2019年开封市高考数学一模试卷及答案
河南省开封市2019届高三一模考试(数学文)
河南省开封市2019—2019学年度高三第一次模拟考试数 学 试 题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答 题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．若222{|},{2},P P y y x Q x y ===+=则Q= （ ）A ．[0B ．{1111}（,）,(-,)C ．D ．[2．已知i 为虚数单位，复数121iz i+=-，则复数z 在复平面上的对应点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2,2,8,n a a a -++则a = （ ）A ．38()2nB ．28()3nC ．138()2n -D ．128()3n -4．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都平行于γ；②存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l//α，l //β，m//α，m//β； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知命题：1:1,1,p x q p x≤<→命题q:则是成立（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．给出30个数2，3，5，8，12，17，…，要计算这30个数的和，该问题的程序框图如图：则框图中判断框①和执行框 ②应是 （ ） A ．30;1i p p i ≤=+- B ．31;1i p p i ≤=++ C ．30;i p p i ≤=+D ． 31;i p p i ≤=+7．函数2()sin cos f x x x x =+的图象的一个对称中心是 （ ）A ．2(,32π-B ．(,62π5-C ．2(3π-D ．(,3π8．连续掷两次骰子分别得到的点数为m ，n ，则点P （m ，n ）在直线5x y +=左下方的概率为（ ）A ．16B ．14 C ．112 D ．19 9．已知a 是函数12()2log xf x x =-的零点，若000,x a <<则f(x )的值满足（ ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不能确定10．某校为了解高三学生在寒假期间的学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在 6到8小时内的人数为 （ ） A ．50 B ．45C ．40D ．3011．过双曲线222:1(0)y M x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且AB BC =，则双曲线的离心率是（ ）ABC．2D．312．如图，动点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面交于M 、N ，设BP=x ，MN=y ，则函数()y f x =的图象大致 是（ ）第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卷指定位置）13．若曲线4y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 。
2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题(word版)
开封市2019届高三第一次模拟考试数学（文科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D6.已知函数若，则的值是A. 1B. 2C. -2或2D. 1或2【答案】D7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C10.在中，，，为的重心，则的值为A. 1B.C.D. 2【答案】A11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，则在方向上的投影为__________．【答案】-314.某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是__________．【答案】4015.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，的周长为6，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得的大小.（2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得的值，并求得三角形的面积.【详解】（1）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（2）∵，的周长，∴，由余弦定理得，∴，，∴的面积.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的周长公式和面积公式，还考查了三角形的内角和定理，以及两角和的正弦公式.正弦定理在本题中的作用是将边转化为角的形式，已知条件全部转化为角的形式后，再利用三角函数恒等变换的知识来化简求值.18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程.（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.参考数据：参考公式：，其中【答案】（1）列联表见解析有关系（2）【解析】【分析】（1）根据优等生的人数、学习大学先修课程的人数，结合等高条形图计算数值，填写好表格，计算出的值，比较题目所给参考数据，得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系”这个结论.（2）利用列举法，求得基本事件的众数为种，其中“没有学生参加大学先修课程学习”的情况有种，利用对立事件的概率计算方法，求得至少有名参加了大学先修课程学习的概率.【详解】（1）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（2）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为，，记没有参加大学先修课程学习的3名学生为，，.则所有的抽样情况如下：共10种，，，，，，，，，，，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为.记事件为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则.【点睛】本小题主要考查等高条形图的识别，考查列联表及独立性检验，考查古典概型等知识，属于中档题.20.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.设函数（其中）．（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数．【答案】(1)答案见解析；(2)函数在定义域上有且只有一个零点．【解析】试题分析：（1）由题意得函数函数的定义域，对函数求导，再对进行分类讨论，根据与，可得函数的单调区间；（2）依题意得，结合第一问的单调性，结合函数的图象，从两个方面考虑函数的变化趋势，或时，从而可得零点的个数.试题解析：（1）函数的定义域为，，①当时，令，解得.∴的单调递减区间是，单调递增区间是，②当时，令，解得或.∴在和上单调递增，在上单调递减.③当时，，在上单调递增.④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；（2），①当时，由（1）知，当时，，此时无零点，当时，.又∵在上单调递增∴在上有唯一的零点∴函数在定义域上有唯一的零点，②当时，由（1）知，当时，，此时无零点；当时，，.令，则，∵在上单调递增，，∴在上单调递增，得，即.∴在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．综合①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．点睛：本小题主要考查利用导数求解关于零点个数问题.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用；(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)1【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。
2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019届开封市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题+Word版+详解
开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B 【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体， 其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4， 则组合体的体积：.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 7.已知函数若，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B 【分析】 依题意，对a 分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】，，解得，，，所以与的夹角为.15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n ﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.第- 21 - 页共21 页。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试(理数)
