1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
.
a1－anq ∵Sn＝ ＝126，an＝a1qn－1， 1－q
q＝2 ∴ n＝6
a ＝a ·2＝－12 3 1q S3＝a11＋q＋q2＝－9
－ －
① ②
1＋q＋q2 3 ②÷ ①得 ＝4，即q2＋4q＋4＝0. 2 q 所以q＝－2.
1 方法二：a3，a2，a1成等比数列且公比为 . q
1 a31－q3
所以S3＝a3＋a2＋a1＝ －12q3－1 ＝ 2 ＝－9. q q－1
方法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列， 又S10＝10，S20＝30， 30－102 ∴S30－S20＝S30－30＝ ， 10 即S30＝70.
[题后感悟] 通过两种解法比较可看出，利用等比数列的性 质解题，思路清晰，过程较为简捷．
2．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的
4．一天，小明和小林做贷款游戏，二人从签定合同之日起， 在整整一个月(30天)中，小明第一天贷给小林1万元，第二天贷 给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元．而小林
按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天还2分钱，
第三天还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍． 同学们算一算，在这个游戏中谁赔谁赚？
第一课时
等比数列的前n项和
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程． 2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题． 3.进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换思想的应用
能力.
1．如何用数学语言表述等比数列的定义？ an＋1 若 a ＝q，其中n∈N＋，q是非零常数，则称数列{an} n 为等比数列． 2．等比数列的通项公式是：an＝a1·n－1(n∈N＋)． q 3．还记得等差数列的前n项和公式吗？ na1＋an nn－1 若{an}是等差数列，则Sn＝ ＝na1＋ 2 d. 2
＋a22＋…＋an2等于________．
解析： 设等比数列{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝2n－1. 易知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝1， ∴an＝2n－1，于是an2＝4n－1，
1 n 2 2 2 n－1 ∴a1 ＋a2 ＋…＋an ＝1＋4＋4 ＋…＋4 ＝ (4 －1)
2
3
1 n 答案： 3(4 －1)
2 3
＝8. ∴a4＝a1q
3
1 ＝8×23＝1，
a11－q5 S5 ＝ ＝ 1－q
1 8×1－25
1 1－ 2
31 ＝2.
(3)方法一：设首项为a1， a11－24 1 ∵q＝2，S4＝1，∴ ＝1，即a1＝ ， 15 1－2 1 1－28 8 a11－q 15 ∴S8＝ ＝ ＝17. 1－q 1－2 a11－q4 方法二：∵S4＝ ＝1，且q＝2， 1－q a11－q8 a11－q4 ∴S8＝ ＝ (1＋q4)＝S4· (1＋q4) 1－q 1－q ＝1×(1＋24)＝17.
5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求
公比q的值．
解析： 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； a11－q3 当q≠1时， ＝3a1q2， 1－q 因为a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)， 因为q≠1， 所以1－q≠0，化简得1＋q＋q2＝3， 7 63 又∵S3＝2，S6＝ 2 ， a11－q3 7 ＝2 1－q 即 a11－q6 63 1－q ＝ 2 ① ②
②÷ ①得1＋q3＝9，∴q＝2. 1 将q＝2代入①，可求得a1＝ ， 2 因此an＝a1qn 1＝2n 2. (3)方法一：由已知可得方程组
1 解得q＝－2或q＝1(舍) 1 故q的值为1或－ . 2
等比数列中的基本运算 在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
5 (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求a4和S5； 4 (3)若q＝2，S4＝1，求S8.
[解题过程]
a11－qn (1)由Sn＝ ，an＝a1qn－1以及已知条 1－q
1 解析： 因为a4＝a1q ＝q ＝8，
3 3
) 1 B．2－ 9 2 1 D．2－211
1 所以q＝2，所以S10＝
1 1－210
答案： B
1 1 ＝2－29.故选B. 1－2
2．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为
(
A．4 C．2
a11－q5 解析： S5＝ 1－q a1[1－－25] ∴44＝ 1－－2 ∴a1＝4，故选A.
1．在等比数列{an}中， (1)已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，求n； 7 63 (2)已知S3＝ ，S6＝ ，求an； 2 2 (3)a3＝－12，前3项和S3＝－9，求公比q. (4)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和q.
a1－anq 3－96q 解析： (1)由Sn＝ ＝ ＝189，解得q＝2. 1－q 1－q 又an＝a1qn 1， ∴96＝3·n－1，即2n－1＝32， 2 ∴n－1＝5，即n＝6.
