拉格朗日插值_逐次线性插值法概论
第二章 函数的插值
学习目标：掌握多项式插值的 Lagrange 插 值 公 式 、 牛 顿 插 值 公式等，等距节点插值、差分、 差商、重节点差商与埃米特插值。 重点是多项式插值方法。
第二章 插值与拟合
2.1.1 问题的提出 2.1.2 Lagrange插值多项式 2.1.3 逐次线性插值 2.1.4 均差和Newton插值多项式 2.1.5 Hermite插值多项式
x4
问题2－插值多项式的构造
第二章 插值与拟合
方法１：待定系数法 ① 确定多项式 p ( x )的次数 结论：n+1个插值节点产生的插值多项式至多是n次的．
② 可设 p(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn 要求插值多项式 p(x)，可以通过求n+1个方程的解:
a0a1 an 得到。但这样做不但计算复杂，
)
(x
x0
)n
f
(n1) ( n!
)
(x
x0
)n1,
( 界于x与x0之间)
f (x)
f (x0)
f
(x0 1!
)
(
x
x0
)
f
(x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
－－称为函数f(x)的Taylor插值
第二章 插值与拟合
例如：利用Taylor插值求 y 115
解: 设 y x,取x0 100
插值法
本章主要讨论的内 容
插值函数
第二章 插值与拟合
p(x)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
f(x)
研究问题：
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
x0
x1
x2
x3
第二章 插值与拟合
给定空间一组有序的控制点（control point），得到 一条光滑的分段参数多项式曲线的方法:
✓曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点 进行插值，得到的曲线称为插值曲线。
✓构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对 这些控制点进行逼近，得到的曲线称为逼近(拟合)曲线。
x2< ⋯ < xn ≤ b 点上的值 y0, y1, ⋯ , yn . 若存在一简单
函数 p(x), 使得
近似计算 f (x) 的值、零点、极 值点、导数、积分，
p(xi) = yi
i = 0, 1, 2, ⋯, n (2.1)
成立,则称 p( x ) 为 f (x) 的插值函数。
(2.1)式称为插值条件， f (x) 称为被插函数，
而且难于得到pn(x)的简单表达式。
问题１－插值多项式的存在唯一性
第二章 插值与拟合
p(xi) = yi
设 pn(x)是 f (x) 的插值多项式，Hn表示次i =数0不, 1,超2,过⋯,nn 的所有多项
式的集合。且 pn(x) ∈Hn . 称插值多项式存在且唯一，就是指在
Hn 中有且仅有一个 pn(x) 满足插值条件(2.1)式。Vn ( x0 , x1 ,, xn )
本章先讨论插值问题，然后再讨论数据拟 合的有关问题。
第二章 插值与拟合
问题１：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息， 如何构造这些函数的近似表达式?
情形１．函数f(x)在x０点的Taylor展开式
f (x)
f (x0)
f
(x0 1!
)
(xx0)f(x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
p(x) y=f(x)
x0
第二章 插值与拟合
情形２在区间［a,b］上考虑函数f(x)的近似．
y=f(x)
a
b
求解：y = f (x) 在[ a , b ]上的近似曲线？
第二章 插值与拟合
插 解决思路
值 法
利用函数f(x)在区间[a, b]上一系列点的值 yi= f(xi)
（可通过观察、测量、试验等方法得到）
由(2.1)可得
a0 a0
a1 x0 a1 x1
an x0n an x1n
y0
y1 (2.2)
1 x0
x
2 0
x
n 0
1 x1 (xx12i x j )x1n
0 jin
a0 a1 xn an xnn yn
1 ≠x0n(xxi≠n2xj) xnn
插值多项式的唯一性 方程组(2.2)有唯一解
x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn
y=f(x)
第二章 插值与拟合
根据 f (x)在n+1个已知点的值，求一个足够光 滑又比较简单的函数p(x)，作为 f (x)的近似表达式，
p(x)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
第二章 插值与拟合
从代数上看，看p(x)满足以下代数条件
[a , b] 称为插值区间， x0 , x1, , xn 称为插值节点 ，
求 p(x) 的方法就是插值法。 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插.
插值函数的类型有很多种
第二章 插值与拟合
最常用的插值函数是 …代?数多项式 三角多项式 分段函数…
用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值
插值问题
p(xi) = yi
这就是所谓的插值．
i = 0, 1, 2, ⋯, n
然后计算 p(x)在[a,b] 上其它点x 处的函数值作为 原来函数 f (x)在此点函数值的近似值。
代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数
第二章 插值与拟合
定义2.1 设函数 f (x) 在[a , b]上有定义，且已知在 a ≤ x0 < x1<
范德蒙行列式
定理2.1 满足条件 (2.1)的插值多项式存在且唯一。
利用Tylor插值，有
x
f
(x0)
f
(x0 1!
