2020年四川省成都市石室中学高考数学适应性试卷(文科)(二)
2020年四川省成都市石室中学高考数学适应性试卷(文科)(二)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1. 在复平面内,复数
2+3i i
对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知集合A ={0,1,2,3,4},B ={x|x 2?6x +5<0},则A ∩B =( ) A. {0} B. {0,1} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4}
3. 设P 是△ABC 所在平面内一点,且BP ????? =2PC ????? ,则AP
????? =( ) A. 1
2AB ????? +3
2
AC ????? B. 32AB ????? +1
2
AC ????? C. 13AB ????? +2
3
AC ????? D. 23AB ????? +1
3
AC ????? 4. 命题“若a >b ,则a +c >b +c ”的否命题是( )
A. 若a +c ≤b +c ,则a ≤b
B. 若a ≤b ,则a +c ≤b +c
C. 若a +c >b +c ,则a >b
D. 若a >b ,则a +c ≤b +c
5. 从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛,选中1名男生和2名女生的概率为( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
6. 已知α为锐角,sin(α?π
4)=3
5,则sinα=( )
A. √210
B. 2√25
C. 3√25
D. 7√210 7. 已知f(x)=2cosx(√3sinx +cosx),将函数f(x)的图象向右平移π
3个单位长度,则平移后图象的对称
轴为( )
A. x =
kπ
2
,k ∈Z B. x =π12+kπ
2,k ∈Z C. x =π
4+kπ
2,k ∈Z
D. x =π
3+kπ
2,k ∈Z
8. 已知函数f(x)=?2
2x +1+2x ,若f(m)=2,则f(?m)=( )
A. 2
B. 0
C. ?2
D. ?4
9. 如图,在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中,E 是线段C 1D 上靠近C 1的三等分点,
则直线AD 1与直线BE 所成角的余弦值为( )
A. √2114
B. 5√714
C. √217
D. 2√77
10. 已知三棱锥A ?BCD 中,△BAC 和△BDC 是全等的等边三角形,边长为2,当三棱锥体积最大时,三棱
锥的外接球表面积为( )
A. 4π
B.
16π3
C.
20π3
D. 8π
11. 已知双曲线C :
x 2a 2
?y 2
b 2=1的右焦点为F ,过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若FH 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为( )
A. √6
2
B. 2
C. √3
D. √2
12. 设函数f(x)=lnx x
,若关于x 的不等式f(x)>ax 有且只有一个整数解,则实数a 的取值范围为( )
A. (
ln39
,
ln24
]
B. [
ln39
,
ln24
)
C. (
ln24
,1
2e ]
D. [
ln24
,1
2e )
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 已知函数y =f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y =?x +1,则f(1)+f′(1)=______. 14. △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若B =π
3,C =π
4,a =2,则△ABC 的面积为______. 15. 已知f(x)={2x +7,x <0lnx,x >0
,则不等式f(x)>1?x 的解集为______.
16. 已知直线l 与抛物线C :y 2=4x 相交于A ,B 两点(A 点在第一象限),OA ????? ?OB
?????? =?4,M 坐标为(4,0),当△ABM 的面积最小时,线段OA 的长度为______. 三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)
17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =n 2+n(n ∈N ?),数列{b n }为等比数列,且b 2=a 4,b 1+b 3=S 4.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式;
(2)若数列{b n }为递增数列,设c n =(?1)n a n ?b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .
18. 某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车,现有A ,B 两款车型,根据以往
现3年内(含3年)不换车,试通过计算说明,他应如何选择. 参考公式:K 2=n(ad?bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n =a +b +c +d .
19. 如图,已知△PCD 为直角三角形,PD ⊥CD ,A ,B 分别为PD ,PC 的中点,PD =2DC =2,将△PAB 沿
AB 折起,得到四棱锥P′?ABCD ,E 为P′D 的中点.
(1)证明:平面P′CD ⊥平面ABE ;
(2)当正视图方向与向量BA ????? 的方向相同时,P′?ABCD 的正视图的面积为√
3
4,求四棱锥P′?ABCD 的体
积.
20. 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆E :x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的离心率为√3
2
,A 为椭圆E
上位于第一象限上的点,B 为椭圆E 的上顶点,直线AB 与x 轴相交于点C ,|AB|=|AO|,△BOC 的
面积为√3.
