【中考专题课件】2018年中考数学一轮复习专题三：圆的证明与计算
∴S扇形OCE＝ S△OCB＝ ∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCE＝
类型三 圆与相似的综合 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合， 一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径． 一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造 相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段 或半径．
例3 (2017·兰州)如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径， 弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC＝ ∠AOD，∠D＝∠BAF. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，CE＝2，求EF的长．
【分析】 (1)由BC是⊙O的直径，得到∠BAF＋∠FAC＝90°， 等量代换得到∠D＋∠AOD＝90°，于是得到结论； (2)连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【自主解答】 (1)∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAF＋∠FAC＝90°. ∵∠D＝∠BAF，∠AOD＝∠FAC，
类型一 切线的判定
判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直 线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心 与切点，构造半径证垂直．
例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异 于A，B)，AD⊥CD. (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
∴∠D＋∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝90°， ∴AD是⊙O的切线． (2)如图，连接BF， ∵∠FAC＝∠AOD， ∴△ACE∽△OCA，
∴AC＝AE＝ ∵∠CAE＝∠CBF， ∴△ACE∽△BFE，∴ ∴
∴EF＝
3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线
上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：∠BDC＝∠A；
类型二 切线的性质 已知某条直线是圆的切线，当心与切点有线段连接 时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径； 当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切 点，再利用切线的性质解题．
例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线 上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD. (1)求证：∠A＝∠BDC； (2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1 时，求MN的长．
【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定 理求AC的长；(2)连接OC，利用AC是∠DAB的平分线，证得 ∠OAC＝∠CAD，再结合半径相等，可得OC∥AD，进而结论 得证． 【自主解答】 (1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°，
∴AC＝
＝4.
(2)如图，连接OC， ∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD. ∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．
【分析】 (1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝ 90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋ ∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三 角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝ ∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长． 【自主解答】 (1)如图，连接OD，
专题三 圆的证明与计算
圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，
圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的 性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、 求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图 象中挖掘隐含条件，最后再解题．
圆的证明与计算是德州市中考的必考题，每年在解答 题中必有一题，其重要程度不言而喻．德州市近五年中考 对此问题的考查：2017年中考试题第20题考查了切线的判 定、圆与相似的综合；2016年中考试题第22题考查了切线 的判定、圆与相似的综合；2015年中考试题第21题考查了 圆的性质(圆周角定理、垂径定理等)；2014年中考试题第 22题考查了切线的判定；2013年中考试题第20题考查了切 线的判定．
(2)证明：如图，连接MC，NC.
∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝90°，∴∠NCB＝90°. 1 在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD＝ NB＝ND， 2 ∴∠CND＝∠NCD.
∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC. ∵∠MNC＋∠CND＝90°， ∴∠MCN＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD， ∴直线CD是⊙M的切线．
∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°， ∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.
(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM. ∵∠A＝∠BDC， ∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM. 即∠DMN＝∠DNM. ∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1， ∴MN＝
1．(2017·白银)如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交 ⊙M于点C. (1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；
(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
(1)解：∵A(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4. ∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°， ∴AB＝2AN＝8. 由勾股定理可知NB＝
2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交 ⊙O于点D，E， (1)求证：OA＝OB；
(2)已知AB＝4 3 ，OA＝4，求阴影部分的面积．
(1)证明：如图，连接OC.
∵AB与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°. ∵ ，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠A＝∠B，
∴OA＝OB．
(2)解：由(1)可知△OAB是等腰三角形， ∴BC＝ ∴sin∠COB＝ ∴∠COB＝60°， ∴∠B＝30°， 1 ∴OC＝ OB＝2， 2
2018中考数学专题复习 第二十三讲 圆的有关计算(共69张PPT)
命题角度1:阴影部分面积由扇形的面积与其他图形的 面积和差得到 【示范题3】(2017·青岛中考)如图,直线AB,CD分别 与☉O相切于B,D两点,且AB⊥CD,垂足为P,连接BD,若 BD=4,则阴影部分的面积为________.
【思路点拨】根据阴影部分的面积=扇形OBD的面积△OBD的面积,计算得出答案.
360 2
=2π-4.
答案:2π -4
命题角度2:阴影部分由多个扇形等简单组合而成 【示范题4】(2017·德州中考)某景区修建一栋复古 建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对 角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切 点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影 部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半
2
∴阴影部分的面积=S△BTD=
1 2 2 1. 2
【答题关键指导】 求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图
形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不 规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂 问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体
思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形 的面积,常用的方法有:①直接用公式法;②和差法; ③割补法.