[解题过程] 方法一：设公比为q， a11－q10 ＝10 1－q 则 a11－q20 1－q ＝30 ② 得1＋q10＝3，∴q10＝2， ① a11－q30 ∴S30＝ 1－q ① ②
a11－q10 ＝ (1＋q10＋q20) 1－q ＝10×(1＋2＋4)＝70.
a11－2n 189＝ ， 1－2 件得 96＝a ·n－1， 12 192 ∴a1· ＝192，∴2 ＝ . 2 a1
n n
∴189＝a1(2 又∵2
n－1
n
192 －1)＝a1 a －1，∴a1＝3. 1
96 ＝ ＝32，∴n＝6. 3
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得 ① a1＋a1q2＝10， a11＋q2＝10， 3 即 3 5 5 5 2 a1q ＋a1q ＝4， a1q 1＋q ＝4. ② 1 1 ∵a1≠0,1＋q ≠0，∴②÷ ①得，q ＝ 8 ，即q＝ 2 ，∴a1
等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比
na1q＝1 n 求和公式 Sn＝ a11－q Sn ＝ 1－q q≠1
na1q＝1 a1－anq 1－q q≠1
1 1．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝ 8 ，则该数列的 前10项和为( 1 A．2－ 8 2 1 C．2－210
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高中数学 第一章 数列 3.2 等比数列的前n项和(一)课件 北师大版必修5.pptx
类型一 等比数列前n项和公式的应用
命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： 解答 (1)12，14，18，…； 因为 a1＝12，q＝12， 所以 S8＝12[11－－12218]＝225556.
11
(2)a1＝27，a9＝2143，q<0. 解答
由 a1＝27，a9＝2143，可得2143＝27·q8.又由 q<0，
设等比数列的公比为q， ∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20， 解得q＝2，且a1＝2. 因此 Sn＝a111－－qqn＝2n＋1－2.
14
命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn. 解答
(1) 一定不要忽略q＝1的情况；
(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用
an和q，可以用
a1－anq 1－q
；
a11－qn 1－q
；
知
道
首
尾
两
项
a1
，
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量：a1，n，q，an，Sn.知
道其中任意三个，可求其余两个.简称为：“知三求二”.
9
题型探究
10
15
反思与感悟
(1) 在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an， n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. (2)在前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
19
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解答
最新-2018高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和课件 必修5 精品
解得 k＝8.
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
等比数列前n项和说课课件
例1：已知等比数列{a n }，首项为a1，公比为q,Sn为前n项和
(1)若a 2
2, a5
16,
求S 5
（2）若a 1
an
66, a3an2
128,
S
n =126,求q, n
(3)若a1 1, S6 4S3, 求a4
变式练习：求和：x+x2 ... xn
解：Sn x x2 … xn. x 0时，Sn 0 ;
Sn= a1 + a2 + a3 +… + an-2 + an-1 + an Sn= an + an-1+ an-2 +… + a3 + a2 + a1
a1 an a2 an1 a3 an2 ......
算 法
两式相加得: 2Sn = (a1+an )×n
：
倒
S n(a a ) 1
n
思考：两式相加行吗？ 两式相减呢？
由 ① － ②得: – S64= 1 – 264
即 S64= 264 – 1. （错位相减法）
问题2：Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
=?
解：
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
①
1 2
Sn
1 22
1 23
1 2n
1 2n1
②
由 ① － ②得:
1 11 2 Sn 2 2n1
课后作业，分层练习
必做：教材的练习第1,2题 补充：求和：
=
课后思考： 已知等差数列{an},Sn为其前n项和
则Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k (k N)成等差数列 你能否以类比的方法探究：已知等比数列 {an},Sn为其前n项和
北师大版高中数学必修五第一章数列1.3.2等比数列的前n项和课件
②÷①,得 1+q3=9,∴q3=8, 1 即 q=2.代入①,得 a1= , 2
1 n-1 n-2 ∴an=a1q =2×2 =2 , ������1 (1-������������ ) n-1 1 Sn= =2 - . 2 1-
题型一 题型二 题型三 题型四
-2-
3.2 等比数列的前n项和
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.等比数列的前n项和公式 数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1;
当 q ≠1 时,Sn =
������1 (1-������������ ) ������ -������ ������ = 1 ������ . 1-������ 1-������
������1 (1- 2������ ) ������ = 189, 化简得 2 ������1 -������1 = 189, ① ������ 1-2 2 ������1 = 192, ② ������ -1
-5-
3.2 等比数列的前n项和
题型一 题型二 题型三 题型四
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-4-
3.2 等比数列的前n项和
题型一 题型二 题型三 题型四
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题型一 利用等比数列前n项和公式求相关量 【例1】 (1)在等比数列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;
S随堂演练
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《3.2 等比数列的前n项和》课件4-优质公开课-北师大必修5精品
② ① ������1 (1-������������ ) 1-������
= 48, 60.②
①
,得
������1 (1-������2������ ) = 1-������ 5 1 1+qn= ,即 qn= . 4 4
1× (1-299 ) 99 解析:∵a1=1,q=2,∴S99= =2 -1. 1-2
答案:C 【做一做 1-2】 在等比数列{an}中,已知 a1=3,an=96,Sn=189,则 n 的值 为( ). A.4 B.5 C.6 D.7 解析:由 Sn= 答案:C
-3-
������1 -������������ ������ 1-������
-7-
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题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (an-1)(n∈N+),求数 列{an}的通项公式.
