流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础
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吉林大学流体力学3
所以： v dz v dy＝0 y z
v z dx v x dz＝0 v dy v dx＝0 y x
dx dy dz 即： vx v y vz
流线微分方程
流线的性质
（1）定常流动中流线不随时间变化，而且流体质点的 轨迹与流线重合。 （2）实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交，不 能突然转折。（速度为0的点称为驻点，速度为无穷大 的点称为奇点，奇点是一种抽象的理论模型。）
如何用欧拉法表示流体质点的加速度 a
应当注意到的是：速度是坐标和时间的函数，同时 运动质点的坐标也是随时间变化的，即坐标 x,y,z 本身也是时间的函数，因此用欧拉法表示某质点的 加速度实际上是一个对复合函数求导的问题，必须 按照复合函数求导法则进行求导。
如用加速度矢量 a 和速度矢量 来表示，则有 υ a (υ ) υ t
0
dp gdz 0
积分得： z
p C g
详细论证请参看教材P64
3.2.4 缓变流和急变流 流线不是严格平行，但流线之间夹角很小，或流线的曲率 半径很大，或两者皆有，这种流动称为缓变流，其有效断面 称为缓变流断面。
在缓变流断面上可以认为流线近似平行，有效断面为一平面，
压强分布近似与静止流体相同。
（即也近似满足： Z
p C 条件是：质量力只有重力，不可压缩流体） g
那种流线不平行，加速度较大的流动称为急变流。
均匀流、急变流和缓变流
均匀流、急变流和缓变流
均匀流
急变流
缓变流
急变流
3.3 用欧拉法描述流体运动的基本概念
3.3.1 流线 3.3.2 流管、流束、和有效断面
3.3.3 流量 3.3.4 平均流速
第三章一元流体动力学基础
2
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
截面1-1和2-2：垂直于流动方向，为什么? 侧面1-2：平行于流动方向，为什么？
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
流体力学课件_第3章_一元流体动力学基础(下)
A
2. 急变流
动压强特性：在断面上有
3.控制断面的选取： 控制断面一般取在渐变流过水断面或其 极限情况均匀流断面上。
想一想
为什么在总流分析法中需引入断面平均 流速？ 即目的所在？
因为总流过水断面上各点的流速是不相等的。为了 简化总流的计算，所以引入了断面平均流速来代替 各点的实际流速。
第五节 恒定总流连续性方程
取距基准面的铅直距离来分别表示相应断面的总水头与测 压管水头。 • 测压管水头线是根据总水头线减去流速水头绘出的。
第十一节 恒定气流能量方程式
虽然恒定总流伯努利方程是在不可压缩这样 的流动模型基础上提出的，但在流速不高（小于 68m / s ) ，压强变化不大的情况下，同样可以应 用于气体。
p1 α v p2 α v z1 + + = z2 + + + hw γ 2g γ 2g
二、控制断面的选取
1、渐变流的性质 渐变流过水断面近似为平面，即 渐变流是流线接近于平行直线的流动。均匀流是渐变 流的极限。 2、动压强特性：在渐变流同一过水断面上， 各点动 压强按静压强的规律（2-11）式分布，如图的c-c断面， 即
想一想
图中，过水断面上的动压强分布符合静 压强分布规律的为： A 直管处 B 弯管处
第3章 一元流体动力学基础（下）
重点内容： 1、总流分析方法； 2、恒定总流能量方程 1）恒定总流能量方程 2）能量方程的扩展 3）能量方程的应用 掌握内容： 1、连续性方程 2、实际流体元流能量方程
第五节 补充内容 （伯努利方程基础概念）
一、概念 1.控制体：即在流场中划定的一个固定的 空间区域，该区域完全被流动流体所充满。 2.控制断面：即控制体（流管）有流体流 进流出的两个断面，如图中的1-1，2-2断面。
流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础
1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
流体力学基础第三章
§1-3 流动液体的基本力学特性 一、基本概念
3、非恒定流动：通过空间某一固定点的各液 体质点的速度、压力和密度等任一参数只要 有一个是随时间变化的，即为非恒定流动。