∠B1A1B2=30°,A1A2=A2B2,
∴B1B2= 1 3
A1B1= 3 3
,∴A2B2=12
A1B2=B1B2=3
3
,
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2,
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积∶正六边形A1B1C1D1E1 的面积=( 3 )2 1 ,
2
【答题关键指导】
正多边形的有关边的计算的常用公式
(1)r2+ ( a ) 2 =R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).
中考数学 第二部分 专题综合强化 专题三 圆的相关证明与计算实用课件
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(3)利用相似三角形求解：圆的综合题中往往会涉及切线的性质与圆周角定理推 论的结合，因此利用等角之间的等量代换找出与要求线段相关的两个三角形相似是 解题关键，另外对圆周角定理的灵活运用也非常重要；
(4)运用等面积公式，也可求解点到直线距离类题．
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例1 (2018·泰州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交 ⊙O于点D，DE⊥BC于点E.
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(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
思路点拨 设⊙O的半径为R，则OE＝R＋1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求
解即可． 【解答】 设⊙O的半径为R，则OD＝R，OE＝R＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°， ∴ED2＋OD2＝OE2，∴32＋R2＝(R＋1)2， 解得R＝4，∴⊙O的半径为4.
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类型3 与圆有关的弦切角问题
例3 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于
点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
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思路点拨
连 接 EO ， 由 ∠ EOG ＝ 2∠C ， ∠ ABG ＝ 2∠C 知 ∠ EOG ＝ ∠ ABG ， 从 而 得 AB∥EO，根据EF⊥AB得EF⊥OE，即可得证．
2
(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的 长等于圆的半径，可简述为：“无切点，作垂直，证半径”．证明垂线段的长等于 半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等．
2．圆中求角度或证明角相等的几种思路 (1)利用切线的性质，构造直角三角形，由两锐角和等于90°进行角度转化求 解； (2)利用圆周角定理及其推论，通常圆中相等的角代换可得角的大小； (3)利用圆周角定理的推论、勾股定理等得到一组平行线，通常圆中相等的角代 换可得角的大小．
2018届中考数学复习第二部分空间与图形第二十六课时圆的有关计算和证明课件
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【考点变式】 1.(2017· 齐齐哈尔)如图,AC是☉O的切线,切点为C,BC是☉O的直 径,AB交☉O于点D,连接OD,若∠A=50°,则∠COD的度数为 80° .
2.(2017· 连云港)如图,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交 于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为 5 .
-1齐齐哈尔)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥侧面 展开图的扇形的圆心角是 ( A ) A.120° B.180° C.240° D.300° 2.(2017· 东营)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面 展开图所对应扇形圆心角的度数为 ( C ) A.60° B.90° C.120° D.180° 3.(2017· 绥化)一个扇形的半径为3 cm,弧长为2π cm,则此扇形的面 积为 3π cm2 .(用含π的式子表示)
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3.切线:判定:经过半径的外端并且 垂直于 这条半径的直线是圆 的切线. 性质:圆的切线垂直于过 切点 的半径. 切线长:(1)经过圆外一点作圆的切线,这 点和切点 之间的线段 的长,叫做点到圆的切线长. (2)从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的 切线长相等 ,这一 点和圆心的连线 平分 两切线的夹角.
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4.(2017· 白银)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,以点A为圆 π 心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则弧CD的长等于 .3(结果 保留π)
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考点3 圆的有关证明 【例3】(2017· 益阳)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,D在AB 的延长线上,且∠BCD=∠A.
底圆半径 母线长
× 360°
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1.(2017· 吉林)如图,直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连 接OB交☉O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为 ( D )
2018年人教版中考数学复习《第24讲：与圆有关的计算》课件
解得 n=40,再根据圆周角定理得∠ACB=12∠AOB=20°.
考法1
考法2
考法1弧长的计算
例1(2011·安徽)如图,☉O半径是1,A,B,C是圆周上的三
点,∠BAC=36°,则劣弧 ������的������ 长是 ( )
答案 B
解析 如图,连接OB,OC,
∵∠BAC=36°,∴∠BOC=2∠BAC=72°,
2.(2016·安徽,13,5分)如图,已知☉O的半径为2,A为☉O外一点.过点
A作☉O的一条切线AB,切点为B,AO的延长线交☉O于点C.若
∠BAC=30°,则劣弧 ������������的长为
4π 3
.
解析 如图,连接OB,
∵AB是☉O的切线,
∴∠ABO=90°,
∵∠BAC=30°,
∴∠AOB=60°,∴∠BOC=120°,
解析 ∵扇形OAB的圆心角为120°,半径为3,
∴该扇形的弧长为
120π × 3
180 =2π.
