试比较和中哪一个是高阶无穷小量
无穷小量的比较(4)全
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
2024/10/27
2
1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
2024/10/27
4
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
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2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
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'(x)
6
例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
北大高数(上)第1章习题
习题1-11. 下列函数是否相等,为什么? 函数 函数的概念 函数相同的条件222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域 函数 函数的概念 定义域和值域的概念211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须40x x -≥⎧⎨≠⎩ 即 4x x ≤⎧⎨≠⎩ 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤ 即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).3. 设1()1x f x x -=+,求1(0),(),().f f x f x-函数函数的概念 函数的基本运算解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++ 4. 设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.函数函数的概念 函数的基本运算解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩5. 设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 函数函数的概念 复合函数的概念解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====6. 求下列函数的反函数及其定义域:函数 反函数、复合函数 反函数的定义2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11x y x -=+解得11yx y-=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e 2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .(4)由31cos y x =+得cos x =又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.7. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:函数 函数的特性 有界性、单调性2(1); (2)ln 1xy y x x x==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+, 故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界.又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.8. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.函数 函数的概念 定义域、值域的概念图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h hS S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+ 由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为0tan 40)S .9. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?函数 基本初等函数 基本初等函数5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.习题1-21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:极限 数列极限的概念与性质 数列极限的定义1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1(2)cos π2n n x n -=,当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21nn n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 2. 对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:极限数列极限的概念与性质 数列极限的定义1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε==== 解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin 2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<. 当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数.(2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 3. 根据数列极限的定义，证明:极限 数列极限的概念与性质 数列极限的定义21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<,从而1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.4. 若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=,并举反例说明反之不一定成立.极限 函数极限的概念与性质 函数极限的定义证:lim 0n n x →∞=,由极限的定义知,0,0N ε∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<.而 n n x x a a ε-<-<0,0N ε∴∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<,由极限的定义知lim .n n x a →∞=但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,nn n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.5. 利用收敛准则证明下列数列有极限,并求其极限值:极限数列极限的概念与性质数列极限的定义1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +=<=.故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x +-==0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>,即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞=,则a =于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)n n n n n n nn n n x x x x x x x xx x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++， 解得1122a a +==(不合题意，舍去). 所以1lim 2n n x →∞=习题1-31. 选择题 （1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（D ）A.不存在B.∞C.0D.1（2）设()f x x =，则1lim ()x f x →=（B ） A.1- B.1 C.0 D.不存在（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（A ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）函数()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（D ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件 （5）设1()1x f x x -=-，则1lim ()x f x →=（D ） A.0 B.1- C.1 D.不存在 2.证明01lim arctanx x→不存在. 0000011lim arctan ,lim arctan ,2211lim arctan lim arctan ,1limarctan x x x x x x x x xx ππ+-+-→→→→→==-∴≠∴不存在。
2.4 无穷大量与无穷小量
时的有界量， 由于 g ( x ) 是 x → X 时的有界量，
0 ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x ) (x → X )
则存在常数 M > 0, 使得 g ( x ) ≤ M ( x → X )
从而
由于 f ( x ) = o(1) ( x → X )， 从而 lim M f ( x ) = M lim f ( x ) = 0,
记为α ~ β ( x → X )
(二) Def2.７: 二 ７
α和β为数列时同样定义. → 变化趋势下的两个无穷大量， 设 α 和 β 均是 x→ X 变化趋势下的两个无穷大量， α 且lim = A， x→X β 的低阶的无穷大量. (1)如果 = 0 则称 α 是 β 的低阶的无穷大量 A ， 的高阶的无穷大量. 或称 β 是 α 的高阶的无穷大量 记为 = o(β )(x → X) α 是同阶的无穷大量. (2)如果 ≠ 0 则称 α 与 β 是同阶的无穷大量 A ，
x →0
lim x = 0 +
lim ln x = 0
x →1
x = o ( 1 ) ( x → 0+ );
ln x = o ( 1 ) ( x → 1 );
e x = o ( 1 ) ( x → ∞ );
x → ∞
lim e x = 0
定义2.5 若 lim f ( x ) = ∞ , 则称 f ( x )是 x → X 时无穷大量 . 定义 x→ X
1 2 1 cos x ~ x , 2
x ~ ln(1 + x) ~ e 1,
x
当 x → 1 时,
ln x ~ x 1.
a x 1 ~ x ln a (a > 0, a ≠ 1) (1 + x )a 1 ~ ax (a ≠ 0 是常数 )
第六节--无穷小的比较精选全文完整版
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
(1 x)a 1 ~ a x (a 0), (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
存在
,则
lim
lim
.
证 lim lim( )
lim
lim lim
lim
.
