第一章函数与极限1-1(试用版)
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限高等数学与初等数学的根本区别之一是初等数学的研究对象基本上是常量，而高等数学的研究对象主要是变量．在现实世界中，存在着许许多多变化着的量，它们之间有些变量是相互依赖、相互联系的，函数就是对变量之间相互依赖关系的一种抽象．极限是高等数学中的另一个主要概念，它是高等数学这门课程的基本推理工具．连续性是函数的一个重要性态，而连续函数是高等数学研究的主要对象．在初等数学的学习过程中，我们已经学习过函数、极限与连续的概念，本章将在此基础上，对函数、极限与连续进行复习、巩固和提高．第一节 函数一、函数的概念定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的非空实数集．如果对于变量x 在数集D 中取定的每一个确定的数值，变量y 按照一定的对应法则f 都有惟一确定的数值与之对应，则称变量y 是定义在数集D 上的变量x 的函数，记作)(x f y =．数集D 称为函数)(x f y =的定义域，x 称为自变量，y 称为函数（或称因变量）． 当x 取数值D x ∈0时，由对应法则f ，与0x 对应的y 的值0y 称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值．记作)(00x f y =．当x 取遍D 中的每个数值时，对应的函数值全体组成的数集{}D x x f y y M ∈==，)(称为函数)(x f y =的值域．函数)(x f y =中表示对应法则（或对应关系）的记号“f ”也可改用其它字母.例如“F ”或“g ”，这时函数)(x f y =就记作)(x F y =或)(x g y =．同一个函数在讨论中应取定一种记号．如果在讨论同一问题时，涉及多个函数，则应取不同的记号分别表示．为方便起见，有时可用记号)(1x f y =，)(2x f y =，…等表示函数．这种表示函数的方法也称为函数的解析法（或公式法）．函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.如果某两个函数)(x f y =与)(x g y =的定义域和对应法则相同，则称它们为相同的函数，否则称它们为不同的函数.对于函数)(x f y =，如果自变量x 在定义域内任意取定一个数值时，对应的函数值y 总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数．注意 以后凡是没有特别说明时，本书所讨论的函数都是指单值函数.例1 设62)(3-+=x x x f ，1sin )(+-=x x x g ，求（1）)()3()1(2x f f f ，，；（2）)1()()0(+x g g g ，，π．解（1） 36121)1(3-=-⋅+=f ，276323)3(3=-⋅+=f ，626)(2)()(262322-+=-+=x x x x x f .（2） 1100sin )0(=+-=g ，ππππ-=+-=11sin )(g ，xx x x x g -+=++-+=+)1sin(1)1()1sin()1(. 例2 已知1)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .解 令，于是，则11-==+t x t x331)1()1()(22+-=+---=t t t t t f ， 所以 33)(2+-=x x x f .例3 判断下列各对函数是否是相同的函数：（1）x x f =)(，2)(x x g =；（2）x x g x x f lg 2)(lg )(2==，.解 （1）因为x x f =)(的定义域为)(∞+-∞，， x x x g ==2)(的定义域也为)(∞+-∞，，所以，函数)()(x g x f 与是相同的函数.（2）因为2lg )(x x f =的定义域为)0()0(∞+⋃-∞，，，x x g lg 2)(=的定义域为)0(∞+，，所以，函数)()(x g x f 与是不同的函数.例4 求下列函数的定义域：（1）2312+-+=x x x y ； （2）342+-=x x y ； （3）24x y -=； （4）．)2ln(232-+-+=x x x y 解（1）由0232≠+-x x ，解得21≠≠x x 且， 因此，函数2312+-+=x x x y 的定义域为)2()21()1(∞+-∞，，， .（2）由0342≥+-x x ，解得，或31≥≤x x 因此，函数342+-=x x y 的定义域为(][)∞+∞-，，31 . （3）由042≥-x ，，解得22≤≤-x 因此，函数24x y -=的定义域为[]22，-. （4）由⎩⎨⎧>-≥-+，，020232x x x 解得32≤<x ， 因此，函数)2ln(232-+-+=x x x y 的定义域为(]32，. 给定一个函数)(x f y =时，就意味着其定义域是同时给定的.如果所讨论的函数来自于某个实际问题，则其定义域必须符合实际意义；如果不考虑所讨论的函数的实际背景，则其定义域应使函数)(x f y =在数学上有意义即可.为此要求：（1）分式中的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方式非负；（3）对数的真数大于零；（4）正切符号下的式子不等于为整数）；k k (2ππ+（5）余切符号下的式子不等于为整数）；k k (π（6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值小于等于1；（7）如果函数)(x f y =中含有上述几种情形，则应取各情形下的交集.二、函数的三种常用表示法表示函数的方法，常用的有列表法、图形法、解析法三种.1. 列表法用列出表格来表示两个变量的函数关系的方法称为列表法.例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里使用的利息表等都是用列表法表示函数关系的.2. 图形法用函数的图形来表示两个变量的函数关系的方法称为图形法.例如，气象台用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线就是用图形法表示函数关系的.3. 解析法用一个等式表示两个变量的函数关系的方法称为解析法.这个等式称为函数的解析表达式，简称解析式.例如， )0(2>=r r S π，)0(≠+=a b ax y ，)0(2≠++=a c bx ax y ， )22(42≤≤--=x x y等都是用解析法表示函数关系的.高等数学中研究的函数都是用解析法表示的函数.在许多实际问题的解决过程中，经常用到这样一类函数，在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的解析式表示的函数，这类函数称为分段函数.分段函数是高等数学中常见的一种函数.例如，函数⎩⎨⎧<-≥==00x x x x x y ，，， 和 ⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->-=11112x x x x x x y ，，，，， 都是分段函数，它们的图形如图1-1、图1-2所示.图1-1 图1-2注意 分段函数是用几个解析式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数. 三、函数的四个简单性质1、奇偶性定义2 设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称（即时D x ∈，D x ∈-则）.（1）如果 )()(x f x f =-，D x ∈，则称函数)(x f 为偶函数.（2）如果 )()(x f x f -=-，D x ∈，则称函数)(x f 为奇函数.（3）如果 )()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-，D x ∈，则称函数)(x f 为非奇非偶函数.例如，函数2)(x x f =在)(∞+-∞，内是偶函数，因为)()()(22x f x x x f ==-=-. 函数3)(x x f =在)(∞+-∞，内是奇函数，因为)()()(33x f x x x f -=-=-=-. 注意 偶函数的图形关于y 轴是对称的；奇函数的图形关于原点是对称的.2.单调性定义3 设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂.如果对于区间I 上的任意两点1x 、2x ，当21x x <时，恒有（1） )()(21x f x f <，则称函数)(x f 在区间I 上是单调增加的，区间I 称为单调增区间（图1-3）.（2） )()(21x f x f >，则称函数)(x f 在区间I 上是单调减少的，区间I 称为单调减区间（图1-4）.图1-3 图1-4单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如，函数3)(x x f =在)(∞+-∞，内是单调增加的（图1-5）.函数32)(x x f =在(]0，∞-内是单调减少的，在[)∞+，0内是单调增加的，而在()∞+∞-，内不是单调的（图1-6）.图1-5 图1-6 3.有界性定义4 设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂.如果存在正数M ，使 I x M x f ∈≤，)(，则称函数)(x f 在区间I 上有界.如果不存在这样的正数M ，则称函数)(x f 在区间I 上无界.例如，函数x x f sin )(=在)(∞+-∞，内有界，因为1sin ≤x . 函数x x f 1)(=在[)∞+，1内有界，而在)0(∞+，内无界.4.周期性 定义5 设函数)(x f 的定义域为D .如果存在非零数T ，使得对于任意，D x ∈都有D T x ∈±，且)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数，T 称为周期函数)(x f 的周期.注意 通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期.例如 正弦函数x y sin =和余弦函数x y cos =都是周期为π2的周期函数. 正切函数x y tan =和余切函数x y cot =都是周期为π的周期函数.四、反函数定义6 设函数)(x f y =的定义域为，D 值域为M .如果对于数集M 中的每一个数值y ，数集D 中都有惟一的数值x 与之对应，也就是说变量x 是变量y 的函数，这个函数称为函数)(x f y =的反函数.记作)(1y f x -=.其定义域为M ，值域为D .习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示.因此，我们将定义6中，函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=记作)(1x f y -=.注意 （1）函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.（2）只有在定义区间上单调的函数才有反函数.（3）函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=互为反函数. 例5 求下列函数的反函数：（1）31+=x y ； （2）x x y +-=11． 解（1）由31+=x y ，解得 13-=y x ， x 与y 互换得函数31+=x y 的反函数为13-=x y . （2）由x xy +-=11，解得 y y x +-=11， x 与y 互换得函数x xy +-=11的反函数为x xy +-=11.五、初等函数1.基本初等函数（1）幂函数 αx y =（α为任意实数）.（2）指数函数 x a y = （0>a 且1≠a ，a 为常数）.（3）对数函数 x y a log = 10(≠>a a 且，a 为常数）.常用对数函数 x y lg =，自然对数函数 x y ln =.（4）三角函数正弦函数 x y sin =，余弦函数 x y cos =，正切函数 x y tan =，余切函数 x y cot =，正割函数 x y sec =，余割函数 x y csc =.（5）反三角函数反正弦函数 x y arcsin =，反余弦函数 x y arccos =，反正切函数 x y arctan =，反余切函数 x arc y cot =.定义7 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.基本初等函数的图形和性质在初等数学中已经学习过，在此就不再详述（详见附录Ⅱ）.2.复合函数在某些实际问题中，讨论的函数并非都是基本初等函数本身或仅仅由基本初等函数通过四则运算所得到的函数.例如，在自由落体运动中，物体的动能E 是速度v 的函数221mv E =，而速度v 又是时间t 的函数gt v =，因此，物体的动能E 通过速度v 而成为时间t 的函数2)(21gt m E =.对于这样的函数，我们引入复合函数的概念.定义8 设函数)(u f y =的定义域为1U ，函数)(x u ϕ=的值域为2U .如果φ≠21U U ，则y 通过变量u 成为变量x 的函数，这个函数称为由函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成的复合函数.记作[])(x f y ϕ=.其中，变量u 称为中间变量.例如，由函数 221mv E = 和 gt v = 复合而成的复合函数为2)(21gt m E =.注意 不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数的.例如，函数 u y arcsin = 和 22+=x u 就不能复合成一个复合函数.因为函数22+=x u 的值域[)∞+，2 与函数 u y arcsin = 的定义域[]11，-没有共同的元素.有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成.例如，由函数 v u u y sin ln ==， 和 2x v = 复合而成的复合函数为2sin ln x y =.其中u 和v 都是中间变量.同时，我们还必须掌握好复合函数的复合过程，即“分解”复合函数，这对于导数、微分、不定积分及定积分的学习很有益处.例如，复合函数 10)53(+=x y 是由函数10u y = 和 53+=x u复合而成的；也是由函数2u y = 和 5)53(+=x u复合而成的；也是由函数5u y = 和 2)53(+=x u复合而成的.由此可见，一个复合函数的复合过程并不是惟一的.为了便于今后的学习，我们要求掌握第一种复合函数的复合过程.例6 指出下列复合函数的复合过程：（1）x y 5sin ln =； （2）x y 5sin 2=.解 （1）复合函数 x y 5sin ln = 是由函数x v v u u y 5sin ln ===，，复合而成的.（2）复合函数 x y 5sin 2= 是由函数x v v u u y 5sin 2===，， 复合而成的.3.初等函数定义9 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个数学解析式表示的函数称为初等函数.例如，函数15sin ln 5sin ln 12+==-=x y x y x y ，，都是初等函数.本书中所讨论的函数绝大多数都是初等函数.*六、关于函数)sin(ϕ+=wx A y 图形的学习探究在初等数学中，学习函数)sin(ϕω+=x A y （其中A>0，ω>0）的图形这一内容时，都要研究正弦函数x y sin =图形和函数)sin(ϕω+=x A y 图形的关系.在《高中数学》教材中，详细给出了解决此问题的5个步骤.然而，学生在做函数)sin(ϕω+=x A y 图形的练习和作业时，实际上大多数学生是凭记忆在机械地完成，并没有达到对此种方法真正意义上的理解、掌握和应用.究其原因是学生认为解决这一问题只有《高中数学》教材中介绍的一种方法.事实上，这是一种完全错误的认识.对于此问题，我们下面举例进行关于函数)sin(ϕω+=x A y 图形的学习探究.例 画出函数)32sin(3π+=x y ，∈x R的简图.解 根据《高中数学》教材中给出的解决此问题的如下5个步骤：我们就可以画出函数)32sin(3π+=x y ，∈x R 的简图，如图1-7（1）所示（注意图1-7（1）中的序号）.这一方法也就是《高中数学》教材中给出的方法.一、创设情境、提出问题回顾上例中画出函数)32sin(3π+=x y 图形的5个步骤并仔细观察图1-7（1）中由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形的变化过程，为启发学生思维我们将这一变化过程记为方法1：x y sin = → ？ → ？ → )32sin(3π+=x y⇒x y sin = → )3sin(π+=x y →)32sin(π+=x y →)32sin(3π+=x y .然后从原问题出发提出如下问题：⑴ 解决这一问题的方法是否惟一？ ⑵ 若不惟一，共有几种方法？⑶ 此例中给出的方法是否为最优？ 二、适当提示、猜想结论在给学生一定的时间进行思考的同时，重点提示学生们解决问题的方法是随着函数)sin(ϕω+=x A y 中A 、ω、ϕ不同顺序的依次确定而确定. 鼓励学生勇于猜想，对有思路的学生再给予进一步的提示，并同思路较为清晰的学生进行适当的讨论，而后，请其仿照方法1的写法到黑板上写出他们不同于方法1的方法.至此，问题⑴得到解决. 三、相互交流、完善结论问题的解决需要学生相互之间的合作与交流，这有利于发展学生合作交流的意识与能力.随着上述学生板书的结束，学生们的探究热情将会逐渐高涨，在此基础上，进一步鼓励全体学生继续猜想、验证、交流是否还有其它方法，并同时提醒学生找到的解决问题的方法不能重复、不能遗漏；运用分类讨论和穷举的方法引导学生完整地求得解决问题的全部方法，把成功的机会留给学生，让学生亲身经历学习探究的过程，感受真正参与合作学习、交流的快乐. 学生在求解中，不断优化策略，找到各种不同的方法，将极大地展示他们的智慧，最终引导学生们一致判定解决问题的方法有且仅有六种. 随着学生的踊跃交流、积极思考、主动探究，解决问题的6种方法逐渐明晰起来.为了体现六种方法的内在规律性，分别记为：方法1：x y sin = → )3sin(π+=x y →)32sin(π+=x y → )32sin(3π+=x y 方法2：x y sin = → )3sin(π+=x y →)3sin(3π+=x y → )32sin(3π+=x y ； 方法3：x y sin = → x y sin 3= →x y 2sin 3= → )32sin(3π+=x y ； 方法4：x y sin = → x y sin 3= →)3sin(3π+=x y → )32sin(3π+=x y ；方法5：x y sin = → x y 2sin = → )32sin(π+=x y → )32sin(3π+=x y ； 方法6：x y sin = → x y 2sin = → x y 2sin 3= → )32sin(3π+=x y .这6种方法所对应的图形变化过程分别如图1-7（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）所示.至此，问题⑵得到圆满解决.（1） （2）(3) (4)(5) (6)图1-7四、全面比较、选择最优 为了画出函数)32sin(3π+=x y 的图形，经过师生的共同探究，找到了由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形仅有的6种方法. 这些方法不要求学生、也没必要要求学生全都掌握，只是要求学生通过亲自体验，真正做到理解、掌握和应用其中的最优方法.在这6种方法中，哪种方法为最优？提出两个标准：其一是有利于学生理解、掌握和应用；其二是由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形的变化过程中，函数)32sin(3π+=x y 的图形在坐标系中的位置最为清晰、突出.让学生尝试着从所有找到的6种方法中，寻求适合学生自己的解答问题的最佳方法.根据以上两个标准，学生们经过充分的思考、实际练习、交流，对6种方法及对应图形的认真比较，最后，全体学生必将在上述6种方法中选择其中自己认为最优的的一种方法（学生选择的最优方法有可能不是教材中所给出的方法1）.为了使学生更好地观察、归纳、总结、理解、掌握和应用，我们还可以利用《几何画板》向学生演示由正弦函数x y sin =图形向函数)32sin(3π+=x y 图形变化的过程.最后，问题⑶又得到了解决. 五、严谨思维、提高能力关于函数)sin(ϕω+=x A y 图形的学习探究活动必将使学生们体会到学习探究活动的乐趣和成功的喜悦、提高学生学习《高等数学》课程的兴趣，同时，也将极大地提升学生获得数学地分析问题和解决问题能力的渴望.2006年6月，胡锦涛总书记在两院院士大会上的讲话中指出：“在尊重教师主导作用的同时，更加注重培育学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维.”因此，在高职《高等数学》课程教学过程中，应使学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，发展他们的创新意识.虽然问题解决的学习探究有利于学生数学能力的培养，但是由于各种条件的制约，实际教学中却不能更多地给予学生这种学习探究的机会.因此，我们高职院校师生在高职《高等数学》课程教学过程中应充分挖掘高职《高等数学》课程中具有发散性和持续性的宝贵教学资源，在高职《高等数学》课程教学时为学生提供合作学习、主动探究的机会，充分发挥学生的学习主体作用，在体验成功的的快乐氛围中激发学生学习探究热情，为学生今后持续性学习、为提高学生数学地分析问题和解决问题的能力，为提高学生创新思维能力和实践操作能力奠定基础，从而有效地培养学生的数学能力和学习探究能力.习 题 1—11.设13)(5--=x x x f ，求)1(f ，)2(f ．2.设)2)(1()1(++=+x x x x f ，求．)(x f3.判断下列各对函数是否为相同的函数： （1）2)()(x x g x x f ==，；（2）31)(-⋅=x x x f ，334)(x x x g -=；（3）1)(-=x x x f 23)(x x x g -=，；（4）1)(=x f xx x g =)(，．4.求下列函数的定义域： （1）34422+--=x x x y ；（2）42-=x y ；（3）2112++-=x x y ； （4）211x xy --=．5.判断下列函数的奇偶性： （1）)1()(22x x x f -=； （2）233)(x x x f -=；（3）)1)(1()(+-=x x x x f ； （4）1cos sin )(++=x x x f ． 6.求下列函数的反函数： （1）2+=x x y ；（2）[)∞+∈-=，，242x x x y ．7.在下列各题中,求由所给函数复合而成的复合函数： （1）x u u y sin 2==，； （2）21x u u y +==，； （3）x e u u y ==，2； （4）xv v u e y u 1sin ===，，．8.指出下列复合函数的复合过程： （1）;42+=x y（2）x e y arctan =；（3）x y 5sin =； （4）12cos +=x y ；（5）x y 2sin ln =； （6）2cos ln x y =；（7）)32(sin 2x y -=； （8）x e y sin ln =．9.利用正弦函数的图形作出下列函数的图形： （1）x y sin =； （2）x y sin =．第二节 函数的极限极限是高等数学中的一个重要概念，是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的典型应用.高等数学中的连续、导数、定积分等概念都是在极限的基础上定义的.本节主要讨论当∞→x 时，函数)(x f 的极限；当0x x →时，函数)(x f 的极限两种情形.