数字图像变换
数字图像处理正交变换
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
2.2.2 二维傅立叶变换
2. 幅度谱、相位谱、能量谱 一般F(u,v)是复函数,即:
称为正变换核，
* (x, y) u ,v
称为反变换核。
为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必 须满足正交性和完备性。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
变换核可分离性：将二维变换分解为2个 一维变换的计算。
u,v (x, y) au (x)bv (y) a(u, x)b(v, y)
N 1 N 1
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
2.2.3 离散傅立叶变换
表示。 ❖ RGB图像
➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
3. 求幅度谱的对数函数：
D(u,v) log(1 F(u,v) )
4. 显示D(u,v) 若D(u,v)很小或很大，则将其线形扩展或压缩到0-255
数字图像处理中的常用变换
一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。
DFT的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。
2.离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。
传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。
随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。
目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。
由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz ）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。
对给定长度为N 的输入序列f(x)，它的DCT 变换定义为:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑-=102)12(cos )()(2)(N x N x x f u C N u F μπ式中：1,,1,0u -=N ，式中的)(u C 的满足：⎪⎩⎪⎨⎧==其它1021)(u u C在数字图像处理中，通常使用二维DCT 变换，正变换为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N x N y N v y N u x y x f v C u C N v u F ππ 其逆变换IDCT 为:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N u N v N v y N u x v u F v C u C N y x f ππ 式中：1,,1,0u -=N ，1,,1,0v -=N 。
数字图像处理图像变换实验报告
实验报告实验名称:图像处理姓名:刘强班级:电信1102学号:1404110128实验一图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换一、实验条件PC机数字图像处理实验教学软件大量样图二、实验目的1、学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”,能够进行图像处理方面的简单操作;2、熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理,了解编程实现的具体步骤;3、观察图像的灰度直方图,明确直方图的作用与意义;4、观察图像点运算与几何变换的结果,比较不同参数条件下的变换效果;5、观察图像正交变换的结果,明确图像的空间频率分布情况。
三、实验原理1、图像灰度直方图、点运算与几何变换的基本原理及编程实现步骤图像灰度直方图就是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具,它描述了一幅图像的灰度分布情况,为图像的相关处理操作提供了基本信息。
图像点运算就是一种简单而重要的处理技术,它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。
点运算可以瞧作就是“从象素到象素”的复制操作,而这种复制操作就是通过灰度变换函数实现的。
如果输入图像为A(x,y),输出图像为B(x,y),则点运算可以表示为:B(x,y)＝f[A(x,y)]其中f(x)被称为灰度变换(Gray Scale Transformation,GST)函数,它描述了输入灰度值与输出灰度值之间的转换关系。
