2021版新高考数学一轮复习第七章数列7.1数列含递推公式ppt课件新人教B版
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.数列的概念 (1)数列的定义：按照_一__定__顺__序__排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫 做这个数列的_项__. (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限 子集{1，2，…，n})为_定__义__域__的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次 取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法，它们分别是_列__表__法__、_图__象__法__和_解__析__法__.
4 16 16 16 16
2.选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6 项. 3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1 来确定,所以D选项正确.
4.选D.由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-
A.2n-1 C. ( 2 )n－1
3
B. ( 3 )n－1
2
D. 1
2n－1
()
【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),
a 2 021
2 23
则
(
1
1
)]＝2(1
1
)＝2 021.
2 021 2 022
2 022 1 011
5.选A.因为an+1=an+ln(1 1 ),
n
所以an-an-1=ln(1 1=)ln (nn ≥2),
n-1 n-1
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
能没有通项公式.
(3)√.根据数列的前n项和的定义可知.
(4)×.因为数列是按一定顺序排列的一列数,如我班某次数学测试成绩,按考号从小到
大的顺序排列,这个数列肯定没有通项公式,所以(4)错误.
(5)√.在已知递推公式中,令n=1,得a2=
1 2a1－1
,而a2=1,解得a1=1,同理可得an=1.
【易错点索引】
【一题多解】选C.利用递推关系求出a1=2,a2=4,a3=8,易确定C.
2.由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1SSn1n,得1
1 Sn
1,
故数列 1是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则 =1-1-(n-1)=-n,
Sn
Sn
所以Sn=-
1 n
.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
2
B. D.an=cos(n-1)π+1
【解析】选C.对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin n 不合题意.
2
【规律方法】 1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊 数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
考点二 an与Sn的关系及其应用
【典例】1.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),则an= ( )
A.2n
B.2n-1
C.2n
D.2n-1
2.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)看到an与Sn的关系,想到利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为an
9
16
15
16
2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3 A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第2项 C.只是数列{an}中的第6项 D.是数列{an}中的第2项或第6项
()
3.数 3，－5 ，7 ，－ 9 ，…的一个通项公式为 ( )
2 4 8 16
A.an=(-1)n· 2n＋1
(3)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意的n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn. ( )
(4)所有数列的第n项都可以用公式表示出来. ( )
(5)若已知数列{an}的递推公式为an+1=
1 2a n－1
,且a2=1,则可以写出数列{an}的任
何一项. ( )
提示:(1)×.数列{an}是表示按照一定顺序排列的一列数,为a1,a2,a3,…,an,…,而集合 {a1,a2,a3,…,an}只表明该集合中有n个元素,数列中的项有顺序,集合中的元素没有顺序. (2)√.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式不一定唯一,可以有多个,有的数列可
a3=3+1,…,
an-an-1=(n-1)+1,以上等n(式n2＋相1）加,得an-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式
得an=a11n ＝+2n(+n23＋+1）…＝2+((n1n-1n)1+1n)，=
,
… …
所以1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＝2[(1－1 )＋( 1 1 )＋
a1 a2
2
2
此数列的通项公式可能是( )
A.a n
5n－4 2
6n－5 C.an 2
B.a n
3n－2 2ຫໍສະໝຸດ 10n－9 D.an 2【解析】选A.数列为 1 , 6 ,11,16 , 21 ,…,其分母为2,分子是首项为1,公差为5的等
22 2 2 2
差数列,故通项公式为an= 5n－4 .
2
3.(必修5P28练习BT3(1)改编 )根据如图所示的图形及相应的点数,写出点数构 成的数列的一个通项公式an=________.
【解析】由a1=1=5×1-4,a2=6=5×2-4,a3=11=5×3-4,…,归纳an=5n-4. 答案:5n-4
考点一 数列的有关概念及通项公式
【题组练透】
1.数列{an}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,
a
＝ n2 n (n－1）2
,则a3+a5=
(
)
A. 25
B. 25
C. 31
D. 61
1011
D. 2021
1011
5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ ln(1＋1 ) ,则an=( )
n
A.2+ln n
B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n
D.1+n+ln n
【解析】1.选D.因为an= (n n21(）n2 ≥2),所以a3=
,a594=
,
25 16
所以a3+a5=9 ＋25＝36＋25＝61.
