一笔画问题中偶点和奇点分别指什么
数学人教版六年级下册一笔画精选全文
又不遗漏地一次走
遍这七座桥，又回
到出发点是不可能
的！
在七桥问题中，如果允许你再架一 座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？ 这座桥应该架在哪里？请你试一试！
A
C
D
B
A D
C
B
A D
C
B
A D
C
B
A D
C
B
A D
C
B
A D
C
B
A
A
A
D
D
D
C
C
C
B
B
B
A
A
A
D
D
D
C
C
C
B
B
B
图6
幅图研究，所研究图中的奇点用
图7
红笔做上记号。小组长快速填写 组员研究结果。
图8
2、表格填完后讨论：能一笔画成
图9
的图形，它的奇点与偶点个数有
什么特点？
例2：下列图形各有几个奇点？几个偶点？这些图形能一笔画成吗？
A ●B
A●
图1
B
C
图2
A
B
E
●
●
C
D
图3
A
●
A
●
●E
F
●
●
BD C
图4
B
● ●
C
●
●
●
例2：下列图形各有几个奇点？几个偶点？这些图形能一笔画成吗？
A ●B
A
●
B●
●E
A A
E
A ●●
图1
B
C
图2
●
●
C
D
图3
一笔画
1、什么叫一笔画：从图形的某一点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复地经过图形上所有部分中的线段，这样画成的图形叫做一笔画。
2、奇数与偶数用2除商是整数而没有余数的数叫偶数。
如2、4、6、8、10……用2除不能整而有余数的数叫奇数。
如1、3、5、7、9、11……3、奇点与偶点从一点出发的线有奇数条，就称这一点为奇点。
如┷从A点出发的有3条线。
从一点出发的线有偶数条，就称这一点为偶点。
如┿从B点出发的有4条线。
4、判断一个图形能否一笔画的条件：a．图形中的交点都是偶点时，可以一笔画成这一图形。
画时可以从任意一交点出发，再回到这个点b．图形上的交点，只有两个奇点时，可以一笔画成。
画时，必须从一个奇点出发，回到另一个奇点结束，如果交点多于两个奇点的图形不能一笔画成。
第 1 页共3 页第 2 页 共 3 页1、下面那个图形能一笔写出？田 串 品 曲 日 目2、下面那个图形可以一笔画出？3、下面的图形至少用多少笔才能画出：4、小明和小强赛长跑，赛跑的路线如图，如果两人速度相同。
小明从A 点出发，小强从B 点出发，两人都要跑遍所有道路，最后到达M 点。
那么谁能最先到达M 点？5、李奶奶在街心花园的小路上散步（如下图），她能不能一次不重复地走遍所有的路？如不能，就选择怎样的路线才能使全程最短？6、图是某公园的道路平面图，要使游客不重复走遍所有的路，出入口应设在何处？ADGB7、的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的千米数。
邮车从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局。
问：邮车就怎样走，线路才最合理？315148、18世纪，东普鲁士的哥尼斯堡是一座美丽的城市。
流经这里的一条布勒格河穿过城区，河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来（如下图）。
那里风景优美，游人众多，在这个美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地走遍七座桥，最后又回到出发点呢：同学们，你们能回答这个问题吗？河岸Array河岸第 3 页共3 页。
一笔画
一笔画问题
—— 刘 涛
18世纪，瑞士著名的数学家欧拉找到了一笔画的规律：能一笔画成的图形上的点，除了起点与终点以外，每个点都应该与偶数条线相连，这种点叫偶数点。
与奇数条线相连的点叫奇数点。
能一笔画成的图形中除了起点与终点以外不应有奇数点。
数学题类型名，最著名的是七桥问题（欧拉解答）。
一笔画的概念是讨论某图形是0否可以一笔画出。
图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。
只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。
只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。
在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)
二．判断
一．七桥问题
三．生活应用
【题目】：下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路而又不重复，出、人口应该设在哪里？
【解析】：
要使游客走遍每一条路而又不重复，也就是一笔画出上图，公园的出入口就是一笔画的起点和终点。
观察图形，图中只有I 和E 两个奇点（每个点连接3条线），因此公园的出入口应设在这两个点上，以其中一个点为入口，以另一个点为出口。
四．小试牛刀。
第三讲一笔画和多笔画
第三讲一笔画和多笔画【知识要点】1、与奇数条边相连的结点叫做奇点，与偶数条边相连的点称为偶点2、一笔画指：下笔后笔尖不能离开纸，每条线都只能画一次而不能重复。