一、∞→x 时，函数)(x f 的极限我们从函数xy 1=的图形（图1-8）可以看出，当自变量x 取正值无限增大（记为+∞→x ）时，函数xy 1=的值无限趋近于常数0（记为1→x）.此时，我们称常数0为函数xy 1=当+∞→x 时的极限.记作01lim=+∞→x x .图1-8同样地，当自变量x 取负值并且它的绝对值无限增大（记为-∞→x ）时，函数xy 1=的值也无限趋近于常数0.此时，我们称常数0为函数xy 1=当-∞→x 时的极限.记作01lim=-∞→xx .定义1 如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =+∞→也可记作A x f →)(（+∞→x 当）.定义2 如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =-∞→也可记作A x f →)(（-∞→x 当）.定义3 如果Ax f A x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 且，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =∞→也可记作A x f →)(（∞→x 当）.由定义3，我们有如下极限运算公式和定理1.c c x =∞→lim （c 为常数），01lim=∞→xx .定理1 A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim . （1-1）例1 求下列极限：（1）x x 2lim -∞→； （2）x x )21(lim +∞→ ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=∞→．，，，，，，010001)()(lim x x x x f x f x解（1）由图1-9及定义2可得xx 2lim -∞→=0.（2）由图1-9及定义1可得0)21(lim =+∞→xx . （3）由图1-10及定义1、定义2可得1)(lim =+∞→x f x ，1)(lim -=-∞→x f x ，所以，由定理1得)(lim x f x ∞→不存在.图1-9 图1-10二、0x x →时，函数)(x f 的极限我们从函数1+=x y 和112--=x x y 的图形（图1-11、图1-12）可以看出，无论函数1+=x y 在点1=x 处有定义，还是函数112--=x x y 在点1=x 处无定义，当自变量x 无限趋近于1时，两个函数的值都无限趋近于常数2.此时，我们称常数2为函数1+=x y 和112--=x x y 当1→x 时的极限.分别记作2)1(lim 1=+→x x ，211lim21=--→x x x .图 1-11 图1-12定义4 设函数)(x f 在)0)(()(0000>+-δδδx x x x ，， 内有定义.如果在)()(0000δδ+-x x x x ，， 内，当0x x →时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限.记作A x f x x =→)(lim 0.也可记作A x f →)(（当0x x →）.A x f x x =→)(lim 0也称为函数)(x f 在点0x x =处的极限.由定义4可知，当0x x →时，极限)(lim 0x f x x →是否存在，与函数)(x f 在点0x 处是否有定义无关.同时，我们有如下极限运算公式.c c x x =→0lim （c 为常数）.00lim x x x x =→.有时，我们只需考虑自变量x 小于0x 而趋近于0x （记为-→0x x ）时，或自变量x 大于0x 而趋近于0x （记为+→0x x ）时，函数)(x f 的极限，因此，我们给出左极限、右极限的定义.定义5 如果当-→0x x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的左极限.记作A x f x x =-→)(lim 0.定义6 如果当+→0x x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的右极限.记作Ax f x x =+→)(lim 0.由定义4我们有如下定理.定理2 A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0. （1-2）例2 求函数110011)(2>≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f ，，，，， 在点0=x 和1=x 处的极限.解 函数)(x f 的图形如图1-13所示.图1-13（1）因为1)1(lim )(lim =+=--→→x x f x x ００，0lim )(lim 2==++→→xx f x x ００，即 )(lim )(lim x f x f x x +-→→≠００，所以，)(lim x f x ０→不存在.（2）因为1lim )(lim 211==--→→xx f x x ，11lim )(lim 11==++→→x x x f ，即 )(lim )(lim 11x f x f x x +-→→=，所以 1)(lim 1=→x f x .三、无穷小与无穷大1.无穷小定义7 如果当∞→x （或0x x →）时，函数)(x f 的极限为零，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的无穷小量（简称无穷小）.记作0)(lim =∞→x f x （或0)(lim 0=→x f x x ）.例如，因为01lim=∞→xx ，所以，函数x1为当∞→x 时的无穷小.因为0lim 0=→x x ，所以，函数x 为当0→x 时的无穷小.因为0sin lim 0=→x x ，0tan lim 0=→x x ，所以，正弦函数x sin 、正切函数x tan 都是当0→x 时的无穷小.注意 （1）常数中只有数0是无穷小.因为0的极限是0.（2）说某个函数是无穷小，必须同时指出自变量的变化趋势.因为无穷小是用极限来定义的.（3）在定义7中，自变量x 的变化趋势可以换成如下四种情形中的任何一种情形.即+∞→x ，-∞→x ，-→0x x ，+→0x x .2.无穷大定义8 如果当∞→x （或0x x →）时，函数)(x f 的绝对值)(x f 无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的无穷大量（简称无穷大）.记作∞=∞→)(lim x f x （或∞=→)(lim 0x f x x ）.例如，当0→x 时，函数x1为无穷大.记作∞=→x x 1lim.当∞→x 时，函数3x 为无穷大.记作∞=∞→3lim x x .定义9 如果当∞→x （或0x x →）时，函数0)(>x f 且无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的正无穷大.记作+∞=∞→)(lim x f x （或+∞=→)(lim 0x f x x ）.定义10 如果当∞→x （或0x x →）时，函数0)(<x f 且)(x f -无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的负无穷大.记作-∞=∞→)(lim x f x （或-∞=→)(lim 0x f x x ）.例如，+∞=∞→2lim x x ， -∞=-∞→)(lim 2x x .注意 （1）常数中没有数是无穷大.（2）说某个函数是无穷大，必须同时指出自变量的变化趋势.（3）在定义8、定义9、定义10中，自变量x 的变化趋势可以换成如下四种情形中的任何一种情形.即+∞→x ，-∞→x ，-→0x x ，+→0x x .3.无穷小与无穷大之间的关系定理3 在自变量x 的同一变化趋势下， （1）如果 ∞=)(lim x f ，则0)(1lim=x f ；（2）如果 0)(lim =x f ，且0)(≠x f ，则∞=)(1limx f .四、两个重要极限1. 1sin lim=→xx x .2. ex xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 或 ()e x x x =+→11lim .常数e 是无理数，它的值是590457182818284.2=e ….指数函数x e y =与自然对数函数x y ln =中的底e 就是这个常数e .注意 读者应掌握两个重要极限的结构形式特点：1sin lim=→， e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ 11lim 或 ()e =+→101lim ． 只要符合上述结构形式的，极限公式总是成立的.例如 155sin lim5=→xx x ，122sin lim2=→x x x ，e x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-22211lim .习 题 1-21.设xx x f =)(，xx x g =)(，作出它们的图形，并求（1）)(lim 0x f x -→，)(lim 0x f x +→，)(lim 0x g x -→，)(lim 0x g x +→；（2）)(lim 0x f x →，)(lim 0x g x →.2.设⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->--=，，，，，，11111)(2x x x x x x x f 作出)(x f 的图形，并求)(lim 1x f x -→，)(lim 1x f x →.3.下列数中，哪些数是无穷小？哪些数是无穷大？10010,100100，0，10010-，100100-.4.判断题：（1）当0→x 时，函数xx 1cos是无穷小. （ ）（2）当∞→x 时，函数x x sin +不一定是无穷大. （ ）（3）非零常数与无穷大的乘积必为无穷大. （ ） （4）无穷小与无穷大的乘积必为无穷小. （ ） （5）在自变量的同一变化趋势下，无穷大的倒数必为无穷小. （ ）第三节 极限的运算一、极限的运算法则定理1 如果B x g A x f ==)(lim )(lim ，，则（1）[]B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ； （2）[]B A x g x f x g x f ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )()(lim ； （3）BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim)0(≠B .推论1 []kA x f k x kf ==)(lim )(lim (k 为常数）. 推论2 [][]n n n A x f x f ==)(lim )(lim （n 为正整数）. 由推论2可得极限运算公式：nnx x x xlim =→ （n 为正整数）， 01lim=∞→nx x(n为正整数）.定理1中的（1）、（2）可推广到有限个函数的情形.例如，如果)(lim 1x f 、)(lim 2x f 、)(lim 3x f 都存在，则[])(lim )(lim )(lim )()()(lim 321321x f x f x f x f x f x f --=--，[])(lim )(lim )(lim )()()(lim 321321x f x f x f x f x f x f ⋅⋅=⋅⋅.定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3 有限个无穷小的乘积仍是无穷小.定理4 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积仍是无穷小.定义1 在自变量x 的同一变化趋势下，如果0)(lim =x f ，0)(lim =x g ，且1)()(lim=x g x f ，则称函数)(x f 与)(x g 为等价无穷小.记作)(x f ～)(x g .例如，0lim 0=→x x ，0sin lim 0=→x x ，由重要极限1sin lim=→xx x 可知，函数x sin 与x 当0→x 时为等价无穷小.记作当0→x 时，x sin ～x .定理5 设0lim =α，0lim =β，0lim ='α，0lim ='β.如果α～α'，β～β'，且αβ''lim存在，则 =αβlimαβ''lim.此定理也就是说：求两个无穷小商的极限时，分子与分母都可用其等价无穷小来代替，从而使极限的计算简化.二、极限运算的十个基本公式1.c c =lim （c 为常数）.2.n n x x x x 00lim =→ （n 为正整数）.3.01lim=∞→nx x（n 为正整数）.4.[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±.5.[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅.6.)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =（0)(lim ≠x g ）.7.[])(lim )(lim x f k x kf = （k 为常数）. 8.[][]nnx f x f )(lim )(lim = （n 为正整数）.9.1sin lim=→xx x . 10.e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1)1(lim .三、极限运算的十个基本类型例1 求)123(lim 22+-→x x x .解 )123(lim 22+-→x x x =22221lim )2(lim )3(lim →→→+-x x x x x=1lim 2lim 3222+-→→x x x x=122232+⋅-⋅ =9.事实上，设多项式函数nn na xa x a x f +++=- 110)(，则 )(lim )(lim 1100n n n x x x x a x a x a x f +++=-→→=n x x n x x n x x a x a x a 0lim lim lim 110→-→→+++=n n n a x a x a +++- 1100=)(0x f .即 )()(lim 00x f x f x x =→. （1-3）例2 求352lim232+--→x x x x .解 由例1得03)35(lim 22≠-=+-→x x x ，6)2(lim 32=-→x x ，则 )35(lim )2(lim 352lim2232232+--=+--→→→x x x x x x x x x=22222323lim lim 5lim 2lim lim →→→→→+--x x x x x x x x=32522223+⋅--=36-=2-.例3 求93lim23--→x x x .解 由例1得0)3(lim 3=-→x x ，0)9(lim 23=-→x x ，因此，不能直接应用商的极限运算法则求此极限. 由函数93)(2--=x x x f 得092≠-x ，从而有03≠-x .因此，首先对函数93)(2--=x x x f 进行简化，然后再应用商的极限运算法则.)3)(3(3lim93lim323+--=--→→x x x x x x x=31lim 3+→x x =)3(lim 1lim 33+→→x x x=61.例4 求36443lim 323+--+∞→x x x x x .解 因为∞=-+∞→)443(lim 23x x x ，∞=+-∞→)36(lim 3x x x ，所以，不能直接应用商的极限运算法则.首先用分子、分母多项式中最高次幂3x去除分子、分母，然后再应用商的极限运算法则.323323316443lim36443limxxxx x x x x x x +--+=+--+∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→323316lim 443lim x x x x x x=006003+--+=21.例5 求36243lim32+--+∞→x x x x x .解 首先用分子、分母多项式中最高次幂3x 去除分子、分母，然后再应用商的极限运算法则.323232316243lim36243limxxxx xx x x x x x +--+=+--+∞→∞→ = ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→3232316lim 243lim x x x x x x x=006000+--+=0.例6 求下列极限： （1）332lim2+++∞→x x x x ； （2）93lim23-+→x x x .解 （1）因为22232131lim323limxxx x x x x x x +++=+++∞→∞→=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→22321lim 31lim x x x x x x=0100+++=0，即函数3232+++x x x 为当∞→x 时的无穷小.所以，函数3322+++x x x 为当∞→x 时的无穷大.即∞=+++∞→332lim2x x x x .（2）因为)3(lim )9(lim 39lim32323+-=+-→→→x x x x x x x=6=0，即函数392+-x x 为当3→x 时的无穷小.所以，函数932-+x x 为当3→x 时的无穷大.即∞=-+→93lim23x x x .由例4、例5、例6（1）可得，当m b a ，，0000≠≠和n 为正整数时，有．当，当，当，，，n m n m n m b a b xb x b a xa xa nn nm m m x ><=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=++++++--∞→0lim110110 （1-4） 例7 求下列极限： （1）xx x sin lim 0→ ； （2）x x x tan lim 0→ ；（3）xkxx sin lim→ )0(≠k ； （4）bxax x sin sin lim 0→ )00(≠≠b a ，；（5）2cos 1limxxx -→.解 当0→x 时，有)0(0≠→k kx . （1） xx xx x x sin 1limsin lim0→→=xx x x sin lim1lim 0→→=11=1=.（2） xx xxx x x cos sin lim tan lim00→→= xx x x cos sin lim→=xx xx x cos lim sin lim 00→→=11=1=.（3） kx kx k xkx x x sin limsin lim→→=kx kx k kx sin lim→= kxkx k kx sin lim→=1⋅=k k=.（4） x bx x ax bxax x x sin sin limsin sin lim→→= xbx x ax x x sin limsin lim 0→→=ba)3(.又因为，当0→x 时，ax sin ～ax ，bx sin ～bx ， 所以 bxax x sin sin lim→ 5定理 bxax x 0lim→ba x 0lim→=ba =.（5） 2222sin2limcos 1limxx xxx x →→=-22222sinlim⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x2022sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→xx x20222sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x=20222sin lim21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x=2121⋅=21.例8 求下列极限：（1）xx x 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→； （2）xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim ；（3）xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→21lim ； （4）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛--∞→32lim .解 当∞→x 时，有)0(≠∞→k kx . （1） xx x 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→=211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→x x x 2e=.请读者自己推导：nnxx e x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （n 为非零整数）.（2）xxxx xx⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→211lim21lim22211limxx x⋅∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=222211lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→xx x222211lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→xx x2e=.（3）xxxx xx⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→∞→211lim21lim)2(22211limxx x--∞→-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=)2(222111limxxx-∞→-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+==2222111lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-x x x=2222211lim 1lim ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-∞→-x x xx=222211lim 1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-x x x21e=2-=e.请读者自己综合（2）、（3）推导：nxx e x n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim （n 为非零整数）. （4）由（3）得221lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x xx ， 331lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x xx ， 则 xx xx x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→32lim 32limxx x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∞→3121limxxx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→3121limxx xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→31lim 21lim32--=eee =.例9 求xx x sin lim ∞→.解 因为1sin ≤x ，且01lim=∞→xx ， 即函数x sin 为有界函数，且当∞→x 时，函数x1为无穷小.所以，当∞→x 时，函数xx sin 为无穷小.即sin lim=∞→xx x .例10 求xx x -+-→222lim 2.解 因为)22(lim 2=+-→x x ，0)2(lim 2=-→x x ，所以，不能直接应用商的极限运算法则求此极限.首先进行分子有理化，然后再应用商的极限运算法则.)22)(2()22)(22(lim222lim22++-+++-=-+-→→x x x x xx x x)22)(2(2lim2++--=→x x xx=221lim2++→x x。
