2016_2017学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4

3.3 三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式S α±β和C α±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)[基础·初探]教材整理 积化和差与和差化积公式 阅读教材P 149内容，完成下列问题. 1.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].2.和差化积公式：设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y2，β＝x －y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y2cos x －y2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cosx ＋y2cosx －y2； cos x －cos y ＝－2sinx ＋y2sinx －y2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cosB.( )(2)sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sinB.( ) (3)cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) (4)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【精彩点拨】 在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.【自主解答】 (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝32cos 10°cos 50°cos 70°＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos 60°＋cos 40°·cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.[再练一题]1.求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值.【解】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用(2016·平原高一检测)已知cos α－cos β＝2，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值.【导学号：72010090】【精彩点拨】 解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解. 【自主解答】 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②∵sinα－β2≠0，∴由①②，得－tanα＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.[再练一题]2.(2016·银川高一检测)已知sin α＝－45，π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tanα2的值.【解】 ∵π＜α＜32π，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2＜α2＜34π，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sinα2cosα2＝－2. [探究共研型]三角函数公式在解决三角形问题中的应用探究1 【提示】 注意三角形中的隐含条件的应用，如A ＋B ＋C ＝π，a ＋b >c 等. 探究2 在△ABC 中有哪些重要的三角关系？ 【提示】 在△ABC 中的三角关系：sin(A ＋B )＝sin C ， cos(A ＋B )＝－cos C ， sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2， sin(2A ＋2B )＝－sin 2C ， cos(2A ＋2B )＝cos 2C .在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2.【精彩点拨】 利用和差化积进行转化，转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. 【自主解答】 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C2·cosB ＋C2＝2sin B ＋C2cosB ＋C2＋2sin B －C2cosB ＋C2＝2cosB ＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫sinB ＋C 2＋sinB －C 2＝4sin A2sin B2cos C2＝右边，∴原等式成立.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.[再练一题]3.在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2.【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )，即C 2＝90°－A ＋B2， ∴cos C 2＝sin A ＋B 2.∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B2·cos A －B2＋sin(A ＋B ) ＝2sinA ＋B 2·cosA －B 2＋2sinA ＋B2·cosA ＋B2＝2sinA ＋B 2⎝⎛⎭⎪⎫cosA －B2＋cosA ＋B 2＝2cos C 2·2cos A2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－B 2＝4cos A2cos B 2cos C2，∴原等式成立. [构建·体系]1.计算sin 105°cos75°的值是( ) A.12 B.14 C.－14D.－12【解析】 sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.【答案】 B2.sin 75°－sin 15°的值为( ) A.12 B.22C.32D.－12【解析】 sin 75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B. 【答案】 B3.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )【导学号：72010091】A.12B.14C.1D.22【解析】 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.∴取最大值14.【答案】 B4.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________.【解析】 sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.【答案】13305.化简下列各式：(1)cos A ＋cos 120°＋B ＋cos 120°－B sin B ＋sin 120°＋A －sin 120°－A ； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A. 【解】 (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos Bsin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos Bsin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sinB －A 22cos A ＋B 2sinB －A2＝tanA ＋B2.(2)原式＝sin A ＋sin 5A ＋2sin 3Asin 3A ＋sin 7A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋12sin 5Acos 2A ＋1＝sin 3Asin 5A.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.sin 37.5°cos 7.5°＝( ) A.22 B.24 C.2＋14D.2＋24【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14. 【答案】 C2.(2016·吉林高一检测)sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°＝( )A.14B.12C.2D.4【解析】 原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12sin 70°＝2cos 20°cos 20°＝2.【答案】 C3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A.－23B.－13C.13D.23【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β) ＝12(cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13.【答案】 C4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形【解析】 由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12cos(A －B )－12cos(A ＋B )＝1＋cos C 2， ∴12cos(A －B )＋12cos C ＝12＋12cos C ， 即cos (A －B )＝1， ∴A －B ＝0，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 【答案】 B5.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22C.32D.1【解析】 sin 20°＋s in 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C 二、填空题6.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是________. 【解析】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝12⎩⎨⎧cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋⎭⎬⎫cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋cos 4x ＝12cos 4x －14.∴取最大值14.【答案】 147.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________. 【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.(2016·日照高一检测)化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________.【导学号：72010092】【解析】 sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18° ＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°cos 18°＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝12.【答案】 12三、解答题9.(2016·济宁高一检测)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论.【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C 2. ∴y ＝tan A 2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2＝tan A 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 22cos B 2cos C 2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2. 因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变. 10.求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值. 【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，∴取最大值34，取最小值－14. [能力提升]1.若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )A.－2π3B.－π3C.π3D.2π3 【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数，∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：2sin α＋β2cos α－β2 ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin β－α2， ∴tan α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π3. 【答案】 D2.在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14 【解析】 cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1，∴cos A sin C ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 【答案】 C3.sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°＝________.【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋ 32sin 100°－32sin 60°＝14－12cos 40°－12cos 20°＋32sin 100° ＝14－12×2cos 30°cos 10°＋32cos 10° ＝14－32cos 10°＋32cos 10°＝14. 【答案】 144.已知3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12， ∴32⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－sin π6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋sin π6， ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12， ∴sin 2α＝1.。