欧拉定理：①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
③其他情况的图，都不能一笔画出。
3、多笔画：不能一笔画成的图，归纳为多笔画，奇点个数是研究多笔画问题的关键对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n。
【例题】例1、下列图形中。
请找出每个图的奇点个数，偶点个数。
试一试哪些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？例2、右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？A 岛 D 岸B 岛C 岸 例3、右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？例4、著名的“哥尼斯堡七桥问题”：故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥可以架在哪里？请你在右图上试一试！例5、观察下面的图，各至少用几笔画成？例6、判断右图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？请想出两种方法【池中戏水】1.观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.2、右图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？3、一张纸上画有如右图所示的图，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？4、右图是一个公园的平面图.要使游客走遍每条路而不重复，问出入口应设在哪里？5、下图是某少年宫的平面图，共有五个大厅，相邻两厅之间都有门相通（D与E两厅除外），并且有一个入口和一个出口.问游人能否从入口入，一次不重复地穿过所有的门？如果可以，请指明穿行路线；如果不能，请你想一想，关闭哪扇门后就可以办到？【江中畅游】1、右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度。
易学教育奥数一笔画问题
“一笔画”是指笔不离 开纸，而且每条线都只 画一次不准重复而画成 的图形。
你能一笔画出下列图形吗？
下列图形你还能不能一笔画呢？
理论研究
与奇数条边 相连的点叫 做奇点
奇 点
偶 点 与偶数条边
相连的点叫 做偶点
①凡是由偶点组成的连通图，一定可 以一笔画成；画时可以任一偶点为起 点，最后一定能以这个点为终点画完 此图。 ②凡是只有两个奇点（其余均为偶 点）的连通图，一定可以一笔画成； 画时必须以一个奇点为起点，另一 个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画成。
能不能既不 重复又不遗 漏地一次相 继走遍这七 故事发生在18世纪的哥尼斯堡城 座桥？ .流
能不能既不 重复又不遗 漏地一次相 继走遍这七 座桥？
把河的两岸、两个小岛看成四个点
把七座桥看成是七条线
转化成数学模型后如图所示
A D
C B
分析：：
A 图中四个点都是奇 点，所以不能一笔 D 画，那么既不重复 又不遗漏地一次相 继走遍这七座桥是 不可能的！
C
B
在七桥问题中，如果允许你再架一 座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？ 这座桥应该架在哪里？请你试一试！
A C D
B
A C B A C B D C
A D C
A D
B A D
C B
B A D
C B
D
蚂 蚁 赛 跑
一只红蚂蚁和一只黄蚂蚁比赛看 谁能爬过所有的棱线，最终到达 终点D.已知它们的爬速相同，哪 只蚂蚁能获胜？
分析：
图中只有两 个奇点，可 以一笔画。 即可以不重 复的走遍每 一条棱线。 但是只有从 奇点出发才 能一笔画， 所以红蚂蚁 选对了出发 点哦！
一笔画问题
一笔画问题画一个图案，如果用笔既不重复也不遗漏，纸不离笔，一笔画成，那么就称这个图案是一笔画图案.现在我们来研究的问题是：（1）怎样的图案才能一笔画成？（2）如果一个图案能一笔画成，那么该从哪里起笔到哪里收笔？需提醒大家的是，这些问题与图案中的“奇点”的个数有关.何谓奇点呢？我们知道，任何图案都是由线条（直线或曲线）连成的.在图案中，由三条或三条以上的方向各不相同的线连接在一起的点叫做图案点，通过图案点的线是奇数条就称奇点（当然，通过图案点的线是偶数条就称偶点，现在只需回答前面的问题而与偶点无关）.例如，在下面各图案中的奇点个数见统计表（请读者对照图案辨认奇点）.统计表：接着就请读者朋友拿起你的笔来逐个试画以上各图案，看能否一笔画成，将结论填在统计表内.并注意体会能一笔画的图案应该怎样画.最后，请根据上表归纳出前面两个问题的答案.【规律】（1）奇点数为0或2的图案可以一笔画成.奇点数多于2的图案不能一笔画成.（2）画奇数为0的图案时，可以选择任意点起笔都能一笔画成；画奇数为2的图案时，必须选择其中的一个奇点起笔，而到另一个奇点收笔才能一笔画成.【练习】1.下面各图案，能一笔画出来吗？试一试.2.容易看出，下面的两个图案都不能一笔画成，请在每个图案上各补画一条线就能使新图案一笔画成了.会吗？3.这是大数学家欧拉曾经研究过的一个著名数学问题----七桥问题.东普士的多尼斯堡城中有一条横贯城区的河流，河上有两个岛，两岸和两岛之间共架有七座桥、如下图所示：问人们能不重复地走遍这七座桥吗?4.回龙州公园的游览点与路线示意图如下.如果要使游人游完所有的游览点而不重复行走的路线，请问入口处和出口处应该设在什么位置?如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。
