(完整版)概率的基本运算法则
概率计算公式详解
概率计算公式详解概率是描述事件发生可能性的数值，是一个介于0和1之间的实数。
概率计算公式是用来计算事件发生概率的数学公式。
本文将详细介绍概率计算公式，包括概率的定义、基本概率公式、条件概率公式和事件相互关系公式。
一、概率的定义概率是一个描述事件发生可能性的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
二、基本概率公式1.基本概率公式一：频率定义概率频率定义概率是通过实验统计数据来计算事件发生概率的方法。
当我们进行一定数量的实验，事件A发生的次数为n(A)，总实验次数为n时，频率定义概率P(A)可计算为P(A)=n(A)/n。
2.基本概率公式二：古典概率古典概率是在一定条件下利用概率的基本规律计算事件发生概率的方法。
对于一个有限的样本空间S，包含n个等可能的样本点，事件A包含m个有利结果，则古典概率P(A)可计算为P(A)=m/n。
3.基本概率公式三：几何概率几何概率是通过几何方法计算事件发生概率的方法。
当事件A是在一个图形空间中随机选择一个点时，落在事件A的面积与总图形面积之比即为几何概率P(A)。
三、条件概率公式条件概率是指在已知其中一事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率用P(A，B)表示。
条件概率公式可表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
四、事件相互关系公式1.互斥事件：如果事件A和事件B不能同时发生，则称两个事件互斥。
互斥事件的概率公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
2.独立事件：如果事件A的发生与否不受事件B的影响，事件B的发生与否不受事件A的影响，则称两个事件相互独立。
独立事件的概率公式为P(A∩B)=P(A)*P(B)。
四、概率计算的常用方法1.组合数计算法：对于涉及到计算事件发生数和总数的概率计算问题，可以使用组合数计算法来求解。
概率论计算公式总结
概率论计算公式总结概率论是研究随机事件发生的可能性的数学分支，它在各个领域都有广泛的应用。
在概率论中，有一些重要的计算公式，它们能够帮助我们计算出某个事件发生的概率。
本文将总结一些常用的概率论计算公式，并解释其应用场景和计算方法。
1. 概率的定义概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。
在概率论中，概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件A来说，其概率记为P(A)。
2. 加法法则加法法则是计算两个事件之和的概率的公式。
对于两个互斥事件A 和B来说，它们不能同时发生，因此它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
3. 乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
对于两个独立事件A和B来说，它们的概率之积等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
4. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 全概率公式全概率公式是一种利用已知条件概率来计算事件A的概率的方法。
假设有一系列互斥且穷尽的事件B1、B2、...、Bn，那么事件A的概率可以表示为P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + ... + P(A|Bn) × P(Bn)。
6. 贝叶斯公式贝叶斯公式是一种利用条件概率来计算事件B的概率的方法。
根据条件概率的定义，可以得到贝叶斯公式为P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A)。
其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
1-3概率的基本运算法则
数理统计
01-03-16
概率乘法公式 两个事件积事件的概率等于一
个事件的概率乘以这个事件发生的 条件下另一事件的条件概率，这就 是概率乘法公式。即
P(AB)=P(A)×P(B|A) (当P(A)>0时) P(AB)=P(B)×P(A|B) (当P(B)>0时)
数理统计
01-03-17
EXAMPLE In a large genetics study utilizing guinea pigs, 30% of the offspring produced had white fur and 40% had pink eyes. Tow-thirds of the guinea pigs with white fur had pink eyes. What is the probability of a randomly selected offspring having both white fur and pink eyes?
两两互不相容，则
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
数理统计
01-03-05
推论2 若有限个事件 A1,A2,…,An 之间，
两两互不相容，且 A1+A2+…+An=Ω， 则
P(A1)+P(A2)+…+P(An) =1
推论3 对立事件的概率满足
P(A) =1P( A )
数理统计
01-03-09
例 袋中有4只黑球和1只白球，每 次从袋中任意取出一球，并换入一 只黑球。连续进行，问第三次取出 的是黑球的概率是多少？
数理统计
概率的运算法则课件
解设
表示事件“第i次取到黑球”，
则所求即为
.
可以验证有： 此模型常被用作描述传染病的数学模型.
三、全概公式与贝叶斯公式
1. 全概公式
引例 一个仓库中堆放着甲、乙两个车间的相同 产品，各占70%和30% ，已知甲车间的次品率 为1% ， 乙车间的次品率为1.2% ，现从该仓库 任取一件产品，求取到次品的概率.
故
另解 考虑到 故
注 该题的两种解法较为典型： 前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较 繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用 了对立事件概率之和为1的性质，简化了计算.
例3 你的班级中是否有人有相同的生日？ 这一事件的概率有多大？
解 设A表示n个人组成的班级中有人生日相同. 并设人的生日在一年365天的每一天是等可能的， 则基本事件总数为365n ，但A的基本事件数不易确定. 而 的基本事件数为
2. 推广到更为一般的情形是: 将样本空间 按某种已知方式划分为有限个两
两互斥的部分 B1 ， B2 ，···， Bn，A是 中的任意 的事件，作为 的一部分， A也相应被划分为两两 互斥的有限个部分 AB1，AB2 ，···，ABn .