(1)求椭圆E 的标准方程;
(2)设直线l 过椭圆E 的右焦点,且与椭圆E 相交于M ,N 两点(M,N 在直线OA 的同侧),若∠CAM =∠OAN ,
求直线l 的方程.
21.已知函数f(x)=ax?a
x
?lnx(a∈R).
(1)若f(x)是定义域上的增函数,求a的取值范围;
(2)若a>2
5
,若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1 22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=cosθ?√3sinθ y=sinθ+√3cosθ+2 (θ为参数),以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程; (2)若直线l1、l2的极坐标方程为θ=π 6(ρ∈R),θ=π 3 (ρ∈R),设直线l1、l2与曲线C的交点分别为M、 N(除极点外),求△OMN的面积. 23.已知a,b,c为一个三角形的三边长.证明: (1)b a +c b +a c ≥3; (2)(√a+√b+√c)2 >2. a+b+c 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解:∵2+3i i = (2+3i)(?i) ?i 2 =3?2i , ∴复数 2+3i i 在复平面内对应的点的坐标为(3,?2),位于第四象限. 故选:D . 利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数所对应点的坐标得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题. 2.【答案】C 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查了列举法、描述法的定义,一元二次不等式的解法,交集的运算,属于基础题. 可以求出集合B ,然后进行交集的运算即可. 【解答】 解:∵B ={x|1 3.【答案】C 【解析】解:由向量的运算法则可得:BP ????? =AP ????? ?AB ????? ,PC ????? =AC ????? ?AP ????? , ∵BP ????? =2PC ????? , ∴AP ????? ?AB ????? =2(AC ????? ?AP ????? ), 整理可得3AP ????? =AB ????? +2AC ????? 即AP ????? =1 3 AB ????? +2 3AC ????? 故选:C . 由向量的运算法则可得:BP ????? =AP ????? ?AB ????? ,PC ????? =AC ????? ?AP ????? ,代入已知式子化简可得. 本题考查向量加减混合运算,熟练掌握向量的运算法则是解决问题的关键,属基础题. 4.【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与它的否命题的应用问题,是基础题.根据命题“若p ,则q ”的否命题是“若¬p ,则¬q ”. 【解答】 解:命题“若a >b ,则a +c >b +c ”的否命题是 “若a ≤b ,则a +c ≤b +c ”. 故选:B . 5.【答案】C 【解析】解:记2名男生为A 1,A 2,3名女生为B 1,B 2,B 3, 所有的结果为:A 1A 2B 1,A 1A 2B 2,A 1A 2B 3,A 1B 1B 2,A 1B 1B 3, A 1B 2B 3,A 2B 1B 2,A 2B 1B 3,A 2B 2B 3,B 1B 2B 3,一共有10种情况, 符合条件的有:A 1B 1B 2,A 1B 1B 3,A 1B 2B 3, A 2B 1B 2,A 2B 1B 3,A 2B 2B 3,共6种情况, 所以概率为6 10=3 5, 故选:C . 记2名男生为A 1,A 2,3名女生为B 1,B 2,B 3,求出基本事件以及满足条件的事件,求出概率即可. 本题考查了列举法求概率问题,是一道基础题. 6.【答案】D 【解析】解:因为sin(α?π 4)=3 5, 所以√2 2 (sinα?cosα)=35 , 所以sinα?cosα= 3√2 5 ①,两边平方可得2sinαcosα=7 25, 所以sin 2α+cos 2α+2sinαcosα=32 25, 所以(sinα+cosα)2=32 25, 因为α为锐角, 所以sinα+cosα=4√2 5②, 由①②可得sinα=7√2 10 . 故选:D . 由已知利用两角差的正弦函数公式可得sinα?cosα= 3√2 5 ,两边平方可得2sinαcosα=7 25,进而可求 (sinα+cosα)2=32 25,结合α为锐角,可求sinα+cosα=4√25 ,即可求解sinα=7√210 . 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题. 7.【答案】A 【解析】解:f(x)=2cosx(√3sinx +cosx)=√3sin2x +1+cos2x =2sin(2x +π 6)+1, f(x)图象向右平移π 3个单位长度得到的解析式为y =2sin[2(x ?