类似地，乘法也有等价无穷小替换定理，即 若 ~ ,
(2) 若是 x 的无穷小 , 常取 1 为基本无穷小 ; x
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当 x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
4 lim x0
tan x
x
3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解 原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1
1 cos x
lim
2 x0 x(1 cos x )
1 lim
1 x2 2
2 x0 x 1 x
请详细说出什么是高阶无穷小
如果 lim b/a^n=常数，就说 b 是 a 的 n 阶的无穷小
当 li，记作 B=o(A); 如果 lim B/A=无穷大,就说 B 是比 A 低阶的无穷小；
如果 lim B/A=k(k 为不等于 0 和 1 的常数)，就说 B 是 A 的同阶非等价无穷小．
无穷小就是以数零为极限的 变量 。确切地说，当自变量 x 无限接近 x0(或 x 的绝对值无限增大)时，函数值 f(x)与零无限接近，即 f(x)＝0(或 f(x)＝0)，
另外 如果 a 和 b 等阶无穷小 那么有:a=b+o(b) 或者 b=a+o(a)
低阶无穷小
无穷小就是以数零为极限的变量。 确切地说， 当自变量 x 无限接近 x0(或 x 的绝对值无限增大)时，函数值 f(x)与零无限接近，即 f(x)＝0(或 f(x)＝0)， 则称 f(x)为当 x→x0(或 x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)＝(x－1)2 是当 x→1 时的无穷小量，f(n)＝是当 n→∞时的无穷小量，f(x)＝sinx 是当 x→0 时的无 穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。 假设 a、b 都是 lim 的无穷小
则称 f(x)为当 x→x0(或 x→∞)时的无穷小量。
例如，f(x)＝(x－1)2 是当 x→1 时的无穷小量，f(1/n)＝是当 n→∞时的无穷 小量，f(x)＝sinx 是当 x→0 时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小 切不可把很小 的数与无穷小量混为一谈。 的数与无穷小量混为一谈 。 这里值得一提的是，无穷小是可以比较的： 假设 a、b 都是 lim 的无穷小 如果 lim b/a=0，就说 b 是比 a 高阶的无穷小，记作 b=o（a） 比如 b=1/x^2， a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b 时刻都比 a 更快地趋 于 0，所以称做是 b 高阶。假如有 c=1/x^10,那么 c 比 a b 都要高阶，因为 c 更快地趋于 0 了
考研数学-专题4 无穷小量阶的比较
(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（
）
0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n
经济数学(微积分)自测题
第一章 第一章 函数 自测题一、填空题(请将正确答案直接填在题中横线上):1．函数()(ln )f x f x =则的定义域为______________。
2．设1, 1()0, 1,(),[()] ,[()]1,1x x f x x g x e f g x g f x x ⎧<⎪=====⎨⎪->⎩则。
3．函数2, 0()2ln ln 2, 2x x f x x x x -≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩的反函数1()f x -＝________________。
4．设函数()f x 满足212()()1xf x x f x x +=+，则()f x ＝__________。
5．设(sin )cos 1.(cos )22x xf x f =+则=____________________。
二、选择题(请在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内)：1．函数2211x y x -=+的值域是（ ）。
(A) 11y -≤≤ (B) 11y -≤< (C) 11y -<≤ (D) 01y ≤≤ 2．()sin ()xf x xex -=-∞<<+∞是（ ）。
(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 奇函数 3．设x ∈（－1，1），则1()lg1xf x x -=+（ ）。
(A) 既是奇函数，又是单调减函数 (B) 既是奇函数，又是单调增函数 (C) 既是偶函数，又是单调增函数 (D) 既是偶函数，又是单调增函数4．设22,0(), 0x x e x x f x e x x ππ⎧--<<⎪=⎨+≤<⎪⎩，在其定义域内为（ ）。
(A) 无界函数 (B) 周期函数 (C) 单调函数 (D) 偶函数 5．已知函数()f x 在(,)-∞∞上单调减，则下列函数中单调增的是（ ）。
(A) 2()f x (B) 1()f x (C) ()f x - (D) ()xf x三、充分判断题：解题说明：本题要求判断给出的条件能否充分支持题干陈述的结论。
无穷小量与无穷大量阶的比较.ppt
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
0 证 设函数 u 在 U ( x , ) 内有界， 0 1
则 M 0 , 0 , 使得当 0 x x 时 1 0 1 恒有 u M .
又设 是当 x x 时的无穷小 , 0
0 , 0 , 使得当 0 x x 时 2 0 2 恒有 . M
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
o ( ), lim 1, lim 0 , 即
o ( ) 于是有 o ( ).同理也有
一般地有
即α与β等价
~ o ( )
α与β互为主要部分
3.5 无穷小量与无穷大量
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有 理论价值，值得我们单独给出定义
1 1 1 lim . 当 0 x 1 时 , 就有 M . x 1 x 1 M x1
x x 0
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线 x x 是函数 y f ( x ) 0 的图形的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
取 min{ , }, 则当 0 x x 时 , 恒有 1 2 0 u u M , M
当 x x 时 , u 为无穷小 . 0
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
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习题2-3
9. 试比较)(x α和)(x β中哪一个是高阶无穷小量?
(1) x x x 10)(3+=α, 4)(x x =β, 当0→x 时;
解: 010
lim 10lim )()(lim 23
03400=+=+=→→→x x x x x x x x x x αβ，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. （4）()
x α=1()1x x β=-, 当x →+∞时;
解: ()lim lim lim (1
()x x x x x αβ→+∞→+∞
===-∞，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. 10．当0→x 时求下列无穷小量关于x 的阶：
（1）36x x +；
解：36333(1)x x x x x +=+ ，所以36x x +关于x 的阶为3.
（3
x = ，所以x x 的阶为1. 11. 用等价无穷小量替代法计算下列极限:
(1) x
x x x 7tan 5sin lim 2
0+→; 解: 7
575lim )775sin (lim 75sin lim 7tan 5sin lim 002020==+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 习题2-4
3.指出下列函数的间断点并说明其类型.若是可去间断点, 则补充定义函数值后使它连续.
(7) 2
31)(22+--=x x x x f ; 解: 1=x 是)(x f 的可去间断点，2=x 是)(x f 的第二类间断点.
因为2)
2()1(lim )1)(2()1)(1(lim )(lim 111-=-+=---+=→→→x x x x x x x f x x x . 1=x 是)(x f 的可去间断点, 定
义函数值2)1(-=f 后则)(x f 在1=x 处连续. 因为∞=-+=→→)
2()1(lim )(lim 22x x x f x x , 所以2=x 是)(x f 的第二类间断点. (9) x
e x
f -+=11
11
)(; 解: 1=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.
因为011lim )(lim 11
11=+=-→→--x x x e x f ，111lim )(lim 11
11=+=-→→++x x x e x f .。