基本初等函数图像与性质

五大基本初等函数性质及其图像

基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。

如，，，都是幂函数。

没有统一的定义域，定义域由值确定。

如,。

但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。

当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。

下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。

图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。

高等数学中常用的指数函数是时，即。

以与为例绘出图形，如图1-1-4。

图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。

当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。

与互为反函数。

当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。

以为例绘出图形，如图1-1-5。

图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。

对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。

它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。

图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。

周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。

在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。

图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数，定义域为[-1，1]，值域为，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数，定义域为，值域，为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。

九种基本初等函数图像及性质

九种基本初等函数图像及性质基本初等函数包括一次函数、平方函数、立方函数、根号函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数和正切函数等9种函数。

下面简单介绍它们的图像及性质。

一次函数的图像是一条直线，表达函数的形式为：y=ax+b(a≠0)，其中a表示斜率，b表示函数的截距，函数的性质是其增减性由斜率a决定。

平方函数的图像为一条凹凸不平的抛物线，表达函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0，此函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。

立方函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a≠0，函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。

根号函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=a√x+b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是常数变动，函数的解析式在a变动时它的单调性也由正负变化。

指数函数的图像是一条右倾的曲线，表达函数的形式为：y=axb，其中a、b为实数，a>0、b≠0，函数的性质是其单调性由a、b的正负决定，是增函数当a>0且b>0时，是减函数当a>0且b<0时。

对数函数的图像是一个右倾的曲线，表达函数的形式为：y=alogx + b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是变数变动，函数的解析式在x变动时它的单调性也由正负变化。

正弦函数的图像是一个周期性的曲线，表达函数的形式为：y=Asin（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质是其单调性由A的正负决定，是增函数当A>0时，是减函数当A<0时。

余弦函数的图像同正弦函数，表达函数的形式为：y=Acos（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质同正弦函数一样。

正切函数的图像为一个弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=tanx，其中x代表，函数的性质是函数的单调性变化于π/2，函数的解析式在x变动到π。

六大基本初等函数图像及其性质(总12页)

六大基本初等函数图像及其性质(总12页)抛物线函数 y = x^2- 图像为开口朝上的抛物线，顶点在原点(0,0)- 奇函数，即f(-x) = -f(x)- 定义域为全体实数，值域为[0, +∞)- 极值点为顶点(0,0)，不存在最大值和最小值- 函数单调递增且无拐点反比例函数 y = 1/x-tu.grid正比例函数 y = x- 图像为平面直线，通过原点(0,0)- 定义域为全体实数，值域为全体实数- 函数单调递增，无拐点- 斜率代表变化率，斜率越大表示变化速度越快，斜率为正则表示函数单调增加，斜率为负则表示函数单调减少指数函数 y = a^x (a>0且a≠1)- 图像为上凸曲线，通过点(0,1)- 定义域为全体实数，值域为(0,+∞)- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值加速增大或减小对数函数y = logₐ(x) (a>0且a≠1)- 反指数函数，图像和指数函数的图像呈镜像关系- 定义域为(0,+∞)，值域为全体实数- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值增长速度逐渐变慢三角函数 y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x)- 正弦函数图像为周期性上下波动的连续曲线，取值范围[-1, 1] - 余弦函数图像为周期性波动的连续曲线，取值范围[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数是周期性函数，周期为2π- 正切函数图像为周期性波动的连续曲线，定义域为实数集合-{(2n + 1)π/2 | n∈Z}，值域为全体实数这些基本初等函数的图像和性质对数学的学习和应用有着重要的作用，掌握这些函数的图像及其性质，有助于理解数学问题的规律，并能够在实际问题中进行分析和求解。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；21xy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1(1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1)n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnmaaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；3y1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1(1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

六大基本初等函数图像及其性质(可编辑修改word版)

1. 幂函数的图像：2. 幂函数的性质；性质函数定义域 y R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R O奇偶性奇偶奇 [0,+∞)x非奇非偶 {y|y ≠0}奇单调性增[0,+∞) 增 (-∞,0] 减增增(0,+∞) 减 (-∞,0) 减公共点（1,1）六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ y = C ）C ≠ 0 C = 0 yOxyxO平行于 x 轴的直线y 轴本身定义域 R定义域 R二、幂函数 y = x ， x 是自变量，是常数；1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为 x ∈ (-∞,+∞) ，他们的图形都经过原点，并当α>1 时在原点处与 x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去 x=0 的所有实数； 3）当α为正有理数m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的n定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果 m<n,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟 y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；(0,1) Oxb.1.当 a > 1 时，a 值越大， y = ax在（- ∞，+ ∞）是减函数在（- ∞，+ ∞）是增函数单调性公共点奇偶性 O值域非奇非偶性质定义域(0,1) R (0,1)过点(0，1)，即 x = 0 时， y = 15）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。

三、指数函数 y = a x( x 是自变量, a 是常数且a > 0 ， a ≠1)，定义域是 R ； [无界函数]1. 指数函数的图象：2. 指数函数的性质；yyx(0，+∞) Ox1）当 a > 1 时函数为单调增,当 0 < a < 1时函数为单调减； 2）不论 x 为何值, y 总是正的,图形在 x 轴上方；3）当 x = 0 时, y = 1,所以它的图形通过(0,1)点。

河南专升本六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y=C（其中C为常数）；αy=x y=x2y=x3R R RR[0,+∞)R奇偶奇增[0,+∞)增增(-∞,0]减y y=x2 y=x2x-1O1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ∈(-∞,+∞)，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数；3）当α为正有理数m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0,+∞），n 为奇数时函数的定义域为（-n∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数y =a x(x 是自变量,a 是常数且a >0，a ≠1)，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：y(0,1)Oy =ax(a >1)y =1xy =ax(0<a <1)y(0,1)Oy =1x2.指数函数的性质；1））当a >1时函数为单调增,当0<a <1时函数为单调减；2））不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方；3））当x =0时,y =1,所以它的图形通过(0,1)点。

⎩=*=3.（选，补充）指数函数值的大小比较a ∈N *；a.底数互为倒数的两个指数函数⎛1⎫xf (x )=a x，f (x )= ⎪⎝a ⎭的函数图像关于y 轴对称。

h (x )=3xf (x )=2xy(0,1)b.1.当a >1时，a 值越大，y =a x的图像越靠近y 轴；Ox⎛1⎫xg (x )= ⎪y⎝3⎭⎛1⎫xq (x )= ⎪b.2.当0<a <1时，a 值越大，y =a x的图像越远离y 轴。

(完整版)六大基本初等函数图像与性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。