电子教材-高等数学二-第一章 函数与极限
第一章 函数与极限高等数学主要研究对象是变量及其之间的相互关系．极限是研究变量的一种基本的和重要的方法．本章主要讨论函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的基本性质．第一节 函数一 预备知识：1.集合由事物组成的集体，无论它们是由其成员直接表示出来的，还是由它们成员所具有的某些本质属性表示出来的，都称为集合．集合是数学中的一个原始概念，以上的定义属描述性的．几乎所有的数学分支都与集合密切相关，我们所学的这门课与实数集就是紧密相关的．某事物a 是集合A 的一个成员，则称a 为A 的一个元素，记作a A ∈．若事物a 不是A 的元素，记作a A ∉．一个集合认为是已知的，如果对任何事物能判断它是否属于这个集合．若能写出这个集合的所有元素，则我们用一个括号将它们括起来表示这个集合，例如由元素12,,,n a a a L 组成的集合，可记作{}12,,,n A a a a =L ，而对不易列举出其所有元素的集合，通常用以下记号表示：设集合A 是由某种性质P 的元素x 所组成，就记作{|}A x x P =具有性质．例如 {|}N n n =为自然数代表全体自然数组成的集合， {|}R x x =为实数代表全体实数所组成的集合，{|}Z x x =为整数代表全体整数所组成的集合， {|}Q x x =为有理数代表全体有理数所组成的集合．若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若x A ∈ ,则x B ∈，就称A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇，例如N Z ⊆，Z Q ⊆，Q R ⊆．若A B ⊆，且B A ⊆，则称集合A 等于集合B ，记作A B =．一个极端的情形是集合中不含任何元素，这种集合称为空集，记作∅．2.邻域邻域也是我们以后常要用到的一个重要概念．设a R ∈，R δ∈且0δ>，数集{}x x a δ-<称为点a 的δ邻域，记作()a U δ；点a 叫做该邻域的中心，δ叫做该邻域的半径，如图1-1．图1-1点a 的δ邻域去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作0()aU δ，即 {}0()0a U x x a δδ=<-<．二 函数的概念1．变量与函数所谓变量，就是在某一过程中可以取不同值的量．相反，若在某一过程中保持不变的量就称为常量．通常用字母,,a b c 等表示常量，用字母,,,,,x y z u v t 等表示变量．在自然现象中，对同一个问题，往往同时出现几个变量，而这些变量又是相互联系、相互依赖的，以下就两个变量的情形举几个例子．例1 在自由落体运动中，路程s 随时间t 的变化而变化，它们之间的依赖关系由公式212s gt =表示，当t 在[0,)+∞内任意取定一个数值时，由上式就可确定s 的相应数值．例2 按邮章规定，国内外埠平信，每重20克或不足者付邮资1.20（元），以下累计，不得超过2公斤，则此邮章规定了由信重W 的值确定邮资M 的值的规则，其中02000W <≤（克），邮资M 与信重的关系表达为M=1.20(元) 当020W <≤，M=2.40(元) 当2040W <≤，L M=120.00(元) 当19802000W <≤．例3 设有半径为r 的圆，考虑圆内接于该圆的正n 边形的周长n S （如图1-2所示），由初等数学知识易知2sin n S nr n π=，于是此式表达了内接正n 边形周长n S 与边数n 之间的相互依赖关系．图1-2上面几个例子都反映了同一过程中有着相互联系的两个变量，当一个量在某个数集中变化时，按一定的规则，另一个量有唯一的一个值与它对应，函数概念正是从这一事实中抽象出来的．定义1 设D 是R 中的一个非空数集，若有一个对应规则f ，使得对于D 内每一个实数x ，都能由f 唯一地确定一个实数y ，则称对应规则f 为定义在D 上的一个函数，记为 (),y f x x D =∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量．点集D 称为函数的定义域，记为()D f ．()f x 称为x 所对应的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域，记为()R f ，即(){}()R f y y f x x D ==∈，．如上述例1中确定了一个定义在区间[0,)+∞上的一个以t 为自变量的函数，例2确定了区间(0,2000]上的以W 为自变量的函数，例3确定了数集{},3n n N n ∈≥上n 为自变量的函数．注（1）如果一个函数是用一个数学式子给出的，则其定义域约定为使这个式子有意义的自变量所取值的全体．（2）所谓两个函数相同，是指它们的定义域和对应法则分别相同．对函数()y f x =，任取()x D f ∈，对应函数值()y f x =，这样，以x 横坐标，y 为纵坐标就确定了XOY 平面上的一点，点集{}(,)(),()C x y y f x x D f ==∈一般描述出一条平面曲线，称为()f x 的图形（见图1-3）．图1-32．函数的表示法表示函数的方法主要有三种（1）解析法 当函数的对应法则用方程式给出时，称这种表示函数的方法为解析法（分析法）如上述例1至例3，这种方法是我们表示函数的主要方法．注 有时一个函数在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，如上面的例2及以下例子：1,0,()sgn 0,0,1,0.x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ 此函数称为符号函数，其定义域()(,)D f =-∞+∞，值域(){1,0,1}R f =-，参见图1-4．图1-4这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数．（2）列表法 若函数()f x 可用一张含有自变量值与对应的函数值()f x 的表格来表示，则称为列表法．通常所用的三角函数表，对数表等都是用列表法表达的函数．（3）图像法 由图像给出函数的对应法则的方法称为图像法．3. 几个特殊的函数(1) 取整函数 []y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数．对于取整函数[]x (如图1-5) ，可以证明：对任意的实数x ，有不等式：[]x []1x x ≤<+．(2) 狄利克雷(Dirichlet)函数：1, ()0, x y D x x ⎧==⎨⎩是有理数,是无理数.图1-5三 函数的主要性质1.有界性设函数()f x 的定义域为()D f ，()D D f ⊆，如果存在正数M ，使得当x D ∈时()f x M≤，则称()f x 是D 上的有界函数，否则称()f x 在D 上无界，即对任何正数M ，存在0x D ∈，使得0()f x M >．例如函数()sin f x x =，()cos g x x =在(,)-∞+∞上是有界函数，而函数1()f x x =在(0,1) 上无界，可是函数1()f x x=在(,1)c 上是有界的，其中01c <<． 有界函数图像的特点是它完全落在平行于x 轴的两条直线y M =±所组成的带形区域之中．2.单调性若函数()f x 的定义域为()D f ，()D D f ⊆，如果对任意12,x x D ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <（12()()f x f x >） 则称f 在D 上是单调增加的（单调减少的），单调增加和单调减少函数统称单调函数．例如，函数2y x =在(,0)-∞上单调减少，在(0,)+∞上单调增加，而在(,)-∞+∞上不是单调的．函数3y x =在(,)-∞+∞上是单调增加的，如图1-6和图1-7．图1-6 图1-73.奇偶性设函数()f x 的定义域()D f 为关于原点对称的数集（即若()x D f ∈，则()x D f -∈）．如果对于任一点()x D f ∈有()()f x f x -= ，则称函数()f x 是偶函数，如果对于任一()x D f ∈ ，总有()()f x f x -=-，则称函数()f x 是奇函数．例如函数2()f x x =，()cos g x x =是偶函数．函数31()f x x =，1()sin g x x =是奇函数，函数()sin cos h x x x =+是非奇非偶函数，既奇又偶的函数只有()0f x =．偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，如图1-8和图1-9．图1-8 图1-94.周期性 设函数()f x 的定义域为()D f ，如果存在正数l ，使得对任意()x D f ∈有()x l D f +∈，且总有()()f x l f x +=成立，则称()f x 为周期函数，称l 为()f x 的周期．由定义知道，若l 为()f x 的周期，则nl 也为其周期．通常，我们称l 为()f x 的周期，是指l 是()f x 的最小正周期．例如函数()sin f x x =，()cos g x x =是以2π为周期的函数，奇函数()sin h x x ω=是以2L πω=为周期的函数，这里0ω≠．周期函数在每个周期上，图形相同．四 反函数与复合函数1. 反函数在函数的定义中，有两个变量，一个自变量，一个因变量．然而在实际问题与数学问题中，哪个是自变量，哪个是因变量，并不是绝对的，应按所研究的具体问题而定．例如自由落体运动，其运动方程为：212s gt = [0,]t T ∈ ． （1）于是由时间t 可算出路程s ，其中g 为常量．可是，如果问题是由下落的距离来确定所需要的时间t ，那么就要由 （1）解出t ，把它表示为s 的函数t = [0,]s H ∈ ． （2） 这里H 是物体开始下落时与地面的距离．这表明，在一定的条件下，函数的自变量与因变量可以相互转化．这样得到的新函数，就称为原来那个函数的反函数，例如 （2）是（1） 的反函数．定义2 设函数()y f x =的定义域为()D f ，值域为()R f ，若对每一个()y R f ∈，()D f 中有唯一值x 使得()f x y =，于是在()R f 上确定一个函数，此函数称为函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，()y R f ∈ ． （3）注（1）若()y f x =有反函数，则按f 建立了()D f 与()R f 之间的一一对应关系．（2）由定义可知，()f x 也是函数1()f y -的反函数，或者说它们互为反函数，而且前者的定义域与后者的值域相同，前者的值域与后者的定义域相同．（3）由于习惯上用x 表示自变量，用y 表示因变量，因此（3）又常常记为1()y f x -= ()x R f ∈． （4）因为（3）与（4）有相同的定义域()R f 和相同的对应关系1f -，故（3）和（4）表示同一函数．（4）在同一坐标系中，()y f x =的图像与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，如图1-10．图1-102.复合函数先看一个实例，运动物体的动能是速度的函数：212E mv =，而速度v 又是时间t 的函数，对于自由落体，这个函数是v gt =，于是动能E 是时间t 的函数2212E mg t =． 一般地，两个函数的复合函数的定义如下：定义3 设 ()y f u = ()u D f ∈；()u g x =，()x D g ∈是两个已知函数，且()()D f R g ≠∅I （其中()R g 记函数()u g x =的值域），则称函数 [()],y f g x ={()()}x x g x D f ∈∈为由函数()y f u =与()u g x =复合而成的复合函数，其中()f u 称为外层函数，()g x 为内层函数，y 称为因变量，x 称为自变量，而u 称为中间变量．由定义可知，复合函数[()]f g x 的定义域为{()()}x g x D f ∈．例如2sin y x =可以看成2y u =和sin u x =复合而成，其定义域为(,)-∞+∞；y =可以看成y =，21u x =-复合而成，其定义域为[1,1]-．注 （1）当且仅当()()D f R g ≠∅I 时，两个函数才能进行复合，如arccos y u =，[1,1]u ∈-与22u x =+，(,)x ∈-∞+∞就不能进行复合．（2）复合函数也可以由三个或者三个以上函数复合而成，例如y =可以看成三个函数12y u = ，[0,)u ∈+∞，21u v =+ ，(,)v ∈-∞+∞， sin v x = ，(,)x ∈-∞+∞复合而成．五 初等函数中学数学课程中已经讨论过下列几类函数：1.幂函数：y x α=（α为常数）．2.指数函数：x y a =(0,1)a a >≠．3.对数函数：log a y x = (0,1)a a >≠．在科技中常用的以e 为底的对数函数log e y x =叫做自然对数函数，简记作ln y x =．4.三角函数常用的三角函数有：sin y x =，cos y x =， tan y x =，cot y x =等．5.反三角函数常用的反三角函数有：arcsin y x = ， arccos y x = ， arctan y x = ， arccot y x =等． 以上五类函数统称为基本初等函数．由常数及基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除四则运算和有限次的复合步骤所构成并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数．例如y 2012()n n n y P x a a x a x a x ==++++L ， y =都是初等函数．而分段函数一般不是初等函数，例如Dirichlet 函数就不是初等函数．六 经济学中常见的函数需求函数与供给函数．需求与供给是经济活动中的主要矛盾之一．在市场经济条件下, 需求与供给关系对商品的生产与销售有重要影响, 因此它们是经济学研究的重要对象．需求函数：某一商品的需求量是指在一定的价格水平下，在一定时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商品数量．消费者对某种商品的需求量是由多种因素决定的，如商品价格、消费者的数量、经济收入状况、消费时段以及消费嗜好等．为简化问题，不考虑除价格以外的其他因素的影响或把其他因素看作相对稳定，那么需求量可看成是价格p 的一元函数，称为需求函数，记为()Q f p =．一般地，需求函数是价格的单调递减函数．人们常用下面这些简单的初等函数来近似表示需求函数：线性函数：Q ap b =-+，其中,0a b >；幂函数：a Q kp -=，其中0k >，0a >；指数函数：bp Q ae -=，其中,0a b >．供给函数：某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定时期内生产者愿意生产并可供出售的商品量．供给量也是由多个因素决定的，如果在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量Q 可以简化为价格p 的函数，记为()Q Q p =．一般说来,商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品就越多，因此，一般的供给函数都是单调递增的．人们常用下面这些简单的初等函数来近似表示供给函数：线性函数：Q ap b =-，其中,0a b >；幂函数：a Q kp =，其中0k >，0a >；指数函数：bp Q ae =，其中,0a b >．例5 设某配电箱的价格为120元时，厂家可提供2万个该配电箱，当价格每增加2元时，厂家可多提供2000个，试求供给函数．解 p 为价格,Q 为配电箱供应量,依题意有：1202000020001000(100)2p Q p -=+⨯=-. 在同一个坐标系中作出需求曲线和供给曲线，两曲线的交点通常称之为供需平衡点，对应的价格p 称为均衡价格．习题1-11．求下列函数的定义域：（1）[]23log log y x =，（2）32arcsin 5x y - 2．若()f x 的定义域是[0,3](0)a a >，求()()f x a f x a ++-的定义域．3．验证：函数11x y x-=+的反函数是它本身． 4．求函数cos(3)y x =-的最小正周期．5．验证下列函数在区间(0,)+∞内是单调增加的： (1) 12x y -=，(2) ln y x x =+．5．设sin ,,3()0,.3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),(2)6πφφ-，作出函数()y x φ=的图形． 6．已知2211()3f x x x x+=++，求()f x ． 7．证明：定义在对称区间(,)l l -上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和（提示：考虑()(),()()f x f x f x f x +---的奇偶性）．8．设,0,()1,0.x x f x x ≥⎧=⎨<⎩（1）求(1)f x -； （2）求()(1)f x f x +-．（写出最终的结果）．9．在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量0x 的函数值：（1）20,sin ;6y u u x x π=== ； （2）20,;1u y e u x x ===． 10．火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费．试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出这函数的图形．11．拟建一容积为V 的长方形水池，要求池底为正方形，如果池底单位面积的造价是四周单位造价的2倍．假定四周单位造价为k （元/平方米），试将总造价y （元）表示成底边长x （米）的函数，并确定此函数的定义域．12．某商品供给量Q 对价格P 的函数关系为P kQ a b c =+⋅(1c ≠)，已知当2P =时，30Q =；3P =时，50Q =；4P =时，90Q =，求供给量Q 对价格P 的函数关系．13．某化肥厂生产产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过的部分按九折出售，试将销售总收益y （元）表示成销售量x （吨）的函数．第二节 数列极限一 数列极限的定义一个数列就是按照一定顺序排成的一列数1,23,,,,n a a a a L L ,简记为{}n a , 数列中的每一个数称为数列的项，第n 项n a 称为数列的一般项（或者通项）．数列也可以视为一个定义在正整数集N +上的函数:(),1,2,n a f n n ==L ．如果对任意n ,总有1n n a a +≤,则称{}n a 是单调递增的数列;类似可定义单调递减的数列.两者统称为单调数列. 如果存在常数1K ,使得1n a K ≤，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有上界；如果存在常数2K ,使得2n a K ≥，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有下界．如果存在常数0M >,使得数列{}n a 满足:n a M ≤，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有界；否则称{}n a 无界，即如果对任何正数M ,至少有一项n a 满足n a M >．例如,公差0d >的等差数列是单调无界数列,首项10a >,公比01q <<的等比数列是单调有上界数列.下面考察n 无限增加时,其通项n a 的变化规律.先看下面表格给出的几个具体的例子：从上表可以看出,当n 无限增大时, 一般项n a 的变化规律可分为三类:第一类,如1n和21n ,当n 无限增大时, n a 无限趋于一个确定的数a ；第二类,如21n +,当n 无限增大时,n a 的值无限增大；第三类, 如()1n-,当n 无限增大时,没有确定的变化趋势.一般地,如果n 无限增大时,数列的项n a 无限趋近于某一个确定的常数a ,则称a 为数列{}n a 的极限.下面，我们按照无穷大列、无穷小列以及数列极限的顺序给出数列极限的严格定义. 定义1 设{}n D 是一个单调递增、无上界的正数列 ,则称{}n D 是一个恒正无穷大列. 例如，数列{}n α（其中α为正数）为恒正无穷大列．定义2 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷大列{}n D ,使得对一切n 总有|| n n a D ≥,则称{}n a 是无穷大列.如果对一切自然数n ,都有 n n a D ≥,则称{}n a 是正无穷大列. 如果对一切自然数n ,都有 n n a D ≤-,则称{}n a 是负无穷大列．例1 证明数列{}n q （1q >）和{(1)sin}2n n n π-+是无穷大列. 证 由于1q >，所以1n n q q +>，所以正数列{}k q 是单调递增的．对于任何正常数K ，取正整数0ln []ln Kn q =，当0n n >时，有ln ln Kn q q q K >=，于是数列{}n q （1q >）无上界，故{}n q （1q >）是恒正无穷大列，从而是无穷大列．因为(1)sin12n n n n π-+≥-，而数列{1}n -当2n ≥时是恒正无穷大，所以数列{(1)sin}2n n n π-+是无穷大列． 定义3 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷大列{}n D ,使得对一切n 总有1n na D =,则称{}n a 是恒正无穷小列. 定义4 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷小列{}n α,使得对一切n 总有|| n n a α≤,则称数列{}n a 是无穷小列.例如,当α为正数时,数列{}n α-是恒正无穷小列；当0||1q <<时,数列{}n q 是无穷小列.定义5 设{}n a 是一个数列,如果存在一个常数A 和一个无穷小列{}n α,使得n n a A α=+,则称数列{}n a 以A 为极限, 或数列{}n a 收敛于A ,记为lim n n a A →∞=或者() n a A n →→∞时.否则,称数列{}n a 发散,也称极限lim n n a →∞不存在.显然，无穷小列的极限是0.注 我们约定：正无穷大列{}n D '以+∞为极限，记作lim nn D →∞'=+∞,负无穷大列{}n D ''以-∞为极限，记作lim nn D →∞''=-∞,无穷大列{}n D 以∞为极限，记作lim n n D →∞=∞. 例2 用极限定义证明:313lim212n n n →+∞+=+.证 因为31312122(21)n n n +--=++,而12(21)n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是无穷小列,故有313lim 212n n n →+∞+=+. 注 由定义5知道： lim n n a A →∞=的充分必要条件是n n a A α=+，其中{}n α是n →∞时的无穷小列，即lim 0n n α→∞=.由定义,表1-1的几个例子极限分别为:1lim0n n →∞=，21lim 0n n →∞=，()lim 21n n →∞+=+∞，()lim 1nn →∞-不存在．