4、一维流动：若运动参数（流速、压力、 密度等）只是一个坐标的函数，则称为一维 流动。
第一章 液压油及液压流体力学基础
§1-3 流动液体的基本力学特性 一、基本概念
动画演示
第一章 液压油及液压流体力学基础
∵ v1 << v2 v1可忽略不计，收缩断面流动是紊流 α2=1； 而△pw仅为局部损失 即
△pw=ζρv22/2 ∴ v2 =√2/ρ·(p1-p2)/√α2+ξ = Cv√2△p /ρ 故 q = A2v2 = CcATv2 = CvCcAT√2/ρ△p = CqAT√2△p/ρ
第一章 液压油及液压流体力学基础
§1-3 流动液体的基本力学特性 滑阀上的稳态液动力
稳态液动力是阀芯移动完毕，开口固定 以后，液流流过阀口时因动量变化而作 用在阀芯的力
第一章 液压油及液压流体力学基础
§1-3 流动液体的基本力学特性 滑阀上的瞬态液动力
瞬态液动力是滑阀在移动过程中（即开 口大小发生变化时)阀腔中液流因加速或 减速而作用在阀芯上的力
2. 液体所受质量力只有重力；
3. 液体是连续的，不可压缩。ρ＝常数；
4. 所选择的两个通流截面必须符合渐变 流条件，且不考虑两截面间的流动状 态。
第一章 液压油及液压流体力学基础
§1-3 流动液体的基本力学特性 五、动量守恒
动星定理指出：作用在物体上的力的大 小等于物体在力作用方向上动量的变化 率，即：
层流和紊流是两种不同性质的流动状 态。层流时粘性力起主导作用，惯性力 与粘性力相比不大，液体质点受粘性的 约束，不能随意运动；紊流时惯性力起 主导作用，液体质点在高速流动时，粘 性不再能约束它。
3、非恒定流动：通过空间某一固定点的各液 体质点的速度、压力和密度等任一参数只要 有一个是随时间变化的，即为非恒定流动。
4、一维流动：若运动参数（流速、压力、 密度等）只是一个坐标的函数，则称为一维 流动。
第一章 液压油及液压流体力学基础
§1-3 流动液体的基本力学特性 一、基本概念
动画演示
第一章 液压油及液压流体力学基础
∵ v1 << v2 v1可忽略不计，收缩断面流动是紊流 α2=1； 而△pw仅为局部损失 即
△pw=ζρv22/2 ∴ v2 =√2/ρ·(p1-p2)/√α2+ξ = Cv√2△p /ρ 故 q = A2v2 = CcATv2 = CvCcAT√2/ρ△p = CqAT√2△p/ρ
第一章 液压油及液压流体力学基础
§1-3 流动液体的基本力学特性 滑阀上的稳态液动力
稳态液动力是阀芯移动完毕，开口固定 以后，液流流过阀口时因动量变化而作 用在阀芯的力
第一章 液压油及液压流体力学基础
§1-3 流动液体的基本力学特性 滑阀上的瞬态液动力
瞬态液动力是滑阀在移动过程中（即开 口大小发生变化时)阀腔中液流因加速或 减速而作用在阀芯上的力
2. 液体所受质量力只有重力；
3. 液体是连续的，不可压缩。ρ＝常数；
4. 所选择的两个通流截面必须符合渐变 流条件，且不考虑两截面间的流动状 态。
第一章 液压油及液压流体力学基础
§1-3 流动液体的基本力学特性 五、动量守恒
动星定理指出：作用在物体上的力的大 小等于物体在力作用方向上动量的变化 率，即：
层流和紊流是两种不同性质的流动状 态。层流时粘性力起主导作用，惯性力 与粘性力相比不大，液体质点受粘性的 约束，不能随意运动；紊流时惯性力起 主导作用，液体质点在高速流动时，粘 性不再能约束它。
工程流体力学课件3流体动力学基础
总结词
边界层理论是研究流体在固体表面附近流动的理论， 其特征包括流体的粘性和湍流状态。
详细描述
边界层理论主要关注流体与固体表面之间的相互作用 ，特别是流体的粘性和湍流状态对流动的影响。在边 界层内，流体的速度和压力变化梯度较大，湍流状态 较为明显。
边界层分离现象和转捩过程
总结词
边界层分离现象是指流体在经过曲面或突然扩大区域 时，流速减小，压力增加，导致流体离开壁面并形成 回流的现象。转捩过程则是从层流到湍流的过渡过程 。
有旋流动
需要求解偏微分方程组，如纳维-斯托克斯 方程（Navier-Stokes equations），该方 程组较为复杂，需要采用数值方法进行求解
。
05 流体动力学中的湍流流动
湍流流动的定义和特征
湍流流动的定义
湍流是一种高度复杂的流动状态，其中流体的速度、压 力和其它属性随时间和空间变化。
湍流流动的特征
质量守恒定律在流体中的应用
质量守恒定律
物质的质量不会凭空产生也不会消失，只会从一种形式转化为另一种形式。在流体中，质量守恒定律表现为流体 微元的质量变化率等于进入和离开微元的净质量流量。
质量守恒方程
