概率论与数理统计
概率论与数理统计
第一章 概率论第一节 随机事件和概率一、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
（2）加法原理（两种方法均能完成此事）：n m +某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
（3）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：n m ⨯某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由n m ⨯种方法来完成。
（4）一些常见排列① 特殊排列② 相邻③ 彼此隔开④ 顺序一定和不可分辨【例1】 袋中有N 个球，其中M 个为白色，从中有放回地取出n 个：①N ＝10，M ＝2， n ＝3；②N ＝10，M ＝4，n ＝3．考虑以下各事件的排列数： (Ⅰ)全不是白色的球． (Ⅱ)恰有两个白色的球． (Ⅲ)至少有两个白色的球． (Ⅳ)至多有两个白色的球． (Ⅴ)颜色相同． (Ⅵ)不考虑球的颜色．解：①当M ＝2时，(Ⅰ)83． (Ⅱ)3³22³8． (Ⅲ)3³22³8＋23．(Ⅳ)3³22³8＋3³2³83＋83(或103－23)． (Ⅴ)23＋83． (Ⅵ)103． ②当M ＝4时，将上面的2→4，8→6即可．二、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。
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概率的性质
1 P( ) 0
2
A, B互斥（即AB ）
P( A U B) P( A) P( B)
一般地，
Ai Aj (i, j 1, 2,L n, i j )
P UAi P( Ai ). i 1 i 1
29
问题：如何对随机现象进行研究？
5
§1.1.1 随机试验
对随机现象进行的观察或试验称为随机试验，简称为 试验。 随机试验的三个特点:
1.可以在相同条件下重复进行； 2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围； 3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
6
§1.1.2
样本空间与随机事件
在下图中，用Ω表示一个试验的所有可能的
15
Ω A
A
6. 对立（互逆）的事件：如果 AB＝ , ， 且AB＝,则称A与B为互逆事件，记作 B= A
如果A，B是任意两事件，则有
AA ,
A A ,
A B AB,
A A.
3) A B A ( B A)
注意对立事件与互斥的区别.
16
7.完备事件组 若事件A1,A2,„An为两两互不相容的事件， 并且
P(C) [P( AC) P(BC) P( ABC)]
0.3 (0.08 0.05 0.03) 0.2
35
1 例 设 A、B 为两个随机事件 ,且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2
1 A 与 B 互斥 ;
用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)
概率论与数理统计
概率论与数理统计概率论与数理统计是现代数学中非常重要的分支之一，它们在自然科学、社会科学，以及工程技术等领域都有广泛的应用。
在生物学，物理学，化学等领域，常常需要采用概率论和数理统计的方法，来研究和分析现象。
这篇文章将要探讨概率论和数理统计的一些基本概念和方法，并介绍它们在现实生活中的应用。
一、概率论概率论是一门研究随机现象及其规律的数学学科。
它的基本思想是通过建立数学模型，来描述随机事件的概率分布及其规律。
随机事件指某一次试验中可能发生或不发生的事情，例如掷骰子、抛硬币、抽扑克牌等，这些事件的结果是随机的，因此需要采用概率论的方法来研究。
1.概率和概率分布概率是指某一事件发生的可能性，用一个数值来表示。
在概率论中，对于某一特定随机事件，概率的大小常常用P(A)来表示，其中A是这个事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上的概率是0.5，用数学语言可以表示为P(正面)=0.5，反面朝上的概率也是0.5，即P(反面)=0.5。
概率分布是指某个随机事件的各种结果的概率分布情况。
在一次试验中，随机事件可能会有多个结果，即样本空间。
概率分布用来描述每个结果的概率大小。
例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，正面和反面各占1/2的概率。
2.条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，某个随机事件会发生的概率。
条件概率的计算方法一般采用贝叶斯公式，例如给定事件A，以及事件B，P(A|B)表示在B发生的情况下，A 发生的概率，则条件概率可以表示为：P(A|B) = P(AB)/P(B)其中AB表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立事件是指某个随机事件的发生不会对另一个随机事件的发生产生影响。
如果事件A、B是独立事件，则可以表示为P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)，即A和B的概率相互独立，并不受对方的影响。
3.期望值和方差期望值是统计学中一个非常重要的概念，用来描述一个随机变量的总体平均数。
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
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二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
概率论与数理统计
一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的 次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质： 频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子， 如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”， 掷一骰子， 则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并） 事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点 构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然， 显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件 组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An， 