经检验a1=4不适合an=2n+1, ··················检验
故
····················结论
答案:
【规律方法】 1.已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当
1 n
1 n 1
,1
n(n 1）
故
【答题模板微课】本例题2的模板化过程:
建模板:当n=1时,a1=S1=-1,················
求首项
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
1 n
1 n 1
1,
n(n 1）
·····························作差求通项
经检验a1=-1不适合 an
(n≥2),则a5等于
(
)
A. 3 B. 5 C. 8 D. 2 235 3
【解析】选D.
a
2＝1＋(
1)2 a1
＝2，a
3＝1＋(
1)3 a2
＝
1，a 2
4＝1＋(
1)4 a3
＝3，a
5＝1＋(
1)5 a4
＝2 3
.
2.(必修5P31习题2-1AT6改编
)
数列{an}的前几项为
1 2
,3, 11 ,8, 21 ,…,则
【变式训练】 1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式是________.
【解析】当n=1时,a1=S1=2-3=-1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)= 2n-2n-1=2n-1.当n=1时不满足,故 答案:
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=
(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③各项的符号特征和绝对值特征; ④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系; ⑤对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1, k∈N*处理.
2.递推公式推导通项公式的方法
(1)累加法:an+1-an=f(n).
n≥2时an的表达式. (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.
2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
2n
B.an=(-1)n· 2n＋1
2n
C.an=(-1)n+1· 2n＋1
新课标2023版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法课件
所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝n＋n 1·n－n 1·nn－ －21·…·23＝n＋2 1．
2，n＝1， 所以 an＝2nn－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的步骤 (1)利用 a1＝S1 求出 a1． (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)检验 n＝1 时的值是否符合 n≥2 时的表达式，再写出通项公 式 an．
式 an＝59(10n－1)．
1．错误地表示符号规律致误：项正负相间的数列可以用(－1)n， (－1)n＋1 表示符号，要分清是先负后正还是先正后负．
2．未对项变形致误：若已知的项的形式不统一，则不便求通项 公式，因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式，如题 (3)．
3．求通项公式时要注意联想：对于如题(4)这样的数列，可以通 过联想 10,100,1 000，10 000→9,99,999,9 999→1,11,111,1 111 进而得 到通项公式．
考点2 由Sn与an的关系求通项——综合性
(1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n，则此数列的通项 公式为 an＝________．
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为 an ＝________．
3，n＝1， (1)2n－11 (2)2n－1，n≥2.
解：(1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的乘 积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式 an＝(－ 1)n·nn1＋1．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数 的乘积，故所求数列的一个通项公式 an＝2n－12n2n＋1．
人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列求和-2021版高三数学(新高考)一轮复习ppt完美课件(56页)
对于 C，因为12(n－1 1－n＋1 1)＝12·nn＋－11－nn＋－11＝n2－1 1. 对于 D，因为数列{21n＋2n＋3)是由一个等比数列{21n}与一个等差数列的和数列， 所以求数列{21n＋2n＋3}的前 n 项和可以用分组求和．故选 B、C、D．
(2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝___n_a_1＋__n__n_2－__1__d__＝___d2_n_2＋__(_a_1_－__d2_)n________.
第 5 章 第 4 讲 数列求 和-20 21版高 三数学 （新高 考）一 轮复习 课件(共 56张P PT)
第五章 数列
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题组一 走出误区 1．(多选题)下列列命题正确的是( BCD ) A．如果数列{an}的通项公式 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝a11－－aan B．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和 C．当 n≥2 时，n2－1 1＝12(n－1 1－n＋1 1) D．求数列{21n＋2n＋3}的前 n 项和可用分组求和
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知识梳理 • 双基自测
第五章 数列
第 5 章 第 4 讲 数列求 和-20 21版高 三数学 （新高 考）一 轮复习 课件(共 56张P PT)
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知识点一 公式法求和
2021版新高考数学一轮复习第七章数列7.5.2数列与函数不等式的综合问题课件新人教B版
4.已知函数f(x)=log2x,若数列{an}的各项使得2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4成
等差数列,则数列{an}的前n项和Sn=________. 世纪金榜导学号
【解析】1.选D.由题意a2,a3是x2-x-2 021=0的两根.
由根与系数的关系得a2a3=-2 021.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)求证:
S12＋S22＋＋Sn2
1 2
1 4n
.
【解题导思】
【解析】(1)因为an=-2Sn·Sn-1(n≥2),
所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1.
两所所边以以同数1 除列以+{1S(1Snn是n}-·1以)S·n-d1S,1=得1 =22+Sa11n为12(首nS=1n-项211 (),n以=≥2dn2=),,2为公差的等差数列,
4 422
4nn 4 4 2
4 n 1 n 2 4n
当n=1时,S12
1 4
1 2
1. 4 1
综上,
S12＋S22＋＋Sn2
1 2
1. 4n
【规律方法】数列与不等式的综合问题 (1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列 对应的函数的单调性比较大小. (2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值. (3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有 时也可通过构造函数进行证明.