根据质量守恒定律，流体微元的质量变化率可以表示为流入和流出微元的净质量流量。这个方程是流体动力学基 本方程之一，用于描述流体的运动特性。
流体流动的描述方法
描述流体流动的方法包括拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法是以流体质点作为描述对象，追踪各个质点的运动轨迹，研究其速度、加速度等参数随时 间的变化。欧拉法是以空间点作为描述对象，研究空间点上流速、压强等参数随时间和空间的变化。
03 流体动力学基本方程的推 导
牛顿第二定律在流体中的应用
能源
边界层理论是研究流体在固体表面附近流动的理论， 其特征包括流体的粘性和湍流状态。
详细描述
边界层理论主要关注流体与固体表面之间的相互作用 ，特别是流体的粘性和湍流状态对流动的影响。在边 界层内，流体的速度和压力变化梯度较大，湍流状态 较为明显。
边界层分离现象和转捩过程
总结词
边界层分离现象是指流体在经过曲面或突然扩大区域 时，流速减小，压力增加，导致流体离开壁面并形成 回流的现象。转捩过程则是从层流到湍流的过渡过程 。
有旋流动
需要求解偏微分方程组，如纳维-斯托克斯 方程（Navier-Stokes equations），该方 程组较为复杂，需要采用数值方法进行求解
。
05 流体动力学中的湍流流动
湍流流动的定义和特征
湍流流动的定义
湍流是一种高度复杂的流动状态，其中流体的速度、压 力和其它属性随时间和空间变化。
湍流流动的特征
质量守恒定律在流体中的应用
质量守恒定律
物质的质量不会凭空产生也不会消失，只会从一种形式转化为另一种形式。在流体中，质量守恒定律表现为流体 微元的质量变化率等于进入和离开微元的净质量流量。
质量守恒方程
根据质量守恒定律，流体微元的质量变化率可以表示为流入和流出微元的净质量流量。这个方程是流体动力学基 本方程之一，用于描述流体的运动特性。
流体流动的描述方法
描述流体流动的方法包括拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法是以流体质点作为描述对象，追踪各个质点的运动轨迹，研究其速度、加速度等参数随时 间的变化。欧拉法是以空间点作为描述对象，研究空间点上流速、压强等参数随时间和空间的变化。
03 流体动力学基本方程的推 导
牛顿第二定律在流体中的应用
能源
2-流体力学-第三章-流体动力学(1)-三大方程-黄国钦
d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等。
11 12
2
例题 例题:
r r r r V = x 2 yi − 3 yj + 2 z 2 k
3.2 几个概念 3.2.1 流动的分类——定常流和非定常流
试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量 解:
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为：
选定某一空 选定某一空 间固定点 间固定点
记录流动空间 某固定位置 处，流体运动 要素（速度、 加速度）随时 间变化规律
r r u =u (x,y,z,t)
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
(( x ,, y ,, zz )) 是 x y 是空 空间 间点 点（ （场 场 r u 点）。流速 是在 点）。流速 是在 tt 时 时 刻占据 (( x ,, y ,, zz )) 的那个流 刻占据 x y 的那个流
工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
制造工程系：黄国钦
1
2
3.1.2 描述流体运动的两种方法及质点导数概念
3.1.2 描述流体运动的两种方法 3.1.2.1 拉格朗日法
基本思想：以研究个别流体质点的运动为基础，跟踪每个流体质点的运动全 基本思想： 过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。即通过描述每一质 点的运动了解流体运动。(随体法或跟踪法)
迹线
M(-1,-1)
o
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
19
dx dy dz = = vx v y vz
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1. 微小流束连续性方程 如图所示，在总流上取一微小流束，过水断面分别为