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()R A B =ðA ．[0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞ 2.已知复数z满足(1)1z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知函数44()sin cos f x x x =-，则下列说法正确的是A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的图像关于y 轴对称D ．()f x 在区间[,]42ππ上单调递减 4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =A ．26B ．52 C.78 D ．1045.已知直线m ，n 和平面α，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．16π- B ．164π- C.322π- D ．644π-7.已知函数123,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()1f a ≥，则a 的取值范围是 A ．[1,2) B ．[1,)+∞ C.[2,)+∞ D ．(,2][1,)-∞-+∞8.若x ，y 满足约束条件22,2,20,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2y x +的取值范围为A ．1[,1]2-B ．1(,][1,)2-∞-+∞ C. [0,1] D ．1[,1]29.已知数列{}n a 中，112a =，111n n a a +=-，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A ．2012n ≤B ．2015n ≤ C.2017n ≤ D ．2018n ≤ 10.已知ABC ∆的内角3A π=，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+，则m n +的值为A ．1118 B ．1 C.718D ．2 11.已知P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12||12F F =，直线2PF的斜率为-12PF F ∆的面积为曲线的离心率为A ．3B ．2D12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A． B．C. D． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.10(1)x -的展开式中，3x 的系数等于 ．14.已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 方向上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为 ．15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2DF AF =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，3()n n S n m a =+，()m R ∈，且n n a b n =.若存在*n N ∈，使得2n n T T λ+≥成立，则实数λ的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =.（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求||||AB MF 的最小值.20. 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率； （ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X ，求X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21. 已知函数21()xax bx f x e++=. （Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(1)1f =，且方程()1f x =在区间(0,1)内有解，求实数a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,1,x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos ,2sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知射线1:OP θα=（其中02πα<<）与曲线C 交于O ，P 两点，射线2:2OQ πθα=+与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长||OP .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-.（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CDCBD 6-10: ABACA 11、12：BB二、填空题13. -120 14.120︒ 15.413 16.13三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=， ∵sin sin()C A B =+=sin cos cos sin A B A B +，∴sin sin cos sin B A A B =， ∵sin 0B ≠∴sin cos A A =，∵(0,)A π∈∴4A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==， 由2a =及余弦定理得2242cos 4b c bc π=+-，又222b c bc +≥，故2(2bc ≤=，当且仅当b c =时，等号成立.∴ABC ∆1.18. 解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥，AE BC ⊥，又∵BC AB ⊥，∴AE AB A =，∴BC ⊥平面ABE ， 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE . （Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE =假设线段AD 上存在一点F 满足题意，1,0)2E ，(0,2,0)B ，(0,0,)F h ，(0)h >， 易知：平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，∵33(,0)2BE =-，(0,2,)BF h =-， ∴设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得302220x y y hz -=⎪⎨⎪-+=⎩，取1y =，得2(3,1,)n h =，6cos ,4||||m n m n m n ⋅===⋅，∴1h =.点F 为线段AD 的中点时，二面角A BF E --19. 解：（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，∴2p =，抛物线的标准方程为24y x =. （Ⅱ）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：||24AB p ==，||2MF =，||2||AB MF =. ②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知，AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为(1)y k x =-，且11(,)A x y ，22(,)B x y .联立方程组：24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=；21222(2)kx x k++=，121x x ⋅=，216(1)0k ∆=+>，12|||AB x x -=224(1)k k +=FM 所在的直线方程为1(1)y x k =--，联立方程组：1(1)1y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点2(1,)M k -，∴||MF==∴224(1)||2||kABMF+==>，综上所述：||||ABMF的最小值为2.由列联表可得21250(50900200100)25010001501100k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯18.939 6.635≈>，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为P=25501000.90.80.6250250250⨯+⨯+⨯502530.40.32502505+⨯+⨯=.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为X，则3(4,)5X，4432()()()55k k kP X k C-==，0,1,2,3,4k=，估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为150905⨯=.21. 