可得b1=1,q=2, 所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1. 由等比数列前n项和公式可得Tn=2n-1. 结合选项可知,只有D正确.
【综合创新·练】
若定义在R上的函数y=f(x)是奇函数且满足f ( 3 x) =f(x),f(-2)=-3,数列
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 复习课 第1课时 数列
1-q
1-q
(1)通项公式的推广:an= amqn-m (n,m∈N+).
(2)若 s+t=p+q=2k(s,t,p,q,k∈N+),则 asat= apaq =2 .
等比数列
的常用性
质
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则
{λan},
1
2
,{
},{a
nbn},
式
上述关系式为这个数列的一个通项公式
如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项
数列的递推公
以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数
式
列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)
一般地,给定数列{an},称Sn= a1+a2+a3+…+an 为数列{an}
的前n项和.由数列的前n项和为Sn,求其通项公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和
n(a 1 +a n )
n(n-1)
2
2
Sn=
或 Sn=na1+
d
(1)通项公式的推广:an= am+(n-m)d (n,m∈N+).
(2)若数列{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则
ak+al=am+an.
(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差
【例 3】 已知数列{an}满足
解:在
1
1 +1
an+1= an+
两边分别乘以
3
2
n
2025届高中数学一轮复习课件：第七章 第1讲数列的概念及简单表示(共73张ppt)
S1 ，n＝1，
Sn－Sn－1
，n≥2.
高考一轮总复习•数学
第9页
常/用/结/论 在数列{an}中，若 an 最大，则aann≥≥aann＋－11；， 若 an 最小，则aann≤≤aann＋－11，. 数列中求最值的方法．
高考一轮总复习•数学
第10页
1．判断下列结论是否正确． (1)1,2,1 和 1,1,2 是同一个数列．( ) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( ) (4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对任意 n∈N*，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
高考一轮总复习•数学
(1)解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2，① ∴当 n≥2 时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－2 1，② ①－②得，2n－1an＝12，∴an＝21n(n≥2)，③ 又∵a1＝12也适合③式，∴an＝21n(n∈N*)．
第28页
高考一轮总复习•数学
高考一轮总复习•数学
第17页
(3)将原数列改写为49×9，49×99，49×999，…，易知数列 9,99,999，…的通项为 10n－1， 基础数列推广到其他形式．
2021版新高考数学一轮复习第七章数列7.4数列求和课件新人教B版
提示:(1)√.因为数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为Sn =
(2)√.因为sin21°+sin289°=sin22°+sin288°=sin23°+sin287°=1,所以
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°可用倒序相加求和.
【解析】由题知cn =an ·bn =(2n+1)2n-1,………………………………写通项
故Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1,……………………写前n项和 2Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n,…………………………乘公比 上述两式相减得,-Tn=3+22+23+…+2n-(2n+1)×2n ………………错位相减
(3)2+4+6+8+…+2n=_n_2+_n_.
(4)12+22+…+n2=______________.
(5)13+23+33+…+n3=____________.
【知识点辨析】 ꢀ(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果数列{a}为n 等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为S= n
.(ꢀꢀ)
命题角度2 与裂项相消求和有关的综合问题
【典例】已知函数y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标
分别是等差数列{an}的第二项与第三项,若bn=
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7-1数列的概念与简单表示-学生版
专题7.1数列的概念与简单表示练基础1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n =a n-1+a n-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（）A ．6B ．7C ．8D ．92．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（）A ．递推公式也是数列的一种表示方法B ．a n =a n-1，a 1=1(n ≥2)是递推公式C ．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法D ．a n =2a n-1，a 1=2(n ≥2)是递推公式3．（2019·绥德中学高二月考）数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2015S =A ．1008B ．2015C ．1008-D ．504-4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列{}n x 中，212n n n x x x +++≤，1n ≥，设其前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．()1012110x x x x -≥-B ．1101011099x x S x x +≤≤+C ．122kk x x x +≤D ．若11n n n x x n +-=+，则1(1)2n n n n S nx ++>-5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列{}n a 的首项13a =，且122n n a a -=-()2n ≥，则2021a =（）A ．3B ．43C ．12D ．2-6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n 行黑圈的个数为n a ，则6a =（）A ．55B ．58C ．60D ．627．（2021·河南高三其他模拟（文））数列{}n a 满足递推公式21++=+n n n a a a ，且12a a =，201920202020a a ⋅=，则222122019a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．1010B ．2020C ．3030D ．40408.（2019·浙江高考模拟）已知数列{}n a 满足10a >，114a =，2112n n n a a a +=+，数列{}n b 满足0n b >，112b a =，21112n n n b b b ++=+，*n N ∈若存在正整数(),m n m n ≤，使得14m n b b +=，则（）A．10,12m n ==B．9,11m n ==C．4,6m n ==D．1,3m n ==9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2019S =______．10.（山东省单县第五中学月考）数列{}n a 的通项()()*10111nn a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.练提升1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列{}n a 满足123232nn a a a na ++++= ，则239101229444a a a a a a +++ 的值为（）A ．710B ．1310C ．95D ．9202．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 中必存在值为1的项．若01a =，则5a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43.（2021·辽宁高二月考）设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n +=∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,3]B ．(1,3)C ．()2,3D ．3(1,24．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（）A ．1270a =B ．1384a =C ．当n 为偶数时，1121n n n S S S n +--+=+D ．当n 为奇数时，()1121n n n S S S n n +--+=>5．（2020·四川高一期末（理））已知数列{}n a 满足2*12222()n n a a a n n N +++=∈ ，2211log log n n n b a a +=⋅，n S 为数列{}n b 的前n 项和.若对任意实数λ，都有n S λ<成立，则实数λ的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞D ．1[,)2+∞6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 满足()*5n n a a n +=∈N ，前n 项和为n S 满足()112nn n n S a =-+()316n n +-≤≤；数列{}n b 满足：11b =，且对任意的m ､*n N ∈都有：n m n m b b b nm +=++，则数列2n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第47项的值为（）A ．384B ．47C ．49D ．3767．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列{}n a 满足：1n a n=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，()ln 1n n n a b a +=，下列命题正确的是（）A ．11ln n n n a a n ++⎛⎫<<⎪⎝⎭B ．数列{}n b 是递增数列C ．202120201ln 2021S S ->>D ．ln 2ln 3n b ≤<8．【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{}n a ，121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，边长为斐波那契数n a 的正方形所对应扇形面积记为()*n b n ∈N ，则（）A ．()2233n n n a a a n -+=+≥B ．123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+C ．()2020201920182021π4b b a a -=⋅D ．123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列{}n a 满足()211232222n n n a a a a n n N *+++⋯+⋅∈﹣＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若51n n S a λ-≥恒成立，求实数λ的取值范围.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列{}n a 中，12a =，1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++.（1）求2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是1n a n =+，21n a n =+，2n a n n =+中的一个，设数列1{}na 的前n 项和为n S ，1{}n n a a +-的前n 项和为n T ，若360nnT S >，求n 的取值范围．练真题1．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+==∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S <<B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<2.（2019·浙江高考真题）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈,则（）A．当101,102b a =>B．当101,104b a =>C．当102,10b a =->D．当104,10b a =->3．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I 理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A．11010 B．11011C．10001D．110015．（2020·全国高考真题（文））数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =______________.6.（2021·全国高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.。
2023年新高考数学一轮复习7-1 数列的概念与简单表示(知识点讲解)含详解
专题7.1 数列的概念与简单表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）数列的概念1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几a.项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n2.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. （二）数列的分类（三）数列的通项公式： 如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（四）数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （五）a n 与S n 的关系数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：则11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩特别地，若a 1满足a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，则不需要分段． （六）数列的性质----主要指：（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；（2）数列的周期性.【常考题型剖析】题型一：数列的概念与通项公式例1.（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <例2．（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））删去正整数1，2，3，4，5，中的所有()*2N n n ∈数（如2，4，8等），得到一个新数列，则这个数列的第2021项是（ ） A ．2032 B ．2031C ．2030D ．2029【总结提升】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 题型二：数列的性质例3.（2020·全国·高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010 B ．11011 C ．10001D ．11001例4.（2022·北京·高考真题）己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．例5．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11n n n n a a a a ++=+，若{}n a 的前n 项和为n S ，且115511S S =，则21a a =__________ 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围． 【总结提升】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法 (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．3.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 题型三：由递推公式推导通项公式例7.（江西·高考真题）在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++例8.（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()112,22N n n a a a n n *+=-=+∈，则数列1na 的前2022项的和为___________. 例9．（北京·高考真题）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第k 棵树种植n n在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，11121555{1255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=． 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为___________．第2008棵树种植点的坐标应为______． 【总结提升】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-= （2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n na a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b n n 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 题型四：n a 与n S 的关系求通项n a例10. （2022·青海西宁·二模（理））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，1221n n a S n ++=+，则2022S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2024例11．（2021·全国高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．例12．（2016·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S = ，求λ． 【规律方法】已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．．专题7.1 数列的概念与简单表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）数列的概念1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几a.项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n2.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. （二）数列的分类（三）数列的通项公式： 如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（四）数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （五）a n 与S n 的关系数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：则11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩特别地，若a 1满足a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，则不需要分段． （六）数列的性质----主要指：（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；（2）数列的周期性.