论全等三角形判定与性质及其技巧

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论全等三角形判定与性质及其技巧

袁崧浩

三角形是平面几何中最重要也是最基础的图形之一,大部分的平面几何都建立在三角形的基础上,本文将论述全等三角形的基础及其拓展。

一、全等三角形的判定公理

1、边边边(SSS)

三边对应相等的两个三角形全等

2、边角边(SAS)

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

3、角边角(ASA)

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

4、角角边(AAS)

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

5、斜边、直角边(HL)

直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角

三角形全等

二、全等三角形的性质

1.全等三角形的对应角相等。

2.全等三角形的对应边相等。

3.全等三角形的对应边上的高对应相等。

4.全等三角形的对应角的角平分线相等。

5.全等三角形的对应边上的中线相等。

6.全等三角形面积相等。

7.全等三角形周长相等。

三、全等三角形题型的解题技巧

1、制造全等三角形

在一些题目中,你需要通过全等来解题但是在图形中找不到全等三角形,这时就需要通过辅助线来制造全等三角形以解题,可利用等角和等边来作辅助线,一下介绍两种比较经典的方法:

(1)倍长中线法:

延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相

应的顶点,则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三

角形,例题如下:

如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:2AD

证明:延长AD至E,使DE=AD,连结CE

∴易证三角形△ADB≌△EDC

∴AB=CE

在三角形ACE中,2AD

故证毕

(2)角平分线作垂线:

利用定理(角平分线上的点到两边的距离相等)来在角平分线

上的特定点做边的垂线,以构造全等三角形。

定理证明:

证明:OP是∠MON的平分线,过P做PA⊥OM与A,PB⊥ON于

B

∵OP平分∠MON

∴∠MOP=∠NOP

即∠AOP=∠BOP

∵PA⊥OM,PB⊥ON

∴∠PAO=∠PBO=90°

∴△AOP≌△BOP

∴PA=PB

故证毕

(逆定理证明类似)

例题如下:

如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8,BD=5,

DE⊥AB,求DE

解:∵BC=8,BD=5

∴CD=3

∵DE⊥AB

2、特殊三角形的性质与判定

Ⅰ等腰三角形:

(1)等腰三角形三线合一

等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互

重合。

(在三角形中,只要有两条线重合,那这个三角形一定是

腰三角形)

三线合一的证明:

如图,已知AB=AC,D为BC中点,求证:AD平分∠BAC,

AD⊥BC

证明:

∵△ABC为等腰三角形

∴AB=AC

∴∠B=∠C

∵AD为中线

∴BD=DC

∴易证△ADB≌△ADC(SAS)

可得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC,且∠BDC=180度

∴∠ADB=∠ADC=90°

故证毕

反之可证有两条线重合的三角形是等腰三角形,由三线合

一亦可得垂直平分线上的点到线段两边的距离相等(2)等腰三角形底角相等

(3)两条边或两个角相等的三角形为等腰三角形

等边三角形:

(4)等边三角形三边相等且三个角皆为60°

(5)含60°角的等腰三角形为等边三角形

(6)三边相等的三角形为等边三角形

解题技巧:利用等腰三角形和等边三角形的性质来解题,例题如下:

如图,直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,∠DAC=∠

DCA=15°,求证,求证:AB=DB

证明:以AD为边,向右作等边三角形ADE,连结EB

则易证△AEB≌△ADC

则∠AEB=∠ADC=150°

∴∠DEB=150°

∴易证△AEB≌△DEB

故证毕

技巧,截长补短:

当遇到两条不在一条直线上的线段而要求让这两条线段长度和与另

一个长度进行对比时,需要用到截长补短的技巧:延长短的线段或

切分长的线段,例题如下:

1、补短

如图,已知△ABC中,AD平分∠BAC,AM⊥CM,AD=AB,求证

2AM=AB+AC

证明:

延长AM至N使MN=AM,连接CN

∵AM⊥CM

∴CM是AN的垂直平分线

∴AC=CN

∴∠CAM=∠N

∵∠BAM=∠CAM

∴∠BAM=∠N

∴AB//CN

∴∠B=∠NCD

∵AB=AD

∴∠B=∠ADB

∴∠CDN=∠ADB

∴∠NCD=∠CDN

∴DN=CN=AC

∵AN=2AM=AD+DN

∴2AM=AB+AC

2、截长

∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的角平分线,求证AC+DC=AB 证明:在AB上取点E,使AE=AC,连结DE

则易证△AED≌△ACD

∵∠C=90°,AC=BC

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