考法1
考法2
3.(2016·广东广州)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB
是小圆的切线,点P为切点,AB=12 3,OP=6,则劣弧������������ 的长为
8π .(结果保留π)
解析 连接OA,OB,由AB是小圆的切线,可得OP⊥AB,由垂径定理知 AP=BP=1AB=6 3,在 Rt△OAP 中,根据勾股定理可求得
考点三
考点二正多边形与圆
1.相关概念
(1)正多边 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相
形和圆的关 等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个
系
圆叫做这个正多边形的外接圆
一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中 心
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算复习目标1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。
2.掌握圆的基本性质。
3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。
考点梳理一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.【答案】解：①半径OD经过弦AB的中点C，①半径OD①AB．(1)①AB＝3AC＝BC3①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD ＝1.(2)①OD①AB ，OA ＝OB ， ①①AOD ＝①BOD ．①①AOB ＝120°，①①AOC ＝60°． ①OC ＝OA·cos①AOC ＝OA·cos60°＝12R ， ①1122CD OD OC R R R =-=-=．二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：在图中(1)直径CD ，(2)CD①AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．①圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，①O与AB相切于点D，求证：AC与①O相切．【答案】证明：连接OD，作OE①AC，垂足为E，连结OA．①AB与①O相切于点D，①OD①AB．①AB＝AC，OB＝OC，①①1＝①2，①OE＝OD．①OD为①O半径，①AC与①O相切．三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．①过两点A、B的圆有无数个，如图所示．①经过在同一直线上的三点不能作圆．①不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．①圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是①O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过①O上的一点A；①OA①l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．3.三角形外心、内心有关知识比较4.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．①同心圆是内含的特殊情况．①圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．①“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360 n °．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形． 正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n°的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．1．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（ ）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】C【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】连接OA，①CD为O的直径，弦AB CD⊥，AB=3，①AE=12设OA=OC=x，则OE=x-1，①()222x x-+=，解得：x=5，13①O的半径为5．故选C．2．（2022·河南九年级期末）如图，AD为①O的直径，6cmAD=，DAC ABC∠=∠，则AC的长度为（）A．2B．22C．32D．33【答案】C【分析】连接CD，由圆周角定理可知90∠=∠可知AC CD=，由∠=︒，再根据DAC ABCACD勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：连接CD，AD是O的直径，∴∠=︒，ACD90∠=∠，DAC ABC∠=∠，ABC ADC∴∠=∠，DAC ADC∴CD AC=，∴=，AC CD又222AC CD AD+=，22∴=，2AC ADAD=，6∴=AC故选：C．3．（2022·全国九年级课时练习）O的半径为10cm，弦//AB CD．若==，则AB和CD的距离为（）AB CD12cm,16cmA．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 【答案】C【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．【详解】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，①AB①CD，①OF①CD，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=10cm，①在Rt①AOE中，由勾股定理可得；8EO cm，在Rt①COF中，由勾股定理可得：6OF===cm，①EF=OF+OE=8+6=14cm．当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，①AB①CD，①OE①AB，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=5cm，在Rt①AOE中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，1068EO OA AE在Rt①COF中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，OF OC CF1086①EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；故选C．4．（2022·全国九年级课时练习）如图，在ABC中，10,8,6===，经过AB AC BC点C且与边AB相切的动圆与,CB CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8【答案】D【分析】设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD①AB，由勾股定理逆定理知，ABC是直角三角形，OC+OD=EF，而OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．【详解】解：设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，①10,8,6===，AB AC BC①AC2+BC2=AB2，①ABC 是直角三角形，①ACB =90°， ①EF 是①O 的直径， ①OC +OD =EF ， ①①O 与边AB 相切， ①OD ①AB ， ①OC +OD ≥CD ，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上时，OC +OD =EF 有最小值， 此时最小值为CD 的长， ①CD =864.810AC BC AB ⋅⨯==， ①EF 的最小值为4.8． 故选D ．5．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；①等弧所对的弦相等；①圆中90°的角所对的弦是直径；①相等的圆心角对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦；①任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对①①进行判断；根据圆周角定理对①进行判断；根据垂径定理对①进行判断；根据三角形外接圆的定义对①进行判断． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；①能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故①正确，符合题意； ①圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故①错误，不符合题意；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故①错误，不符合题意； ①平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故①错误，不符合题意； ①任意三角形一定有一个外接圆；故①正确，符合题意； 其中正确的有①①①， 故选：B ．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）四边形ABCD 中，ACD △是边长为6的等边三角形，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，则对角线BD 的长的取值范围是（ ） A ．33BD <≤+B ．36BD << C ．63BD <≤+D ．3BD <≤【答案】C 【分析】由①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形可知点B 在以AC 为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD 长度的取值范围． 【详解】①①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形， ①点B 在以AC 为直径的圆上，如图中①O ，连接OD 并延长，交①O 于点E 和点B ，①等边①ACD的边长为6，①AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD①AC，①①COD=90°，①OD=2222CD OC-=-=，6333①BD=OD+OB=333+，△是边长为6的等边三角形，ACD当B与,A C重合时，BD最小6=①对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤333+．故选：C．7．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC∠=︒，30Rt△中，90ACB∠=︒，3ABCAB=，将ABCRt△绕直角顶点C顺时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边上时，停止转动，则点B经过的路径长为__．3【分析】首先根据勾股定理计算出BC 长，再根据等边三角形的判定和性质计算出60ACA ∠'=，进而可得60BCB ∠'=，然后再根据弧长公式可得答案．【详解】解：30B ∠=，3AB =，①ACB=90° ①1322AC AB ==，60A ∠=，①22332BC AB AC =-=AC A C ='，AA C ∴'是等边三角形， 60ACA ∴∠'=，60BCB ∴∠'=，∴弧长3360321802l ππ⋅⋅==， 故答案为：32π． 8．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，以AC 为直径做半圆交AB 于点D ，若1BC =，则图中阴影部分的面积为__．3π+【分析】连接OD ，CD ，根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，解直角三角形求得AC =CD OC OD =，32AD =，60COD ∠=︒，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OD ，CD ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒， ①9030A B ∠=︒-∠=︒， 又①1BC =， ①22BA BC ==，①AC =AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，12OA AC =，又①30A ∠=︒，12CD AC ∴==①32AD ， ①30A ∠=︒，260COD A ︒∴∠=∠=，∴阴影部分的面积()()ABC AOD AOD COD COD S S S S S S ∆∆=++--+△半圆扇形扇形 122ABC ACD COD S S S S ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭△△半圆扇形22601111321222360222ππ⎛⋅ =⨯⋅-+⨯⨯⎪⎝⎭38π+=， 故答案为：38π+．9．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，AB BC =，以AB 为直径的①O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作//CE AB ，且CAD CAE ∠=∠． （1）求证：AE 是①O 的切线； （2）若5AB =，4=AD ，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明AEC △和ADC 全等即可得到结论；（2）由勾股定理求出2CD =，根据全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：AB BC =，BAC BCA ∴∠=∠，//CE AB ，BAC ACE ∴∠=∠，ACB ACE ∴∠=∠，在AEC △和ADC 中，CAD CAE AC ACACB ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADC AEC ASA ∴≅△△，ADC E ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，90E ∴∠=︒，//AB CE ，180BAE E ∴∠+∠=︒，90BAE ∴∠=︒，AE ∴是O 的切线；（2）解：90ADB ∠=︒，5AB =，4=AD ，3BD ∴==，532CD BC BD ∴=-=-=，①ADC AEC ≅△△，2CE CD ∴==．10．（2022·安庆市第四中学九年级）如图，①O 是①ABC 的外接圆，FH 是①O 的切线，切点为F ，FH ①BC ，连结AF 交BC 于E ，①ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）求证：AF平分①BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）AD =214．【分析】（1）连结OF，由FH是①O的切线，可得OF①FH，由FH∥BC，可得OF垂直平分BC，根据垂径定理可得BF FC=，根据圆周角性质可得①1=①2即可；（2）根据①ABC的平分线BD，可得①4=①3，可证①FDB=①FBD，可得BF=FD，再证①BFE①①AFB，根据性质可得BF AFFE BF=，再求BF=DF= 7，可求494FA=，即可求AD．【详解】（1）证明：连结OF，①FH是①O的切线，①OF①FH，①FH∥BC，①OF垂直平分BC，①BF FC=，①①1=①2，①AF平分①BAC，（2）解①①ABC 的平分线BD 交AF 于D ， ①①4=①3，①1=①2，①①1+①4=①2+①3，①①5=①2，①①1+①4=①5+①3 ，①①FDB =①FBD ，①BF =FD ，在①BFE 和①AFB 中，①①5=①2=①1，①AFB =①EFB ， ①①BFE ①①AFB ， ①BF AF FE BF=， ①2BF FE FA =⋅， ①2BF FA FE= ， ①BF =DF =EF +DE =7，①274944FA ==， ①AD=AF -DF =4974-=214．。
中考数学总复习专题三圆的证明与计算省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件
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圆相关知识是中考数学中一个主要内容，圆作为 一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线性质及 判定、相同三角形性质与判定、解直角三角形、求阴影 面积等．解题时要先分析题干中条件，然后从图象中挖 掘题第22题 考查了切线判定、勾股定理和阴影面积计算；年 中考试题第23题考查了切线判定和相同综合；年 中考试题第24题考查了切线判定、相同综合和解直角 三角形；年中考试题第23题考查了切线性质和相同 综合；年中考试题第24题考查了切线判定、相同 综合和阴影面积计算．
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