无穷大量和无穷小量的比较
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无穷小量与无穷大量
x→2 →2
2
lim ( x + 3 x)
2
0 正解：∵ lim 正解 = = =0 ， x→2 x 2 + 3 x lim ( x 2 + 3 x) 10
x →2 x →2
x−2
lim ( x − 2)
x + 3x ∴ lim =∞ 。 x→2 x − 2
2
例.求下列极限
3x − 4 x + 2 ∞ （1） lim ( 型 ) 3 x→∞ 7 x + 5 x − 3 ∞ 3 4 2 − + 2 x x 2 x3 3x − 4 x + 2 解：※ 若 a0 ⋅b0 ≠ 0 ， m, n∈N + ，则 = 0 ； lim = lim 5 3 x→∞ 7 x 3 + 5 x − 3 x→∞ 7+ − 2 3 x ax 0 3 b , 当 m = n, 7 x + 5 x n−1 ∞ −3 （2） lim x n + a x +L型 0 ( + a) a0 2 1 x→ lim ∞ 3x − 4 xm−1 ∞ n = ∞, 当 m < n, +2 m x →∞ b x + b x +L+ bm 0 1 0, 当 m > n. 3 7 x +5x −3 解： lim =∞ 。 2 x→∞ 3 x − 4 x + 2
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 1.无穷小量
定义 1
若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 tan x 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
2
lim ( x + 3 x)
2
0 正解：∵ lim 正解 = = =0 ， x→2 x 2 + 3 x lim ( x 2 + 3 x) 10
x →2 x →2
x−2
lim ( x − 2)
x + 3x ∴ lim =∞ 。 x→2 x − 2
2
例.求下列极限
3x − 4 x + 2 ∞ （1） lim ( 型 ) 3 x→∞ 7 x + 5 x − 3 ∞ 3 4 2 − + 2 x x 2 x3 3x − 4 x + 2 解：※ 若 a0 ⋅b0 ≠ 0 ， m, n∈N + ，则 = 0 ； lim = lim 5 3 x→∞ 7 x 3 + 5 x − 3 x→∞ 7+ − 2 3 x ax 0 3 b , 当 m = n, 7 x + 5 x n−1 ∞ −3 （2） lim x n + a x +L型 0 ( + a) a0 2 1 x→ lim ∞ 3x − 4 xm−1 ∞ n = ∞, 当 m < n, +2 m x →∞ b x + b x +L+ bm 0 1 0, 当 m > n. 3 7 x +5x −3 解： lim =∞ 。 2 x→∞ 3 x − 4 x + 2
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 1.无穷小量
定义 1
若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 tan x 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
无穷小量与无穷大量 阶的比较
设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 恒有 f ( x ) > , ε 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0.
x → x0
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
注
①此定理对于数列同样成立 ②此定理证明的基本原则： 此定理证明的基本原则：
lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x )
③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数 可推广到任意有限个具有极限的函数 ④ (2)有两个重要的推论 有两个重要的推论
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
无穷大量与无穷小量
故当 x → +∞ 时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较 不能比较.
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
无穷小无穷大
即lim 2 arctan x 0
x ?
即lim arctan x
x ?
2
1 只有当x ,即 lim x 2 arctan x
作
业
习题二 (P73) 5. 6.（3）（4） 7.（3）（4）
一.无穷小量
极限为 0 的变量称为无穷小量，简称无穷小。 性质1： 性质2： 性质3： 推论：
推论2：常数因子可以提到极限号外，即：lim cy = c lim y （ c 为常数）。 推论3：如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y n (limy)n 如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y (limy )
1 n 1 n
f(x) 法则3：若 lim f(x) = A， limg(x) = B 0，则 lim 存在， g(x) f(x) lim f (x) A 且 lim g(x) lim g( x ) B
x x0 x x0
a0 x n a1 x n1 ... an f ( x0 ) 0 0
3 x 1 (注：对于有理分式函数，首先 例2：求 lim 2 x2 x 6 要验证分母极限是否为零。)
解： 因为 lim( x 2 6) (lim x )2 lim 6 22 6 10 0
大。因此，无穷大可有如下定义： 若 正数 M（无论多么大），变量 y 在某变化 过程中，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有 | y |>M 成立，则称变量 y 在该变化过程中为无穷大。
练习:
1 当x ?时, 是无穷小量. ln(3 x )
1 解:若 是无穷小, 则 ln(3 x )应该为无穷大. ln(3 x )
3 无穷大量与无穷小量
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（一）无穷大量与无穷小量的概念
3. 极限的充分必要条件
定理25(极限的充分必要条件) 变量y以A为极限的充分必要条件是 变量y可以
表示为A与一个无穷小量的和 即
lim yAyA 其中lim 0
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常用的等价无穷小
当x 0时
(1) x ～sin x～ tan x～ arcsin x～ arctan x～ex 1～ ln(1 x)
(2) 1 cos x ～ x2 ， n 1 x 1～ x
2
n
例7. 求 lim tan x sin x x0 sin3 x
x
因此x sin 1 仍是无穷小.lim x sin 1 0
x
x0
x
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（二）无穷小量的比较
引例: 当x 0时, x,2x, x2 都是无穷小. x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 … →0 2x 2 1 0.2 0.02 0. 002 … →0 x2 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 … →0
常用的等价无穷小
当x 0时
(1) x ～sin x～ tan x～ arcsin x～ arctan x～ex 1～ ln(1 x)
(2) 1 cos x ～ x2 ， n 1 x 1～ x
2
n
例6. 求lim 3 1 xsin x 1. x0 arctan x2
解 因为 3 1 x sin x 1～~ 1 x sin x (x 0) arctan x2~x2 (x0)
无穷大量和无穷小量
f x 1. 若 lim 0， 则称 x x0 时 f x 是关于 g x x x0 g x
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设当 x x0 时，f x , g x 均是无穷小量 .
