统计学第三章 课后习题

1.略

2 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：(1)女性；(2)工程师；(3)女工程师，(4)女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系？

解：设A =女性，B=H程师，AB =女工程师，A+B =女性或工程师

(1)P(A) = 4/12 = 1/3

(2)P(B) = 4/12 = 1/3

(3)P(AB) = 2/12 = 1/6

(4)P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 1/3 + 1/3 - 1/6 = 1/2

3. 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是0.06、0.09 ,而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军

火库的概率有多大。

解：本题考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清楚军火库只要一个爆炸就

可以，所以知军火库爆炸是几个事件的和事件.

P(A)=0.06+0.09=0.15

4. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会(即允许在第一次脱靶后进行第二次射

击)。某射击选手第一发命中的可能性是80%,第二发命中的可能性为50%。求该选手两发

都脱靶的概率。

解:设A =第1发命中。B =命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

P(B)= P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)

=0.8 氷+ 0.2 0.5 = 0.9

脱靶的概率=1-0.9 = 0.1

或(解法二)：P(脱靶)=P(第1次脱靶)>P(第2次脱靶)=0.2 >0.5 = 0.1

5. 已知某产品的合格率是98%，现有一检查系统，它能以0.98的概率准确的判断出合格品，

而对不合格品进行检查时，有0.05的可能性判断错误，该检查系统产生错判的概率是多少？

解：考虑两种情况，一种就是将合格品判断错误，概率为98%* (1-0.98) =0.0196另一种情况就是将不合格品判断错误，概率为( 1-98%) *0.05=0.001

所以该检查系统产生错判的概率是0.0196+0.001=0.0206

6. 有一男女比例为51:49的人群，一直男人中5%是色盲，女人中0.25%是色盲，现随机抽

中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率？

解：A二抽到男性，A2=抽到女性。B=抽到色盲

P(B)二P(A1)P(BAJ P(A2)P(BA2)

= 0.51 0.05 0.49 0.0025 = 0.026725

c、P(A1)P(B|AJ 0.5仔0.05 cc一“c

P(A1 B) = —— =-= 0.954163 if' 0.026725 P(B)

7.

根据这些数值，分别计算：

(1 )有2到5个(包括2个与5个在内)空调器出现重要缺陷的可能性。 (2 )只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 (3)有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 解：离散型随机变量的概率分布 8.

已知某地区男子寿命超过 55岁的概率为84%，超过70岁以上的概率为

63%。试求任

刚过55岁生日的男子将会活到 70岁以上的概率为多少？ 解：设A =活到55岁，B =活到70岁。所求概率为：

P(AB) P(B) 0.63 P(B|A)=

=

= =0.75

P(A)

P(A) 0.84

9. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产 管理流程后产品优质率达 95%的占四成，优质率维持在原来水平(即 80% )的占六成。该

企业利用新的生产管理流程进行一次试验， 所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者

会倾向于如何决策？

解:这是一个计算后验概率的问题。

设人=优质率达95%, A =优质率为80%, B =试验所生产的5件全部优质。 P(A) = 0.4, P( A )= 0.6 , P(B|A)=0.955, P(B| A )=0.85,所求概率为：

决策者会倾向于采用新的生产管理流程。 10. 某公司从甲、乙 丙三个企业采购了同一种产品，

采购数量分别占总采购量的

25%、30%

和45%。这三个企业产品的次品率分别为 4%、5%、3%。如果从这些产品中随机抽出一件， 试问：(1)抽出次品的概率是多少？ ( 2)若发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙厂的

概率是多少？

解：令A“ A 2、A 3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B 表示次品。由题意得：P(A" = 0.25, P(A 2)= 0.30, P(A 3)= 0.45; P(B|A i )= 0.04, P(BA 2)= 0.05, P(BA 3)= 0.03;因此，所求概率 分别为：

(1) P(B)= P(AJP(B| A0 P(A 2)P(B 〔A ?) P(A s )P(B| A 3)

=0.25X 0.04 + 0.30 X 0.05+ 0.45 X 0.03 = 0.0385

11.