)
(
x
x0
)
f
(x0)
2
1 x0
(x x0)
即 115 10 1 (115 100) ......
2 10
第二章 插值与拟合
Tylor插值的缺陷：① Tylor插值中有导数运算，而 计算机实现求导运算存在困难；②近似区间小,在大 的区间上不可行．
(a) 5个控制点的插值曲线 (b) 5个控制点的逼近曲线
第二章 插值与拟合
拟合法就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表 达式 (x) 经过所有的点 ( xi , yi ) ，而只要求在给定的 xi 上误差 i yi ( x)（i=0，1, … , n）按某种标准最小。 若记 δ=( δ1, δ2 ,…,δn )T ，就是要求向量δ的范数||δ|| 最 小。
拉格朗日插值和逐次线性插值
定义2.1 设函数 f (x) 在[a , b]上有定义，且已知在 a ≤ x0 < x1<
x2< ⋯ < xn ≤ b 点上的值 y0, y1, ⋯ , yn . 若存在一简单 近似计算 f (x) 的值、零点、极 函数 (x), 使得
(xi) = yi
成立,则称
值点、导数、积分，
i = 0, 1, 2, ⋯, n
待定系数
l0 ( x1 ) l0 ( x2 ) 0 l0 ( x0 ) 1,
知l0(x)中含有两个因子(x-x1 )( x-x2)，且是二次的
则可令l0 ( x) A ( x x1 ) ( x x2), 再由l0(x)满足的条件
1 可得A ( x0 x1) ( x0 x2 )
(2.1)
( x ) 为 f (x) 的插值函数。
(2.1)式称为插值条件， f ( x ) 称为被插值函数， [a , b] 称为插值区间， x0 , x1 , , xn 称为插值节点 ， 求 ( x ) 的方法就是插值法。 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插.
(x)
f(x) 研究问题：
（1）满足插值条件的 ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的 ( x) 存在，如何构造( x)？ （3）如何估计用 ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
曲线 ( x) 近似 f ( x)
x0
x1
x2
x3
x4
2.2 Lagrange插值多项式
问题１－插值多项式的存在唯一性
曲线 ( x) 近似 f ( x)
(x)
f(x)
x0
x1
x2
x
x3
拉格朗日插值法总结
拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。
或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。
若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。
本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。
第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。
与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。
几种插值法简介
举例来看：可以认为某水文要素T 随时间t 的变化是连续的，某一个测点的水文要素T 可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则直接取T 为T i 和T i+1的平均值。
插值公式为：T=T i +T i+12②拉格朗日（Lagrange ）插值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则可用T i-1、T 1、T i+1三个点来求得，也可用T i 、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为：T=(t-t i )(t-t i+1)(t i-1-t i )(t i-1-t i+1) T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1) T i +(t-t i )(t-t i-1)(t i+1-t i )(t i+1-t i-1) T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i -t i+1)(t i -t i+2) T i +(t-t i )(t-t i+2)(ti-t i )(t i -t i+2) T i+1+(t-t i )(t-t i+1)(t i+2-t i )(t i+2-t i+1) T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛（Akima ）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i 和T i+1满足：f(t i )=T i df dt |t-ti =k i f’(t i+1)=T’i df dt|t-ti+1=k i+1 式中k i ，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P 0+P 1(t-t i )+P 2(t-t i )2+P 3(t-t i )3，来对T i 和T i+1之间的一点T 进行内差。
第二章插值与拟合
1 不为零。
xn
n xn xn
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
三、线性插值
假定已知区间[xk, xk+1] 的端点处的函数值 yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式 L1(x),使它满足 L1(xk)=yk
L1(xk+1)=yk+1
则L1(x)的表达式可按下式给出：
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k , k 1) l k ( x k ) 1, l k ( x j ) 0( j k 1, k 1) (28) l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k 1, k ) 满足（28 ）式的插值基函数很容 易求出的，例如求 l k 1 ( x)，因为它有两个零点 k 和x k 1，故可表达为： x l k 1 ( x) A( x x k )(x x k 1 ) 其中A为待定系数可由 k 1 ( x k 1 ) 1定出： l 1 A ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k )(x x k 1 ) 于是l k 1 ( x)＝ ，同理可得 ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k－1 )(x x k 1 ) ( x x k 1 )(x x k ) l k ( x)＝ ，l k 1 ( x)＝ ( x k x k－1 )(x k x k 1 ) ( x k＋1 x k 1 )(x k 1 x k )