π 3)+π 6]+1=2sin(2x ?π 2)+1=?2cos2x +1, 令2x =kπ,则x =kπ2,k ∈Z . 所以对称轴为x =kπ2 ,k ∈Z . 故选:A . 利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换,余弦函数的图象和性质即可求解. 本题主要考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和余弦函数的图象和性质的应用,属于基础题. 8.【答案】D 【解析】解:根据题意,f(?x)=?22?x +1 ?2x = ?2?2x 1+2x ?2x , 则f(x)+f(?x)= ?2 2x +1 +2x +?2?2x 1+2x ?2x = ?2?2?2x 1+2x =?2, 则有f(m)+f(?m)=?2,又由f(m)=2,则f(?m)=?4; 故选:D . 根据题意,求出f(?x)的解析式,分析f(x)+f(?x)的值,则有f(m)+f(?m)=?2,变形可得答案. 本题考查函数值的计算,涉及函数的奇偶性的性质以及应用,属于基础题. 9.【答案】B 【解析】解:如图,连接BC 1,则∠C 1BE 为直线AD 1与直线BE 所成角, 设正方体的棱长为3,则BC 1=3√2,C 1E =√2,作EF ⊥CD ,连接BF ,可求得EF =2,BF =√10,所以BE =√BF 2+EF 2=√10+4=√14, 由余弦定理可得cos∠EBC 1= BE 2+BC 12?EC 1 22BE?BC 1 = 14+18?22×√14×3√2 = 5√7 14 . 故选:B . 可连接BC 1,从而得出∠C 1BE 为直线AD 1与直线BE 所成的角,可设正方体的棱长为3,然后可在△BC 1E 中,根据余弦定理求出cos∠C 1BE 的值. 本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形边的关系,余弦定理,考查了计算能力,属于基础题. 10.【答案】C 【解析】解:如图,当平面BAC ⊥平面BDC 时,三棱锥体积最大, 取BC 中点E ,连接AE 、DE ,则AE ⊥BC ,DE ⊥BC , 因为平面BAC ⊥平面BDC ,所以可证得AE ⊥平面BCD ,DE ⊥平面ABC , 取三角形BCD 的外心F ,作FM//AE ,则F 、M 、E 、A 四点共面, 取三角形ABC 的外心H ,过点H 作EF 的平行线交FM 于点O , 因为EF 垂直平面ABC ,则HO 垂直平面ABC , 于是点O 到A 、B 、C 、D 四点的距离相等, 所以点O 为三棱锥A ?BCD 外接球的球心. 连接OC ,可求得OF =HE =√3 3 ,CF = 2√3 3 , 所以R 2=OC 2=OF 2+CF 2=1 3+4 3=5 3, 所以外接球表面积为S =4πR 2= 20π3 . 故选:C . 判断当平面BAC ⊥平面BDC 时,三棱锥体积最大,取BC 中点E ,连接AE 、DE ,推出AE ⊥平面BCD , DE ⊥平面ABC ,取三角形BCD 的外心F ,作FM//AE ,则F 、M 、E 、A 四点共面,取三角形ABC 的外心H ,过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ,连接OC ,转化求解外接球的半径,然后求解表面积. 本题考查多面体及其外接球表面积的求法,训练了平面与平面垂直,求解几何体的外接球的半径是解题的关键,考查空间想象能力,逻辑推理以及计算能力,是中档题. 11.【答案】D 【解析】解:由题意可知,一渐近线方程为y =b a x ,则F 2H 的方程为y ?0=k(x ?c), 代入渐近线方程y =b a x ,可得H 的坐标为(a 2c , ab c ), 故F 2H 的中点M( c+ a 2c 2 ,ab 2c ), 根据中点M 在双曲线C 上, ∴( a 2 c +c)24a 2 ? a 2 b 24b 2 c 2 =1, ∴ c 2a 2 =2,故e =c a =√2, 故选:D . 设一渐近线方程为y =b a x ,则F 2H 的方程为y ?0=k(x ?c),代入渐近线方程求得H 的坐标,有中点公式求得中点M 的坐标,再把点M 的坐标代入双曲线求得离心率. 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 12.【答案】B 【解析】解:∵f(x)>ax 只有一个整数解,即a 只有一个整数解, 令g(x)= lnx x 2 ,则g(x)的图象在直线y =a 的上方只有一个整数解. 作出g(x)的图象, 由图象可知a 的取值范围为g(3)≤a ln39 ≤a < ln24 , 故选:B . 根据不等式f(x)>ax.分离参数,数形结合即可求解; 本题考查了方程的根与函数的图象的应用,属于基础题 13.