【常考题型剖析】题型一：数列的概念与通项公式例1.（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <【答案】D 【解析】 【分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确. 故选：D.例2．（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））删去正整数1，2，3，4，5，中的所有()*2N n n ∈数（如2，4，8等），得到一个新数列，则这个数列的第2021项是（ ） A ．2032 B ．2031C ．2030D ．2029【答案】B【解析】 【分析】分析可得20211020312048+=<，由此可得出新数列第2021项的值. 【详解】1021024=，1122048=，且20211020312048+=<，故新数列的第2021项是正整数列中的第2031项，故新数列的第2021项是2031. 故选：B. 【总结提升】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 题型二：数列的性质例3.（2020·全国·高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A ．11010 B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义，逐一检验即可 【详解】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =， 511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C 【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.例4.（2022·北京·高考真题）己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④ 【解析】 【分析】 推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=， 因为20a >，解得23a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错； 当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对； 假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=， 所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.例5．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11n n n n a a a a ++=+，若{}n a 的前n 项和为n S ，且115511S S =，则21a a =__________ 【答案】1 【解析】【分析】根据11n n n n a a a a ++=+可得出数列{}n a 是周期为2的周期数列，利用周期数列求解即可. 【详解】因为正项数列{}n a 满足11n n n n a a a a ++=+， 所以111n n n n a a a a +++=，即1111n n a a ++=， 则12111n n a a +++=，因此211n na a +=，即2n n a a +=， 数列{}n a 是周期为2的数列，因此由115511S S =可得，()()12112155112a a a a a a ++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得21a a =，即211a a =， 故答案为：1.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围． 【答案】3λ>- 【解析】 【分析】根据递增数列的定义直接求解即可. 【详解】依题意对于*n N ∀∈ ，都有10n n a a +-> ， 即()()22110n n n n λλ+++--> ，21n λ>-- ，()max 213--=-n ，∴3λ>- ，故答案为：3λ>- . 【总结提升】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．3.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 题型三：由递推公式推导通项公式n n例7.（江西·高考真题）在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++--12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--ln 2n =+故选A. 例8.（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()112,22N n n a a a n n *+=-=+∈，则数列1na 的前2022项的和为___________. 【答案】20222023【解析】【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可. 【详解】由题意可知，满足112,22n n a a a n +=-=+， 当2n ≥时，()12122n n a a n n --=-+=， 21324314,6,8,,2n n a a a a a a a a n -∴-=-=-=-=，以上各式累加得，()()()()1213243124682n n n a a a a a a a a a a n -=+-+-+-++-=+++++.(22)(1)2n nn n +==+， 当1n =时，12,a =也满足上式，∴(1)n a n n =+，则1111(1)1n a n n n n ==-++. ∴数列1na 的前n 项和为1231111111111223111nn S a a a n n n n 1=+++=-+-++-=-=+++， ∴202220222023S =. 故答案为：20222023.例9．（北京·高考真题）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，11121555{1255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=． 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为___________．第2008棵树种植点的坐标应为______． 【答案】 (1,2) (3, 402) 【解析】 【详解】 T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k =1,2,3,4……)．一一代入计算得数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)．【总结提升】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-= （2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n na a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b n n 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，，解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）. 解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q+=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 题型四：n a 与n S 的关系求通项n a例10. （2022·青海西宁·二模（理））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，1221n n a S n ++=+，则2022S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2024【答案】C 【解析】 【分析】利用()12-=-≥n n n a S S n 化简可得出12(2)++=≥n n a a n ，则可求出答案. 【详解】当1n =时， 212221=1a S a +=+⇒，当2n ≥时，由1221n n a S n ++=+得1221n n a S n -+=-， 两式相减可得122+-+=n n n a a a ，即12n n a a ++=，所以1n a =，可得n S n =， 所以20222022S =. 故选：C.例11．（2021·全国高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【分析】 （1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb bb b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【详解】 （1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111nn n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 例12．（2016·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1λ=-．【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥，得到数列{}n a 的递推公式，即可得到{}n a 是等比数列及{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用λ表示前n 项和n S ，结合n S 的值，建立方程可求得λ的值．试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此{}n a 是首项为，公比为的等比数列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.λ=-.解得1【规律方法】已知S n求a n的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．．。