1 2 1 1 � (an-1)- (an-1-1),解得 ������ =- , 3 3 ������������-1 2 1 1 所以数列{an}是首项为- ,公比为- 的等比数列, 2 2 1 1 ������ -1 1 ������ 所以其通项公式 an=- × = . 2 2 2
1.等比数列的前 n 项和公式
数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1
������1 (1-������������ ) 时,Sn= 1-������
=
������1 -������������ ������ . 1-������
【做一做 1-1】 数列{2n-1}的前 99 项的和为( ). A.2100-1 B.1-2100 C.299-1 D.1-299
= 48, 60.②
①
,得
������1 (1-������2������ ) = 1-������ 5 1 1+qn= ,即 qn= . 4 4
1× (1-299 ) 99 解析:∵a1=1,q=2,∴S99= =2 -1. 1-2
答案:C 【做一做 1-2】 在等比数列{an}中,已知 a1=3,an=96,Sn=189,则 n 的值 为( ). A.4 B.5 C.6 D.7 解析:由 Sn= 答案:C
-3-
������1 -������������ ������ 1-������
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随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (an-1)(n∈N+),求数 列{an}的通项公式.
1 2 1 1 � (an-1)- (an-1-1),解得 ������ =- , 3 3 ������������-1 2 1 1 所以数列{an}是首项为- ,公比为- 的等比数列, 2 2 1 1 ������ -1 1 ������ 所以其通项公式 an=- × = . 2 2 2
1.等比数列的前 n 项和公式
数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1
������1 (1-������������ ) 时,Sn= 1-������
=
������1 -������������ ������ . 1-������
【做一做 1-1】 数列{2n-1}的前 99 项的和为( ). A.2100-1 B.1-2100 C.299-1 D.1-299
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
高中数学 第一部分 第一章 §3 3.2 等比数列的前n项和课件 北师大版必修5
3.2 第 一 章 数 列 等 比 数 列 的 前 项 和
理解教材新知 考点一
把握热点考向考点二n考点三 考点四
应用创新演练
3.2 等比数列的前n项和
对于等比数列1,2,22,23，…，2n，…
问题1：该数列的首项和公比分别是什么？ 提示：首项是1，公比是2. 问题2：前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n 边同乘以公比2得2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＋1 会有什么结果？ 提示：有公共项，②－①得Sn＝2n＋1－1. ①，两 ②，那
[思路点拨]
根据等比数列的前n项和公式，结合通
项公式，列方程或方程组求解，注意整体代换思想的应
用．
a11－qn [精解详析] (1)由 Sn＝ ，an＝a1qn－1 以及 1－q 已知条件得 a11－2n 189＝ ， 1 － 2 2n－1， 96＝a1· 由②得，a1· 2n＝192， 192 ∴2 ＝ . a1
解析：由题知 an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1) 1 1－ n 3 3 1 ＝ ＝ (1－ n)． 1 2 3 1－ 3
答案：A
2．(2011· 大纲全国高考)设等比数列{an}的前n项和为 Sn· 已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn·
解：设{an}的公比为
a1＝3， 解得 q＝2， a1q＝6， q，由题设得 2 6a1＋a1q ＝30.