【答案】?1 【解析】解:因为点M(1,f(1))是切点, 所以点M 在切线上,所以f(1)=0, 因为函数y =f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线的方程是y =?x +1,可得斜率为?1, 所以f′(1)=?1, 所以f(1)+f′(1)=?1. 故答案为:?1. 由M 为切点,可得f(1)=0,再由导数的几何意义可得切线的斜率为f′(1)=?1,可得所求和. 本题考查导数的几何意义,以及直线方程的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题. 14.【答案】3?√3 【解析】解:由题可知sinA =sin(B +C)=sin(π3+π4)=sin π3cos π4+cos π3sin π4=√32×√22+12×√22=√ 6+√24 , 由正弦定理可得a sinA =b sinB , 所以:b =a sinA ×sinB = √6+√2 4 √32 =3√2?√6, 可得:S =12 absinC =12 ×2×(3√2?√6)×√2 2 =3?√3. 故答案为:3?√3. 由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin A 的值,利用正弦定理可求b 的值,进而根据三角形的面积公式即可计算得解. 本题主要考查了两角和的正弦函数公式,正弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题. 15.【答案】(?2,0)∪(1,+∞) 【解析】解:当x <0时,2x +7>1?x ,即{x <0 2x +7>1?x , 解可得,?2 x +1>0, 所以g(x)在(0,+∞)单调递增,又g(1)=0, 所以g(x)>0的解集为(1,+∞). 所以不等式f(x)>1?x 的解集为(?2,0)∪(1,+∞). 故答案为:(?2,0)∪(1,+∞). 由已知结合函数的单调性及分段函数的性质,即可求解. 本题主要考查了不等式的求解,单调性的应用是求解问题的关键. 16.【答案】2√3 【解析】解:设l 的方程为x =my +n ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 联立抛物线方程可得y 2?4my ?4n =0, 所以有y 1+y 2=4m ,y 1y 2=?4n , x 1x 2= y 1 24 ? y 2 24 = (y 1?y 1)2 16 =n 2, OA ????? ?OB ?????? =x 1x 2+y 1y 2=n 2?4n =?4,所以n 2?4n +4=0, 解得n =2,设N(2,0), S △ABM =1 2MN ?|y 1?y 2|=|y 1?y 2|=√(y 1+y 2)2?4y 1y 2=√16m 2+32, 当m =0时,△ABM 的面积最小, 此时l 的方程为x =2, A 点的坐标为(2,2√2),OA =2√3. |OA|=√22+(2√2)2=2√3. 故答案为:2√3. 设l 的方程为x =my +n ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立抛物线方程可得y 2?4my ?4n =0,利用韦达定理以及向量的数量积,结合三角形的面积,求出三角形的面积的最小值,求出A 的坐标,然后推出结果. 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题. 17.【答案】解:(1)由已知当n =1时,2a 1=2S 1=2,∴a 1=1, 当n ≥2时,{ 2S n =n 2+n 2S n?1=(n ?1)2+(n ?1) , 则2a n =2n , 即a n =n(n ≥2), 故a n =n(n ∈N ?). 设等比数列{b n }的公比为q ,∵b 2=a 4=4,b 1+b 3=S 4=10, {b 1 q =4b 1(1+q 2)=10 ,解得{b 1 =2 q =2 或{b 1=8q = 12 ∴b n =2n 或b n =24?n . (2)由题意,得c n =(?1)n a n ?b n =(?1)n n ?2n =n ?(?2)n , ∴T n =1?(?2)+2?(?2)2+3?(?2)3+?+n ?(?2)n , ∴?2T n =1?(?2)2+2?(?2)3+?+(n ?1)?(?2)n +n ?(?2)n+1. 上述两式相减, 得3T n =?2+(?2)2+(?2)3+?+(?2)n ?n ?(?2)n+1=(?2)[1?(?2)n ] 1+2 ?n ?(?2)n+1=?23? 3n+13 ? (?2)n+1, ∴T n =?2 9? 3n+19 ?(?2)n+1. 【解析】(1)直接利用递推关系式的应用和等比数列的定义的应用求出数列的通项公式. (2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和. 本题考查的知识要点:数列的通项公式,乘公比错位相减法在数列求中的求和,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题. 