固体物理学概念和习题

固体物理基本概念和思考题： 1. 给出原胞的定义。 2. 给出维格纳-赛茨原胞的定义。 3. 二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及
光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含 N 个原胞，每个原胞含 p 个原子，问该晶体 晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关 系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 37. 什么叫费米液体？ 38. 请给出纯金属的电导率随温度的关系。 39. 请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。
常数为 a，最近邻原子间的恢复力常数为 β，试求： （1）格波的色散关系； （2）长波极限下格波的传播速度。
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25. 边长为 L 的正方形二维晶体，含 N 个原胞，试求： （1） 该点阵振动的模式密度 D(ω)； （2） 德拜截止频率νD和德拜温度θD； （3） 点阵振动内能表达式和低温下比热表达式。
11. 若一晶体的总互作用能可表示为：U (r) = N ⎜⎛ − α + β ⎟⎞，试求： 2 ⎝ rm rn ⎠
（1） 平衡间距r0；
４
（2） 结合能 W； （3） 体弹性模量； （4） 若m=2,n=10,r0=3Å,W=4eV,求α、β的值。
12. (黄昆教材 2.6)用雷纳德-琼斯势计算 Ne 在体心立方和面心立方结构中的结 合能之比。
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《固体物理学》习题
注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢 q 的定义（q=1/λ）与课堂上所用 的波矢 k 相差 2π（k=2π/λ）；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与 国际单位制之间的转换
1. 在 14 种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子？
2. 在六角晶系中常用 4 个指数（h,k,i,l）来表示，如图，前三个指数表示晶面 族中最靠近原点的晶面在互成 120°的共平面轴a1,a2,a3上的截距为：a1/h,a2/k,a3/i, 第 4 个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l,证明：i=-(h+k),并将下列用(h,k,l) 表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(133)(110)(3 2 3)(100)(010)( 21 3)。
31. (固体物理习题集 3.14) 证明：在T=0K时，费米能级E0F处的能态密度为
g
(
E
0 F
)
=
3N
2
E
0 F
式中 N 为金属中的自由电子总数。
32. (固体物理习题集 5.16)
ρ、A分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径和排斥能参数。实验
测 定 ， NaCl 晶 体 近 邻 离 子 的 平 衡 间 距 R0=2.82 × 10-10m ， 体 积 弹 性 模 量
K=2.4× 1011dyn/cm2,已知NaCl结构的马德隆常数α=1.7476，试求NaCl晶体的排
斥核半径ρ和排斥能参数A。
20. 2N个正负离子组成一个一维链晶体。平衡时两个最近邻正负离子间距为 R0。试证： (1)该晶体的马德隆常数为 μ＝2ln2。
(2)自然平衡状态下的结合能为Eb(R0)=
2 Nq2 ln 2 4πε 0R0
⎛⎝⎜1 −
n1⎞⎠⎟
。
-q +q
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-2R0 -R0 0
R0 2R0
若两种原子的质量相等，并且最近邻间距为 a/2，试求在波矢 k=0 和 k=π/a 处的 ω(k)，并画出其色散关系曲线。
us-1
vs-1
us
vs
us+1
a/2 a/2 a/2 a/2
β
10β β
10β
24. (固体物理习题集 3.21) 考虑一个由相同原子组成的二维正方格子的横振动。设原子质量为 M，点阵
21. (固体物理习题集 3.5) 已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为：
g(ω)=
2N π
( ωm2-ω2)-1/2 式中ωm是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等
于N。
22. (固体物理习题集 3.8)
设有一维原子链（如图），第 2n 个原子与第 2n+1 个原子之间的恢复力常数
如何选取其基矢和原胞？
有心正六边形：
无心正六边形：
6. 六角空间点阵，六角空间点阵的基矢可以取为：
av =
3a
x)
+
a
y)
；
v b
=
−
3a x) + a y) ； cv = cz) ；
22
22
３
（1） 证明：原胞的体积是 3 a 2c ； 2
（2） 证明：倒易点阵的基矢是：
v A
=
2π
x) + 2π
（1） 给出这个基元的结构因子； （2） 求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足 h+k+l=4n,
且所有指数都是偶数，n 是任何整数；否则所有指数都是奇数。
∗体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。[如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几 个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件]
y),
v B
=
−
2π
x) + 2π
y),
v C
=
2π
z);
因此直接点阵就是它本身的
3a a
3a a
c
点阵，但轴经过了转动；
（3） 描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区。
7. 证明第一布里渊区的体积是 (2π )3 此处Vc是晶体初基晶胞的体积。 Vc
8. 金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个 原子组成；
为 β，第 2n 个原子与第 2n－1 个原子之间的恢复力常数为 β'（β'<β）。设两种原
子的质量相等，最近邻原子间距均为 a，试求晶格振动的振动谱以及波矢 q=0 和
q=±1/4a 时的振动频率。
a 2n-1 a 2n a 2n+1 a
β
β' β
β'
23. (固体物理习题集 3.14) 设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错地等于β和 10β。
c
a2
a1
a3
3. 证明理想六角密堆积结构的 c/a 比是 8 / 3 =1.633，如果 c/a 值比这个值大得 多，可以把晶体视为由原子密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
4. 在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪个晶面的 原子面密度最大？
5. 如图的两种正六边形（边长为 a）平面格子是布喇菲格子还是复式格子？应
⎜⎛ ε 1
0
0 ⎟⎞
⎜0
ε2
0⎟
⎜⎝ 0
0
ε 2 ⎟⎠
15. (固体物理习题集 2.1)
设两原子间的互作用能可表示为： u(r)
=
−α rm
+
β rn
式中，第一项为引力能；
第二项为排斥能；α、β均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态， 必须n>m。
16. (固体物理习题集 2.2) 设两原子间的互作用能可由： u(r) = − α + β 表述。若m=2,n=10，而且两 rm rn
N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距；
α是马德隆常数；λ、ρ为参量。求平衡时最近邻间距R0、总结合能U0和体积弹性
模量B的表达式。
19. (固体物理习题集 2.32) 设NaCl晶体的互作用能可表示为：U(R)= − N (αe2/R-Ae-R/ρ) 式中的N、R、 2
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40. 请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。 41. 请列出铁磁性固体的主要特征。 42. 请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。 43. 什么是格波和声子？晶体中声子有多少种可能的量子态？ 44. 请说明 Debye 热容量模型的基本假设，为什么说 Debye 热容量模型在低温下是正确的？ 45. 什么是近自由电子近似和紧束缚近似？ 46. 请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点？ 47. 什么是 n 型半导体和 p 型半导体？什么是本征半导体？ 48. 试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。