解：（Ⅰ）2'(2)1()xax a b x bf xe-+-+-=，当1a b==时，2'()xx xf xe-+=，'()0f x>，得01x<<，∴()f x在(0,1)上单调递增；'()0f x<，得0x<或1x>，∴()f x在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递减.∴()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3(1)f e=. （Ⅱ）由(1)1f =得1b e a =--，由()1f x =得21xe ax bx =++，设2()1xg x e ax bx =---，则()g x 在(0,1)内有零点，设0x 为()g x 在(0,1)内的一个零点， 由(0)(1)0g g ==知()g x 在0(0,)x 和0(,1)x 不单调.设'()()h x g x =，则()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点，即()h x 在(0,1)上至少有两个零点.'g ()2x x e ax b =--，'()2x h x e a =-，当12a ≤时，'()0h x >，()h x 在(0,1)上递增，()h x 不可能有两个及以上零点， 当2e a ≥时，'()0h x <，()h x 在(0,1)上递减，()h x 不可能有两个及以上零点，当122e a <<时，令'()0h x =得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()h x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增，()h x 在(0,1)上存在最小值(ln(2))h a ， 若()h x 有两个零点，则有(ln(2))0h a <，(0)0h >，(1)0h >，(ln(2))h a =32ln(2)1a a a e -+-，1()22e a <<，设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-，(1)x e <<，则'1()ln 2x x ϕ=-，令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕx e <时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减.∴max ()10x e ϕϕ==-<，∴(ln(2))0h a <恒成立. 由(0)120h b a e =-=-+>，(1)20h e a b =-->，得21e a -<<.22. 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=， 曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）依题意，∵(0,)2πα∈，∴||4cos OP α=，1|||sin()cos()|22OQ ππαα=+-+1sin cos αα=+，12cos ||||12cos sin OPQ S OP OQ ααα∆===+，∴tan 1α=，(0,)2πα∈，∴4πα=，||OP =23. 解：（Ⅰ）()2()f x g x +=|2|2|1|x a x ++-|2||22|x a x =++-|2|(22)||2|1x a x a ≥+--=+=∴1a =-或-3.（Ⅱ）当1[,1]2x ∈时，|2||1|1x a x ++-<，即|2|11x a x ++-<， ∴|2|x a x +<，3ax a -<<-， ()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，即132a -<且1a ->，∴312a -<<-.。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(文)答案(PDF版)
故函数 f x 在定义域 , 上有唯一的零点．
………………11 分
综合①②知，当 k 0 时函数 f x 在定义域 , 上有且只有一个零点．……………12 分 22.解: （Ⅰ）直线 l 的普通方程为 x y 1 0 ，极坐标方程为 cos sin 1 0 ，…2 分 曲线 C 的普通方程为 x 2 y 4 ,极坐标方程为 4 cos .
B1 ， B3 ， A1，A2，B1 ， A1，A2，B2 ， A1，A2 ，B3 ， A1 ，B1 ，B2 ， A1 ， ……………8 分 B2 ， B3 ， A1，B2，B3 ， A2，B1，B2 ， A2 ，B1 ，B3 ， A2 ，B2 ，B3 ， B1 ， 其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有 1 种，为 B1，B2，B3 . ………………10 分
a 1或 3.
……………5 分
（文科）
·4·
4 13
16.
1 2
三、解答题（共 70 分） 17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得： sin A cos B sin B sin A sin C ， ………………2 分 sin C sin( A B ) sin A cos B cos A sin B ， sin B sin A cos A sin B ，…………4 分
………………12 分
x x 21.解： （Ⅰ） f x xe kx x e k ， k e时 ， f x x e x e ， ………1 分
当 x 0或x 1 时， f x 0 ，所以 f x 在 , 0 和 1, + 上单调递增， 当 0 x 1 时， f x 0 ，所以 f x 在 0,1 上单调递减，
2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(文)试卷及解析
2019届开封市高三上学期一模考试数学（文）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合的范围，求对数的定义域求得集合的范围并求得其补集，再求的的范围.【详解】由解得.由解得，故，故，所以选C.2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D。
2019年河南省开封市高三第一次模拟考试(数学理)试卷(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}1|lg(2),|2,x A x R y x B y R y x A -=∈=-=∈=∈，则A .R B.(][),02,-∞+∞ C.[)2,+∞ D.(],0-∞ 2．复数5(3)z i i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为A ．2- i B.2+i C.4- iD.4+i3．直线224x my m +=-与直线22mx y m +=-垂直的充要条件是A.m=2B.m=-2 C ．m=0D.m ∈R4．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐 标系O-xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)则第五个顶点的坐标可能为A.(1，1，1)B.(1，1，2) C ．(1，1，3)D.(2，2，3)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．12-B ．12C ．-1D ．1 6．阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是A. S<10?B. S<12?C. S<14?D. S<16?7．把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰好能围成三角形的概率是A ．12 B.1 C ．14 D ．188．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0,0AB AC AC AD ⋅=⋅=,0AD AB ⋅=,则ABC ACD ADB S S S ∆∆∆++的最大值为A. 64B. 32 C ．16 D ．89．已知函数()sin 2cos cos2sin ,()f x x x x R ϕϕ=+∈，(z ∈R)其中ϕ为实数，且2()()9f x f π≤对任意实数R 恒成立，记257(),(),()366p f q f r f πππ===，则p 、q 、.r 的大小关系是A .r<p<q B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r10．从双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b-a 的关系为A.MO MT b a ->-B.MO MT b a -<-C ．MO MT b a -=- D.MO MT -与b-a 无关11．等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-则'(0)f =A. 122B.92 C ．82 D ．6212.已知函数()f x 定义在R 上，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-+(1)y f x =-的图像关于直线x=1对称，(1)2f -=,则(2013)f =A. 2-+B.2+ C ．2- D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(2/1)题为选考题，考生根据要求做答。
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由 以及绝对值的定义可得 ,再结合已知得 ,根据三角函数的符号法则可得.