的高阶无穷小量，记作 或者g(x)是f(x)的低阶无穷小
f ( x ) o( g( x )) ( x x0 ) .
f ( x) f ( x) g( x ) lim lim lim 1 . x x0 h( x ) x x0 g ( x ) x x0 h( x )
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并 不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
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sin x 1 与 2 均为 x 时的无穷小量, 却不能 x x
应当注意, 下面运算的写法是错误的：
1 1 lim x sin lim x lim sin 0 . x 0 x x 0 x 0 x
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1 从几何上看，曲线 y x sin 在 x 0 近旁发生无 x
限密集的振动，其振幅被两条直线 y x 所限制.
y
0.1
§5 无穷大量与无穷小量
由于
x x0
lim f ( x ) 等同于 A
x x0
因 lim[ f ( x ) A] 0,
此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是
相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 分析”.
一、无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、无穷大量 四、渐近线
f ( x) 注 ： 阶 穷 不 意 同 无 小 一 定 lim 要 存 在 x x0 g ( x ) 2 sin x 1 如f ( x ) , g ( x) , x x f ( x ), g ( x )是x 时 无 小 但 的 穷 ， f ( x) lim 不 在 存 ， x x0 g ( x ) f ( x) 但 1 2 sin x 3. g ( x) 所 f 和 g是 x 时 同 无 小 以 的 阶 穷 量 . 前页 后页 返回
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设当 x x0 时，f x , g x 均是无穷小量 .
的高阶无穷小量，记作 或者g(x)是f(x)的低阶无穷小
f ( x ) o( g( x )) ( x x0 ) .
f ( x) f ( x) g( x ) lim lim lim 1 . x x0 h( x ) x x0 g ( x ) x x0 h( x )
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并 不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
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sin x 1 与 2 均为 x 时的无穷小量, 却不能 x x
应当注意, 下面运算的写法是错误的：
1 1 lim x sin lim x lim sin 0 . x 0 x x 0 x 0 x
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1 从几何上看，曲线 y x sin 在 x 0 近旁发生无 x
限密集的振动，其振幅被两条直线 y x 所限制.
y
0.1
§5 无穷大量与无穷小量
由于
x x0
lim f ( x ) 等同于 A
x x0
因 lim[ f ( x ) A] 0,
此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是
相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 分析”.
一、无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、无穷大量 四、渐近线
f ( x) 注 ： 阶 穷 不 意 同 无 小 一 定 lim 要 存 在 x x0 g ( x ) 2 sin x 1 如f ( x ) , g ( x) , x x f ( x ), g ( x )是x 时 无 小 但 的 穷 ， f ( x) lim 不 在 存 ， x x0 g ( x ) f ( x) 但 1 2 sin x 3. g ( x) 所 f 和 g是 x 时 同 无 小 以 的 阶 穷 量 . 前页 后页 返回
1.2.3无穷小量与无穷大量
我们曾学习过两种比较特殊的函数的极 限：一种是函数的极限为零，一种是函数的 极限为无穷大。这两种函数的极限在今后的 学习中经常用也很重要，我们单独把它们拿 出来，进一步分析研究。
1.2.3
无穷小量与无穷大量
定义 若函数 f ( x) 在 x 的某种趋向下以零为极限，
无穷小量简称为无穷小．
lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0) 则称函数 即： 如果 x x0 x f ( x) 是当 x x0 (或x ) 时的无穷小量
g ( x) f ( x) h( x) ， lim g ( x) lim h( x) A ，
x x0 x x0
则 lim f ( x) A .
