椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)

椭圆焦点三角形面积公式的应用

性质1(选填题课直接用，大题需论证):

在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，

θ=∠21PF F ，则2

tan

221θ

b S PF F =∆.

证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得

.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212

22

1c r r r r =-+θ

配方得：.4cos 22)(2

21212

21c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242

212

c r r a =+-θ

.cos 12cos 1)(22

2221θ

θ+=+-=∴b c a r r

由任意三角形的面积公式得：

2tan 2

cos 22cos

2

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θ

θ

θθ⋅=⋅=+⋅==

∆b b b r r S PF F .

.2

tan

221θ

b S PF F =∴∆

同理可证，在椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.

典型例题

例1 若P 是椭圆

164

10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.

例 2 已知P 是椭圆

19252

2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2

1

|

|||2121=

⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）

A. 33

B. 32

C. 3

D.

3

3 例3（04湖北）已知椭圆

19

162

2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）

A. 59

B. 779

C. 49

D. 49或7

79

答案：

例1 若P 是椭圆

164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.

解法一：在椭圆

1641002

2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，

∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212

22

1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(212

21=-+r r r r

.144340021=-∴r r 从而.3

256

21=

r r .3

36423325621sin 212121=⨯⨯==

∆θr r S PF F 解法二：在椭圆

1641002

2=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .3

3

6430tan 642

tan

221=

︒==∴∆θ

b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

例 2 已知P 是椭圆

19252

2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2

1

|

|||2121=

⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.

3

3 解：设θ=∠21PF F ，则2

1

|

|||cos 2121=

⋅=

PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92

tan

221=︒==∴∆θ

b S PF F

故选答案A.

例3（04湖北）已知椭圆

19

162

2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）

A.

59 B. 779 C. 49 D. 49或7

79 解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长

4

9

2=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92

tan

2

21=︒==∆θ

b S PF F ，又,7)2(2

1

21h h c S PF F =⋅⋅=

∆ 97=∴h ，.7

7

9=

h 故答案选D. 金指点睛

1(略). 椭圆

124

492

2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

2. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6