由列联表可知:K 2 = 200×(50×70?30×50)2100×100×80×120 ≈8.33>6.635, 所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关; (2)记事件A 1,A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时,3年内(含3年)换车, 由表知P(A 1)=10 100+20 100+45 100=0.75, P(A 2)=15 100+35 100+40100=0.90, 因为P(A 1) 【解析】(1)根据题意填写列联表,由表中数据计算观测值,对照附表得出结论; (2)由互斥事件的概率和公式,计算出对应的概率值,比较大小即可. 本题考查了列联表与独立性检验问题,也考查了互斥事件的概率和计算问题,是中档题.19.【答案】解:(1)证明:由平面图形可知,AB⊥P′A,AB⊥AD, 又P′A∩AD=A,∴AB⊥平面P′AD,则AB⊥P′D. ∵E为P′D的中点,P′A=AD,∴AE⊥P′D. ∵AE∩AB=A,∴P′D⊥平面ABE, 又P′D?面P′CD,∴面P′CD⊥平面ABE; (2)由(1)知,AB⊥平面P′AD,则P′?ABCD的正视图与△P′AD全等, ∴S△P′AD=1 2×1×1×sin∠P′AD=√3 4 , ∴sin∠P′AD=√3 2 ,即∠P′AD=120°或60°. 由(1)可知,平面ABCD⊥平面P′AD, ∴P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上, 得点P′到平面ABCD的距离d=1×sin∠P′AD=√3 2 . ∴四棱锥P′?ABCD的体积V P′?ABCD=1 3×√3 2 ×1 2 ×(1 2 +1)×1=√3 8 . 【解析】(1)由已知证明AB⊥平面P′AD,得AB⊥P′D,再由E为P′D的中点,得AE⊥P′D,利用直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE,进一步得到面P′CD⊥平面ABE; (2)由已知求解∠P′AD=120°或60°,再求出P′到底面ABCD的距离,进一步得到四棱锥P′?ABCD的体积.本题考查平面与平面垂直的判定,空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题. 20.【答案】解:(1)因为e=√3 2,所以a=2√3 3 c,b=√3 3 c, 由|AB|=|AO|,得A(√3 2a,1 2 b)为BC的中点, 所以S△BOC=1 2 ?√3a?b=√3,即ab=2, 所以2√3 3c?√3 3 c=2,即c=√3,a=2,b=1, 所以椭圆的方程为x2 4 +y2=1; (2)由(1)可得A(√3,1 2 ),右焦点为(√3,0), 因为|AB|=|AO|,所以∠ABO=∠AOB,得∠AOC=∠ACO,又∠CAM=∠OAN, 得直线AM,AN的斜率互为相反数, 设直线AM:y?1 2 =k(x?√3), 联立椭圆方程x2 4 +y2=1,消去y, 可得(4k2+1)x2+4(k?2√3k2)x+12k2?4√3k?3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则√3x1=12k2?4√3k?3 4k2+1 , 所以x 1= 4√3k 2?4k?√3 4k 2+1 , 将k 换为?k ,同理可得x 2=4√3k 2+4k?√3 4k 2+1 , x 1+x 2= 8√3k 2?2√3 4k 2+1 ,x 1 ?x 2= ?8k 4k 2+1 , k MN =y 1?y 2x 1?x 2=k(x 1?√3)+12?[?k(x 2?√3)+1 2]x 1?x 2 =k(x 1+x 2)?2√3k x 1?x 2= 8√3k 3?2√3k ?2√3k(4k 2+1) ?8k = ?4√3k ?8k = √3 2 , 所以直线l 的方程为y =√3 2 (x ?√3), 即√3x ?2y ?3=0. 【解析】本题考查椭圆方程的求法,椭圆的简单性质,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力,是难题. (1)通过离心率,结合|AB|=|AO|,三角形的面积求出a ,b ,得到椭圆的方程; (2)设直线AM :y ?1 2=k(x ?√3),联立椭圆方程 x 24 +y 2=1,消去y ,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),求出M 、 N 的坐标,解出直线的斜率,然后求出直线l 的方程. 21.【答案】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a +a x 2?1 x = ax 2?x+a x 2 , ∵f(x)在定义域内单调递增,∴f′(x)≥0,即ax 2?x +a ≥0对x >0恒成立. 则a ≥x x 2+1恒成立.∴a ≥(x x 2+1)max ,∵x x 2+1≤1 2,∴a ≥1 2. 所以,a 的取值范围是[1 2,+∞).