14.2.1平方差公式-市级优质课一等奖
平方差公式 公开课大赛(省)优【一等奖教案】
14．2乘法公式14．2.1平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．(重点)2．掌握平方差公式的应用．(重点)一、情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．学生积极举手回答．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y －x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【类型二】直接应用平方差公式进行计算利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25；(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【类型三】 平方差公式的连续使用求2(3＋1)(3＋1)(3＋1)(3＋1)的值．解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．【类型四】 应用平方差公式进行简便运算利用平方差公式简算：(1)2013×1923；(2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．【类型五】 化简求值先化简，再求值：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )，其中x ＝1，y ＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x 、y 的值代入进行计算即可得解．解：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2.当x ＝1，y ＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题对于任意的正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值一定是10的倍数吗？解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数．解：原式＝9n 2－1－(9－n 2)＝10n 2－10＝10(n ＋1)(n －1)，∵n 为正整数，∴(n －1)(n＋1)为整数，即(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值是10的倍数．方法总结：对于平方差中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．【类型七】 平方差公式的实际应用王大伯家把一块边长为a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a 2，改变边长后面积为(a ＋4)(a －4)＝a2－16，∵a 2＞a 2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．【类型八】 平方差公式的几何背景如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵左图中阴影部分的面积是a 2－b 2，右图中梯形的面积是12(2a ＋2b )(a －b )＝(a ＋b )(a －b )，∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，即可验证的乘法公式为：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．三、板书设计平方差公式文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符号语言：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成．第2课时 含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)一、情境导入问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD等于( )A ．3B ．2C ．1.5D ．1解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝12×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到CD ＝12DB . 解：CD ＝12DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD ＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝12DB . 方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．三、板书设计含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．。
数学--平方差公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y －x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
例4：先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋ x3，其中x＝2.
(2)根据你旳猜测计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝___-6_3____； ②2＋22＋23＋…＋2n＝_2_n＋__1－__2__(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝_x_1_00_－__1__；
备用复习题
例4 对于任意旳正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)旳值一定是10旳整数倍吗？
平方差公式；对于不能直接
应用公式旳，可能要经过变
形才能够应用
拓展提升 8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋ x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝ (1)观察以上各式并猜测：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn) ＝__1_－__x_n_+1_；(n为正整数)
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
(3)经过以上规律请你进行下面旳探索： ①(a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2__； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝_a_3_－__b_3__； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
人教数学八上14.2.1平方差公式[黄老师]【市一等奖】优质课
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教学目标知识与技能(1)理解平方差公式的本质,即结构的不变性,字母的可变性,形成正向产生式:“﹙□+△﹚﹙□–△﹚”→“□² –△²”;(2)能运用公式进行计算,达到正用公式的水平.过程与方法(1)使学生经历公式的独立建构过程,感悟从具体到抽象地研究问题的方法,培养学生抽象概括的能力,在验证平方差公式的过程中,感知数形结合思想;(2)培养学生的问题解决能力,为学生提供运用平方差公式来研究实际问题的探究空间.情感态度价值观体会数学源于实际,高于实际,运用于实际的科学价值与文化价值.2学情分析平方差公式是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法. 学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛的理解.3重点难点【教学重点】平方差公式的本质的理解与运用;【教学难点】1.平方差公式的本质,即结构的不变性,字母的可变性;2.平方差公式的变式运用.4教学过程4.1 第一学时4.1.1教学活动活动1【导入】速算王的绝招(一)速算王的绝招在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题:1.103×97=?;2. 2001×1999=?主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说:“第一题等于9991,第二题等于3999999。
”其速度之快,简直就是脱口而出。
同学们,你知道他是如何计算的吗?你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢?活动2【活动】动手操作(二)动手操作1.现有两个数,不知其大小,请你随意用两个字母来表示这两个数;2.请把这两个数的和与差分别表示出来。
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学以致用
3.运用平方差公式进行简便计算: (1)2018 2 2017 2; (2) 102×98; (3) 20152-2014×2016.
通过合理变形，利 用平方差公式，可 以简化运算.
4计算:(增因式变化)
(1) (x+1)(x-1)(x2+1);
(2)
x
1 2
x2
1 4
x
1 2
.
(2y+1)(2y-1)=(2y)2-2y+2y -12=(2y)2－12 =4y2-1
(a+b)(a-b) =a2-ab+ab-b2=a2-b2
2.想一想：观察上述计算结果有什么特征？ 是否每个式子的计算结果都有这种特征? 什么形式的式子具备这种特征？
平方差公式
(a+b)(a
知识要点 −b)=
a2−b2
1.a、b可以是单项式或多项式
2.a、b中带系数或指数要连同系数
和指数一起进行平方
3.对于不能应用公式的，要按照乘法 法则进行运算
相同项 相反项 套公式
a b (a+b)(a-b)=a2-b2
拓展训练
计算：(2+1)(22+1)(24＋ 1)(28+1)(216+1)(232+1)+1 解：原式＝(2-1)(2+1)(22+1)(24＋1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
2y)
(2y)2
(-2a-3b)(2a-3b) -3b 2a (-3b)2-(2a)2 9b2-4a2
2.计算：
(1) 2 x y y 2 x 3 3
(2)xy 1xy 1
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两数和与这两数差的积, 等于这两数的平方的差.
