等腰三角形复习_角平分线和平行线构成等腰三角形的探索 齐建军
课题：等腰三角形复习
----角平分线和平行线构成等腰三角形的探索
一、复习目标：
1、知识与技能：
（1）理解等腰三角形的有关概念。
（2）掌握等腰三角形的性质和判定。
（3）探索角平分线和平行线构成等腰三角形。
2、能力目标：通过复习进一步培养考虑问题、解决问题的思维能力，发展推
理能力及添加辅助线的思想，培养学生探索问题及总结知识点的能力。
3、情感目标：敢于面对学习生活中的困难，在独立思考的基础上，积极参与
讨论，大胆发表自己的观点，尊重和理解他人，从交流中获益。
二、重点：探索一条角平分线和一条平行线构成等腰三角形。
难点：具体情景中知识的应用及数学思想的渗透。
三、板书设计：
四、教学过程：
（一）、导入：
1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：
（由学生先进行回顾，教师补充）
问：等腰三角形的性质有哪些？
(1)：等腰三角形的两个底角相等。
(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2、问：等腰三角形判定方法呢？
(1)定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
(2)判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（二）、例题讲解：
例：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。
过D作EF∥BC
问：(1) 图中有几个等腰三角形？ (2) 线段EF与线段BE，CF有何数量关系？
解：（1）∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，EF ∥BC
∴∠EBD=∠DBC ，∠EDB=∠DBC ，∠FCD=∠BCD ，∠FDC=∠BCD
∴∠EBD=∠EDB ，∠FCD=∠FDC
∴△DEB ，△DFC 是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形）
（2）∵△DEB ，△DFC 是等腰三角形
∴BE=DE ，FC=FD
又∵EF=DE+DF
∴EF=BE+FC
变式练习1
如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 外角。
过D 作EF ∥BC ，问：(1)△BEF 与△CFD 的等腰三角形吗？(2)线段EF 、BE 、CF 有何数量关系？
变式练习2（教学要求：要求学生自己分析、思考，并写下完整的解题过程） 如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 于D ，DE ∥AC 交AB 于E 点，说明AE=BE 。
A
C D
F
B E
B 教师分析：要找等腰三角形，看有没有两个角相等或是两条边相等。
这道题只是告知了角平分线和平
行线，不存在线段的数量关系，所以我们来找角的关系。
若有两个角相等，则可根据等腰三角形的性质或
是判定方法，可得到这个三角形是等腰三角形。
要找线段EF 与线段BE ，CF 的数量关系，我们不能直接得到他们有和数量关系，但是由第一题得到△BED 和△CFD 是等腰三角形，则可得到DE=BE ，DF=CF ，易得DE+DF=EF 。
A E F D C
变式练习3（学生先思考，然后教师分析引导）
如图，RT △ABC 中，∠A=90度，AE 平分∠BAC 交BC 于D ，交BC 的垂直DE 于E ，试说明：∠DAE=∠DEA 。
我们练习了这么多题，我们能找到什么规律？能做一些总结吗？
（由学生思考、总结，教师做最后的的归纳）：
一条角平分线和一条平行线可以构成一个等腰三角形。
（三）、巩固练习：
1、如图，四边形ABCD ，AB ∥DC 且 AB=DC ，BD 是∠ABD 的平分线，求AD 与CD 的数量关系。
（此题学生口述解题过程即可；2—5题要求写出完整的过程。
）
2、如图，已知∠AOB=30度，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，PD ∥OA 交OB 于D ，若OD=4，求DE 和PE 的长。
3、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 为BD 上一点，EG ∥AD ，分别交AB 和CA 的延长线于F 和G ，∠B=40度，求∠G 、∠FAG 的大小。
A C
B D E G
F A D P C
O
B
E 第2题 图 A D
B C
第3题 图
4、如图，△ABC 中，∠BAC=90度，BD 平分∠BAC ，交AC 于点D ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC 于E 交BD 于点G ，说明△ADG 是等腰三角形。