解：2、抛物插值
拉格朗日插值_逐次线性插值法 (2)
第二章 插值与拟合
例2.1 已知 100 10 , 121 11 , 利用线性插值求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线 性插值
x 121 x 100 L1 ( x) 10 11 100 121 121 100
第二章 插值与拟合
例1：已知x0=100, x1=121, x2=144, 求 f ( x)
x
在x=115时的近似值。
x 121 x 100 L1 ( x ) 10 11 100 121 121 100
x 144 x 121 ~ L1 ( x ) 11 12 121 144 144 121
为克服这一缺点，通常可用逐次线性插值方法求得高次插 值。例如在例2.1-2.1*中：
115 121 115 100 11 10.714 100 121 121 100 115 144 115 121 ~ 115 L1 (115) 11 12 10.739 121 144 144 121 115 L1 (115) 10
x x0 x x1 x x2 x x3 x x4
第二章 插值与拟合
例：已知 sin 1 , sin 1 , sin 3 6 2 4 2 3 2 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值和牛顿插 值计算 sin 50。
拉格朗日插值法知识讲解
拉格朗日插值法5.2 拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。
5.2.1 线性插值问题5.1给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。
如图5.1所示。
图5.1 线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。
下面先用待定系数法构造插值直线。
设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。
这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。
用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。
当时，若用两点式表示这条直线，则有：（5.1）这种形式称为拉格朗日插值多项式。
，，称为插值基函数，计算，的值，易见（5.2）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。
拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。
线性插值误差定理5.1记为以为插值点的插值函数，。
这里，设一阶连续可导，在上存在，则对任意给定的，至少存在一点，使（5.3）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进辅助函数：则。
由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨记为和，即和，对在上应用洛尔定理，得到在上至少有一个零点，。
现在对求二次导数，其中的线性函数)，故有代入，得所以即5.2.2 二次插值问题5.2给定三个插值点，,其中互不相等，怎样构造函数的二次的（抛物线）插值多项式？平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。
拉格朗日插值法ppt课件
在节点xi处的函数值必然相等 但在节点 P(x外 )的值可能就会 f(x偏 ) 离 因此 P(x)近似代f(替 x)必然存在着误差 8
整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数
本章讨论的就是代数插值多项式
二、代数插值多项式的存在唯一性
n1(x) n1(xj )(xxj )
j0,1,2,,n -------(7')
显l然 0(x)l,1(x)l,2(x) , ,ln(x)线性(无 请同学关 们思考)
且
l j ( xi )
1 0
i j i j
i,j0,1,2,,n -------(8)
16
如果 l0(x)l用 1 ,(x)l2 ,(x) ,,ln(x)作 yf(x)的插值 而Pn(x) 为f(x)的插值多 ,则 项式
6
问题
• 是否存在唯一 • 如何构造 • 误差估计
如函 ys数 ixn ,若给 [0,]上 定 5个等分点
其插值函数的图象如图
7
yy
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
0.522
22..55
33
xxx
33..55
对于被插 f(x)和 函插 数值P(函 x) 数
一、插值余项
从上,节 yf可 (x)的 L 知 ag插 ran 值 ge
满足
n
Ln(x) yjlj(x) j0
L n(x i)f(x i) i 0 ,1 , ,n
但 x[a,b]
Ln(x)f(x) 不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
《拉格朗日插值法》课件
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
拉格朗日插值和逐次线性插值
L1(x0 ) y0 , L1(x1) y1
y y = L1(x)
0 x0
x1 x
y L1(x)的几何意义就是通过两点（x0, y0 )与（x1, y1)的直线，
如图所示，L（1 x）的表达式可由几何意义直接给出：
（点斜式）
L1 ( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
y
（两点式）
y = L1(x)
L1 ( x)
x1 x x1 x0
y0
x x0 x1 x0
y1
0
x0
x1 x
－－－称为线性（一次）插值
L1(x)
y0
y1 y0 x1 x0
( x x0 )
或
L1 ( x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
l0 (x)
x x1 x0 x1
例2.2 由化学实验得到某种物质浓度yi与时间ti 的关系如表2-2.
ti 0. 0 0.5 1.0 1.5 2.0 yi 0. 0 0.19 0.26 0.29 0.31 求其它时间的物质浓度。
解法： 建立时间与物质浓度的简单数学模型， 或用插值法 。
问题１：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息， 如何构造这些函数的近似表达式?
(x)
曲线 ( x)
近似 f ( x)
f(x)
研究问题：
（1）满足插值条件的 ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的(x) 存在，如何构造(x)？ （3）如何估计用 (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
x0
x1
x2
x3
x4