为便于以后求数列极限,我们将常用的几个数列极限归纳如下: (1)lim n c c →∞=,(2)1lim0n n α→∞=()0α>, (3)0, 01,1, 1,lim , 1,, 1.n n q ••q q q •••q →∞⎧<<⎪=⎪=⎨=-⎪⎪∞>⎩不存在注 数列极限的定义还有与上述定义等价的N ε-语言形式：对任意0ε>,都存在0N >,使得对任意n N >,都有n a a ε-<成立,则称数列{}n a 以a 为极限，记作 lim nn a a →∞=．三 无穷大列与无穷小列的基本性质性质1 若{}n D 和{}n D '是恒正无穷大列，则{}n n D D '+也是恒正无穷大列．若{}n a 和{}n a '是正无穷大列，则{}n n a a '+也是正无穷大列．证 因为{}n D 和{}n D '是恒正无穷大列，所以{}n D 和{}n D '均是单调递增且无上界，直接验证知道{}n n D D '+也是单调递增且无上界，故{}n n D D '+是恒正无穷大列．由第一个结论及正无穷大列的定义即可得到第二个结论的证明．同样，由恒正无穷大列和正无穷大列的定义，不难证明以下性质：性质2 若{}n D 是一个恒正无穷大列，M 是一个正数，则{}n MD 也是恒正无穷大列．若{}n a 是一个正无穷大列，M 是一个正常数，则{}n Ma 也是正无穷大列．由恒正无穷小列的定义不难知道，两个恒正无穷小列的和是恒正无穷小列，一个正数与一个恒正无穷小列的积是恒正无穷小列，一般地，我们有以下结论： 性质3 若{}n α和{}n β是无穷小列，则{}n n αβ±也是无穷小列．证 因为{}n α和{}n β是无穷小列，所以存在恒正无穷小列{}nα'和{}n β'使得n n αα'≤，n nββ'≤．令max(,)n n n γαβ''=，则{}n γ是恒正无穷小列，从而{2}n γ也是恒正无穷小列．于是有2n n n n nn n αβαβαβγ''±≤+≤+≤，故{}n n αβ±是无穷小列． 类似地可以证明以下性质：性质4 若{}n α是无穷小列，{}n ν是有界数列，则{}n n να⋅也是无穷小列．特别，若{}n α是无穷小列，M 是一个常数，则{}n M α⋅也是无穷小列．四 数列极限的性质下面,我们给出数列极限的几个基本性质.性质5(唯一性) 若数列{}n a 收敛,则数列{}n a 的极限唯一.证 若{}n a 收敛于A ,又收敛于A '，则存在两个无穷小列{}n γ与{}nγ'使得n n a A γ=+，又有n na A γ''=+，于是得n n A A γγ''-=-,由性质1知道{}n n γγ'-是一个无穷小列，故常数列{}A A '-是一个无穷小列，从而0A A '-=，即A A '=．性质6（有界性） 若数列{}n a 有极限A ,则数列{}n a 有界．证 因为{}n a 有极限A ，所以存在无穷小列{}n γ使得n n a A γ=+，于是存在标准无穷小列{}n α使得n n γα≤．故对任意正整数n ，有1n n n n a A A A A γγαα=+≤+≤+≤+．这就证得数列{}n a 有界．类似于前两个性质的证明，可得如下性质：性质7（保序性）若数列{}n a ,{}n b 均收敛,且存在正整数0N 使得0n N ≥时,n n a b ≤， 则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.注 （1)性质6的等价命题是:若数列{}n a 无界,则数列{}n a 发散.例如数列(){}2n-是无界的,所以发散.（2)数列有界只是数列收敛的必要而非充分条件,即数列有界也不一定收敛.例如,数列(){}1n-有界,但它发散.（3) 如果性质7条件中的n n a b ≤换成n n a b <,未必有lim n n a →+∞<lim n n b →+∞.例如,取1n a n =-,1n b n=，显然对于任意正整数n ,都有n n a b <,但lim n n a →+∞=lim 0n n b →+∞=.习题1-21．证明数列2{(1)}n n -是无穷大列. 2．证明数列21{}1n +和数列cos {}xn是无穷小列. 3．观察如下的数列{}n a 的变化趋势，写出它们的极限：（1）n a 12n=； （2）n a 1n n =+； （3）n a (1)n n =--； （4）n a 1sin xn π=.4．用极限定义证明:222lim 12n n n →+∞-=+.5．若lim n n u a →∞=，证明lim n n u a →∞=，并举例说明反过来未必成立．第三节 函数极限一 自变量趋于无穷大时函数的极限我们知道，数列是定义在正整数集N +上的函数．数列的极限则反映了自变量n →∞时，{}n a 的变化趋势．值得注意的是，讨论数列极限时，自变量n 是正整数，它只有一种变化趋势：n →∞．而函数的自变量x 是实数，其变化趋势就不止一种：x 可能是趋于正无穷大、负无穷大，也可能是从某一固定点a 的某一侧趋于a ，还可能是以从两侧的任意方向趋于a ．因此，函数的极限就具有几种不同的形式．当然，这些不同形式的极限，与数列的极限还是具有一些相同之处．因此，我们先讨论自变量趋于无穷大时函数的极限，然后讨论自变量趋于常数a 时函数的极限．1．自变量趋于无穷大时的无穷大量定义1 设()0D x >是一个定义在区间(,)a +∞上的单调递增的函数，如果()D x 在这个区间上是无上界的，我们就称()D x 是+∞的一个邻域：()(,)a U a +∞=+∞上的恒正无穷大量，或者称()D x 是当x →+∞时的恒正无穷大量．定义2 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在一个邻域()a U +∞上的恒正无穷大量()D x ，使得对()a U +∞上的一切x 都有|()|()f x D x ≥，则称()f x 是当x →+∞时的无穷大量，记作lim (),()()x f x f x x →+∞=∞→∞→+∞ 或 ．如果邻域()a U +∞上的一切x 都有()()f x D x ≥（或()()f x D x ≤-），则称()f x 是当x →+∞时的正无穷大量(或负无穷大量)，记作lim ()x f x →+∞=+∞，或()()f x x →+∞→+∞．后者记作lim ()x f x →+∞=-∞，或()()f x x →-∞→+∞．显然，恒正无穷大量是无穷大量．例1 函数(0)k y x k =>与函数(1)x y a a =>，都是邻域0()U +∞上的恒正无穷大量，而函数ln y x =则是邻域0()U +∞上的无穷大量以及邻域1()U +∞上的恒正无穷大量．我们也可以类似地定义当x →-∞时的无穷大量．例2 证明lim ()x x x →+∞=+∞，0()x U ∈+∞．证 在4x >时有222x x xx x x ⎛+≥+> ⎝．显然，函数()2xD x =在邻域4()U +∞上是单调递增的且无上界，而对于在邻域4()U +∞上的一切x ，都有()()f x D x ≥．所以()f x 是正无穷大量．由无穷大量的定义，不难证明以下结论：定理1 设()f x 、()g x 均是在邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量，函数()0h x >是邻域()a U +∞上的有界函数，则有（1）()()f x g x +是邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量； （2）()()f x h x +是邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量； （3）()()f x g x ⋅是邻域()a U +∞上x →+∞时的正无穷大量． 2．自变量趋于无穷大时的无穷小量定义3 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在邻域()a U +∞上的恒正无穷大量()D x ，使得对邻域()a U +∞上的一切x 都有1()()f x D x =，则称()f x 是当x →+∞时的恒正无穷小量．定义4设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在邻域()a U +∞上的恒正无穷小量()x α，使得对邻域()a U +∞上的一切x 都有|()|()f x x α≤，则称()f x 是当x →+∞时的无穷小量，记作lim ()0x f x →+∞=，或者()0()f x x →→+∞．显然，恒正无穷小量也是无穷小量．我们常常把无穷小量记为()x α、()x β、()x γ． 由例1不难知道，函数(0)k y x k =<与(1)x y a a -=>都是邻域0()U +∞上的无穷小量．下面仅就函数(0)k y x k =<中当1k =-时的情形加以证明．例3 用定义证明1lim0x x→+∞=． 证 由于()D x x =在(1,)+∞上是恒正无穷大量，而我们又有11()()f x x D x ==，所以 1lim0x x→+∞=． 由无穷小量的定义，也不难证明以下结论：定理2 设()x α、()x β均是在邻域()a U +∞上当x →+∞时的无穷小量，函数()h x 是在邻域()a U +∞上的有界函数，则有1）()()x x αβ±是当x →+∞时的无穷小量； 2）()()x x αβ⋅是当x →+∞时的无穷小量； 3）()()x h x α⋅是当x →+∞时的无穷小量．例4 证明11limsin 0x x x→+∞=． 证 因为在邻域1()U +∞上1x 是无穷小量，1sin x 是有界函数，所以当x →+∞时，11sin x x是无穷小量，即11lim sin 0x x x→+∞=．3．自变量趋于无穷大时函数的极限定义4 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果有一个实数A 和一个邻域()a U +∞上的无穷小量()x γ，使得()()f x A x γ=+，则称()f x 当x →+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞=，或()()f x A x →→+∞．注 （1）若设函数()f x 在区间(,)a -∞内有定义，按照以上定义1至定义4，我们可类似地定义()f x 是当x →-∞时的恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量、无穷小量概念，以及()f x 当x →-∞时以A 为极限的概念．（2）若设函数()f x 在区间12(,)(,)a a -∞+∞U 内有定义，我们可以同样地给出()f x 是当x →∞时的恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量和无穷小量概念，以及lim ()x f x A→∞=的定义；（3）在定理1和定理2中，若条件x 趋于+∞换为x 趋于-∞（或者x 趋于∞）时，相应结论成立；（4）不难证明，lim ()x f x A →∞= 当且仅当lim ()x f x A →-∞=，且lim ()x f x A →+∞=．二 自变量趋于常数时函数的极限关于自变量趋于常数时函数的极限，与前面类似，按照无穷大量、无穷小量以及自变量趋于常数时函数的极限的顺序给出严格定义．但是，当自变量趋于一点a 时，它可能是从a 的某一侧趋于它，也可能是以从两侧的任一方向趋于它．其函数值的变化因而就具有各种不同的形式，从而，函数的极限也具有各种不同的形式．甚至在这个点的左右两侧的变化趋势可能是完全不同的．因此，我们需要用不同于()x n →+∞→+∞的方式来讨论函数的极限．１．自变量趋于a 时的双向递增与无穷大量定义5 设函数()f x 在去心邻域0()aU δ内有定义，如果对于任意的012,()a x x U δ∈，当12||||a x a x -<-时都有21()()f x f x ≤，我们就称()f x 在去心邻域0()aU δ上是双向递增的． 定义6设函数()f x 在去心邻域0()aU δ内有定义，如果()0f x >在去心邻域0()a U δ上既是双向递增，又是无上界的，我们就称()f x 是去心邻域0()aU δ上的一个恒正无穷大量. 我们常将恒正无穷大量记为()D x ．。
高等数学第一章《函数与极限》
第一章 函数与极限一、内容提要（一）主要定义【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作(),y f x x D =∈.x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.【定义1.2】 数列极限 给定数列{}x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{}x n 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim .【定义1.3】 函数极限（1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0.（2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞=.（3）单侧极限左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+→→时)(x f 有左（右）极限A ,记为00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞=（lim ()x f x A →-∞=） .【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.【定义1.5】 等价无穷小 若lim 0,lim 0,lim 1βαβα===,则α与β是等价的无穷小.【定义 1.6】 连续 若)(x f y =在点0x 附近有定义,且)()(lim 00x f x f x x =→,称()y f x =在点0x 处连续.否则0x 为()f x 的间断点.（二）主要定理【定理1.1】极限运算法则 若a x u =)(lim , b x v =)(lim ,则 （1）()lim u v ±存在,()lim lim lim u v u v a b ±=±=±且; （2）()lim u v ⋅存在,()lim lim lim u v u v a b ⋅=⋅=⋅且; （3）当0≠b 时, limu v 存在,lim lim lim u u a v v b==且 推论 ⑴ lim lim Cu C u Ca ==; ⑵ ()lim lim nnnu u a ==. 【定理1.2】极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→=.lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →-∞=lim ()x f x A →+∞=【定理1.3】极限存在准则 (1) 单调有界数列必有极限(2) 夹逼准则: 设数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足① n n n y x z ≤≤, ② lim =lim n n n n y z a →∞→∞=,则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.【定理1.4】极限与无穷小的关系 若lim (),f x A =则(),f x A α=+其中lim 0.α=【定理1.5】两个重要极限 1sin lim0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .【定理1.6】 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内连续. 【定理1.7】闭区间上连续函数的性质（1）最值定理 闭区间上连续函数在该区间上一定有最大值M 和最小值m . （2）有界定理 闭区间上连续函数一定在该区间上有界.（3）介值定理 闭区间上连续函数必可取介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. （4）零点存在定理 设函数()x f 在[]b a ,上连续,()a f ()0<⋅b f ,则至少存在一个ξ∈()b a ,,使 ()0f ξ=.二、典型题解析函数两要素：定义域，对应关系定义域：使表达式有意义的自变量的全体，方法为解不等式 对应关系：主要方法用变量替换（一）填空题【例1.1】 函数23arccos2xy x =+的定义域是 . 解 由arccos y u =的定义域知11u -≤≤,从而23112xx -≤≤+, 即 (][][),21,12,-∞--+∞.【例1.2】 设()()()2sin ,1f x x f x xφ==-,则函数()x φ的定义域为 .解 由已知()()2sin[()]1fx x xφφ==-，所以()2sin(1)x arc x φ=-，则2111,x -≤-≤即x ≤.【例1.3】设1()(0,1),()([...()])1n n f x x x f x f f f x x =≠≠=+次,试求()n f x 解 由()1xf x x =-,则21()[()]11xx f x f f x x x x -===--，显然复合两次变回原来的形式，所以,2(),211n x n k f x x n k x =⎧⎪=⎨=+⎪-⎩（二）选择题【例 1.9】设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,又0a >且1a ≠,则函数()()()sin 2sgn sin F x f x x =-是 [ ](A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 奇偶函数. 解 因为()()sgn sin sgn sin x x -=-⎡⎤⎣⎦,所以()sgn sin x 为奇函数.而()sin 2f x -为偶函数,故()()sin 2sgn sin f x x -⋅为奇函数,故选 B .【例 1.10】设()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x x =-,则当[]1,0x ∈-时,()f x = [ ](A) 2x x -+(B) 2x x + (C) 2x x - (D) 2x x --.解 因为()()f x f x -=，取[]1,0x ∈-，则[0,1]x -∈，所以()()()22f x x x x x -=---=--, 故选 D .（三）非客观题 1.函数及其性质【例1.16】 求函数()lg(1lg )f x x =-的定义域. 解 要使()f x 有意义，x 应满足0,1lg 0x x >⎧⎨->⎩ 即010x <<，所以()f x 的定义域为 (0,10).【例1.17】 设函数()f x 的定义域是［0,1］,试求()f x a +＋()f x a -的定义域（0a >）.解 由()f x 的定义域是［0,1］,则0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,故1a x a ≤≤-,则当1a a =-时,即12a =时,函数的定义域为12x =； 当1a a ->时,即12a <时,函数的定义域为[],1a a -； 当1a a -<时,即12a >时,函数的定义域为空集. 【例1.18】设()2,x f x e =()()1f x x ϕ=-并且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.解 因为()()2[()]1,x fx e x φϕ==-且()0x ϕ≥，故()x ϕ=,为使此式有意义,ln(1)0x -≥，所以函数()x ϕ的定义域为{}0x x ≤.【例1.19】 设()2422x xf x x ++=-,求()2f x -.解（ 法一）配方法 ()2(2)422(2)2x f x x +-+=-++,所以()24224.x xf x x --=-+解（法二） 变量代换法 令2x t =-,代入得()2422t f t t -=-+,即()2422xf x x -=-+，则()24224xxf x x --=-+.【例1.20】 设()22,01,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩,()ln g x x =,求()f g x ⎡⎤⎣⎦. 解 ()[]ln f g x f x =⎡⎤⎣⎦ 22ln ,0ln 1ln ,1ln 2x x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩[]()()222ln ,1,0, ln , ,0,x x e x x e e ⎧∈+∞⎪=⎨⎡⎤∈+∞⎪⎣⎦⎩[]222ln ,1,ln , ,x x e x x e e ⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩【例1.21】 设()1,10,1x x x ϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()22,12,1x x x x ψ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,求 ()x ϕϕ⎡⎤⎣⎦,()x ϕψ⎡⎤⎣⎦. 解 ⑴ 当(),x ∈-∞+∞时，()01x ϕ≤≤ ，所以 ()()1,,x x ϕϕ≡∈-∞+∞⎡⎤⎣⎦.⑵ 因为 ()()()1,10,1x x x ψϕψψ⎧≤⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩, 且 ()()1,12,1x x x x ψψ⎧==⎪⎨<≤≠⎪⎩ 1,故 ()1,10,1x x x ϕψ⎧=⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≠⎪⎩. 【例1.22】 求函数()2312,1,121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数.解 当21121,x y x <- -<-时，=则x =， 当312=8,x y x -≤≤ ≤≤时，-1则x =当212168,x y x > =->时， 则16,12y x +=所以()f x 的反函数为 ()111816,812x y f x x x x -⎧<-⎪⎪⎪==-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩.【例 1.23】设()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且对任意,(,)x y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-,讨论()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上的单调性.解 任取12,(,)x x ∈-∞+∞,不妨设21x x >,则由条件有()()()()21212121f x f x f x f x x x x x -<-<-=-，所以()()1221f x f x x x -<-,则可变形为()()1122f x x f x x +<+,即()()12F x F x <，故()F x 在(,)-∞+∞上单调增加.【例1.24】 求c 的一个值,使()sin()()sin()0b c b c a c a c ++-++=,这里b a >,且均为常数.解 令()sin f x x x =,则()f x 是一个偶函数,则有[]()()f b c f b c +=-+要使()(),()f b c f a c a b +=+≠成立,则有1()()()2a cbc c a b +=-+⇒=-+.极限与连续：不定式，等价关系，特殊极限 极限待定系数的确定原理 连续待定系数确定的原理【例1.4】 设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则a = . 