某人在每天上班途中要经过 3个设有红绿灯的十字路口。 设每个路口遇到红灯的事件是

相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及 其期望值和方差、标准差。

P(A|B)=

P(A)P(B | A) _______ P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 0.30951

0.50612

=0.6115

(2) P(A 3 |B)=

0.45X0.03

0.25 0.04 + 0.30 0.05+ 0.45

0.03

0.0135 0.0385

=0.3506

解:据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p= 24/(24+36) = 0.4。

设途中遇到红灯的次数= X，因此，X?B(3 , 0.4)。其概率分布如下表:

期望值(均值)=1.2 (次)，方差=0.72，标准差=0.8485 (次)

12. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万

分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来

一年该保险公司将在该项保险中(这里不考虑保险公司的其它费用) ：

(1 )至少获利50万元的概率；

(2)亏本的概率；

(3)支付保险金额的均值和标准差。

解:设被保险人死亡数= X, X?B(20000, 0.0005)。

(1)收入=20000 X 50 (元)=100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X <10) = 0.58304。

(2 )当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为：

P(X>20) = 1 - P(X €0) = 1-0.99842 = 0.00158

(3)支付保险金额的均值= 50000 X E(X)

=50000 X 20000 X 0.0005 (元)=50 (万元)

支付保险金额的标准差= 50000 X o(X)

=50000 X (20000 X 0.0005 X 0.9995)1/2= 158074 (元)

13. 对上述练习题的资料，试问：

(1)可否利用泊松分布来近似计算？

(2)可否利用正态分布来近似计算？

(3)假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算？

解：(1)可以。当n很大而p很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，入= np=20000 >0.0005=10，即有X?P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。

(2)也可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。

本例中，np=20000 X 0.0005=10 , np(1- p)=20000 X 0.0005 X (1- 0.0005)=9.995 , 即有X?N(10,9.995)。相应的概率为：

P(X <10.5) = 0.51995, P(X<20.5) = 0.853262。

可见误差比较大(这是由于P太小，二项分布偏斜太严重)。

【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区

间点，这就是所谓的“连续性校正”。

(3)由于p= 0.0005，假如n=5000，贝U np = 2.5<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。

14. 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为 1.5的泊松分布求：

(1 )晚班期间恰好发生两次事故的概率；

(2 )下班期间发生少于两次事故的概率；

(3)连续三班无故障的概率。

解：(1) P(X=2)=P0ISS0N(2,1.5,0)=0.251021

(2)P(X < 1)=POISSON(1,1.5,1)=0.557825

(3)P(X=0) ? P(X=0) ? P(X=0)=[P0ISS0N(0,1.5,1)]A3=(0.2231)A3=0.111

15?假定X服从N=12 , n=7, M=5的超几何分布，求：

解：(1) P(X=3)=HYPGE0MDIST (3, 7, 5, 12) =0.4419

(2)P(X W 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

=HYPGEOMDIST (2, 7, 5, 12) +HYPGEOMDIST(1,7,5,12)+HYPGEOMDIST(0,7,5,12)

=0.2652+0.0442+0.0013=0.31061

(3)P(X>3)=1-P(X W 3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]

=1-(0.31061+0.4419)=1-0.75253=0.24747

16. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。

若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：(1)合格率是多少？ ( 2) 电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于0.9。

150 - 200

解: (1) P(X :150) = P(Z )= P(Z -1.6667) = 0.04779

30

合格率为1-0.04779 = 0.95221 或95.221 %。

(2)设所求值为K，满足电池寿命在200 ± K小时范围内的概率不小于0.9，即有：

P(|X -200 b： K)二P{| Z| = '翠：：:￡} _0.9

30 30

即: P{Z } _0.95 , K/30 > 1.64485,故K > 49.3456。

17. 某公司决定对职员增发“销售代表”奖，计划根据过去一段时间内的销售状况对月销售

额最高的5%的职员发放奖金。已知这段时间每人每月的平均销售额（元）服从均值为4000、方差为360000的正态分布，那末公司应该把“销售代表”奖的最低发放标准定为多少？

