE=45°∴∠CEO=45°，OC=CE在△PDE中，∠PDE=90°，PD=2，∴PE=∴CE=4+，∴OC=4+∴点P的坐标为：P（4，4+）【答案】点P的坐标为：P（4，4+）34、解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD；（2）连结OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴=∵∠PBC=∠C=22.5°，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，∴劣弧AC的长为：．35、【解答】解：（1）∵∠ ACD=45°，∠ ACD=∠ E，∴∠ E=45°．（2）△ ACP∽△ DEP，理由：∵∠ AED=∠ACD，∠ APC=∠ DPE，∴△ ACP∽△ DEP．（3）方法一：∵△ ACP∽△ DE P，∴．∵ P为CD边中点，∴ DP=CP=1∵ AP=，AC=，∴ DE=．方法二：如图2，过点D作DF⊥ AE于点F，在Rt△ ADP中，AP=．又∵ S△ ADP=AD•DP=AP•DF，∴ DF=．∴DE=DF=．36.37、38、解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=AC=×2=1。