分类加法计算原理与分步乘法计算原理

数学选修2-3第一章计数原理1.1分类 加法计 数原理 与分步 乘法计 数原理
课题:分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 授课:张贤华 学校:衡阳市第八中学
时间:2010年上期
问题提出
1 5730 p 2
t
1.先后抛掷两枚骰子,求点数 之和为8的概率,怎样计算？
1 2 3 4 5 6
N＝m1＋m2＋…＋mn
探究二：分步乘法计数原理
思考1：用A～F六个大写的英文字母 和1～9九个阿拉伯数字,以A1,A2,…, B1,B2,…,…的方式给教室里的座位 编号,总共能够编出多少种不同的号 码？ 6×9＝54
探究二：分步乘法计数原理
思考2：从甲地到乙地,先要从甲地乘 火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到 乙地.一天中从甲地到丙地的火车有4 班,从丙地到乙地的汽车有8班,那么两 天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地 共有多少种不同的走法？
4×8＝32
探究二：分步乘法计数原理
思考3：从师大声乐系某6名男生和8名 女生中各选一人表演男女二重唱,共有 多少种不同的选派方法？ 6×8＝48 思考4：上述计数问题的算法有何共同 特点？由此归纳,这类问题的一般计数 原理是什么？
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不 同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么 完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
探究一：分类加法计数原理
思考1：用一个大写的英文字母或一个 阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共 能够编出多少种不同的号码？ 26＋10＝36 思考2：从甲地到乙地可以乘火车,也 可以乘汽车,一天中火车有4班,汽车有 8班,那么一天中,乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 4＋8＝12
理论迁移
例1 在填写高考志愿时,一名高中毕业 生了解到,A,B两所大学各有一些自己 感兴趣的强项专业,具体情况如下：
A大学：生物学 化学 医学 物理学 工程学 B大学: 数学 会计学 信息技术学 法学
如果这名同学只能选一个专业,求他共 有多少种不同的选择方法？
N=5＋4＝9(种)
理论迁移
例2 某班有男生30名,女生24名,现要
课堂小结
3.在应用分类加法计数原理时,分类方 法不唯一,但分类不能重复,也不能遗 漏.在应用分步乘法计数原理时,分步 方法不惟一,但分步不能重叠,也不能 缺少.
作业布置
P12习题1.1A组：
1，2，3，4，5.
(1)N=4＋3＋2＝9(种)
(2)N=4×3×2＝24(种)
理论迁移
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选
出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指
定位置,求共有多少种不同的挂法？ N=3×2＝6(种)
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理, 都是解决完成一件事的方法数的计数问题, 其不同之处在于,前者是针对“分类”问 题的计数方法,后者是针对“分步”问题 的计数方法. 2.在“分类”问题中,各类方案中的每一 种方法相互独立,选取任何一种方法都能 完成这件事；在“分步”问题中,各步骤 中的方法相互依存,只有各步骤各选一种 方法才能完成这件事.
探究二：分步乘法计数原理
思考5：上述原理称为分步乘法计数 原理,如何从集合运算的角度理解这 个原理？ 若U＝{(a,b)|a∈A,b∈B},
则card(U)＝card(A)×card(B).
探究二：分步乘法计数原理
思考6：如果完成一件事需要n个步骤, 做第1步有m1 种不同的方法,做第2步 有m2 种不同的方法,…,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事的方法 总数如何计算？ N＝m1×m2×…×mn
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2 3 4 5
11
21 31 41 51
12
22 32 42 52
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23 33 43 53
14
24 34 44 54
15
25 35 45 55
16
26 36 46 56
6
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问题提出
2.计数问题是现实生活中最常见的问 题,同时也是数学中的重要研究对象 之一,特别在概率统计领域里,计数问 题更是解题的基础.对于简单的计数 问题,我们可以通过穷举法计算,但对 于复杂的计数问题,我们希望通过有 关பைடு நூலகம்数原理来解决.因此,在实践中总 结、归纳出科学的计算原理,具有十 分重要的意义.
探究一：分类加法计数原理
思考5：上述原理称为分类加法计数 原理,如何从集合运算的角度理解这 个原理？ A B
若A∪B＝U,A∩B＝Φ, 则card(U)＝card(A)＋card(B).
探究一：分类加法计数原理
思考6：如果完成一件事有n类不同 方案,在第1类方案中有m1 种不同的 方法,在第2类方案中有m2 种不同的 方法,…,在第n类方案中有mn种不同 的方法,那么完成这件事的方法总数 如何计算？
探究一：分类加法计数原理
思考3：从师大声乐系某6名男生或8名 女生中任选一人表演独唱,共有多少种 6＋8＝14 不同的选派方法？ 思考4：上述计数问题的算法有何共同 特点？由此归纳,这类问题的一般计数 原理是什么？
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案 中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种 不同的方法,那么完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法.
从中选出男、女生各一名代表班级参
加朗诵比赛,求共有多少种不同的选派
方法？ N=30×24＝720(种)
理论迁移
例3 书架有三层,其中第一层放有4本不 同的计算机书,第二层放有3本不同的文 艺书,第三层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同 的取法？ (2)从书架的第一,二,三层各取1本书, 有多少种不同的取法？