x x0
3
lim f ( x) B ， 性质 1(惟一性) 若 lim f ( x) A ， 则A B.
x x0 x x0 x x0
1.2.4
极限的性质
性质 2(有界性) 若 lim f ( x) A ，则在 x0 的某个去心邻 域内 f ( x) 有界. 性质 3(保号性) 若 lim f ( x) A 且 A 0 （或 A 0 ） ，则
当x 时，函数f ( x) x2是正无穷大量 当x 时，函数f ( x) - x 2是负无穷大量
注
：
y
y
1 x
o
x
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
无穷小量与无穷大量的关系：
例：
1 பைடு நூலகம் lim 。 x 1 x 1
1.2.3
无穷小量与无穷大量
定义 若函数 f ( x) 在 x 的某种趋向下以零为极限，
无穷小量简称为无穷小．
lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0) 则称函数 即： 如果 x x0 x f ( x) 是当 x x0 (或x ) 时的无穷小量
g ( x) f ( x) h( x) ， lim g ( x) lim h( x) A ，
x x0 x x0
则 lim f ( x) A .
x x0
3
lim f ( x) B ， 性质 1(惟一性) 若 lim f ( x) A ， 则A B.
x x0 x x0 x x0
1.2.4
极限的性质
性质 2(有界性) 若 lim f ( x) A ，则在 x0 的某个去心邻 域内 f ( x) 有界. 性质 3(保号性) 若 lim f ( x) A 且 A 0 （或 A 0 ） ，则
当x 时，函数f ( x) x2是正无穷大量 当x 时，函数f ( x) - x 2是负无穷大量
注
：
y
y
1 x
o
x
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
无穷小量与无穷大量的关系：
例：
1 பைடு நூலகம் lim 。 x 1 x 1
9.27无穷小量与无穷大量.ppt5
§1.3 无穷小量和无穷大量
1.3 1.3.1 无穷小量
1.无穷小量的定义 1.无穷小量的定义
定义 1 若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的无穷小量，
简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 x 3 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
当 x → ∞ 时， 1 x2 是无穷小量。
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不 能与任何一个绝对值很大的常数如 101000 ，
− 10001000 等混为一谈。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
答：不一定。
1 例如： 例如 f ( x) = 2 x + ， g ( x) = −2 x ， 2x lim f ( x) = +∞ ， lim g ( x) = −∞ ，它们都是无穷大量，
注意
当 x → +∞ 时， e x 是正无穷大 正无穷大，记作 lim e x = +∞ ； 正无穷大 1 x→+∞ 的变化趋势。如 是当 x → 0 时的无穷大，但当 x + 当 x →0 时， ln x 是负无穷大 负无穷大，记作 lim ln x = −∞ 。 负无穷大 1 x→0 + x → ∞ ， 就不是无穷大，而是无穷小了。 x
x → xo
lim f ( x) = lim( A + α ( x)) = A + lim α ( x) = A 。
x → xo x → xo
1.3.2 无穷小量的阶
两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 2 例如，当 x → 0 时， x, 3 x, x , sinx, 1− cosx 都是无穷小，
1.3 1.3.1 无穷小量
1.无穷小量的定义 1.无穷小量的定义
定义 1 若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的无穷小量，
简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 x 3 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
当 x → ∞ 时， 1 x2 是无穷小量。
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不 能与任何一个绝对值很大的常数如 101000 ，
− 10001000 等混为一谈。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
答：不一定。
1 例如： 例如 f ( x) = 2 x + ， g ( x) = −2 x ， 2x lim f ( x) = +∞ ， lim g ( x) = −∞ ，它们都是无穷大量，
注意
当 x → +∞ 时， e x 是正无穷大 正无穷大，记作 lim e x = +∞ ； 正无穷大 1 x→+∞ 的变化趋势。如 是当 x → 0 时的无穷大，但当 x + 当 x →0 时， ln x 是负无穷大 负无穷大，记作 lim ln x = −∞ 。 负无穷大 1 x→0 + x → ∞ ， 就不是无穷大，而是无穷小了。 x
x → xo
lim f ( x) = lim( A + α ( x)) = A + lim α ( x) = A 。
x → xo x → xo
1.3.2 无穷小量的阶
两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 2 例如，当 x → 0 时， x, 3 x, x , sinx, 1− cosx 都是无穷小，