5、如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AD 平分∠BAC ，G 是BC 中点，过G 作AD 的平行线，交AB 和CA 的延长线于E 和F ，说明：BE=CF=1/2（AB+AC ）。
（四）、趣味练习：
如图，△ABC 中，AB=AC ， 用三种方法把它分成3个等腰三角形。
五、小结：
通过本堂课的复习，你学到了什么？
角平分线和平行线可以构成等腰三角形。
六、作业布置：
1、书本P49： 5、6、7；
2、课时训练P28—29 课外练习A 、B 。
杭州绿城育华：齐建军 2008-5-29
A
C
D
F G E B B C
说明：此题看似简单，比较容易就可以找到
几种分法，但是此题主要是看学生能不能运用本
堂课总结的规律来分，考察他们是否掌握了本堂
课的知识点。
另外，此题带有一定的趣味性，容易激发学
生的兴趣，调动学生的积极性，有利于学生对本
堂课重点的掌握。
A A
F
G D C
B E 此题具有较大的难度，需要作辅助线来解题，由于学生对添辅助
线还比较生疏，教师引导学生添辅
助线。
等腰三角形复习课PPT课件
1 2 3 B D E C
10
习题讲解
• (24)如图，在 △ABC中，AB=AC， D是AB上一点，延 长CA到E，使得AE ＝AD，求∠CFE的 度数。
E A D C F
B
(答案:90°)
11
课堂巩固练习
(25)已知：等腰△ABC的周长为50cm，AD 是底边上的高，△ABD的周长为40cm，求 AD的长。 (答案:15㎝)
等腰三角形复习课
怀宁县大洼初级中学 余松
1
2
等腰三角形有哪些性质与判定？
（1）等边对等角; 等角对等边； （2）等腰三角形顶角平分线、底边上的 高、底边的中线重合； （3）等边三角形三个内角相等；都等于 60°； （4）有一个内角等于60°的等腰三角形 为等边三角形。Leabharlann 34基础训练
• （13）已知等腰三角形的两边长分别是 27㎝ 5cm,11cm，则这个三角形的周长等于_____ • (14)等腰三角形的一个内角等于80°，则 顶角等于________ 80°或 20° • (15)等腰三角形的一个外角等于40°,则底 角等于__________ 20°
5
基础训练
(16)在△ABC中， 80° AB=AC,∠B=4∠A,∠C=_____ • (17)三角形的三个外角都相等，则这个 等边三角形 三角形是_______ • (18)已知等腰三角形底边长BC=8，|AC12 BC|=4则腰AC=______ • (19)等腰三角形的底边长为3，则腰长x x＞1.5 的取值范围是__________
8
基础训练
• (22)等腰三角形中，有一个角等于45°， 那么这个三角形是( D ) A. 锐角三角形 Ｂ. 直角三角形 Ｃ. 钝角三角形 Ｄ. 锐角三角形或直角三角形
2024年北师大版七年级下册数学期末提分复习第11招等腰三角形“三线合一”解题的六种技巧
(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试
判断△DEF的形状，并说明理由.
分类训练
【解】(1)△DEF为等腰直角三角形.
理由：连接AD，易说明△BDE≌△ADF，
所以DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
因为AB＝AC，D为BC的中点，
所以AD⊥BC.所以∠ADB＝90°.
AB的中点，∠B＝50°，求∠ACD的度数.
【解】因为CA＝CB，∠B＝50°，所以∠A＝∠B＝50°.
所以∠ACB＝180°－50°－50°＝80°.
又因为D是AB的中点，即CD是底边AB上的中线，
所以CD平分∠ACB.
所以∠ACD＝ ∠ACB＝40°.
分类训练
利用“三线合一”求线段长
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.
过程.
典例剖析
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.试说明：
∠DBC＝ ∠BAC.
等腰三角形“三线合一”的性质是说明
线段或角的倍分关系、相等关系常用的性质之
一，如解答含等腰三角形的题型时，常常要考
虑构造等腰三角形“三线合一”的基本图形来
进行解答.本例通过作垂线，根据等腰三角形
“三线合一”的性质说明角的倍分关系.
所以∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝
∠ADB＝90°.
所以△DEF为等腰直角三角形.
分类训练
(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍
有BE＝AF，请判断△DEF是否仍是(1)中的形状(不必说
明理由).
【解】△DEF仍是等腰直角三角形.