一旦灰度变换函数确定,该点运算就完全确定下来了。
另外,点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。
点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。
点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸与均衡等。
图像几何变换就是图像的一种基本变换,通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放与图像旋转等,其理论基础主要就是一些矩阵运算,详细原理可以参考有关书籍。
实验系统提供了图像灰度直方图、点运算与几何变换相关内容的文字说明,用户在操作过程中可以参考。
下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图,如下:2、图像正交变换的基本原理及编程实现步骤数字图像的处理方法主要有空域法与频域法,点运算与几何变换属于空域法。
数字图像处理---图像的几何变换
数字图像处理---图像的⼏何变换图像的⼏何变换图像的⼏何变换包括了图像的形状变换和图像的位置变换图像的形状变换图像的形状变换是指图像的放⼤、缩⼩与错切图像缩⼩图像的缩⼩是对原有的数据进⾏挑选或处理，获得期望缩⼩尺⼨的数据，并尽量保持原有的特征不消失分为按⽐例缩⼩和不按⽐例缩⼩两种最简单的⽅法是等间隔地选取数据图像缩⼩实现设原图像⼤⼩为M ∗N ,缩⼩为K 1M ∗K 2N (K 1<1,K 2<1)1. 设原图为F (i ,j ),i =1,2,...,M ,j =1,2,...,N ；压缩后地图像为G (x ,y ),x =1,2,...,k 1M ,y =1,2,...,k 2N2. G (x ,y )=F (c 1∗i ,c 2∗j );其中,c 1=1/k 1,c 2=1/k 2图像放⼤图像放⼤时对多出的空位填⼊适当的值，是信息的估计最简单的思想是将原图像中的每个像素放⼤为k ∗k 的⼦块图像放⼤实现设原图像⼤⼩为M ∗N ,缩⼩为K 1M ∗K 2N (K 1>1,K 2>1)1. 设原图为F (i ,j ),i =1,2,...,M ,j =1,2,...,N ；压缩后地图像为G (x ,y ),x =1,2,...,k 1M ,y =1,2,...,k 2N2. G (x ,y )=F (c 1∗i ,c 2∗j );其中,c 1=1/k 1,c 2=1/k 2图像错切图像错切变换实际上是平⾯景物在投影平⾯上的⾮垂直投影效果图像错切的数学模型x ′=x +d x y y ′=y(x ⽅向的错切,dx =tan θ)x ′=x y ′=y +d y x(y ⽅向的错切,dy =tan θ)图像的位置变换图像的位置变换是指图像的平移、镜像与旋转，即图像的⼤⼩和形状不发⽣变化主要⽤于⽬标识别中的⽬标配准图像平移公式：{{x ′=x +Δx y ′=y +Δy图像镜像图像镜像分为⽔平镜像和垂直镜像，即左右颠倒和上下颠倒公式：图像⼤⼩为M*Nx ′=x y ′=−y (⽔平镜像)x ′=−x y ′=y(垂直镜像)由于不能为负，因此需要再进⾏⼀次平移x ′=x y ′=N +1−y (⽔平镜像)x ′=M +1−xy ′=y(垂直镜像)图像旋转公式：x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ由于计算结果值所在范围与原有值不同，因此需要在进⾏扩⼤画布、取整、平移等处理画布扩⼤原则：以最⼩的⾯积承载全部的画⾯信息⽅法：根据公式x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ计算x ′min ,x ′max ,y ′min ,y ′max旋转后可能导致像素之间相邻连接不再连续，因此需要通过增加分辨率的⽅式填充空洞插值最简单的⽅式就是⾏插值(列插值)⽅法1. 找出当前⾏的最⼩和最⼤的⾮背景点坐标，记作:(i,k1)、(i,k2)2. 在(k1,k2)范围内进⾏插值，插值⽅法为空点的像素值等于前⼀点的像素值3. 重复上述操作直⾄没有空洞图像的仿射变换图像的仿射变换即通过通⽤的仿射变换公式，表⽰⼏何变换{{{{{{{齐次坐标原坐标为(x,y),定义齐次坐标为(wx,wy,w)实质上是通过增加坐标量来解决问题仿射变换通式通过齐次坐标定义仿射变换通式为x ′=ax +by +Δx y ′=cx +dy +Δy⇒x ′y ′=a b Δx c dΔyx y⼏何变换表⽰1. 平移x ′y ′1=10Δx 01Δy 001x y12. 旋转x ′y ′1=cos θ−sin θ0sin θcos θ0001x y 13. ⽔平镜像x ′y ′1=−10001001x y14. 垂直镜像x ′y ′1=1000−10001x y15. 垂直错切x ′y ′1=1d x 00−10001x y16. ⽔平错切x ′y ′1=100d y −10001x y1图像的⼏何校正由于图像成像系统的问题，导致拍摄的图⽚存在⼀定的⼏何失真⼏何失真分为{[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]1. 