dA1 和dA2 ，相应的平均流速分别为υ1和υ2 ，密度ρ1 和 ρ2 。由于微小流束的表面是由流线围成的，所以没有流 体穿入或穿出流束表面，只有两端面dA1 和dA2有流体 的流入和流出。在dt时间内对于dA1断面：
1dA11dt 1Q1dt
dyj
dzk
u为流体质点在A点的流速:
u uxi uy j uzk
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速
分量，u 和ds重合。所以
ds
u
0
即
i jk
dx dy dz 0
ux uy uz
展开后得到： dx dy dz ——流线方程 ux uy uz
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。
（2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为：
vx v y
xa，b，c，t
t
y a，b，c，t
t
vz
为kg s，用Qm表示）
Q
A udA,Qm
udA
A
六、流量和平均流速
2、断面平均流速
断面平均流速，以v表示，它是一种假想的流速，假定在
单位时间内，过流断面上各流体质点都以v流速流动，按
此流速计算的流量恰好等于过流断面上各流体质点以真实
流速u所通过的流量。
即 vA AudA Q
1mQ1 2mQ2
—总流的连续性方程，它说明可压缩流体做定常流动 时，总流的质量流量保持不变。
2. 总流的连续性方程
对不可压缩流体：
1 2 Q1 Q2 and u1A1 u2 A2
—不可压缩流体定常流动总流的连续性方程，其物理 意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流 量保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成 反比，即过水断面面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓ 处，流速↑。 对于理想流体和实际流体均可适用。
或用它们余弦相等推得：
cos ux dx , cos uy dy , cos uz dz
u ds
u ds
u ds
2.迹线
1）迹线的定义
迹线—某一质点在某
一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
三.元流与总流
1.流管—在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过 该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空 间称为流管。 2.流束—过流管横截面上各点作流线，则得到充满
当该元流流段在dt时间内由位置1-2移 动到位置1’-2’时，由动能定理知，动 能的变化量等于同一时间内作用于该 元流流段上的所有外力对该流段做功
的总和，即：E W
1、动能的变化 由于为定常流，各点的位置和形状
v
v x，y，z，t
＝ x，y，z，t
p
px，y，z，t
T T x，y，z，t
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流动和非定常流动 定常流动：在流场中，流体质点的一切运动要素(υ、p、 粘性力、惯性力)都不随时间改变而只是坐标的函数的 流动。表示为：
Q1 Q2 ~ Q
1dA1 2dA2 ~ dA
由此得出速度之比与断面积之比之间的关系：
1 :2
:~~:
1 dA1
:
1 dA2
~~: 1 dA
1 2
dA2 dA1
2. 总流的连续性方程 将微小流束连续性方程两边对相应的过水断面A1及A2 进行积分可得：
A1 1u1dA1 A2 2u2dA2 1mu1dA1 2mu2dA2
t
0
u u( x, y, z, t)
p
p( x,
y, z,t)
例如水箱中的水位随着水的泄出而不
断下降的孔口出流就是非定常流动。
二 流线与迹线
1. 流线
流线的定义——表示某
一瞬时流体各点流动趋势 的曲线； 曲线上每一点的速度矢量 总在该点与曲线相切。
右图为流线谱中显示的流 线形状。
流管的一束流线簇，称为流束。
3.元流 — 当流束的断面无限小时的微小流束。
元流性质：
流体做定常流动时，元流的形状不随时间变化。 流体不能从元流的侧面流入和流出，流体只能沿元流
端面流入或流出。 元流横断面积无限小，其断面流速、压强等参数可以
认为是相等的。