沪教版(上海)数学七年级第二学期第14章小结等腰三角形的复习教案
等腰三角形的复习教学目标1.尝试对等腰三角形概念、性质、判定知识点的梳理，提高归纳整理的能力，初步体会研究几何图形的基本思路.2.感受重要基本图形、基础知识、基本技能的应用，初步感受分类讨论、转化等数学思想.3.通过数字教材云笔记分享、小组探究等活动体会与他人分享的喜悦，激发学习热情.教学重难点等腰三角形的性质和判定的灵活运用.过程设计教学环节活动过程数字教材应用1环节一知识梳理，作业反馈. 一.等腰三角形的知识梳理通过评价学生的知识梳理框图，师生共同整理出等腰三角形概念、性质、判定这些基础知识.适时小结：以后研究几何图形的基本思路：概念性质判定二.基础过关1．如果等腰三角形的两边长分别是7cm、10cm，那么这个三角形的周长为_____________.2.如果等腰三角形的两边长分别是3cm、7cm，那么这个三角形的周长为_____________.3.如果等腰三角形的一个内角为80°，那么另外两个角的度数分别是__________________.4.如果等腰三角形的一个内角为100°，那么另外两个角的度数是_________________.学生拍照研究几何图形的基本思路，插入资源，保存笔记.5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，CE∥AD交BA的延长线于点E，请判断△ACE的形状,并说明理由.师生共同分析思路，培养学生分析问题的能力；3.学生拍照插入资源，保存成笔记，便于以后查阅.环节二错题分析，发现基本图形.环节三延伸例题，巩固提高.环节四课堂小结. 学生独立完成说理过程，组内互批,小组长1分钟答疑.三.错题再现1.学生先分析错因，然后独立写完整的说理过程.2.从图中总结基本图形.四、延伸例题例.如图，如果△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作DF∥BC分别交AB、AC于点D和点F，那么线段BD、CF、DF之间存在怎样的数量关系？1.学生独立思考，分析问题，快速找到基本图形，4.利用数字教材课后习题的统计功能，对学生掌握情况有精准的把握.2.学生讲解思路，分享经验方法，如何快速准确地找到基本图形？变式.如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACM的平分线交于点E，过点E作DF∥BC分别交AB、AC于点D和点F.（1）请根据题意完成作图；（2）线段BD、CF、DF之间存在怎样的数量关系？学生先独立作图、思考，教师巡视，对作图有困难的学生进行指导.小组交流要求：问1：图形变化后，基本图形是否发生改变？问2：能否找到图中的基本图形？小组交流，代表分享成果,学生独立完成说理过程.回归课本，体会角的平分线、平行线、等腰三角形三个条件中知其二得其一的关系.五、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？我知道了……（知识），我领悟了……（思想）我掌握了……（方法），我积累了……（经验）5.融合其它信息技术，使用同屏拍照功能，及时有效反馈.6.回归课本.课后：1.梳理等边三角形的知识框图.2.完成:已知等腰三角形、平行线，得角的平分线的说7.利用云笔记功能将做好的作业插入图片上传给老45。
(2021年整理)角平分线与平行线结合的等腰三角形问题
（完整）角平分线与平行线结合的等腰三角形问题（完整）角平分线与平行线结合的等腰三角形问题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）角平分线与平行线结合的等腰三角形问题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）角平分线与平行线结合的等腰三角形问题的全部内容。
角平分线与平行线构造等腰三角形问题基本图形1已知: AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E。
问⊿ACE是什么特殊三角形？（2)反过来，若AC＝AE，问CE是∠ACD的平分线吗?基本图形2已知：△ABC,AB＝AC，（1)AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗?(2）若AE∥BC,问∠DAE＝∠BAE吗？（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，AB＝AC吗？问题举例1。
已知:如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB 交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形.2．（2016•泰安）如图，在□ABCD中，AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F,则AE+AF 的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图,CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。