系统失真:有规律的、可预测的2. ⾮系统失真：随机的⼏何校正的基本⽅法是先建⽴⼏何校正的数学模型，其次利⽤已知条件确定模型参数，最后根据模型对图像进⾏⼏何校正步骤：1. 图像空间坐标的变换2. 确定校正空间各像素的灰度值（灰度内插）途径：1. 根据畸变原因，建⽴数学模型2. 参考点校正法，根据⾜够多的参考点推算全图变形函数空间坐标变换实际⼯作中利⽤⼀幅基准图像f(x,y)，来校正失真图像g(x′,y′)根据⼀些控制点对，建⽴两幅图像之间的函数关系，通过坐标变换，以实现失真图像的⼏何校正两幅图像上的f(x,y)=g(x′,y′)时，称其为对应像素（同名像素）通过表达式x′=h1(x,y)y′=h2(x,y)表⽰两幅图像之间的函数关系通常⽤多项式x′=n∑i=0n−i∑j=0a ij x i y jy′=n∑i=0n−i∑j=0b ij x i y j来近似h1(x,y)、h2(x,y)当多项式系数n=1时，畸变关系为线性变换x′=a00+a10x+a01yy′=b00+b10x+b01y六个未知数需要⾄少三个已知点来建⽴⽅程式当多项式系数n=2时，畸变关系式为x′=a00+a10x+a01y+a20x2+a11xy+a02y2y′=b00+b10x+b01y+b20x2+b11xy+b02y2 12个未知数需要⾄少6个已知点来建⽴⽅程式当超过已知点数⽬超过要求时，通过最⼩⼆乘法求解n=2时多项式通式为B2∗n=H2∗6A6∗n(n为待求点数)B2∗n=x′1x′2⋯x′n y′1y′2⋯y′n{ []H 2∗6=a 00a 10a 01a 20a 11a 02b 00b 10b 01b 20b 11b 02A 6∗n =11⋯1x 1x 2⋯x n y 1y 2⋯y n x 21x 22⋯x 2n x 1y 1x 2y 2⋯x n y ny 21y 22⋯y 2n同名点对要求1. 数量多且分散2. 优先选择特征点直接法利⽤已知点坐标，根据x ′=h 1(x ,y )y ′=h 2(x ,y )⇒x =h ′1(x ′,y ′)y =h ′2(x ′,y ′)x =n ∑i =0n −i∑j =0a ′ij x ′i y′jy =n ∑i =0n −i∑j =0b ′ijx ′i y ′j解求未知参数；然后从畸变图像出发，根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像素，⽣成校正图像由于像素分布的不规则，导致出现像素挤压、疏密不均等现象，因此最后还需要进⾏灰度内插，⽣成规则图像间接法间接法通过假定⽣成图像的⽹格交叉点，从⽹格交叉点(x,y)出发，借助已知点求取未知参数，根据x ′=n ∑i =0n −i∑j =0a ij x i y jy ′=n ∑i =0n −i∑j =0b ij x i y j推算⽹格交叉点(x,y)对应畸变图像坐标(x',y'),由于对应坐标⼀般不为整数，因此需要通过畸变图像坐标周围点的灰度值内插求解，作为⽹格交叉点(x,y)的灰度值间接法相对直接法内插较为简单，因此常采⽤间接法作为⼏何校正⽅法像素灰度内插最近邻元法最近邻元法即根据四邻域中最近的相邻像素灰度决定待定点灰度值该⽅法效果较佳，算法简单，但是校正后图像存在明显锯齿，即存在灰度不连续性双线性内插法[][]{{双线性内插法是利⽤待求点四个邻像素的灰度在两个⽅向上作线性内插该⽅法相较最近邻元法更复杂，计算量更⼤，但是没有灰度不连续的缺点，且具有低通滤波性质，图像轮廓较为模糊三次内插法三次内插法利⽤三次多项式S(x)来逼近理论最佳插值函数sin(x)/xS(x)=1−2|x|2+|x|30≤|x|<1 4−8|x|+5|x|2−|x|31≤|x|<20|x|≥2该算法计算量最⼤，但是内插效果最好，精度最⾼{Processing math: 100%。
数字图像处理 03图像变换(DCT&DWT变换)
3.3.1 一维离散余弦变换
正变换： f (x)为一维离散函数， x = 0，1，"，N −1
∑ F (0) =
1
N −1
f (x) ,
N x=0
u=0
∑ F (u) =
2 N
N −1 x=0
f
(
x)
cos
⎡ ⎢⎣
π
2N
(2x
+
1)u
⎤ ⎥⎦
,
u = 1,2,", N −1
反变换：
∑ f (x) =
+ 1)u
⎤ ⎥⎦
∑ +
2 N
N −1 v=1
F
(0,
v)
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2 y +1)v⎥⎦⎤
∑ ∑ +
2 N
N −1 u =1
N −1 v=1
F
(u,
v)
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2x
+ 1)u ⎥⎦⎤
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2 y
+ 1)v ⎥⎦⎤