解 因为 233lim lim lim 1x x xx x x x a x a a a x a x a x a →∞→∞→∞+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3333lim 1x a axa x aa x a e x a --→∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭再由3ln83ln 28ln 2aee e a ===⇒=.【例1.5】（2004数三）若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-,则a = ,b = .解 因()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,而()0limsin cos 0x x x b →-=，则0lim 0x x e a →-=, 所以1a =,又0x →时，sin ,1x xx e x -，则()()000sin limcos lim cos limcos51x x x x x x x b x b x b x e →→→-=-=-=-,154b b -=⇒=-. 【例 1.6】 已知当0x →时，123(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小，则常数a = .解 由1230(1)1lim1,1cos x ax x→+-=-而1222ln(1)3112ln(1)2333220000(1)112limlim limlim1cos 1cos 32ax ax ax x x x x ax e a xx x x ++→→→→+--====--，故3.2a = 【例1.7】 （2004数二）设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x = .解 ()()()22111limlim ,0110,0n n n x n x x f x xnx nx x →∞→∞⎧--=⋅=≠⎪=⎨++⎪=⎩而 ()001lim lim(0)x x f x f x→→===∞≠，故()f x 的间断点（无穷）为0x =.【例1.8】 设()1sin , 02, 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处连续,则a = . 解 要使()f x 在0x =处连续,应有()()0lim 0,x f x f a →==而()0001sin1122lim lim sin lim 222x x x xx f x x x →→→===, 所以12a =.（二）选择题 【例1.11】()1, 10,01x x f x x x --<≤⎧=⎨<≤⎩ ,则()0lim x f x →= [ ](A) -1 (B) 0 (C) 不存在 (D) 1. 解 ()0lim lim 0x x f x x →+→+==, ()()0lim lim 11x x f x x →-→-=-=-.因为()()0lim lim x x f x f x →+→-≠,所以()0lim x f x →不存在，故选 C.【例1.12】 下列结论正确的是 [ ] (A) 若1lim1n n na a +→∞=,则lim n n a →∞存在;(B) 若lim n n a A →∞=,则11lim lim1lim n n n n nn n a a A a a A ++→+∞→∞→∞===; (C) 若lim n n a A →∞=,若lim n n b B →∞=,则()lim n bB n n a A →+∞=;(D) 若数列{}2n a 收敛且()2210n n a a n --→→∞,则数列{}n a 收敛.解 (A)不正确,反例{}n a n =,(B)不正确,因为只有当lim 0n n a →∞≠时，才能运用除法法则:11lim lim lim n n n n nn n a a a a ++→+∞→∞→∞= ,(C)不正确,只有0A ≠时,()lim n b B n n a A →+∞=成立.故选 D.注意无穷大与有界量的乘积关系 【例1.13】 当0x →时,变量211sin x x是 [ ] (A) 无穷小; (C) 有界的,但不是无穷小量; (B) 无穷大; (D) 无界的,但不是无穷大量. 解 M ∀,1,22n x n ππ∃=+只要,2M n π⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则()2,2n f x n M ππ=+> 所以211sin x x 无界.再令 12x k π=,()0,1,2,k =±±，则()20lim lim(2)x k f x k π→→∞=⋅ sin 20k π≡,故()lim x f x →∞≠∞.故选 D.趋向无穷大主要是最高次项 趋向无穷小主要是最低次项【例1.14】 当0x →时，下列4个无穷小关于x 的阶最高的是 [ ](A) 24x x + (B)1 (C)sin 1xx- (D)-解 242200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=，所以24x x +是x 的2阶无穷小. 当0x →111sin 22x x ，故（B ）是x 的同阶无穷小. 311000sin 11sin 6lim lim lim k k k x x x x x x xx x xx ++→→→---==，要使极限存在2k =，故（C ）是x 的2阶无穷小.0x x →→= 3001sin (1cos )1lim lim 24cos k k x x x x x x xx →→-==, 同理（D ）是x 的3阶无穷小.故选D.指数函数的极限要注意方向【例1.15】（2005数二）设函数()111xx f x e-=-,则 [ ](A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点; (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点;(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点; (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. 解 因为()0lim x f x →=∞,则0x =是()f x 的第二类间断点;而()()11111111lim lim 0,lim lim 111xx x xx x x x f x f x ee++--→→→→--====---, 所以1x =是()f x 的第一类（跳跃）间断点,故选 D. （三）非客观题 求极限的各种方法（1） 用N ε-定义证明数列极限定义证明的关键是利用n x A ε-<倒推找正整数N （与ε有关）,这个过程常常是通过不等式适当放大来实现.【例1.25】求证lim1n n→∞=. 证明 对0ε∀>,1ε-<成立,则需1-n n =n a n n +-<a nε=<只要1an n ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦,取1a N n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<.证毕. 【例1.26】 设常数1,a >用N ε-定义证明lim 0!nn a n →∞=. 证明 对0ε∀>,要使0!na n ε-<成立,则需[]0!1[]([]1)[]1n a n a a a a a aa k n a a n a ε-⎛⎫⋅⋅⋅⋅-=<⋅< ⎪⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭，(其中1[]a ak a ⋅⋅=⋅⋅)只要lg []lg[]1k n a a a ε>++,为保证0,N >取lg max 1,[]lg []1k N a a a ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有 0!na n ε-<，证毕. （2）通过代数变形求数列极限 逐项平方差【例1.27】求极限2421111lim(1)(1)(1)(1)2222nn →∞++++解 2421111lim(1)(1)(1)(1)2222n n →∞++++=2111(1)(1)(1)222lim n →∞-++2n 1（1+）211-22(1)12lim(1)22n n +→∞=-=平方差公式【例1.28】求极限lim )n n n →∞.解lim )nn n →∞n =limn →∞=limn =12=. 等比求和【例1.29】 求极限221112333lim 111555nn n →∞+++++++. 解 由等比数列的求和公式2(1)1n nq q q q q q-+++=-将数列变形，则221113211113213333lim lim 11111155551515n n n n n n →∞→∞-+⨯++++-=+++-⨯-112123lim 11145n x n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1221014+==. 分项求和【例1.30】 求[]31lim(21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++.解 []31lim (21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++()311lim 221nn k k n k n →∞==-+∑()23111lim 212n nn k k n k k n →∞==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()32111211lim 226n n n n n n n n →∞++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()312111lim63n n n n n →∞++==.拆分原理【例1.31】 求极限2111lim()31541n n →∞+++-.解 因为()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭,则 2111lim()31541n n →∞+++-111111lim [(1)()()]23352121n n n →∞=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+. 求和后拆分【例1.32】 求极限111lim(1)1212312n n→∞+++++++++.解 111lim(1)1212312n n→∞+++++++++（由等差数列的前n 项和公式）222lim 12334(1)n n n →∞⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ （逐项拆分） 111111lim 12()23341n n n →∞⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦2lim 221n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭（3）利用夹逼准则求数列极限 【例1.33】求lim n解 11111n n ≤+<+，而1lim(1)1n n→∞+=，∴ 由夹逼准则得 lim 1n →∞=. 掌握扩大和缩小的一般方法 【例1.34】 求22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++. 解212n n n n +++++2221212nn n n n n n n<+++++++++2121n n n +++<++ 且 2121lim,2n n n n n →∞+++=++ 2121lim 21n n n n →∞+++=++， 由夹逼准则得 22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++=12. 【例1.35】 求极限226n nn →∞++.解≤≤，则2221nnnk k k===≤≤且 22111limlim 3nnn nk k →∞→∞====,由夹逼准则得原式21lim3nn k→∞===.以下两题了解一下即可 【例1.36】 证明 1;1(0)n n a ==>证明 1） 1n h =+，则22(1)(1)(1)122n nn n n n n n n n n n h nh h h h --=+=+++>，即 0n h <<由夹逼准则 lim 0,n n h →∞=从而lim(1) 1.n n n h →∞=+=2）当1a >时，0<<由夹逼准则1n =；当01a <<，令11b a=>，则lim lim 1n n →∞→∞==，从而1(0).n a =>注 【例1.36】的结果以后直接作为结论使用. 【例1.37】 求极限nk n a ++.（12,,,0k a a a >,k N ∈）解 记{}12max ,,,k aa a a =,则nk a≤++≤.且,n n n a a a ==⋅=,由夹逼准则得{}12max ,,,nk k n a a a a a ++==.（4）利用单调有界准则求数列极限给出前后项的关系，证明其单调，有界，设出极限解方程数列单调性一般采用证明110,1,nn n n x x x x ---≥≥或函数的单调性；数列的有界性方法比较灵活.【例1.38】 求lim n n a a a a →∞++++个根号.解 设n x a =++,则12x x ==…,n x =,从而 1n nx x -<,数列{}n x 单调增加；又n x =,21n nx a x -=+,111n n n n x a x x x -=+<+=,数列有上界,故{}n x 有极限.不妨设lim n n x A →∞=,将21n n x ax -=+两边取极限，有2A a A =+,故12A ±=【例1.39】 求33n .（共有n 个根号）解 设33n x =，显然1n n x x ->,{}nx单调增加；且1n x x =2x =3n x <,{}n x 有上界，所以数列极限存在.不妨设lim n n x A →∞=,将213n n x x -=两边取极限，有23A A =,则()3,0A A ==舍.【例1.40】 设2110,0,,1,2,2n n nx aa x x n x ++>>==,证明数列{}n x 收敛,并求极限.解 2102nn n na x x x x +--=≤，数列{}n x 单调递减；且21122n n n n n x a a x x x x +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭≥=,{}n x 有界,所以数列{}n x 收敛.令lim n n x A →∞=,对212n n nx a x x ++=两边取极限,有12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则A =. （5）利用无穷小的性质求数列极限 【例1.41】 求下列极限（1）（2）题的方法化为指数形式常用，（3）要说明无穷小乘有界量为无穷小 （1） lim 1)(0)n n a →∞-> （2）1121lim (33)n n n n +→∞- （3）2lim 1n nn →∞+解 （1）当1ln 11ln a nn e a n→∞-时， ，则 1ln lim 1)lim (1)a nn n n n e→∞→∞-=-1lim ln ln n n a a n→∞=⋅=（2）当n →∞时， 1ln 331nn-（n+1）（n+1），则11112211lim (33)lim3(31)nnn n n n n n ++→∞→∞-=-（n+1）121ln 3lim 3lim ln 3n n n n n+→∞→∞⋅=⋅=（n+1）（3）因为0n →∞=，而sin 1n ≤，由于无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，所以2lim 01n nn →∞=+ 注 limsin n n →∞不存在，故不能写成lim sin 0n n n n →∞→∞→∞=⋅=. 综合题了解一下即可【例1.42】 求())()22211131lim arctan !22311n n nn n n n →∞⎡⎤⎛⎫+⨯-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⨯--⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解()arctan !2n π≤,()221=()2limarctan !0n n →∞∴=,有界量乘无穷小()1111lim lim 112231n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+++=-=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣⎦，拆分求和2231lim 31n n n →∞+=-, 则 ()2211131lim 322311n n n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯--⎣⎦ )()222131lim arctan !lim 1lim 1n n x n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭故原式＝ 033=-=-.两极限都存在用四则运算法则注利用函数极限求数列极限见第三章；利用定积分定义求数列极限见第六章； 利用级数收敛的性质求极限见第十一章. 3．函数的极限（1）用εδ-定义或X ε-定义证明极限用εδ-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到0x x -与ε的关系，确定()δε；而X ε-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到x 与ε的关系，确定()X ε.【例1.43】 证明 22lim 4x x →= 此题典型要搞清楚自变量的约束范围的确定证明 对于0ε∀>，不妨设21,x -<则222225,x x x +≤+<-++< 要使242252x x x x ε-=+⋅-<⋅-<，只要取min{1,}5εδ=，当02x δ<-<时，有24x ε-<.证毕.注 函数在0x 的极限只与函数在0(,)U x δ的定义有关，与函数的整个定义范围无关.因此上例作了假设2 1.x -<也可假设122x -<等. 【例1.44】 用X ε-定义证明：232lim .33x x x →∞+=证明 对于0ε∀>，要使2322321333x x x x x xε++--==<，只要1.x ε>故取11,X ε=+当x X >时，均有23233x x ε+-<，即232lim .33x x x →∞+=（2）用极限存在的充要条件研讨极限 含有,xxe e-的表达式x →∞的极限；含有[]11,,,xxe e x x -的表达式0x →的极限；分段函数在分段点的极限，一般来说用极限存在的充要条件讨论.注意指数函数的极限，一般要考虑两边趋势【例1.45】 讨论极限 lim x xx xx e e e e --→∞-+.解 221lim lim 11x x x xx x x x e e e e e e --→-∞→-∞--==-++； 221lim lim 11x x xx x x x x e e e e e e--→+∞→+∞--==++. 所以 lim x xx xx e e e e --→∞-+不存在.【例1.46】 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解 1402sin lim 1x x x e x x e +→⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦43402sin lim 0111x xx xe e x x e +--→-⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎡⎤+⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 所以 1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1=. 【例1.47】 []x 表示不超过x 的最大整数，试确定常数a 的值，使[]210ln(1)lim ln(1)x x x e a x e →⎧⎫+⎪⎪+⎨⎬⎪⎪+⎩⎭存在，并求出此极限.解 由[]x 的定义知，[][]0lim 1,lim 0,x x x x -+→→=-=故所给极限应分左、右极限讨论. []22211110000ln(1)ln(1)lim lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x xe e e a x a a e a a e e e ----→→→→⎧⎫++⎪⎪+=-=-=-=-⎨⎬⎪⎪++⎩⎭[]222211110002ln(1)ln(1)ln (1)lim lim 0lim 01ln(1)ln (1)ln(1)x xxxx x x x x x xe e e e x a x e e e e x+++--→→→--⎧⎫+++⋅+⎪⎪+=+=+⎨⎬⎪⎪+⋅+++⎩⎭212ln(1)lim 21ln(1)xx xe e +-→-++==++.所以，当2a =-时所给极限存在，且此时极限为2.【例1.48】设21,1,()23, 1.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩试求点1x =处的极限.解 211(10)lim ()lim(23)5x x f f x x --→→-==+=; 111(10)lim ()lim 1x x f f x x++→→+===; 即(10)(10)f f -≠+，1lim ()x f x →∴不存在.（3）通过代数变形求函数极限 【例1.49】求下列极限（1）22232lim 2x x x x x →-+++- （2）422123lim 32x x x x x →+--+ （3）11lim ,()1n x x n Z x +→-∈- 解 （1）原式222(1)(2)(1)(2)limlim (1)(1)(1)(11)x x x x x x x x x x →-→-++++==-+--++211lim.13x x x →-+==-（2）原式22211(1)(3)(1)(3)limlim 8.(2)(1)2x x x x x x x x x →→-+++===---- （3）原式121(1)(1)lim1n n x x x x x x --→-++++=- (提零因子)121lim(1)n n x xx x n --→=++++=.注 分子分母都为0必有共同的0因子① 因为分母极限为零，所以不能直接用计算法则； ② 当0x x →时，0x x ≠. 【例1.50】求下列极限注意多项式商的三种形式的规律0x x x a →∞→→，，，最高项，最低项，零因子（1）247lim 52x x x x x →∞-+++ （2）()()()3020504192lim 61x x x x →∞++- （3） 3225lim 34x x x x →∞-++解（1）原式234341170lim 0.5211x x x x x x→∞-+==++（2）原式3020501249lim 16x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1030205049263⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭. （3）3225lim 34x x x x →∞-=∞++ (因为2334lim 025x x x x →∞++=-) 注 x →∞时有理函数求极限，分子、分母同时除以x 的最高幂次.