构成一个 L 类似地， 完备事件组， 完备事件组，如果满足 ：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律 事件运算满足下列运算 ：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三 取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球 次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试 说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否 对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取 颜色全不同” = 三次抽取 相容 颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取 颜色全同” = 三次抽取 颜色不全同” 颜色不全同” 不相容， 不相容，对立 三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取 无红色球” = 三次抽取 无黄色球” 无黄色球” 相容 三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取 无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立 三次抽取, = 三次抽取 无白色球” 不相容，
统计学、概率论和数理统计的区别和联系
统计学、概率论和数理统计的区别和联系今天我们就来说说统计学、概率论和数理统计为什么要说他们呢，因为这⼏个字眼⼤家肯定是已经⽆数次地碰到过了，但他们究竟代表了什么，以及他们之间的区别与联系，相信⼤家平时肯定是没怎么关注过，⽽是更多的混为⼀谈。
然⽽今天，随着⼤数据与数据科学的热⽕朝天，这⼏个词重新被⼤家给予了⾼度关注，特别是统计学。
原因也很⾃然：分析思维是数据科学的核⼼思维⽅式，⽽分析思维就是关于计算与统计的思维。
统计思维⽣长的⼟壤就是概率论和数理统计。
1、统计学⾸先说说统计学，关于这个词其实是个历史遗留问题。
因为从统计学的发展历史来看，最早的统计学和国家经济学有密切的关系。
统计学的英⽂是“statistic”，其实它是源于意⼤利⽂的“stato”，意思是“国家”、“情况”，也就是后来英语⾥的state（国家），在⼗七、⼗⼋世纪，统计学很多时候都是以经济学的姿态出现的。
根据维基百科：By the 18th century, the term 'statistics' designated the systematic collection of demographic and economic data by states. For at least two millennia, thesedata were mainly tabulations of human and material resources that might betaxed or put to military use.统计学最开始来源于经济学和政治学。
17世纪的经济学家William Petty和他的《政治算术》⼀书揭开了统计学的起源（维基百科）：The birth of statistics is often dated to 1662, when John Graunt, along with William Petty, developed early human statistical and census methods that provided a framework for modern demography. He produced the first life table, giving probabilities of survival to each age. Hisbook Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality usedanalysis of the mortality rolls to make the first statistically basedestimation of the population of London.所以从⼀开始，统计学就跟经济学、政治学密不可分的。
概率论与数理统计教程
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 的子集.
推广：
N元情形
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;
概率论与数理统计完整ppt课件
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
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解:
={1,2,3,4,5,6}
B={1,2,3,4} A+B={1,2,3,4,5} BA={2,4}
AC=
A={1,3,5} C={2,4} AB={5} AB={1,3} CA={2,4}
8
例2 从一批产品中每次取出一个产品进行检 验第(i次每取次到取合出格的品产(品i=不1,2放,3回). 试), 事用件事A件i表的示运 算符号表示下列事件: 三次都取到了合格品; 三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品.
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例3 袋内装有5个白球, 3个黑球, 从中任取两个 球, 计算取出的两个球都是白球的概率.
16
例4 一批产品共200个, 废品有6个, 求(1)这批 产品的废品率; (2)任取3个恰有一个是废品的 概率;(3)任取3个全非废品的概率 解 设P(A), P(A1), P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求 的概率,则
现哪一种结果
2
样本空间:
给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成一个集合,
这个集合称作样本空间, 用大写的希腊字母表示,
这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的
一个样本点, 可以用小写的希腊字母表示. 随机事件:
随机事件就是样本空间的子集, 或者说事件就是试 验结果的集合, 通常用大写英文字母A, B, C, …等 表示.
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加法法则 两个互不相容(互斥)事件之和的概率等
于它们的概率的和. 即当AB=时,
P(A+B)=P(A)+P(B) 实际上, 只要P(AB)=0, 上式就成立.