【详解】
由 ，可知 ，结合 ，得 ，
所以角 是第四象限角，
故选:D
【点睛】
本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
先求并集，得到 ，再由补集的概念，即可求出结果.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.
【详解】
∵函数 ，
∴ =2+9=11．
故选B．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
4．D
解析：D
【解析】
对于③， 为定值， 到 距离为定值，所以三角形 的面积是定值，又因为 点到面 距离是定值，故可得三棱锥 的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当 与 重合时，此时 与上底面中心为 重合，则两异面直线所成的角是 ，当 与 重合时，此时点 与 重合，则两异面直线所成的角是 ，此二角不相等，故异面直线 所成的角不为定值，此命题错误．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：A项中两直线 还可能相交或异面,错误；
B项中两直线 还可能相交或异面,错误；
C项两平面 还可能是相交平面，错误；
故选D.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
在三角形中，利用正弦定理可得结果.
【详解】
解：在 中，
可得 ,
即 ，即 ，
解得 ，
故选C.
【点睛】
解析：
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】
对于①，由 ，可得 面 ，故可得出 ，此命题正确；
对于②，由正方体 的两个底面平行， 在平面 内，故 与平面 无公共点，故有 平面 ，此命题正确；
15．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率
解析：
【解析】
试题分析：由题意得 ，因此所求概率为
考点：几何概型概率
16．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率.
24．如图，在正方体 中， 是 的中点， ， ， 分别是 ， ， 的中点.求证：
（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 .
25．已知函数 ，过曲线 上的点 处的切线方程为 ．
（1）若函数 在 处有极值，求 的解析式；
【详解】
由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象知，
（ ） ，
∴T π，解得ω＝2；
又由函数f（x）的图象经过（ ，2），
∴2＝2sin（2 φ），
∴ φ＝2kπ ，k∈Z，
即φ＝2kπ ，
又由 φ ，则φ ；
综上所述，ω＝2、φ ．
故选A．
【点睛】
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
2019年开封市高考数学一模试卷及答案
一、选择题
1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
3
4
y
12
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是
A． B． C． D．
3．设函数 ，则 （ ）
A．9B．11C．13D．15
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
8．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时（）
A． 增大B． 减小
C． 先增大后减小D． 先减小后增大
9．若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的 ，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）
解析：画画
【解析】
以上命题都是真命题，
∴对应的情况是：
则由表格知A在跳舞，B在打篮球，
∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，
A．32B．0.2C．40D．0.25
11．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 与 所成的角相等，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
12．在 中， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在 中， ， ，面积为 ，则 ________．
14．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ，且 ，现有如下四个结论：
； 平面 ；
三棱锥 的体积为定值； 异面直线 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
15．在区间 上随机取一个数x， 的值介于 的概率为．
16．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是__________．
17．设正数 满足 ，则 的最小值为__________．
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B，属于基础题.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.
【详解】
根据实验数据可以得出， 近似增加一个单位时， 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近 ，故选D.
【点睛】
解析：6
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的可行域，由 可得 ，平移直线 ，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．
【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
由 可得 ．
平移直线 ，结合图形可得，当直线 经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值．
由题意得A点坐标为 ，
（2）在（1）的条件下，求函数 在区间 上的最大值．
26．在直角坐标系 中以 为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 ，直线 的极坐标方程分别为 .
（I）
（II）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
找到从上往下看所得到的图形即可．
【详解】
由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C.
4．已知 ，且 ，则角 是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
5．设集合 ， ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
6．若 是 的一个内角，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－ <φ< )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论；
【详解】
解： ，
， 先减小后增大
故选：D．
【点睛】
本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
20． ________.
三、解答题
21．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
22．如图，在三棱柱 中， 是正方形 的中心， ， 平面 ，且
（Ⅰ）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）设 为棱 的中点，点 在平面 内，且 平面 ，求线段 的长．
23．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 ， ， ，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 次，每次抽取 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ， ， .
18．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：
【解析】
【详解】
因为 ，
所以 ，①
因为 ，
所以 ，②
① ②得 ，
即 ，
解得 ，
故本题正确答案为
19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞B在打篮球∵③C在散步是A在跳舞的充分条件∴C在散步则D在画画故答案为画画
又 ，所以 .
故选A.
【点睛】
本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.
6．D
解析：D
【解析】
试题分析： 是 的一个内角, ，又 ，所以有 ，故本题的正确选项为D.
考点：三角函数诱导公式的运用.