显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
叙述欧拉关于一笔画问题的结论
叙述欧拉关于一笔画问题的结论
能一笔画成的图形上的点,除了起点与终点以外,每个点都应该与偶数条线相连,这种点叫偶数点。
与奇数条线相连的点叫奇数点。
能一笔画成的图形中除了起点与终点以外不应有奇数点。
数学题最著名的七桥问题（欧拉解答）。
一笔画的概念是讨论某图形是否可以一笔画出。
图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。
只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。
只有偶点的图形不限出发点,只有两个奇点必然从
其中一点出发到另一点结束。
在任何图形中,奇点都是成对出现的,没有奇数个奇点的图形。
根据以上欧拉解答原理，可以得出以下三个结论。
1、凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图。
2、凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）,一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点终点。
3、其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)。
奇妙一笔画
例一下图中哪些是奇点哪些是偶点
D、H、J、O A、B、C、E F、G、I、
能一笔画吗为什么
E、K
A、B、C、D F、G、I、H
能一笔画吗为什么
答：能
答：不能
答：能
为什么能一笔画从哪里开始画呢
答：能
答：不能
答：不能
想一想不能一笔画的图形 能不能变成可以一笔画呢
如何变成一笔画呢
连线或去线 消灭小奇点 变成一笔画
例四能否从入口进入不重复地穿过所有门如果可以 画出路线如果不行关闭哪扇门就可以
例四能否从入口进入不重复地穿过所有门如果可以 画出路线如果不行关闭哪扇门就可以
例五七桥问题：游人要一次不重复地走过所有的 桥应该怎么走
练习五七桥问题：游人要一次不重复地走过所有 的桥应该怎么走
一、习题一至五
有些图只用一笔就可以画好 猜一猜是哪些图
能够一笔完成的画叫一笔画
下面的图能不能一笔画呢为什么
连通的图才能一笔画
为什么有的能一笔画有的不行呢
欧拉
聪明的欧拉发现：
能不能一笔画只要观察图形的奇点就能知道
图形里的点有什么奥秘
奇点：
…
连线：一三五…
偶点：
…
连线：二四六…
奇点：连线不能成双成对的点； 偶点：连线能成双成对的点
下面的图都能一笔画数一数奇点有几个
下面的图都不能一笔画数一数奇点几个
一笔画与奇点的秘密
能一笔画
不能一笔画
பைடு நூலகம்
能一笔画的图形： 没有或者有二个奇点
不能一笔画的图形： 奇点超过二个
奇点个数为0或者二才能一笔画
0个奇点的一笔画
没有奇点的图形
从任何地方开始都可以一笔画
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一笔画问题中偶点和奇点
分别指什么
Prepared on 22 November 2020
一笔画问题中偶点和奇点分别指什么
奇点：从这一点出发的线段数为奇数条
偶点：从这一点出发的线段数为偶数条
一笔画中可以有0个奇数点（就是在一幅图中，没有奇数点，全部为偶数点，如图二）或者2个奇数点
一笔画问题就是判断奇点的个数，要是0或2，就可以一笔完成，大于2，就不能了，还可以做推广，比如奇点数为4，要2笔;为6，要3笔
而且在存在奇点的情况下，一定要从奇点出发。
如下图，圆圈所示即为偶点；方框所示，即为奇点。
左图奇点数为2，可以一笔画；图二没有奇点（就是所谓0奇点），也可以一笔画完成。
1.一笔画问题中的奇点和偶点是什么，如何判断这个是不是
奇点，是不是偶点，它们有什么特点
解：由一点引出的线段为奇数个，则这个点为奇点
由一点引出的线段为偶数个，则这个点为偶点
一个图形判断能否被下来，关键是看奇点的个数：
当奇点为0个或者2个时（不可能为一个，奇点都是成对出现），可以被下来，反之则不能。
3.奇点的个数是0或2的图形可以一笔画。
例如“口”的每个点都有2条线，那么这4个点都是偶数点，奇点为0，所以可以
一笔画。
“一”有2个点，每个点有一条线，所以这两个点都是奇点，奇点个数为2，所以可以一笔画。
奇点，偶点简单说就是看这个点上连接的有几条线。
连接奇数条线的点就是奇点，连接偶数条线的就是偶点。