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如果n个事件A1,A2,…,An互不相容, 则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
A1
A2
A3
A4
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不放回抽样(排列) 还是这52张牌, 每次抽出一张, 但不放回, 则第 二次抽时只有51张牌, 第三次就只有50张牌. 如果这样抽5次, 就共有
5251504948=52!/47! 种抽法 一般地, 从N个元素中抽取n个(nN), 共有
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不放回抽样(组合) 如果从N个元素中不放回抽样n个, 但不关心 其顺序, 比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作 一样, 则称为组合, 因此, 组合的数目要比排列 的数目小n!倍, 记作
事件的关系
事件的包含 事件的相等
事件的并(和)
事件的交(积) 事件的差 对立事件
互不相容事件
5
完备事件组
若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件, 并且
A1+A2+…+An=, 称构成一个完备事件组或构成一个
划分. 最常用的完备事 件组是某事件A与 它的逆
6
例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数 事件A表示"奇数点", 事件B表示"点数小于5", C表示"小于5的偶数点". 用集合的列举表示法 表示下列事件:
3
几个特殊的事件
基本事件: 只包括一个样本点, 或者说一个试验结果 的事件称为基本事件.
必然事件: 包括整个样本空间的所有元素的事件, 或者就用表示, 则每次试验必然发
生, 因此称为必然事件. 不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即每次试验一
定不会发生, 称为不可能事件, 用表示, 则={}.
4
19
若n个事件A1,A2,…,An构成一完备事件组, 则 它们的概率的和为1, 即 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
特别地, 两个对立事件概率之和为1, 即
A1
A2
A3 A4
A
A
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经常有一些概率论的较难的题, 直接计算某事 件的概率困难, 因此考虑先求此事件的逆事件 的概率 例如 掷3次硬币, 求至少一次正面朝上的概率. 解: 假设A={至少一次正面}, 则
12
放回抽样
假设一副牌有52张, 将它们编号为1,2,…,52. 每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这 张牌仍有机会被抽到), 这叫放回抽样. 假设共 抽了5次, 共有多少种可能的抽法? 第一次有52种抽法, 在第一次的每一种抽法中, 第二次又有52种抽法, …, 因此抽5次共有
5252525252=525 种抽法. 一般地, 从n个元素中进行m次放回抽样, 则共 有nm种抽法.
A={全是反面}, 只包含一个基本事件. 基本事件总数为23=8, 因此
21
例5 产品有一, 二等品及废品3种, 若一, 二等品率分 别为0.63及0.35, 求产品的合格率与废品率.
解 令事件A表示产品为合格品, A1,A2分别表示一,二等 品. 显然A1与A2互不相容, 并且A=A1+A2, 则
1.6 概率与数理统计
1.6.1 概率论的基本概念
1
1.6.1 概率论的基本概念
1.随机事件
随机试验:
概率论里所研究的试验有下列特点: (1) 在相同的条件下试验可以重复进行; (2) (2) 每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验
之前可以明确试验的所有可能结果; (3) (3) 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出
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3.古典概型
有一类试验的特点是: (1)每次试验只有有限种可能的试验结果 (2)每次试验中,各基本事件出现的可能性完全 相同. 具这两个特点的试验称为古典概型试验. 在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的 试验结果, 因此每个基本事件发生的概率为 1/n, 如果事件A包含有m个基本事件, 则事件A 发生的概率则为m/n.
9
解: 三次全取到合格品: A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3 三次中恰有两次取到合格品:
三次中至多有一次取到合格品:
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2. 概率ห้องสมุดไป่ตู้
给定事件A, 存在着一个正数P 与之对 应, 称之为事件A的概率, 记作P(A)或P{A}. 最高的发生概率为1, 表示必然发生. 最低的概率为0, 表示不可能发生. 而一般的随机事件的概率介于0与1之间.
P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.98
P( A) 1 P( A) 1 0.98 0.02
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例6 一个袋内装有大小相同的7个球, 4个是白球, 3个为黑球. 从中一次抽取3个, 计算至少有两个 是白球的概率.
解 设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3), 显然A2与A3互不相容, 且