解：NORMINV（0.95,40000,600）=40986.91

18. 一个具有n =64个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。

⑴给出X的抽样分布（重复抽样）的均值和标准差

⑵ 描述x的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗？

⑶计算标准正态z统计量对应于X = 15.5的值。

⑷计算标准正态z统计量对应于X =23的值。

解：已知n=64，为大样本，卩=20, （T =16,

在重复抽样情况下，X的抽样分布的均值为

a. 20, 2

b.近似正态

c. -2.25

d. 1.50

19. 参考练习18题求概率。

⑴X <16;⑵X >23;⑶X >25;⑷.X落在16和22之间；⑸X <14。

解：a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.0013

20. 一个具有n =100个观察值的随机样本选自于J =30、二=16的总体。试求下列概率

的近似值：

（L）P（x?28）t ⑵尸（22」?26.8）：

⑶P（￡W2&2）；（4）P（x ? 27.0）a

解：a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.9699

21. 一个具有n =900个观察值的随机样本选自于J =100和'_10的总体。

⑴你预计X的最大值和最小值是什么？

⑵你认为X至多偏离丄多么远？

⑶ 为了回答b你必须要知道」吗？请解释。

解:a. 101, 99 b. 1 c.不必

22. 考虑一个包含X的值等于0, 1, 2,…，97, 98, 99的总体。假设X的取值的可能性是

相同的。则运用计算机对下面的每一个n值产生500个随机样本，并对于每一个样本计算X。

对于每一个样本容量，构造X的500个值的相对频率直方图。当n值增加时在直方图上会发生什么变化？存在什么相似性？这里n =2,n =5,n =10, n = 30和n =50。

解:趋向正态

23. 美国汽车联合会（AAA ）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、

金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个

4 口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News,

1999年5月11日）。假设这个花费的标准差是15美元，并且AAA所报道的平均每日

消费是总体均值。又假设选取49个4 口之家，并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。

⑴ 描述x （样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费）的抽样分布。特别说明X服从怎样

的分布以及X的均值和方差是什么？证明你的回答；

⑵ 对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率

呢？在209美元和217美元之间的概率呢？

解：a.正态分布，213, 4.5918 b. 0.5, 0.031, 0.938

24. 技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。每袋的平均重量标准为」二406克、标准差

为-10.1克。监控这一过程的技术人者每天随机地抽取36袋，并对每袋重量进行测量。现考虑这36袋奶粉所组成样本的平均重量X。

（1）描述X的抽样分布，并给出J x和二x的值，以及概率分布的形状；

⑵求400.8）；

（3）假设某一天技术人员观察到X二400.8 ,这是否意味着装袋过程出现问题了呢，为什么？

解：a. 406, 1.68,正态分布 b. 0.001 c.是，因为小概率出现了

25. 某制造商为击剑运动员生产安全夹克，这些夹克是以剑锋刺入其中时所需的最小力量

（以牛顿为单位）来定级的。如果生产工艺操作正确，则他生产的夹克级别应平均840牛顿，标准差15牛顿。国际击剑管理组织（FIE ）希望这些夹克的最低级别不小于800牛顿。为了检查其生产过程是否正常，某检验人员从生产过程中抽取了50个夹克作为一个随机样本进行定级，并计算X，即该样本中夹克级别的均值。她假设这个过程的

标准差是固定的，但是担心级别均值可能已经发生变化。

⑴ 如果该生产过程仍旧正常，则X的样本分布为何？

⑵假设这个检验人员所抽取样本的级别均值为830牛顿，则如果生产过程正常的话，

样本均值X < 830牛顿的概率是多少？

⑶ 在检验人员假定生产过程的标准差固定不变时，你对b部分有关当前生产过程的现

状有何看法（即夹克级别均值是否仍为840牛顿）？

⑷ 现在假设该生产过程的均值没有变化，但是过程的标准差从15牛顿增加到了45牛

顿。在这种情况下X的抽样分布是什么？当X具有这种分布时，则X < 830牛顿的概率

是多少？

解：a.正态 b.约等于0 c.不正常 d.正态，0.06

26. 在任何生产过程中，产品质量的波动都是不可避免的。产品质量的变化可被分成两类：

由于特殊原因所引起的变化（例如，某一特定的机器），以及由于共同的原因所引起的

变化（例如，产品的设计很差）。

一个去除了质量变化的所有特殊原因的生产过程被称为是无稳定的或者是在统计控制中的。剩余的变化只是简单的随机变化。假如随机变化太大，则管理部门不能接受，但只要消除变化的共同原因，便可减少变化（Demi ng,1982,1986;De Vor, Cha ng,和