则△AEF的周长是______4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G,若DG=1，则AE的边长为（) A．2 B．4 C．4 D．85。
（2013菏泽）如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=3CE时，EP+BP= ．6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( ）A．1 B．2 C．3 D．47。
角平分线等腰三角形平行线课件
02
等腰三角形的基本性质
等腰三角形的定义
等腰三角形是两边相等的三角形。 等腰三角形两底角相等。
等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一。
等腰三角形的性质
两个底角相等，且每个底角的大 小为（180° - 顶角度数）/ 2。
顶角与底角的大小关系为：顶角 > 底角。
等腰三角形的中线、高线和角平 分线三线合一。
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两边相等，则它是 等腰三角形。
如果一个三角形的中线、高线和角平 分线三线合一，则它是等腰三角形。
如果一个三角形有两个底角相等，则 它是等腰三角形。
03
平行线的基本性质
平行线的定义
平行线的定义
在同一平面内，两条永不相交的直线称为平行线。
平行线的表示方法
用符号“//”表示两条直线平行。
判定2
内错角相等则两直线平行 。如果∠3=∠4，则 AB//CD。
判定3
同旁内角互补则两直线平 行。如果∠5+∠6=180°， 则AB//CD。
04
角平分线等腰三角形和平行线的综合应 用
角平分线与等腰三角形的综合应用
总结词
利用角平分线性质和等腰三角形性质，解决几何问题。
详细描述
在几何问题中，常常需要综合运用角平分线性质和等腰三角形性质。角平分线性质指出，角平分线将相对边分成 两段相等的线段，而等腰三角形性质则说明等腰三角形两底角相等且对应的两腰相等。通过结合这两个性质，可 以解决一些复杂的几何问题，例如求角度、证明线段相等或进
性质1
同位角相等。当两条直线 被第三条直线所截，同位 角相等，即∠1=∠2。
性质2
内错角相等。当两条直线 被第三条直线所截，内错 角相等，即∠3=∠4。
八年级数学人教版(上册)小专题(七)角平分线+平行线→等腰三角形
(2)如图 2，AB＞AC，BD 平分∠ABC，CD 平分△ABC 的外角 ∠ACG，过点 D 作 DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 E，F，则 EF 与 BE，CF 之间有何关系？写出你的结论，并加以证明.
解： BE－CF＝EF. 证明：∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACG， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠DCG. ∵DE∥BC，
第十三章 轴对称
小专题(七) 角平分线＋平行线→等腰三角形
模型展示 常见的“角平分线＋平行线→等腰三角形”模型有以下两种：
(1)如图 1，BC 平分∠ABD，AC∥BD，AC＝3，则 AB＝ 3 . (2)如图 2，AE∥BC，AE 平分∠DAC，则△ABC 是等腰 三角形.
模型应用 (1)如图 3，在△ABC 中，BE 是角平分线，DE∥BC 交 AB 于点 D．若 DE＝7，AD＝5，则 AB＝ 12 .
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCG.
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCG. ∴BE＝DE，CF＝DF. 又∵ED－DF＝EF，∴BE－CF＝EF.
(3)如图 3，BD，CD 分别平分△ABC 的外角∠GBC 和∠HCB， 过点 D 作 DE∥BC，分别交 BG，CH 于点 E，F，则 EF 与 BE，CF 之间存在怎样的关系？直接写出你的结论.
(2)如图 4，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 F， 过点 F 作 DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E.若 AB＝12，AC ＝18，BC＝24，则△ADE 的周长为 30 .
1.(2021·淄博)如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E.