即抓“大头”.综合题也可直接用结论 0101101,lim0,,m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩. 【例1.51】求下列极限了解共轭因式，尤其是N 方差公式 （1）)0lim 0x aa +→>. （2）0x → （3）limx解 ⑴原式0lim x a+→=limx a+→=lim x a+→==⑵ 原式=2x x →x →=32=⑶ 原式2limx=2123lim 1x --==.（4）利用两个重要极限求极限利用0sin lim 1x x x →=，1lim 1nn e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求极限，则有0sin 1lim 1,lim(1)e →→∞=+=（此两式中的形式必须相同）.【例1.52】 求下列极限 （1）201cos limx xx →-）（2）22sin sin lim x a x a x a→--（3）31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x→∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦解 （1）原式22200212sin sin1222limlim 2()2x x x xx x →→==.（2）原式()()sin sin sin sin limx ax a x a x a→-+=-()2limsin cos sin sin 22x a x a x a x a x a →-+=+-()sin2limcos sin sin 22x a x ax a x a x a →-+=⋅+-1cos 2sin sin 2a a a =⨯⨯=. （3）3lim sin ln(1)x x x →∞+ 3sin ln(1)33lim ln(1)0 limln(1)3ln(1)x x x x x x x→∞→∞++=⋅++ 33333lim ln 1ln lim[(1)]3x x x x x x⋅→∞→∞⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭同理 1lim sin ln(1)1x x x→∞+=,所以 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦312=-=.【例1.53】 求下列极限 趋向常数的极限通常会做变量替换 （1）1lim(1)tan2x xx π→- （2）22sin lim1x xx ππ→- 解 （1）令1,t x =-则 原式02lim tan()lim cotlimlim222tan22t t t t ttt tt t ttππππππ→→→→=⋅-=⋅===（2） 令,x t π=-则原式2222200002sin()sin sin lim lim lim lim .()2(2)221t t t t t t t t t t t t t ππππππππππ→→→→-====----- 【例1.54】 求下列极限（1）32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 （1）原式1222111lim 1lim 11222222x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e e =⋅=（2）原式11tan t 001tan 1t lim()lim()1tan 1t x x t x x →→--==++122t 102t lim(1)1tt t t +-⋅-+→-=++02lim1122t02tlim(1)1t t ttt e →-++--→⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦.注 1∞型极限的计算还可用如下简化公式：设(),(),u u x v v x ==且lim 1,lim u v ==∞，则lim(1)lim .u vvu e-=（因为 (1)1lim(1)1lim lim [1(1)]u vu vvu u u e---⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭）和ln lim lim .v v uu e=【例1.55】 求下列极限 （1）lim hx kx ax b ax c +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭（2）1sin sin 20cos lim cos 2x xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭解 （1） 原式＝()()lim 1lim x x ax b b c hx k hx k ax c ax c e e→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()b c hae-＝（2） 原式22000cos 1cos cos 211cos cos 2lim 1lim limcos 2sin sin 2cos 2cos 222x x x x x x x xxx xx xxx eee→→→--⎛⎫⎛⎫-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭===2222220011(2)1cos 21cos 322lim []lim []22224x x x x x xx x x xeee →→----===.（5）利用函数的连续性求极限① 设()f x 在x a =连续，按定义则有 lim ()()x af x f a →=.因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值.② 一切初等函数在它的定义域上连续.因此，若()f x 是初等函数，a 属于它的定义域，则lim ()()x af x f a →=.③ 设lim ()x ag x A →=，若补充地定义()g a A =，则()g x 在x a =连续.若又有()y f u =在u A =连续，则由复合函数的连续性得 lim (())(lim ())()x ax af g x f g x f A →→==.【例1.56】 求下列极限（1）3225lim243x x x x →+++ （2）3x →解 利用函数的连续性得 （1）332252251lim243224233x x x x →+⨯+==++⨯+⨯+，（2）x →==（6）利用无穷小的性质求极限常用的几个重要等价无穷小代换(当0→x 时)有: sin arcsin tan arctan 1ln(1)x xx x x xe x -+x cos 1-～22x , 1-xa ～)0(ln >a a x , )1(log x +α～ln x a.1)1(-+αx ～x α(α为任意实数), 3tan sin ,2x x x -3sin .6x x x - 利用等价无穷小代换时，通常代换的是整个分子、分母或分子、分母的因子. 【例1.57】求下列极限（1）201lim sin 3x x e x →- （2）cos 0lim sin x x e e x x →- （3）0x →解 （1）当0x →时，212,sin 33xex x x -,∴200122limlim sin 333x x x e x x x →→-==. （2）当0x →时，1cos 0x -→，1cos 11cos xex -∴--.原式cos 1cos 1cos cos 22000(1)(1)lim lim lim x x x xx x x e e e e x x--→→→--==⋅20(1cos )1lim2x x x→-==(因为当210,1cos 2x x x →-). （3）原式0x →=0x x →→=012x →=201112lim 1222x xx x →==⋅.【例1.58】 已知()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,求()20lim x f x x →. 解 由()0lim 310x x →-=及()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-，必有()0limln 10sin x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 所以 ()ln 1sin f x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦～()sin f x xln3311x x e -=-～ln 3x 原式()0sin lim ln 3x f x x x →=()201lim ln 3sin x f x x x x →=⋅ ()201lim ln 3x f x x→==2，则 ()2lim2ln 3x f x x→=.【例1.59】 求 30sin tan limsin x x xx→- 解 原式33001sin (1)sin (cos 1)cos limlim sin cos sin x x x x x x x x x →→--==⋅23001()1lim lim cos 22x x x x x x→→⋅-=⋅=-⋅.注 3300sin tan limlim 0.sin sin x x x x x xx x→→--≠= 【例1.60】 求 213sin 2sin lim x x xx x→∞+解 213sin 2sin lim x x xx x→∞+=13sin 1lim2lim sin 1x x x x x x→∞→∞+， 1sin1lim1;lim 0,sin 1,1x x x x x x→∞→∞==≤ 则1lim sin 0x x x →∞=， ∴原式=303+=.（7）利用其它方法求极限① 利用导数定义求极限(见第二章) 利用导数定义=')(0x f 00)()(limx x x f x f x x --→可以将某些求极限问题转化为求导数;② 利用罗必达法则(详见第三章); ③ 利用微分中值定理(详见第三章); 【例1.61】 设()()00,0f f '=存在,求()limx f x x→. 解 因为()()00,0f f '=存在,所以()0limx f x x →()()()00lim 0x f x f f x→-'== *【例1.62】 求lim x→+∞解 令()f t =,显然当0x >时,()f t 在[,1]x x +上满足拉格朗日中值定理,所以有,()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-.所以,原式=cos ξ 其中1x x ξ≤≤+故lim lim cos 0x ξξ→+∞→+∞==4.函数的连续性（1）函数的连续性与间断点的讨论【例1.63】 设()2,0sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续,求常数a b 与的关系.解 ()00sin sin lim lim lim x x x bx bx f x b b x bx+++→→→==⋅= ()()200lim lim x x f x a bx a --→→=+=. 因为函数在点0x =连续,所以()0lim x f x +→b =()0lim x f x a -→==,故a b =. *【例1.64】 设()2122lim 1n n n x ax bxf x x +→∞++=+,当,a b 取何值时,()f x 在(),-∞+∞处连续.解 ()2,1,11,121,12a bx x x x ab f x x a b x ⎧+ <⎪>⎪⎪--=⎨=-⎪⎪++⎪=⎩,由于()f x 在()()(),1,1,1,1-∞--+∞上为初等函数,所以是连续的,只要选取适当的,a b ,使()f x 在1x =±处连续即可. 即11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→==; ()()()11lim lim 1x x f x f x f -+→-→-==-. 得 1011a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩. 【例1.65】 研究函数(),111,11x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或的连续性,并画出函数的图形.解 ()f x 在(),1-∞-与()1,-+∞内连续, 在1x =-处间断,但右连续,因为在1x =-处,()()11lim lim 11x x f x x f ++→-→-==-=-,但()11lim lim 11x x f x --→-→-==，即()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.【例1.66】 指出函数22132x y x x -=-+的间断点,说明这些间断点的类型.解 ()22132x f x x x -=-+在1x =、2x =点没有定义，故1x =、2x =是函数的间断点.因为 ()()()()2211111lim lim3212x x x x x x x x x →→-+-=-+--11lim 22x x x →+==--,所以1x =为第一类可去间断点.因为2lim x y →=∞,所以2x =为第二类无穷间断点.【例1.67】 讨论函数()221lim 1nnn x f x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型.解 ()22 11lim0 1 1 1nnn x x x f x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩, ()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-,()11lim lim 1x x f x x --→→==,()()11lim lim x x f x f x +-→→≠; ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-,()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=,()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.故 1x =±为第一类跳跃间断点.（2）闭区间上连续函数的性质【例1.68】 证明方程3910x x --=恰有三个实根. 证明 令()391f x x x =--，则()f x 在[]3,4-上连续，且()()310,290,f f -=-<-=> ()()010,4270f f =-<=>所以()f x 在()()()3,2,2,0,0,4---各区间内至少有一个零点,即方程3910x x --=至少有三个实根. 又它是一元三次方程,最多有三个实根.证毕【例1.69】 若n 为奇数,证明方程110n n n x a x a -+++=至少有一个实根.证 令()11n n n f x x a x a -=+++，则()1(1)nnn a a f x x xx=+++， 于是 lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，故存在1,x 使()10f x A =>；存在2,x 使()20f x B =<.所以()f x 在[]12,x x 至少有一个零点,即方程至少有一个实根.【例1.70】 设()f x 在[],a b 上连续,且()(),f a a f b b <>,试证:在(),a b 内至少有一点ξ,使得()fξξ=.证 令()()F x f x x =-,()F x 在[],a b 连续,且()0,()0,F a F b <>由介值定理得在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0F ξ=,即()fξξ=.【例1.71】 设()f x 在[]0,2a ()0a >上连续,且()()02f f a =,求证存在()0,a ξ∈,使()()ff a ξξ=+.证 构造辅助函数()()()g x f x a f x =+-,则()()()00g fa f =-,()()()2g a f a f a =-()()0f a f =--⎡⎤⎣⎦()0g =-,即()0g 与()g a 符号相反,由零点存在定理知存在()0,a ξ∈,使()0g ξ=,即()()ff a ξξ=+.【例1.72】 设()f x 在[],a b 上连续,且a c d b <<<,证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+，其中,p q 为任意正常数.证()f x 在[],a b 上连续,∴ ()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m ，则()m f x M ≤≤.由于,[,]c d a b ∈，且,0p q >，于是有(),()pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤.⇒ ()()()()p q m pf c qf d p q M +≤+≤+， ⇒()()pf c qf d m M p q+≤≤+.由介值定理，在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()pf c qf d f p qξ+=+，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+ 5．综合杂例【例1.73】 已知lim 2003,(1)ab bn n n n →∞=--求常数,a b 的值.解 lim lim lim 11(1)[1(1)](1)1aaa bbb n n n b b b n n n n n n n n-→∞→∞→∞-==------ 1lim lim 1a b a b n n n n bb n--+→∞→∞-==- 为使极限为2003，故10,a b -+=且12003,b =所以12002,.20032003b a ==- 【例1.74】 已知221lim2,sin(1)x x ax bx →++=-求常数,a b 的值. 解 由221lim 2,sin(1)x x ax bx →++=-则分子的极限必为0，即21lim()0x x ax b →++=， 从而 10a b ++=；另一方面，当1x →时，22sin(1)1x x --，因此2222221111lim lim 10lim sin(1)11x x x x ax b x ax b x ax a a b x x x →→→+++++--=++=--- 1(1)(1)lim2(1)(1)x x x a x x →-++==-+，从而11211a ++=+，即2,a =又10a b ++=， 得 3.b =【例1.75】已知lim ())0,x ax b →+∞+=求常数,a b 的值.解lim ())lim ())0,x x bax b x a x→+∞→+∞-+=+=而lim ,x x →+∞=∞要使原式极限为0，则lim()0,x ba x→+∞-+=所以 1.a =1lim )lim )lim.2x x x b ax x →+∞→+∞=-===【例1.76】 若 30sin 6()lim 0,x x xf x x →+=求206()lim .x f x x→+ 解 因为30sin 6()lim0,x x xf x x→+=由极限存在与无穷小的关系，得 3sin 6()0,x xf x x α+=+其中0lim 0.x α→=从而 2236()6sin 6,f x xx x x α+=-+ 所以 32233300006()6sin 66sin 6(6)lim lim()lim lim 366x x x x f x x x x x x x x x xα→→→→+-=-+=== 【例1.77】 已知0()lim4,1cos x f x x →=-求10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 因为200()2()limlim 4,1cos x x f x f x x x→→==-则20()lim 2x f x x →=.从而 221()()lim()200()()lim 1lim 1x x f x f x xf x x x x x f x f x e e x x →⋅→→⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 此题也可用极限存在与无穷小的关系求解.【例1.78】 当0x →x 的几阶无穷小量. 解3255x-=则203limx xx→→==∴x 的23阶无穷小.三、综合测试题。
01第一章 函数与极限
