论全等三角形判定与性质及其技巧
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
论全等三角形判定与性质及其技巧
袁崧浩
三角形是平面几何中最重要也是最基础的图形之一,大部分的平面几何都建立在三角形的基础上,本文将论述全等三角形的基础及其拓展。
一、全等三角形的判定公理
1、边边边(SSS)
三边对应相等的两个三角形全等
2、边角边(SAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3、角边角(ASA)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
4、角角边(AAS)
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
5、斜边、直角边(HL)
直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角
三角形全等
二、全等三角形的性质
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
三、全等三角形题型的解题技巧
1、制造全等三角形
在一些题目中,你需要通过全等来解题但是在图形中找不到全等三角形,这时就需要通过辅助线来制造全等三角形以解题,可利用等角和等边来作辅助线,一下介绍两种比较经典的方法:
(1)倍长中线法:
延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相
应的顶点,则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三
角形,例题如下:
如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:2AD 证明:延长AD至E,使DE=AD,连结CE ∴易证三角形△ADB≌△EDC ∴AB=CE 在三角形ACE中,2AD 故证毕 (2)角平分线作垂线: 利用定理(角平分线上的点到两边的距离相等)来在角平分线 上的特定点做边的垂线,以构造全等三角形。 定理证明: 证明:OP是∠MON的平分线,过P做PA⊥OM与A,PB⊥ON于 B ∵OP平分∠MON ∴∠MOP=∠NOP 即∠AOP=∠BOP ∵PA⊥OM,PB⊥ON ∴∠PAO=∠PBO=90° ∴△AOP≌△BOP ∴PA=PB 故证毕 (逆定理证明类似) 例题如下: 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8,BD=5, DE⊥AB,求DE 解:∵BC=8,BD=5 ∴CD=3 ∵DE⊥AB 2、特殊三角形的性质与判定 Ⅰ等腰三角形: (1)等腰三角形三线合一 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互 重合。 (在三角形中,只要有两条线重合,那这个三角形一定是 腰三角形) 三线合一的证明: 如图,已知AB=AC,D为BC中点,求证:AD平分∠BAC, AD⊥BC 证明: ∵△ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD为中线 ∴BD=DC ∴易证△ADB≌△ADC(SAS) 可得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC ∵∠ADB+∠ADC=∠BDC,且∠BDC=180度 ∴∠ADB=∠ADC=90° 故证毕 反之可证有两条线重合的三角形是等腰三角形,由三线合 一亦可得垂直平分线上的点到线段两边的距离相等(2)等腰三角形底角相等 (3)两条边或两个角相等的三角形为等腰三角形 等边三角形: (4)等边三角形三边相等且三个角皆为60° (5)含60°角的等腰三角形为等边三角形 (6)三边相等的三角形为等边三角形 解题技巧:利用等腰三角形和等边三角形的性质来解题,例题如下: 如图,直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,∠DAC=∠ DCA=15°,求证,求证:AB=DB 证明:以AD为边,向右作等边三角形ADE,连结EB 则易证△AEB≌△ADC 则∠AEB=∠ADC=150° ∴∠DEB=150° ∴易证△AEB≌△DEB 故证毕 技巧,截长补短: 当遇到两条不在一条直线上的线段而要求让这两条线段长度和与另 一个长度进行对比时,需要用到截长补短的技巧:延长短的线段或 切分长的线段,例题如下: 1、补短 如图,已知△ABC中,AD平分∠BAC,AM⊥CM,AD=AB,求证 2AM=AB+AC 证明: 延长AM至N使MN=AM,连接CN ∵AM⊥CM ∴CM是AN的垂直平分线 ∴AC=CN ∴∠CAM=∠N ∵∠BAM=∠CAM ∴∠BAM=∠N ∴AB//CN ∴∠B=∠NCD ∵AB=AD ∴∠B=∠ADB ∴∠CDN=∠ADB ∴∠NCD=∠CDN ∴DN=CN=AC ∵AN=2AM=AD+DN ∴2AM=AB+AC 2、截长 ∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的角平分线,求证AC+DC=AB 证明:在AB上取点E,使AE=AC,连结DE 则易证△AED≌△ACD ∵∠C=90°,AC=BC