用自己的语 言叙述你的
发现。
用式子表示，即：
(a+b)(a−b)= a2−b2.
慧眼识 公 式
特征 结构
(a+b)(a−b)=a2−b2
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘； 即左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方.
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
你能分辨吗？
下列式子中哪些可以用平方差公式运算?
⑴ (b-8)(b+8) （2） (2+a)(a-2)
（3） (-4k+mn)(-4k-mn)
（4）(-x-1)(x+1)
灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一 边增加5米,另一边减少5米,再继续租给 你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听 觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把 这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都 说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很 吃惊……
=(3x)2－22 =9x2－4； (2) (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2－(2y)2
= x2－4y2
填一填 我们每天都
在努力
(1) (15－7xy)(15+7xy)
能力挑战
初级
=
(
15
2
)－( 7xy
2
)=( 225
49x2
y2
)
(2)(－ 0.5x－0.3y)( 0.5x － 0.3y )
人教版八年级数学上册14.2.1《平方差公式》一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册
14.2.1平方差公式教学设计
一、教材分析
1、地位作用：乘法公式是《整式运算》中的重要一节，是对整式乘法的概括与综合运用，是今后因式分解、分式运算、二次方程求解等后续学习的基础。
它对培养学生符号感和抽象概括能力有着重要的作用。
同时，在利用公式过程中，所反映出的转化思想、整体化思想以及应用意识，都将对学生产生潜移默化的影响，对提高学生的数学素养有着积极的作用。
2、教学目标：
（1）会推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征。
（2）能够运用平方差公式进行整式乘法的运算。
3、教学重、难点
教学重点：掌握平方差公式的结构特点及正确运用公式。
教学难点：理解公式推导的过程及字母的广泛含义。
突破难点的方法：通过让学生观察算式，运算出结果后，总结平方差公式的结构特征。
二、教学准备：多媒体课件、导学案、
三、教学过程
四、反思小结布置作业
谈一谈：这节课我们主要学习了什么内容？你有哪些收获？
作业布置、课后延伸。
人教版八年级数学上册14.2.1平方差公式一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册14.2.1平方差公式教学设计一、教材分析1、地位作用：《平方差公式》是八年级上学期“14.2乘法公式”（第一课时），是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。
对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且在设计的过程中尽量与生活中的实际问题相联系，设计一些活动增加知识的趣味性，这样可以培养学生对数学学习的兴趣，设计的习题也很有梯度，由浅入深，适应学生的需要。
为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，在教学中具有很重要地位。
2、教学目标：1、知识技能：（1）探索并理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；（2）会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
2、数学思考：（1）经历公式的猜想、证明过程，构建以数的眼光看式子的数学素养；（2）从几何角度来证明公式是新的尝试，让学生感受到数学的趣味性，体会几何与代数的相辅相成，数与形结合思想之妙。
3、解决问题：（1）培养学生的数学符号感和推理能力；（2）设计了运用平方差公式来解决实际问题解决的例子, 为学生提供运用平方差公式来研究等周问题的探究问题，以培养学生的问题解决能力和数学探究能力,体现了现代数学教育的价值取向.4、情感态度：在计算过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简洁美。
并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.3、教学重、难点教学重点：（1）平方差公式的推导；（2）平方差公式本质的理解与运用。
教学难点：平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。
突破难点的方法：通过观察和体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征即：结构的不变性，字母的可变性。
从而掌握平方差公式。
二、教学准备：多媒体课件、导学案。
三、教学过程设计教学内容与教师活动学生活动设计意图一、创设情景引入课题教师先使用ppt提供了两道题：1．92×88= 2. 102×98=老师提问：同学们，要计算这2道题，你打算用什么办法？学生：可以用竖式计算。
2.1平方差公式一等奖创新教学设计
2.1平方差公式一等奖创新教学设计14.2乘法公式14.2.1 平方差公式教学设计【教材分析】本节课选自人教版八年级上册第14章2.1乘法公式的第一课时《平方差公式》.它是继多项式乘以多项式之后的重要教学内容，是对多项式乘法中出现的特殊的算式的归纳总结，又是今后学习因式分解、分式化简、根式的分母有理化、解一元二次方程等代数运算及变形的前提基础；同时，它也是初中数学系统学习的第一个乘法公式，是学生初步认识公式结构，逐步形成符号意识，开始产生模型思想，进一步强化求简意识的经典范例，是代数运算以及解决许多数学问题的重要基础。
在此基础上掌握有特殊规律的式子结构并记住这一特殊式子结构为运算提高速度，增强学生自信心，所以引导学生掌握和善于发现事物规律是有趣的，也很有用的。
【学情分析】学生已经具备了整式加、减、乘等数式运算基础，以及小学学习过的正方形、矩形等图形基础.已经较熟练地掌握了多项式乘法，为验证平方差公式做了知识准备；并且通过日常的课堂教学的培养，学生已经具备了一定的小组合作能力、探究能力、归纳分析能力，能通过合作交流完成一定的学习任务。
【教学目标】1.理解平方差公式的推导过程，了解平方差公式的几何背景；2.掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式进行简单运算；3. 经历平方差公式的探索过程，领悟平方差公式的变式应用，能创作平方差公式的变式题目.【教学重点、难点】1.教学重点：探究平方差公式，剖析平方差公式的结构，灵活运用平方差公式.2.教学难点：掌握公式在运用中的变化规律，深层次理解公式结构，自主创作变式题目.【课前准备】多媒体课件、卡纸、练习草稿等。
【教学方法】用找搭档方式，使两个式子相乘可以用平方差公式直接计算。
运用开放式教学策略组织课堂教学。