图示
如果能计算出A的各个子事件AB1，AB2 ，···，ABn 的概率P(AB1) ，P(AB2) ，···，P(ABn) ，而作为它 们的和事件A的概率
解 设A表示第一取得红球， B表示第二次取得白球, 则求P(B | A)
方法一 按定义 因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下4个球,其中 有两个白球,再从中任取一个,取得白球的概率为2/4,
所以
方法二 按乘法法则
由乘法法则 注 条件概率的计算方法：
(1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定 义求P(B|A)； (2) 当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出 P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).
概率运算法则
生日悖论
如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少 有两个人的生日相同的概率要大于50%。人数越多 概率越大，对于60或者更多的人，这种概率要大于 99%。
n 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
P 0.4114 0.4437 0.4757 0.5073 0.5383 0.5687 0.5982 0.6269 0.6545 0.6810 0.7305 0.7305 0.7533 0.7750
（二）运算法则——减法法则
结论
有多少剩女?
搜狐网在2011年12月份做了一个“今年，你还单身吗” 的随机调查，调查26-32岁的女性当前的婚姻状况。结 果如下： 婚姻状况 从未结婚 已婚 寡居 概率 ？ 0.555 ？ 根据减法法则： P(单身)=1-P(已婚)=1-0.555=0.445 离婚 ？
（三）运算法则——乘法法则
假设我们稍微改动一下实验，先掷白骰子， 再掷黑骰子，那么点数之和为3的事件概率是多少？
1.条 件 概 率
定义 事件C已经发生的条件下，事件A 发生的概率 记作 读作 P(A|C)
在给定C的条件下A的概率
为了前后一致，我们 把字母A、C换成字母 E、F吧。
思考
❶ P(E|E)=
P 0.9606 0.9658 0.9704 0.9744 0.9780 0.9811 0.9839 0.9863 0.9883 0.9901 0.9917 0.9930 0.9941
复 习
基本结果、样本空间 加法法则
概 率
减法法则
事 件
乘法法则
课后练习:你传染该病的概率有多大？
某地区一种罕见的疾病传染了1‰的人…… 这种疾病有一种尚好的检验方法：如果有人传染上这种病， 其检验结果有99%的可能性呈阳性。另一方面，其检验结果 也会产生一些虚假的阳性，未传染上的患者有2%的检验也 呈阳性。而你恰恰检验呈阳性，你传染该病的概率有多大？ （由于治疗这种疾病有严重的副作用，所以你和医生都希望 知道明确的答案。） 提示：事件A表示:患者得这种病； 事件B表示：检验呈阳性。
概率的加法法则和乘法法则
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如何进一步深化对概率的理解
学习更多概率论知识
深入学习概率论的基础知识，包括条件概率、独立性、贝 叶斯定理等，可以更深入地理解概率的加法法则和乘法法 则。
实践应用
通过解决实际问题和案例，将概率的加法法则和乘法法则 应用到实践中，可以更好地理解和掌握这些法则。
探索概率在各领域的应用
了解概率论在各个领域的应用，如统计学、经济学、生物 学等，可以更全面地理解概率的加法法则和乘法法则的重 要性和价值生的概率等于这两个事件概 率的和。
概率的乘法法则
当两个事件相互独立时，一个事件发生的概率乘以另一个事件发生 的概率等于这两个事件同时发生的概率。
意义
加法法则和乘法法则是概率论中的基本法则，它们在概率计算、组 合数学、统计学等领域有着广泛的应用。
对实际生活的指导意义
1 2 3
决策制定
在面对多个可能的结果时，可以利用加法法则和 乘法法则来计算各种结果发生的可能性，从而做 出更明智的决策。
风险评估
在评估多个可能的风险时，可以使用这些法则来 计算这些风险同时发生的概率，以便更好地管理 风险。
数据分析
在处理大量数据时，可以利用这些法则来分析数 据之间的关联性和独立性，从而发现数据中的规 律和趋势。
总结词
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率等于事件A和B同时发生的概率除以事件B发 生的概率。
详细描述
如果P(B)≠0，那么P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)。例如，在投掷一枚骰子出现3点的条件下， 再投掷一枚骰子出现偶数的概率为1/2÷1/2=1。
05
总结与思考
概率的加法法则和乘法法则的意义
概率的乘法法则
定义与公式
概率的基本概念与计算
概率的基本概念与计算概率是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
它用来描述一个事件发生的可能性，可以帮助我们做出合理的决策。
本文将介绍概率的基本概念以及如何进行常见的概率计算。
一、概率的定义概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性。
通常用一个介于0和1之间的数值表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
用P(A)表示事件A的概率。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率也被称为正则概率，适用于所有可能的事件都是等可能发生的情况。
计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的有利情况数，n(S)表示样本空间的大小。
2. 几何概率几何概率是指通过样本空间的几何形状和面积比例来计算概率。
当样本空间的形状为几何图形时，可以使用几何概率进行计算。
3. 统计概率统计概率是根据事件发生的频率来推测其概率。
当事件发生的次数逐渐增加时，频率会趋于概率值。
统计概率常用于实际观测和实验中。
4. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 独立事件的概率计算如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。
独立事件的概率计算公式为：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)三、概率的应用举例1. 抛硬币的概率假设一枚硬币是均匀的，即正面和反面的概率相等。
那么抛一枚硬币正面向上的概率是1/2。
2. 掷骰子的概率假设骰子是均匀的，即每个面的概率相等。
那么掷一次骰子出现1的概率是1/6。
3. 生日悖论生日悖论是指当人数达到一定程度时，至少两人生日相同的概率会显著增加。
假设有23个人在一起，那么至少两人生日相同的概率为50%以上。
4. 费马悖论费马悖论是指在一个圆内随机选择两个点，并计算它们之间的距离小于半径的概率。
基本概率公式
基本概率公式基本概率公式是概率论中的重要概念，用于计算事件发生的概率。
它可以帮助我们在面对不确定性的情况下，进行概率推断和决策。
基本概率公式可以形式化地表示为：P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|B') * P(B')，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B')表示事件B不发生的概率，P(A|B')表示在事件B不发生的条件下事件A发生的概率。
基本概率公式的应用非常广泛，下面将从几个方面介绍其应用。
1. 事件的独立性：当事件A和事件B相互独立时，即事件B的发生与事件A的发生无关时，P(A|B) = P(A)，P(A|B') = P(A')，基本概率公式可以简化为 P(A) = P(A) * P(B) + P(A') * P(B')。
2. 事件的互斥性：当事件A和事件B互斥时，即事件A的发生与事件B的发生不可能同时发生时，P(A|B) = 0，P(A|B') = 1，基本概率公式可以简化为 P(A) = P(A') * P(B')。
3. 条件概率的计算：当我们已知事件B发生的条件下，想要计算事件A发生的概率时，可以使用条件概率公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
4. 独立事件的乘法定理：当事件A和事件B相互独立时，P(A∩B) = P(A) * P(B)，基本概率公式可以简化为 P(A) = P(A) * P(B) + P(A') * P(B')。
基本概率公式的应用使我们能够在不确定的情况下，通过已知概率信息进行推断和决策。
例如，在进行投资决策时，我们可以根据过去的数据计算出不同投资方案的预期收益率，并根据基本概率公式计算出每个方案实现的概率。
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例1 假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能 的,班中有n名学生，试求有人生日是同一天的概率。
解: 他们生日都不相同的概率是
365 364 L (365 n 1)
365n
有人生日是同一天的概率是
p
1
365
364
(365 365n
n
1)
.
64 个人的班级里，有人生日是同一天的概率是
p
1
概率的加法公式
若事件A,B互不相容，P( A U B) P( A) P(B)
证明：仅就古典概型证明
设试验的样本空间的样本点数是n， 事件A,B包含的样本点数分别是a，b
因为事件A,B互不相容，没有公共的样本点， 所以，事件A U B 包含的样本点数是a+b P( A U B) a b a b P( A) P(B)
解 : (3) P(B A) P(B A) P(B AB) 6
P(B) P(AB) 3 8
例2 已知事件 A, B 满足 P( AB) P( A B), 且 P(A) p,求 P(B).
解： P( AB) P( A) P(B) P( A B) P( AB) P( A B ) P( A B) 1 P( A B) P( A) P(B) 1, P(B) 1 p
n nn
推广：任意有限个互不相容事件 A1, A2 , , An
P( A1 U A2 UL U An ) P( A1 ) P( A2 )L P( An )
推论1 任事件A，有 P( A) 1 P( A) 证： Q A U A , A I A
1 P() P( A) P( A)
P( A) 1 P( A)
A
不相容事件A与B-A的并：
A U B A (B A),
P( A U B) P( A) P(B A) P( A) P(B) P( AB)
推广至三个事件 (多除少补)
B
P(AU B UC) P( A) P(B) P(C )
P( AB) P(BC ) P( AC ) C
A
P( ABC )
365 364
(365 64 1) 36564
0.997 .
我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果:
推论2 A B, P( A) P(B),
B
P(B A) P(B) P( A).
证明: 如图所示，事件B是互不 相容事件A与B-A的并：
BA A
B A U (B A).
总结
(1) P( A U B) P( A) P(B) P( AB). 当A,B互不相容，即P( AB) 0,
P( A U B) P( A) P(B)
当B是A的对立事件，即 B A,
P( A) P( A) 1
(2) P(B A) P(B) P( AB) 当A包含于B，即AB=A，
P(B A) P(B) P( A)
例2 已知P(A) 1 , P(B) 1 ,求下列情况下P(B A)的值.
(1) A与B互斥
3 (2)A B
2 (3)P( AB) 1
8
解 : (1) Q A与B互斥 B A 从而B A P(B A) P(B A) P(B) P(A) 1
P(B) P( A) P(B A)
P(B A) P(B) P( A) 0
一般情况下，如图所示
B
P(B A) P(B AB) (Q AB B)
AB
P(B) P( AB)
A
A,B是任意两个事件，则 P( A U B) P( A) P(B) P( AB).
B
B A
证明 如图所示，事件 A U B是互