高等数学教学备课系统与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用教师姓名：________________________教学班级：________________________2005年9月1至2006年1月10微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.第一章函数、极限与连续函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.第一节函数概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.内容分布图示★集合的概念★集合的运算★区间★例1 ★邻域★函数概念★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★函数的表示法★分段函数举例★例7★函数关系的建立★例8 ★例9函数的特性★有界性★例10 ★单调性★例11★奇偶性★例12 ★例13★周期性★例14 ★例15★内容小结★课堂练习★ 习题 1- 1★ 返回内容要点：一、 集合：集合的概念；集合的表示；集合之间的关系；集合的基本运算；区间；邻域； 二、 函数的概念：函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法三、 函数关系的建立：为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；四、 函数特性：函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性.例题选讲：函数举例例1 解下列不等式, 并将其解用区间表示.(1) ;312<-x (2) ;323≥+x (3) ().9102<-<x例2 函数2=y . 定义域),(+∞-∞=D , 值域{}.2=f R 例3（讲义例1） 绝对值函数 ⎩⎨⎧<-≥==0,,||x x x x x y 例4判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) 1=y 与;cos sin 22x x y += (2) 12+=x y 与12+=y x .例5求函数 2112++-=x xy 的定义域. 例6 求函数()()245sin 3lg x x xx x f -++-=的定义域. 例7 设(),21,210,1⎩⎨⎧≤<-≤≤=x x x f求函数()3+x f 的定义域.例8（讲义例4）某工厂生产某型号车床, 年产量为a 台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b 元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c 元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.例9（讲义例5）某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为k 54元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系.例10 证明(1)（讲义例6）函数 12+=x xy 在),(+∞-∞上是有界的; (2) 函数21xy =在()1,0上是无界的.例11（讲义例7）证明函数xxy +=1在),1(∞+-内是单调增加的函数. 例12（讲义例8）判断函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性. 例13 判断函数()()1111ln 11<<-+-+-=x xxe e xf xx 的奇偶性. 例14（讲义例9）设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数)(b ax f +的周期，其中b a ,为常数，且0>a .例15 若)(x f 对其定义域上的一切, 恒有),2()(x a f x f -=则称)(x f 对称于.a x =证明: 若)(x f 对称于a x =及),(b a b x <= 则)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期函数.例6（讲义例2）符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,1,0,0,0,1s g nx x x x y 例3（讲义例3）取整函数 ],[x y = 其中，][x 表示不超过x 的最大整数.函数的有界性： 函数的增减性： 函数的奇偶性： 函数的周期性：课堂练习1. 用分段函数表示函数 .|1|3--=x y2. 判别函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=0,0,)(22x x x x x x x f 的奇偶性.3.设b a ,为两个函数, 且b a <. 对于任意实数x , 函数()x f 满足条件: ()(),x a f x a f +=- 及()()x b f x b f +=-证明: ()x f 以()a b T -=2周期.第二节 初等函数内容分布图示★ 反函数 ★ 例1 ★ 例2 ★ 复合函数 ★ 例3-4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 幂函数、指数函数与对数函数★ 三角函数 ★ 反三角函数★ 初等函数 ★ 函数图形的迭加与变换★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-2 ★ 返回内容要点：一、 反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数)(x f y =和反函数)(x y ϕ=的图形关于直线x y =是对称的.二、 基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数. 三、 复合函数的概念 四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.例题选讲：求反函数例1（讲义例1）求函数xx y 411411+++-=的反函数.例2 已知x x x x x sgn ,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=为符号函数,求()x x y sgn 12+=的反函数.函数的复合例3（讲义例2）设 u u f y sin )(==，1)(2+==x x u ϕ，求)]([x f ϕ. 例4 （讲义例3） 设 u u f y arctan )(==，tt u 1)(==ϕ，)(x t φ=12-=x ，求 )]}([{x f φϕ. 例5 设(),1+=x x f (),2x x =ϕ 求()[]x f ϕ及()[],x f ϕ 并求它们的定义域. 例6（讲义例4）将下列函数分解成基本初等函数的复合. (1) ;sin ln 2x y = (2) ;2arctan x e y =(3) ).12ln(cos 22x y ++= 例7（讲义例5）设,0,10,2)(,1,1,)(2⎩⎨⎧≥-<+=⎩⎨⎧≥<=x x x x x x x x e x f x ϕ求)].([x f ϕ例8 设 ,1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 求().x f课堂练习1．下列函数能否复合为函数)]([x g f y =若能, 写出其解析式、定义域、值域. .1sin )(,ln )()2(;)(,)()1(2-====-====x x g u u u f y x x x g u u u f y2．分析函数 32cos arctan x e y =的复合结构.第三节 常用经济函数用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数.内容分布图示★ 单利与复利 ★ 例1★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2 ★ 需求函数 ★ 供给函数★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4 ★ 成本函数 ★ 例5★ 收入函数与利润函数 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 ★ 返回内容要点：一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++=……第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=. 复利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 22)1()1()1(r p r rp r p s +=+++=……第n 年末的本利和为 .)1(nn r p s +=二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为)1(1r p n r n p s +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为mm r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的.而第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.三、 贴现票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现.钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值.考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变.利用复利计算公式有n r p R )1(+=,得到第n 年后价值为R 元钱的现值为nr Rp )1(+=,式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金nnr R r R r R R p )1()1()1(2210+++++++=式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额.nr )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表.四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其它因素(如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系)(p f q =其中, q 表示需求量, p 表示价格.需求函数的反函数)(1q fp -=称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数.五、 供给函数供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系. 六、市场均衡对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供给函数为例, 令s d q q =d cp b ap +=+0p ca bd p ≡--=这个价格0p 称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）.市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.. 当市场均衡时有,0q q q s d ==称0q 为市场均衡数量.根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相同的, 都可找到相应的市场均衡点(0p ,0q ).七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部分成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即)0()(≥=x x C C称其为成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值.设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x xx C C 为单位成本函数或平均成本函数. 成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线.八、 收入函数与利润函数销售某种产品的收入R , 等于产品的单位价格P 乘以销售量x , 即,x P R ⋅= 称其为收入函数. 而销售利润L 等于收入R 减去成本C , 即,C R L -= 称其为利润函数.当0>-=C R L 时, 生产者盈利; 当0<-=C R L 时, 生产者亏损；当0=-=C R L 时, 生产者盈亏平衡, 使0)(=x L 的点0x 称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲：单利与复利例1（讲义例1）现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: (1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?贴现例2（讲义例2）某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少?市场均衡例3（讲义例3）某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.例4（讲义例4）某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.成本函数例5（讲义例5） 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.收入函数与利润函数例6（讲义例6）某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.例7 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品. 例8（讲义例7）某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?例9 已知该商品的成本函数与收入函数分别是xR x x C 113122=++=试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.课堂练习 1．（1）设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数d Q .（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数s Q . （3）求市场均衡价格和市场均衡数量.第四节 数列的极限极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.内容分布图示★ 极限概念的引入 ★ 数列的定义 ★ 数列的极限 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 收敛数列的有界性★ 极限的唯一性 ★ 例7★ 收敛数列的保号性 ★ 子数列的收敛性★ 内容小结★ 习题1-4 ★ 返回内容要点：一、 数列的定义 二、 数列的极限：N -ε论证法，其论证步骤为：（1） 任意给定的正数ε, 令 ε<-||a x n ；（2） 上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ； （3） 取 )]([εϕ=N ，再用N -ε语言顺述结论. 三、 收敛数列的有界性 四、极限的唯一性五、收敛数列的保号性 六、子数列的收敛性例题选讲：数列的极限例1（讲义例1） 证明 .1)1(lim1=-+-∞→nn n n 例2 设C C x n (≡为常数）， 证明C x n n =∞→lim .例3 证明 ,0lim 0=→nn q 其中.1<q例4 设,0>n x 且,0lim >=∞→a x n n 求证 .lima x n n =∞→例5 用数列极限定义证明 323125lim-=-+∞→n n n .例6（讲义例2）用数列极限定义证明 .112lim 22=++-∞→n n n n 例7（讲义例3）证明数列1)1(+-=n n x 是发散的.课堂练习 1．设,0>p 证明数列pn n x 1=的极限是0.第五节 函数的极限数列可看作自变量为正整数n 的函数: )(n f x n =, 数列{}n x 的极限为a ，即：当自变量n 取正整数且无限增大（∞→n ）时，对应的函数值)(n f 无限接近数a . 若将数列极限概念中自变量n 和函数值)(n f 的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x 的某个变化过程中，如果对应的函数值)(x f 无限接近于某个确定的数A ，则A 就称为x 在该变化过程中函数)(x f 的极限. 显然，极限A 是与自变量x 的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式. 本节分下列两种情况来讨论： 1、自变量趋于无穷大时函数的极限； 2、自变量趋于有限值时函数的极限.内容分布图示★ 自变量趋向无穷大时函数的极限★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 自变量趋向有限值时函数的极限★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 左右极限 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 函数极限的性质 ★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-5 ★ 返回内容要点：一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、 自变量趋于有限值时函数的极限 三、 左右极限的概念四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性例题选讲：自变量趋于无穷大时函数的极限例1（讲义例1）用极限定义证明 .0sin lim=∞→xxx例2（讲义例2）用极限定义证明 .021lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx例3 证明 .111lim-=+-∞→x xx自变量趋于有限值时函数的极限例4(1)（讲义例3）利用定义证明 C C x x =→0lim （C 为常数）.(2) 证明 .lim 00x x x x =→例5（讲义例4）利用定义证明 211lim 21=--→x x x .例6 证明: 当00>x 时, 00lim x x x x =→.例7 验证xx x 0lim→不存在.左右极限的概念例8（讲义例5）设,0,10,)(⎩⎨⎧<+≥=x x x x x f 求 )(lim 0x f x →. 例9 设(),0,10,12⎩⎨⎧≥+<-=x x x x x f 求 ().lim 0x f x → 例10（讲义例6）设 ,2121)(11xx x f +-=求 ).(lim 0x f x →子序列的收敛性例7（讲义例7）证明 xx 1sinlim 0→ 不存在.课堂练习 1. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>=0,80,20,1sin )(2x x x x x x x f ,试问函数在0=x 处的左、右极限是否存在? 当0→x 时, )(x f 的极限是否存在?2. 若,0)(>x f 且.)(lim A x f =问: 能否保证有0>A 的结论? 试举例说明.第六节 无穷小与无穷大没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智 产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概 念能像无穷那样需要加于阐明.-------大卫. 希尔伯特对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答. 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的.内容分布图示★ 无穷小★ 无穷小与函数极限的关系 ★ 例1 ★ 无穷小的运算性质 ★ 例2 ★ 无穷大★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 无穷大与无界变量★ 无穷小与无穷大的关系 ★ 例6★ 内容小结★ 习题1-6 ★ 返回内容要点：一、 无穷小的概念二、无穷小的运算性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 三、无穷大的概念四、 无穷小与无穷大的关系例题选讲：无穷小的概念与无穷小的运算性质例1 根据定义证明: xx y 1sin 2=当0→x 时为无穷小. 例2（讲义例1）求 x xx sin lim ∞→.无穷大的概念例3（讲义例2）证明 ∞=-→11lim1x x .例4 证明 ()().11lim >+∞=-+∞→a a xx例5（讲义例3）当0→x 时, xx y 1sin 1=是一个无界变量, 但不是无穷大. 无穷小与无穷大的关系 例6（讲义例4）求 5lim 34+∞→x x x .课堂练习1. 求 .)1(22lim22--∞→x xx x第七节 极限运算法则本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有表明自变量的变化过程，是指对0x x →和∞→x 以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了0x x →的情形.内容分布图示★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则 ★ 例 12 ★ 例 13★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-7 ★ 返回内容要点：一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、复合函数的极限运算法则：定理2定理2 （复合函数的极限运算法则）设函数)]([x g f y =是由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成, )]([x g f 在点0x 的某去心邻域内有定义, 若,)(lim ,)(lim 00A u f u x g u u x x ==→→且存在,00>δ 当),(00δx U x∈时, 有0)(u x g ≠, 则.)(lim )]([lim 0A u f x g f u u x x ==→→例题选讲：极限的四则运算例1（讲义例1）求 )53(lim 22+-→x x x .例2（讲义例2）求 27592lim 223---→x x x x .例3（讲义例3）求 3214lim21-+-→x x x x .例4（讲义例4）求 321lim 221-+-→x x x x .例5（讲义例5）求 147532lim 2323-+++∞→x x x x x .例6（讲义例6）计算.231568lim323-+++∞→x x x x x例7（讲义例7）求 .21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n例8 计算 ()()()();1111lim3431x x x x x ----→例9（讲义例8）求 ).sin 1(sin lim x x x -++∞→例10 计算下列极限：（1）;1!sin lim32+∞→n n n n （2）.2tan lim /10x x ex+→ 例11（讲义例9）已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=0,1130,1)(32x x x x x x x f , 求 ).(lim ),(lim ),(lim 0x f x f x f x x x -∞→+∞→→复合函数的极限运算法则例12（讲义例10）求极限 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 例13（讲义例11）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x , 求b a ,之值.课堂练习1. 求极限: .231lim)2(;lim )1(31sinxx ex xx x +-++∞→→2.在某个过程中, 若)(x f 有极限, )(x g 无极限, 那么)()(x g x f +是否有极限? 为什么?第八节 极限存在准则 两个重要极限内容分布图示★ 夹逼准则★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 单调有界准则 ★ 例10 ★ 例11 ★1sin lim0=→xxx★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ e n xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ★ 例19 ★ 例21 ★ 例22★ 例23★ 例24 ★ 25★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26） ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8★ 返回内容要点：一、准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:a) ),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; b) ,lim ,lim a z a y n n n n ==∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求. 二、 准则II （单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 三、 两个重要极限：1. 1sin lim 0=→x x x ； 2．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim四、连续复利设初始本金为p (元), 年利率为r , 按复利付息, 若一年分m 次付息, 则第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m 趋于无穷大时, t 年末的本利和可按如下公式计算rt mtm pe m r p s =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→1lim若要t 年末的本利和为s , 则初始本金rt se p -=.