【教学构思】从生活中的情境导入→产生计算高手→抛出疑问（什么公式）→复习引入→新知探究→变式应用→思维拓展→总结升华→课后拓展→课时检测 .【教学过程设计】第一环节：创设情境，导入新课(PPT)【设计意图】老师从身边的神算手实景引入，从而引发学生好奇心和求知欲。
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利用平方差公式计算：
相 信
（1）(a+3b)(a - 3b) （2）(3+2a)(－3+2a)
自
=(a)2－(3b)2
=a2－9b2 ；
=(2a+3)(2a-3)
己
=(2a)2－32
我
=4 a2－9；
能
（3）51×49
=(50+1)(50-1) =502－12
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
1 x 12-x2 -3 a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a1
a2-12
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
拓展练习
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解．
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够， 怎样计算?
特征:
两个二项 式相乘
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
相同项
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
符号相 反的项
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
(相同项)2-(符号相反项)2
说明: (a+b)(a-b)=a2-b2
怎样验证？
❖公式中字母a、b可以是具体数字，也可 以是单项式或多项式。
行
！
=(9x2－16) －(6x2+5x -6)
=2500-1
=3x2－5x- 10
=2499
拓展提升
1.计算 20042 － 2003×2005; 解： 20042 － 2003×2005
= 20042 － (2004－1)(2004+1)
= 20042－ （20042－12 )
= 20042－ 20042+12 =1
( 2 1 )2 2 ( 1 )2 4 ( 1 )2 8 ( 1 )2 1 ( 6 1 )2 3 ( 2 1 )
5、思考 (a+b+c)(a+b-c)能用平方差 公式运算吗? 若能结果是哪两数的平方 差?
❖重点：只要符合公式的结构特征， 就可以运用这一公式。
代数法验证
(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 = a2-b2
a
a-b
a
b
a-b b
a
b
a-b
几何图形验证
结论: (a+b)(a-b)=a2-b2
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b)
a b a2-b2
例1、用平方差公式计算
计算：（x+2y)(x-2y)
解：原式＝ x2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2
注意
1、先把要计算的 式子与公式对照, 2、哪个是 a
哪个是 b
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
例2 运用平方差公式计算：
(1) (b+2a)(2a－b);
解：(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.
§14.2.1 平方差公式
小明同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 小明就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！小明同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
多项式与多项式是如何相乘的？
(2a2b2)2(a2b2)(2a2)2(b2)24a4b4
3) ( 5 a 2 b ) 5 a ( 2 b ) ( 5 a ) 2 ( 2 b ) 2 2 a 2 5 4 b 2
分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差 错
(5a2b)5 (a2b)(2b)2(5a)24b225a2
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题
①（x ＋ 4)( x－4） ② （6m＋ n)(6m－n）
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16 （x ＋ 4)( x－4）= x2 － 42
② （6m＋ n)(6m－n)=36m2 － n2 （6m＋ n)(6m－n)=(6m)2 － n2
（x ＋ 4)( x－4）= x2 － 42 （6m＋ n)(6m－n)=(6m)2 － n2
它们的结果有什么特点？
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个数的这和两个数的这差两数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
(2) (-x+2y)(-x-2y). 解： (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
购物问题
解:10.2×9.8 = (1 0 0.2)(1 0 0.2) = 1020.22
=100-0.04
=99.96(元).
例3 计算:
(y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解：(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
(1) (a+b)(a−b) ； (不能) (第一个数不完全一样 )
(2) (a−b)(b−a) ;
(不能)
(3) (a+2b)(2b+a); (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
(能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ;
(5) (2x+y)(y−2x). (不能)
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
= y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
2、下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
1) (x6 )x (6 )x26错
分析：最后结果应是两项的平方差
(x6)(x6)x2 62x2 36 2) (2a2b2)2 (a2b2)2a4b4 错
分析：应将 2 a 2 当作一个整体，用括号括起来再平方
2、利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16
1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用 (1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示 公式中的a，b可表示 (1)具体数 (2)单项式 (3)多项式