6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.3离散余弦变换（DCT）
23
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.4 小波变换简介
S
滤波器组
低通
高通
A
D
图3-19 小波分解示意图
24
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.4 小波变换简介
在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信 号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号 的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而 高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频 分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内 容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。
数字图像处理 03图像变换(沃尔什变换)
6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.2.2 Walsh函数
WW (0,t) = 1 WW (1, t ) = R (1, t ) WW (2, t ) = R (2, t ) ⋅ R (1, t ) WW (3, t) = R (2, t)
W W ( 0 , t ) +1
-1 W W (1, t ) +1
t 1
WaWlsWh(序7,的t ) W= Ral(s3h,函t ) 数的特点: R(数1(1)的,是t )是完+-11偶备函的数正,交序函号数为,奇序数号1的为t是偶
WW (4,t) WW (5, t)
t 1 1t
R奇( 2函, t )数+1;可用于正交变换。 t
-1
1
WW (6,t)
1t
R(2(3),一t ) 个+1周期内,过零点数与序号
WW (0, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t ) 0 = 1
5 101 111
WW (1, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t )1 = R (1, t )
6 110 101 7 111 100
WW ( 2, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t )1 ⋅ R (1, t )1 = R ( 2, t ) ⋅ R (1, t )
WW (0,t) =1 WW (1,t) = R(1,t) WW (2,t) = R(2,t)⋅ R(1,t) WW (3,t) = R(2,t) WW (4,t) = R(3,t)⋅ R(2,t) WW (5,t) = R(3,t)⋅ R(2,t)⋅ R(1,t) WW (6,t) = R(3,t)⋅ R(1,t) WW (7,t) = R(3,t)
数字图像灰度变换技术总结
数字图像灰度变换技术总结篇一：图像的灰度变换昆明理工大学（数字图像处理）实验报告实验名称：图像的灰度变换专业：电子信息科学与技术姓名：学号：成绩：[实验目的]1、理解并掌握灰度变换的基本原理和方法。
2、编程实现图像灰度变换。
3、分析不同的灰度变换方法对最终图像效果的影响。
[实验内容]1、灰度的线性变换；2、灰度的非线性变换；3、图像的二值化；4、图像的反色处理；[实验原理]图像的灰度变换(grayscaletransformation,GST)处理是图像增强处理技术中一种非常基础、直接的空间域图像处理方法,也是图像数字化软件和图像显示软件的一个重要组成部分。
灰度变换是指根据某种目标条件按一定变换关系逐点改变原图像中每一个像素灰度值的方法。
目的是为了改善画质,使图像的显示效果更加清晰。
灰度变换有时又被称为图像的对比度增强或对比度拉伸。
从图像输入装置得到的图像数据,以浓淡表示,(:数字图像灰度变换技术总结)各个像素与某一灰度值相对应。
设原图像像素的灰度值d=f(x,y),处理后图像像素的灰度值d′=g(x,y),则灰度增强可表示为:g(x,y)=T[f(x,y)]或d′=T(d)要求d和d′都在图像的灰度范围之内。
函数T(d)称为灰度变换函数,它描述了输入灰度值和输出灰度值之间的转换关系。
灰度变换主要针对独立的像素点进行处理,通过改变原始图像数据所占据的灰度范围而使图像在视觉上得到良好的改观,没有利用像素点之间的相互空间关系。
因此,灰度变换处理方法也叫做点运算法。
点运算可以按照预定的方式改变一幅图像的灰度直方图。
除了灰度级的改变是根据某种特定的灰度变换函数进行之外,点运算可以看做是“从像素到像素”的复制操作。
根据g(x,y)=T[f(x,y)],可以将灰度变换分为线性变换和非线性变换。