－
1 当 q＝－2 时，an＝ ×(－2)n－1. 2
[例2]
求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1(a≠0)
的前n项和．
[思路点拨] 利用错位相减法求和，注意分a＝1
和a≠1两种情况求解．
[精解详析] (1)当 a＝1 时，数列变为 1,3,5,7，…，(2n－1)， n[1＋2n－1] 则 Sn＝ ＝ n2. 2 (2)当 a≠1 时，有 Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an② ①－②得
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把握热点考向考点二n考点三 考点四
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3.2 等比数列的前n项和
对于等比数列1,2,22,23，…，2n，…
问题1：该数列的首项和公比分别是什么？ 提示：首项是1，公比是2. 问题2：前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n 边同乘以公比2得2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＋1 会有什么结果？ 提示：有公共项，②－①得Sn＝2n＋1－1. ①，两 ②，那
[思路点拨]
根据等比数列的前n项和公式，结合通
项公式，列方程或方程组求解，注意整体代换思想的应
用．
a11－qn [精解详析] (1)由 Sn＝ ，an＝a1qn－1 以及 1－q 已知条件得 a11－2n 189＝ ， 1 － 2 2n－1， 96＝a1· 由②得，a1· 2n＝192， 192 ∴2 ＝ . a1
解析：由题知 an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1) 1 1－ n 3 3 1 ＝ ＝ (1－ n)． 1 2 3 1－ 3
答案：A
2．(2011· 大纲全国高考)设等比数列{an}的前n项和为 Sn· 已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn·
解：设{an}的公比为
a1＝3， 解得 q＝2， a1q＝6， q，由题设得 2 6a1＋a1q ＝30.
－
1 当 q＝－2 时，an＝ ×(－2)n－1. 2
[例2]
求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1(a≠0)
的前n项和．
[思路点拨] 利用错位相减法求和，注意分a＝1
和a≠1两种情况求解．
[精解详析] (1)当 a＝1 时，数列变为 1,3,5,7，…，(2n－1)， n[1＋2n－1] 则 Sn＝ ＝ n2. 2 (2)当 a≠1 时，有 Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an② ①－②得
高中数学 第一章《数列》等比数列的前n项和课件 北师大版必修5
Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 = a1（1+q +q2 +…+qn-2 + qn-1）
第十页，共17页。
1、等比数列(děnɡ bǐ shù liè)1，2，4，
第10项的和为
S
S10
S4
1 210 1 2
1 24 1 2
或S
a5 1 q6 1 q
分析(fēnxī)：第1年产量为 5
第2年产量为 5×(1+10%)=5×1.1
第3年产量为
……
5×(1+10%) ×(1+10%)=5×1.12
第n年产量为 51.1n1
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
第十二页，共17页。
解：由题意，从第1年起，每年的产量
组成一个等比数列 an,
北师大版高中数学必修 (bìxiū)5第一章《数列》
第一页，共17页。
一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着大量 的等比数列求和的计算问题；⑵探索并掌握等比数列前n项和公式； ⑶用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一； ⑷体会公式推导过程中的分类讨论(tǎolùn)和转化化归的思想。2、 过程与方法：⑴采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方 法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动。3、情感 态度与价值观：⑴通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激 发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、 归纳的能力；⑵在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；⑶ 通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激 发学生学习的兴趣。
等比数列求和公式及性质
后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟
上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得
an+1=4/5an
因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列
热气球在n分时间里上升的总高度
Sn a1a2an a1(11qqn)1251(5 4)n125 答这个热气球不 上可 升能 的 12超 m 高 5. 过 度
比数列 SN
r 2 1
1
1 4
1 4
2
1 4
n1
3 6
a
2
1
1
1 4 1 4
n
4 a2
3 12
1
1
n
4
a 2 1 9
1 4n
第二十三页，本课件共有29页
练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12 与18，求它的第1项与第2项
a q 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
(n≥2)
通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
Sn
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
ab A= 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
若m+n=p+q,则 若m+n=p+q,则
am+an=ap+aq
aman=apaq
Sn=
(a1
an 2
)n
Sn
na1
n(n1)d 2
？
第二页，本课件共有29页
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得
an+1=4/5an
因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列
热气球在n分时间里上升的总高度
Sn a1a2an a1(11qqn)1251(5 4)n125 答这个热气球不 上可 升能 的 12超 m 高 5. 过 度
比数列 SN
r 2 1
1
1 4
1 4
2
1 4
n1
3 6
a
2
1
1
1 4 1 4
n
4 a2
3 12
1
1
n
4
a 2 1 9
1 4n
第二十三页，本课件共有29页
练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12 与18，求它的第1项与第2项
a q 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
(n≥2)
通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
Sn
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
ab A= 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
若m+n=p+q,则 若m+n=p+q,则
am+an=ap+aq
aman=apaq
Sn=
(a1
an 2
)n
Sn
na1
n(n1)d 2
？
第二页，本课件共有29页
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.