4.总流：若干元流组合成的流束称为总流。
断面平均流速为
v
1 A
vA
Q-流体的体积流量
v-断面平均流速
A-总流过流断面的面积
第三节 流体运动的连续性方程
连续性条件：流体连续地充满所占据的空间，当流体流动 时在其内部不形成空隙，这就是流体运动的连续性条件。 连续性方程：根据流体运动时应遵循质量守恒定律 (conservation of mass)，将连续性条件用数学形式表示出 来，即连续性方程。 在管路等流体力学计算中得到极为广泛的应用。
u t
p t
t
0
u
p
u(x, y, z) p( x, y, z)
例如离心式水泵，恒位水箱出水口的
稳定泄流都是定常流动。
非定常流动：在流场中，流体质点的一切运动要素(υ、 p、粘性力、惯性力)都是时间和坐标的函数的流动。 表示为：
u t
0,
p t
0,
对于dA2断面： 2dA22dt 2Q2dt
根据质量守恒定律：
1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2, Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法 拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象，
研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。
然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
Q0 Q2 2Q Q2 2Q 1.6 m3 s
Q0
v1
Q3
Q1 A
3Q Q3
2.4 0.5 0.5
Q
9.6
0.8 m3
m s
s
v2
Q2 A
1.6 0.5 0.5
6.4 m s
v3
Q3 A
0.8 0.5 0.5
3.2 m s
第四节 流体定常流能量方程
第三章 一维流体动力学基础
无论在自然界或工程实际中，流体的静止总是相 对的，运动才是绝对的。流体最基本的特征就是它 的流动性。因此，进一步研究流体运动规律便具有 更重要、更普遍的意义。
第一节 概述
一、流体动力学与流体静力学的区别 流体静力学只考虑作用在流体上的重力和压力， 流体静压强只与该点的空间位置有关； 流体动力学除考虑重力和压力外，还要考虑流体 受到的惯性力和粘性力，动力学中的压强不仅与 空间坐标有关，还与方向有关。
流线的作法
在流场中任取一点（如图所示）, 绘出某时刻通
过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2 点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如
此下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限 就是某时刻的流线。
流线的性质
a.同一时刻的不同流线,不能相交.
b.流线不能是折线，而是一条光 滑的曲线。
四.过水断面 湿周 水力半径
1.过水断面—即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
2.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
c.流线的形状和位置，在定常流 动时不随时间变化；而在不定 常流动时，随时间变化。
u1 交点 u2
s1
s2
u1 折点 u2
s
d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
流线的方程
根据流线的定义，可以求得流
线的微分方程：
设ds为流线上A处一微元弧长:
ds
dxi
z a，b，c，t
t
流体质点加速度为：
ax
vx t
2 xa，b，c，t
t 2
a y
v y t
2 ya，b，c，t
t 2
az
vz t
2 z a，b，c，t
t 2
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如：
第一节 概述
流体的流动是由充满整个流动空间的无限 多个流体质点的运动构成的。充满运动流体的 的空间称为流场。 研 欧拉法 究
方 拉格朗日法
法
一、拉格朗日法
拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流 体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整 个流动。 研究对象：流体质点