(1)求证：BE＝DE. 证明：∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DE∥BC，
初中数学北师大版七年级下册 等腰三角形复习
1
A 2
D
AD
BC， 1 = 2
求证：AB=AC
B
C
探索发现——我为自信储备知识
交换一个条件和结论的位置
E 已知： CAE是∆ABC的外角，
1
A 2
D 求证：
1= 2
B
C
探索发现——我为自信储备知识
交换另一个条件和结论的位置： 会有“等腰三角形+平行线=角平分线吗？”
E 已知： CAE 是∆ABC的外角，
——等腰三角形和平行线构成等腰三角形探究
知识与技能 1、理解等腰三角形的有关概念 2、掌握等腰三角形的性质和判定 3、探索角平分线和平行线构成等腰三角形 过程与方法
通过复习进一步培养学生基本图形观及探索问题 和总结知识点的能力。 情感态度与价值观
敢于面对学习中的困难，在独立思考的基础上，
积极参与讨论，大胆表达自己的观点，并从与同伴交 流中获益。
1、请同学们在学案上画出角ABC的平分线BD。
2、请同学们在上图中作出直线BC的平行线EF交AB、 BD分别为点EF。
观察猜想
会出现哪种几何图形？
探索发现——我为自信储备知识
例：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
E
已知： CAE 是∆ABC的外角，
1
A 2
D 求证： 1 =
2
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
题后反思
E
1
A 2
D
B
C
经典题例
如图,在∆ABC中,BD平分 ∠ABC,CD平分∠ACB,若过D作
EF∥BC交AB于E,交AC于F。
问：❶图中有几个等腰三角形？
等腰三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(解析版)
专题17等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定 1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高性质 1.三条边相等2.三个内角相等，且每个内角都等于60°3.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个角相等的三角形是等边三角形3.有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1.分别以点A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；2.作直线CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．18【答案】C 【解答】解：由题意可得，MN 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ，∵△ABD 的周长是AB +BD +AD ，∴AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，∵AB ＝7，AC ＝12，∴AB +AC ＝19，∴△ABD 的周长是19，故选：C ．1.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°【答案】C【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，故选：C．2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解答】解：由题意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D．3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CD＝ED，理由见解析．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC故选：C．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是1+．【答案】1+．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝＝，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝1，∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．故答案为：1+．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【答案】13．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为55度．【答案】55．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案为：55．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是4．【答案】4．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4，故答案为：4．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是40°．【答案】40°．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或12【答案】C【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的一条中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故选：D．3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处【答案】D【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．故选：D．4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝3．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可证得DF＝FC，∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20，即△AEF的周长为20，故选：C．6．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AC＝10．∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，故选：C．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解答】解：如图所示，连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠B＝∠EAB，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠C，∴EA＝EC，∴EC＝EB，∴BC＝BE+CE＝2BE＝6，故选：B．8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°，∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∴∠BAE+∠FAC＝40°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°，故选：B．9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，∴∠PBC＝30°，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠E＝30°，∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，故选：C．二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是18度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线∴AE＝BE∵∠C＝90°，∠A＝36°∴∠EBA＝∠A＝36°∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为．【答案】．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BC＝CE＝4，BD＝DE，又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE，∵AC＝7，BC＝4，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴BE＝AE＝3，∴BD＝BE＝，故答案为：．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝30°．【答案】30．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；故答案为30．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为2．【答案】2．【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，＝S△ABP+S△ACP，则S△ABC即AB•CD＝AB•PE+AC•PF，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴CD＝PE+PF，∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，∴，∴，∴，故答案为：．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．【答案】．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB＝DA＝5，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4，在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∴AC＝＝＝3，＝×5×3＝．∴S△ABD故答案为：．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝4，∴DE＝．故答案为：2．