初中数学全等三角形知识点、经典例题
全等三角形知识经典例题济宁李涛
知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
知识点二：全等三角形的性质.
（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.
知识点三：判定两个三角形全等的方法.
（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）
知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.
①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.
②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.
③有公共边的，公共边一定是对应边.
④有公共角的，公共角一定是对应角.
⑤有对顶角的，对顶角是对应角.
⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.
知识点五：找全等三角形的方法.
（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.
（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.
（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.
知识点六：角平分线的性质及判定.
（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.
（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.
知识点七：证明线段相等的方法.（重点）
（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）
（2）证明两个三角形全等，则对应边相等
（3）借助中间线段相等.
知识点八：证明角相等的方法.（重点）
（1）对顶角相等；
（2）同角或等角的余角（或补角）相等；
（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；
（5）垂直的定义；
（6）全等三角形的对应角相等；
（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.
知识点九：全等三角形中几个重要的结论.
（1）全等三角形对应角的平分线相等；
（2）全等三角形对应边上的中线相等；
（3）全等三角形对应边上的高相等.
知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；
（3）作垂直线段（或高）；
（4）取长补短法（截取法）.
【典型例题】
例1. 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，且BD ＝CE ，∠DEF ＝∠B ，图中是否存在和△BDE 全等的三角形？说明理由。
A
D
F
B E C
解：△CEF ≌△BDE
理由：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C
又∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE
∴∠DEF ＋∠CEF ＝∠B ＋∠BDE
∵∠DEF ＝∠B ，∴∠CEF ＝∠BDE
∴===????
?∠∠（已证）（已知）∠∠（已证）BDE CEF BD CE B C
∴△CEF ≌△BDE （ASA ）
例2. 已知：AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，BF ＝DE ，则AB ∥CD ，为什么？
D C
A B
E F 解：理由：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC
∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°
在Rt △DEC 和Rt △BFA 中
C D A B B F D E ==?
??（已知）（已知）
∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ）
∴∠DCE ＝∠BAF
∴CD ∥AB
例3. 用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成一个四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于E 、F 时，通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。
A D
B C
F E 1 2
解：结论：BE ＝CF
理由：∵△ABC 、△ACD 为等边三角形
∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ＝60°，∠BAC ＝60°
又∵∠1＋∠EAC ＝60°，∠2＋∠EAC ＝60°
∴∠1＝∠2
∴∠∠（已证）（已证）∠∠
（已证）12===?????A
B A
C B A C F ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）
∴BE ＝CF
例4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AE 是BC 边上的高，∠B ＝20°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数。
A
解：∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°
又∵∠B ＝20°，∠C ＝40°
∴∠BAC ＝180°－20°－40°＝120°
∵AD 平分∠BAC
∴∠∠×D A C B A C o o
===121212060
∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°
又∵∠C ＝40°
∴∠EAC ＝90°－40°＝50°
∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAC ＝60°－50°＝10°
例5. 如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，且AC ＝3cm ，BD ＝5cm ，你能利用全等三角形有关知识测出AB 的长吗？
D
E
C
A B
解：如图所示，在AB上截取AF＝AC，连结EF
D
∵AE是∠CAB平分线
∴∠CAE＝∠BAE
∵AC＝AF，AE＝AE
∴△ACE≌△AFE
∴∠C＝∠EFA
∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°
∵∠AFE＋∠EFB＝180°
∴∠D＝∠EFB
∵BE平分∠DBA，∴∠DBE＝∠FBE
∵BE＝BE，∴△DBE≌△FBE
∴BF＝BD
∴AB＝AC＋BD
∵AC＝3cm，BD＝5cm
∴AB＝8cm