1、灰度的线性变换若g(x,y)=T[f(x,y)]是一个线性或分段线性的单值函数,例如g(x,y)=T[f(x,y)]=af(x,y)+b则由它确定的灰度变换称为灰度线性变换,简称线性变换。
数字图像处理——图像非线性变换
数字图像处理——图像⾮线性变换
1、相关了解：由于变换往往是针对具体情况的，因此没有固定的⾮线性变换公式。
有⼏种⾮线性变换公式经常遇到，如
f(B)=A+α×A×（max（A）-A）
其中α>0,这个⾮线性变换公式的图像处理效果是：图像中间灰度的对⽐度拉⼤，两端（⾼亮和过暗区）变化很⼩。
2、相关实例：⽤函数f（x）=（x）+0.005×x×（255-x）对“⾬晴⽴⼈楼”图像进⾏⾮线性变换。
①Matlab程序代码：
function nt
%by Yuanshuai Zheng UESTC 数字视觉视频技术exercise nonlinear transformation
A=imread('UESTC_rain.bmp');
figure(1);
imshow(A);%显⽰原图像
x=1:255;
y=x+0.005*x.*(255-x);
figure(2);
plot(x,y);%显⽰函数曲线图
B=double(A)+0.005*double(A).*(255-double(A));
figure(3)
imshow(uint8(B));%显⽰⾮线性处理后图像
②处理结果
⽴⼈楼原图⾮线性处理后图像
⾮线性变换函数曲线图
③结果简析和反思
从曲线可以看出，该变换是把原图像的中间灰度拉伸，低灰度值近似保持不变，压缩⾼亮灰度。
实验过程中，通过改变α的值，可以明显看出图像的变化。
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F
(6)
Fe
(6)
W86
Fo
(6)
x0
x0
M
M
f (2x)WMuxWMMx W2uM f (2x 1)WMuxWMMx
F(7) Fe (7) W87Fo (7)
x0 M
x0 M
f (2x)WMux W2uM f (2x 1)WMux
x0
x0
Fe (u) W2uM Fo (u)
10.2.2 快速离散傅立叶变换
R(u, v) E(u,v) R2(u,v) I 2(u,v)
式中，R(u, v)和I(u, v)分别是F(u, v)的实部和虚部。
10.2.2 快速离散傅立叶变换
离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。研究离散傅 立叶变换的快速算法（Fast Fourier Transform， FFT）是 非常有必要的。
x0
x0
x0
W 2ux 2M
(e j 2 / 2M )2ux
(e j2 / M )ux
WMux
M 1
M 1
F (u) f (2x)WMux f (2x 1)WMuxW2uM
x0
x0
M 1
定义
Fe (u) f (2x)WMux
x0
u, x 0,1, , M 1
even 偶
M 1
Fo (u) f (2x 1)WMux u, x 0,1, , M 1 odd奇 x0
介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFT），它 是1965年Cooley和Tukey首先提出的。
10.2.2 快速离散傅立叶变换
二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维 离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶 变换的快速算法即可。改写公式：
N 1 WN
F (u) f (x)WN ux x0
F(0 ) W80
f (4 )
－W80
Fee(1 )
W82
Fe(1 )
F(1 ) W81
f (2 )
W80
Feo(0 )
－W80
Fe(2 )
F(2 ) W82
f (6 )
－W80
Feo(1 )
－W82
Fe(3 )
F(3 ) W83
f (1 )
W80
Foe(0 )
W80
Fo(0 )
F(4 ) － W80
f(0)
W 0 Fe (0)
4
f(2)
－ W 0 Fe (1)
4
f(1)
W 0 F o(0)
4
f(3)
－ W 0 Fo(1)
4
F (0) W0
4 F (1)
W1 4
－W40 F (2)F (3)Fra bibliotek－ W14
10.2.2 快速离散傅立叶变换
0102 0304 0506 0708
3 i -3 -i 0 3 04 0 5 06 0 7 08
F(3) Fe (3) W83Fo (3)
F (3 4) Fe (3) W2uM Fo (3)
F
(4)
Fe
(4)
W84 Fo
(4)
F (u
M
)
Fe
(u
M
)
W2uMM
Fo
(u
M
)
F(5) Fe (5) W85Fo (5)
M
M
f (2x)WM(uM ) x W2uMW2MM
f (2x)WM(uM ) x
第十章 图像变换
10.1 频域世界与频域变换 10.2 傅立叶变换 10.3 离散余弦变换 10.4 离散沃尔什哈达玛变换 10.5 小波变换简介