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．【答案】30°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵D是边AC的中点，∴，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC，∴∠E＝30°，∵∠BCD＝60°，∴∠CDE＝∠BCD﹣∠E＝30°．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．【答案】（1）见解析；（2）60cm．【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，，∴△CMP≌△CNP（SSS），∴∠MPB＝∠NPB，∵PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∴PB⊥MN，BM＝BN，∴PC垂直平分MN；（2）解：∵CN＝PN＝60cm，∴当伞收紧时，点P与点A重合，∴AC＝CN+PN＝120cm，当∠CPN＝60°时，∵CN＝PN，∴△CPN是等边三角形，∴PC＝PN＝60cm，∴AP＝AC﹣PC＝60cm．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∵AC＝7cm，∴AB+BC＝13cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴AB+BD＝DE+EC＝DC，∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm∴．一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图：DG交AB于M，交AC于L，EF交AB于N，AC于K，∵DG∥BC，边AB被DG、EF三等分，∴△AML∽△ANK，△ABC∽△ANK，∴BP＝，，∴，，＝9a，设S△ABC＝a，S△ANK＝4a，则S△AML＝4a﹣a＝3a，∴S四边形MNKL∴未被覆盖的面积为：9a﹣3a＝6a，△A B C被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积，故选：A．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动则CM＝2t，BM＝10﹣2t，BN＝2t，当∠BMN＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BN＝2BM，即2t＝2×（10﹣2t），解得：，当∠BNM＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，即2×2t＝（10﹣2t），解得：，综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形．故选：D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，∴∠BED＝∠EFC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴DB＝EC＝1，∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．故选：C．5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定【答案】B【解答】解：如图，延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△ABP＝S△ABC＝×2＝1（cm2），∴S△PBC故选：B．二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为12 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形，∴阴影部分的周长为3×4＝12cm，故答案为12．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为2．【答案】2．【解答】解：过E点作EH⊥BF，设DE＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵BD＝4，∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴，∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，∵EB＝EF，∴△EBF是等腰三角形，∵EH⊥BF，BF＝8，∴BH＝FH＝4，∴2+x＝4，∴x＝2，∴DE＝2．故答案为：2．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有①②④⑤．【答案】①②④⑤．【解答】解：△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝AD＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°＝∠BCE＝∠CBE＝∠CEB，∴∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，故①符合题意；∴∠AOD＝∠ACD＝60°，故⑤符合题意；在△ACM和△DCN中，，△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，CM＝CN，∠AMC＝∠DNC，∴△MCN是等腰三角形；△MCN是等边三角形；故②④符合题意，综上：①②④⑤都符合题意．故答案为：①②④⑤．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为．【答案】##．【解答】【详解】解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，由翻折可知：∠AED＝∠MED，∠BEC＝∠NEC，AD＝MD＝1，BC＝NC＝3，∵E是AB中点，，∴，∵∠DEA+∠CEB＝60°，∴∠AEM+∠BEN＝120°，∴∠MEN＝60°，∴△EMN是等边三角形，∴，∴CD≤DM+MN+CN，当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为，故答案为：．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【答案】（1）△BPQ是等边三角形；（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．1【答案】C【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．2．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．。
等腰三角形的复习公开课pptx范文
03
等腰三角形在生活中的应 用
建筑领域应用
03
建筑设计
等腰三角形在建筑设计中常被用作装饰元 素，如尖顶、檐口等，增加建筑物的美感 和立体感。
结构稳定性
等腰三角形的结构稳定性使其在建筑中被 用作支撑结构，如桥梁的拱形结构、建筑 物的屋顶框架等。
视觉效果
建筑师利用等腰三角形的视觉效果，创造 出具有动感和空间感的建筑形态。
等腰三角形的复习公开课 pptx范文
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形周长与面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用
目录
• 等腰三角形相关定理与推论 • 等腰三角形证明题解题思路与技巧 • 等腰三角形综合练习题选讲
01
等腰三角形基本概念与性 质
定义及特点
01
定义
有两边长度相等的三角形称为 等腰三角形。
高线推论
等腰三角形的高线等于底 边的一半，并且与底边垂 直平分。
角平分线推论
等腰三角形的顶角平分线 平分底边，并且与底边垂 直。
其他相关定理和推论
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边也相等（等角
对等边）。
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等（等边 对等角）。
工程测量应用
角度测量
等腰三角形在工程测量中可用于 测量角度，如使用全站仪进行地 形测量时，可通过观测等腰三角
形顶点来确定目标点的位置。
距离测量
利用等腰三角形的性质，可以通过 测量两边长度和顶角大小，计算出 目标点的距离。
高程测量
在等腰三角形中，已知两边长度和 底边高程，可以推算出顶点的高程， 从而应用于地形测绘等领域。
数学人教版八年级上册角平分线和平行线构成等腰三角形的探究
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究-----李春蕊北京市育英学校一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。
这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据.学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。
学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。
二、教学目标：（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.（3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题.教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题.突出重点方法:观察，思考，证明.突出难点方法:自主探究教学方法：启发与探究相结合教学准备：PPT，课本，作图工具三、教学设计：（一）复习等腰三角形相关知识1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）（二）探究过程问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？解：是；EB=ED发现：无论点D 在BD 上如何运动，△EBD 都是等腰三角形结论：角平分线+平行线 等腰三角形我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是借助图形，比如在三角形中研究问题，上面问题如果放在三角形中，我们可以作三角形中一个角的角平分线，然后过角平分线上一点，作这个角的一边的平行线。