例题选讲：夹逼准则的应用例1（讲义例1）求 .12111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 例2 求.)321(lim 1n n n n ++∞→例3 求 ()().1111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→n n n n n 例4 求 ().1lim >∞→a a nn n例5 求 ().0!lim >∞→a n a nn 例6（讲义例2）求 .!limnn n n ∞→ 例7（讲义例3）求 .lim n n n ∞→例8（讲义例4）求证).0(1lim >=∞→a a n n例9（讲义例5）求极限.1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x单调有界准则的应用例10（讲义例6）设有数列31=x ，,,312 x x +=13-+=n n x x ,求 .lim n n x ∞→例11 设 0>a 为常数, 数列 n x 由下列定义: ),2,1(2111 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n x a x x n n n 其中0x 为大于零的常数，求.lim n n x ∞→ 两个重要极限的应用例12（讲义例7）求 xxx tan lim0→.例13 求 .5sin 3tan lim0xxx →例14（讲义例8）求 .cos 1lim 20xxx -→ 例15 下列运算过程是否正确： 1sin lim tan lim sin .tan lim sin tan lim===→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x x x例16 计算 .3cos cos lim 20x xx x -→例17 计算 ;cos sin 1lim2xx x x x -+→例18（讲义例9）求 3sin 2tan 2limxxx x +-+→. 例19（讲义例10）求 311lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n .例20（讲义例11）求 ().21lim /10xx x -→例21（讲义例12）求 xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim 例22（讲义例13）求 .23lim 2xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→例23 求 .1lim 22xx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→ 例24 计算 ().lim /10xxx xe +→例25 求极限 ().tan lim 2tan 4/xx x π→连续复利例26（讲义例14） 一投资者欲用1000元投资5年, 设年利率为6%,试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算, 到第5年末, 该投资者应得的本利和A .注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题.课堂练习1. 求极限 .sin sin tan lim20xx xx x -→ 2. 求极限.)93(lim 1x x xx ++∞→第九节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11★ 例1 2 ★ 等价无穷小的充要条件★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-9 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、 常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x x x三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=定理2 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较. （1）;233+-x x （2）;lg x （3）().11sin1--x x 例4 证明.~1x e x -例5（讲义例4） 求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例6）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例7）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8求 ().1cos 11lim3/120--+→x x x例9（讲义例8）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 ().1ln lim 2cos 0x x e e xx x x +-→例11 计算 .sin cos 12lim2xxx +-→ 例12 求 ()().cos sec 1ln 1ln lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例9）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→等价无穷小的应用：例3（讲义例3） 证明: 11lim0=-→xe x x . 例5（讲义例5）设,0≠α证明: .11)1(lim 0=-+→xx x αα无穷小等价替换定理的应用：课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?第十节 函数的连续性与间断点客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.内容分布图示★ 函数的连续性 ★ 例1 ★ 例2 ★ 左右连续 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 连续函数与连续区间 ★ 例7★ 函数的间断点 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-10 ★ 返回内容要点：一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续. 三、 连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（讲义例1）试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续. 例2设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在, 试证明函数)(x f 在点0x 处连续.例3（讲义例4）讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.。
高等数学课件第1章 函数与极限
W {y y f (x), x D}
为函数的值域。
说明：函数值
f (x0 )
f (x) xx0
y xx0
y(x0 )
1.1.2 函数概念(续二)
【说明】
(1) 对应法则是函数概念的一个重要因素。变量用什 么字母无关紧要。
(2) 定义域是函数概念的另一个重要因素。自然定义 域 实际定义域
A r 2
y x2
(3) 表示函数的方法有多种。解析法（也称公式法）、 图像法、表格法
1.1.2 函数概念(续三)
一元函数 多元函数
A 1 absin
2
实例4：说明由方程 x2 y2 r 2确定的两个变量x和y之 间的相依关系。
多值函数 单值函数
例1-1 某汽车公司规定从甲地运货至乙地的收费标 准是：如果货物重量不超过30千克，则每千克 收费1.5元；如果货物重量超过30千克，则超出 部分每千克收费增至2.5元；试写出货物运费F与 货物重量m之间的函数关系。
1.2 初等函数
1.2.1 常值函数 1.2.2 幂函数 1.2.3 指数函数与对数函数 1.2.4 三角函数 1.2.5 反三角函数 1.2.6 复合函数 初等函数
1.2 初等函数(续)
➢ 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数6类是最常见最基本的，这些函数 称为基本初等函数。
➢ 表示集合最常用的方法是描述法：
A {x | p(x)}
➢ 其中x表示A的元素，p(x)代表x满足的条件。
1.1.1 常量与变量 数集(续二)
例如 A {x x t 2 1,t R}
通常省略说明属于实数集R的部分，即
A {x x t 2 1}
➢ 区间是R的一个连续子集。 ➢ 区间分为有限区间和无穷区间两大类，这两类区间
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限第一节 函数§1.1 函数内容网络图区间定义域 不等式 定义 集合 对应法则 表格法表达方法 图象法初等函数 解析法 非初等函数 单调性函数的特性 奇偶性函数 周期性 有界性 定义 反函数 重要的函数 存在性定理 复合函数符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x几个具体重要的函数 取整函数：()][x x f =，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.狄里克雷函数：()⎩⎨⎧=.,0,,1为无理数为有理数x x x D§1.2 内容提要与释疑解难一、函数的概念定义:设A 、B 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f ，使得对A 中任何一个实数x ，在B 中都有唯一确定的实数y 与x 对应，则称对应法则f 是A 上的函数，记为 B A f yx f →-::或.y 称为x 对应的函数值，记为 ()A x x f y ∈=,.其中x 叫做自变量，y 又叫因变量，A 称为函数f 的定义域，记为D （f ），{}A x x f A f ∈=∆)()(, 称为函数的值域，记为R （f ），在平面坐标系Oxy 下，集合{}D x x f y y x ∈=),(),(称为函数y=f(x)的图形。
函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。
1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。
从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。
2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。
大学高数第一章函数和极限ppt课件
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
解：由于函数表达式中带有| x | ，
y
所以要分别求函数的左右极限。
因为： lim | x | lim x 1，
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
变量 u 称为中间变量。
如：y sin3 x 可视为 y u3,u sin x 复合而成的 复合函数。 类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。
11
例 已知 y arcsin[ln(x 1)]
（1）分析 y 的复合结构；（2）求 y 的定义域.
解：(1) y arcsinu ， u ln v ， v x 1
常见的周期函数有：sin x 、cos x 、tan x ，cot x
前两者周期为 2 ，后两者周期为 。
9
5.函数的有界性
若存在某个正数 M ，使得不等式 f (x) M
对于函数 f (x) 的定义域 D 内的一切 x 值都成立，则称函数 f (x) 在定义域内是有界函数； 如果这样的正数 M 不存在，则称函数 f (x) 在定义域 D 内是
微积分第一章 函数与极限
素，则称A是B 的子集.记作 A B 或 B A 若集合A 与集合B 互为子集，即A B 且 B A，
则称A与B 相等.记作A = B .
不含任何元素的集合称为空集，记作 .
3
2.集合的运算
并、交、差 全集、余集(补集)
集合的并、交、余运算满足如下运算律：
welcome 微积分Ⅰ
1
第一章 函数与极限
集合与函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 极限存在准则与两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性
2
§1.1 集合与函数
1.集合的概念
所谓集合就是按照某些规定能够识别的一些确定对象 或事物的全体.
构成集合的每一个对象或事物称为集合的元素. 若一个集合只含有限个元素，则称为有限集，否则称 为无限集.
其中 C0 ---固定成本，C1 ---可变成本,x---产量 5. 利润函数：销售产品所获得的全部利润。
L(x) = R(x) - C(x) , 其中 x---产量
12
注意 有的隐函数能转化为显函数；
有的隐函数不能转化为显函数。
8
9、反函数
注意 1. 反函数的定义;会求反函数。 1. 只有单调函数才有反函数; 2. 直接函数与反函数是互为的;
3. 直接函数与反函数的图象关于直线 y x 对称.
4. 直接函数与反函数的定义域、值域之间的关系;
10、复合函数
（1）复合函数的复合 （2）复合函数的分拆
y arcsin x, y arccos x, y arctan x, y arc cot x.
10
12、初等函数
由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合而成的函数 称为初等函数.
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y
y x
2
1
则 f ( 5 ) 3 ( 5 ) 15
f (2) 2 1 5
f (0) 2
y 3x
2
0
x
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4、函数的特性（重点）： （1）．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
(
y
f ( x0 )
) 因变量
成品
原料
加工厂
x
f
y f (x)
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判断两个函数是否是同一函数的方法：
定义域和对应法则是否相同
比如： 3 ln x 和 y 6 ln x y
2
y x和 y
x
2
( x 0)
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2、定义域约定:
自然定义域：定义域是自变量所能取的使算
1
x
(a 0, a 1)
y( ) a
x
ya
x
(a 1)
( 0 ,1 )
ye
x
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y (4)、对数函数： log a x
(a 0, a 1)
y log a x
(1 ,0 )
(a 1)
y log 1 x
a
y ln x
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则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
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(3).函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )
称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
a
a
a
x
U (a ) { x
x a }.
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a
。
a
a
0
x
U (a ) { x 0 x a }. 左邻域 U ( a ) ( a , a )
0
点a的去心的邻域, 记作U (a ).
右邻域
U (a ) (a, a )
2
y
1 x
2
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注意：1.不是任何两个函数都可以复合
成一个复合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x 2 ;
为 什 么
?
注意：2.复合函数可以由两个或两个以
上的函数经过复合构成.
例如 y cot x 2 ,
y u,
u cot v, v
x 2
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1 x Q 例2： D( x ) 设 , 0 x Q 7 求D( ), D(1 2 ).并讨论D( D( x ))的性质. 5 7 解：D( ) 1, D(1 2 ) 0, D( D( x )) 1, 5 y 单值函数, 有界函数,
偶函数,
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一、区间和邻域:
区间：是指介于某两个实数之间的全 体实数.这两个实数叫做区间的端点. 有限区间： a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b)
o
{ x a x b}
a
b
x
称为闭区间, 记作 [a , b]
a
b
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界. y y M M y=f(x) x0 x o o X X 有界
无界
x
-M
-M
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（2）.函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 x 2时,
恒有 (1) f ( x1 ) f ( x 2 ),
y a rc co t x
常数函数、幂函数,指数函数,对数函数,三 角函数和反三角函数统称为基本初等函数—六 类.
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6、反函数与复合函数：
(1) 反函数(略讲)：
设y f ( x)定义域为X ，值域为W ，若对于任给y W , 在X中只有一个数x与之对应，使得f ( x) y, 把y看作 自变量，x看作函数，得到的一个新函数，称为函数 f 的反函数。记作f
不是单调函数,
o
1
周期函数(无最小正周期)
注意：实际上这不是一条线，而是一孤立的点子。
x
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5、六类基本初等函数： (1) 常数函数：
y (2) 幂函数：
yc
(是任意常数)
y x
(1,1) y
x
(是常数)
y
2
yx
1
x
o
y 1 x
1
x
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(3)、指数函数：y a
分段函数的定义域是各部分自变量的取值 范围之并集
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3、几个特殊的函数举例：
(1) 符号函数：
1
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
y
o -1
x
x sgn x x
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(2)取整函数 ：y x
式有意义的一切实数值. 实际定义域：定义域是自变量所能取的使符合 现实的实际意义的一切实数值.
例如， y
例如， y
1 x
1 1 x
2
D : [1,1] D : ( 1,1)
2
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3、D必是非空数集
比如： y
x3
1 x
这个表达式是函数吗
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y 4 3 2 1 o
x 表示不超过
x 的最大整数
-4 -3 -2 -1
-1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4
x
阶梯曲线
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例1： f ( x ) 设 解：
1
2
0 x1 , 求函数 f ( x 3)的定义域. 1 x 2
0 x1 1 f ( x) 2 1 x 2 0 x31 1 f ( x 3) 2 1 x 3 2 3 x 2 1 故 D f : [3,1] 2 2 x 1
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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2.邻域:以a为中心的任意开区间,记为: U ( a )
设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 . U (a ) { x a x a }.
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（2）、复合函数： 定义: y f (u ) 的定义域 D ,
而函数
D,
u ( x ) 在 D 上的值域为 ( D ) , 若 ( D )
则称函数 y f [( x )]为 x 的复合函数.
x是自变量, u是中间变量, y是因变量。
设 y u, u 1 x ,
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2、函数的定义：
设 D 是一个非空数集.如果有一个对应法则 f , 使得对每一 x D , 都能对应于唯一的一个数 y ，则 此对应法则 f 称为定义在数集 D 上的一个函数，并把 数 x 与相应的数 y 之间的对应关系记为：
y f ( x)
因变量 自变量
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且 数l , 使得对于任一x D, ( x l ) D. f ( x l ) f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期， 但有的函数是没有最小正周期的）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
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o
x
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{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b]
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无限区间：含有无穷的区间
[a ,) { x a x } ( , b) { x x b}
o
a o