10.1 频域世界与频域变换
任意波形可分解为正弦波的加权和
y1 = Sin(x + /2)
A=1, = /2, f=1/ 2
y2=0.5sin(2x+ )
Foe(0) Foe(1)
Foo(0)
W 0 Fe(0) 8
W 2 Fe(1) 8
－W 0 8
Fe(2)
－ W 2 Fe(3)
8 W0
Fo(0)
8
W 2 Fo(1) 8
－W 0 Fo(2) 8
Foo(1)
F (3) －W 2 o
8
8点DFT的蝶形流程图
f (0 )
W80
Fee(0 )
W80
Fe(0 )
F F
(0) (1)
Fe (0) W80Fo (0) Fe (1) W81Fo (1)
F (0 4) Fe (0) W2uM Fo (0) F (1 4) Fe (1) W2uM Fo (1)
F(2) Fe (2) W82Fo (2)
F (2 4) Fe (2) W2uM Fo (2)
10.2.2 快速离散傅立叶变换
于将是一个N点F的(u离) 散 傅Fe立(u叶) 变W换2uM分F解o (成u)两个N／2短序列的离
散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变
换Fe(u)和Fo(u) 。
F F
(0) (1)
Fe (0) W80Fo (0) Fe (1) W81Fo (1)
2 M 1
M 1
M 1
F (u) f ( x)W2uMx f (2x)W2uM(2x) f (2x 1)W2uM(2x1)
x0
x0
x0
偶离散点
奇离散点
10.2.2 快速离散傅立叶变换
2 M 1
M 1
M 1
F (u) f ( x)W2uMx f (2x)W2uM(2x) f (2x 1)W2uM(2x1)
Fe(0) Fe(1)
F (2) Fe (2) W82Fo (2)
Fe(2)
F F
(3) (4)
Fe (3) W83Fo (3) Fe (0) W80Fo (0)
Fe(3) Fo(0)
F (5) Fe (1) W81Fo (1)
Fo(1)
F
(6)
Fe
(2)
W82
Fo
(2)
Fo(2)
F (7) Fe (3) W83Fo (3)
10.2傅里叶变换:
三：离散函数的傅里叶变换
假定以间隔Δx对一个连续函 数f(x)均匀采样，离散化为一 个序列 {f(x0), f(x0+Δx),…, f[x0+(N－1)Δx]}（如图3.3所 示），则将序列表示
f(x)=f(x0+Δx) 式中x假定为离散值0，1， 2，…，N 1。换句话说， 序列 {f(0),f(1),f(2),…,f(N－1)} 表示取自该连续函数N个等 间隔的抽样值。
n1
由欧拉公式
其中
f (t )
F (n 1 )e jn1t
n
F (0)
a0
F引(n入了1)负频12率(an
jbn )
F (n1)
1 2
(an
jbn )
9
10.2傅里叶变换:
二：非周期函数傅立叶变换分析式：
F (w)
f (t )e jwt dt
f
(t)
1
2
F ( ).e jt d
直流 系数
a0
1 T1
t0 T1 f (t ).dt
t0
余弦分量
系数
an
2 T1
t0 T1 t0
f (t).cos n1t.dt
正弦分量
系数
bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t).sin n1t.dt
8
10.2傅里叶变换:
2：周期函数的复指数级数
由前知
f1(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
F F
(0) (1)
Fe (0) W80Fo (0) Fe (1) W81Fo (1)
Fe(1 )
蝶形运算单元
F(1 )
F (2) Fe (2) W82Fo (2)
W81
F F
(3) (4)
Fe (3) Fe (0)
W83Fo (3) W80Fo (0)
F (5) Fe (1) W81Fo (1)
0
0
3
0
－1 0
1
3
-i i
-3 －1
2
－1 -1
-i i
10.2.2 快速离散傅立叶变换
3 i -3 -i 0 3 04 0 5 06 0 7 08
3 i -3 -i 7 i -7 -i 0 5 06 0 7 08
F (2) Fe (2) W82Fo (2)
设N=23
F F
(3) (4)
Fe Fe
(3) (4)
W83Fo (3) W84Fo (4)
F (5) Fe (5) W85Fo (5)
F
(6)
Fe
(6)
W86 Fo
(6)
F (7) Fe (7) W87Fo (7)
10.2.2 快速离散傅立叶变换
f (5 )
－W80
Foe(1 )
W82
Fo(1 )
F(5 ) － W81
f (3 )
W80
Foo(0 )
－W80
Fo(2 )
F(6 ) － W82
f (7 )
－W80
Foo(1 )
－W82
Fo(3 )
F(7 ) －W83
10.2.2 快速离散傅立叶变换
例： 0 1 0 2 0304
0506
0708
10.2.1离散傅立叶变换
被抽样函数的离散傅里叶变换定义为