【新教材】新人教A版 高中数学必修一 函数与方程 课件
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人教A版高中数学必修一课件 《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
课堂篇 探究学习
解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-
2<0,f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+43=log312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程 log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).
(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解. 由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.394>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点 所在的区间为(1,2).所以k=1.
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
变式训练本例已知条件不变,求a为何值时: (1)方程有唯一实数解; (2)方程的一个解大于1,一个解小于1.
解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
例3 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 ( )
A.(0,2)
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在
的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为
.
分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所 在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的 符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.
高中数学新人教A版必修一函数与方程课件57张
解析 当 x≤0 时，令 x2－2＝0，解得 x＝－ 2(正根舍去)，
所以在(－∞,0]上,f(x)有一个零点; 当 x>0 时，f′(x)＝2＋1x>0 恒成立， 所以f(x)在(0,＋∞)上是增函数. 又因为f(2)＝－2＋ln 2＜0,f(3)＝ln 3＞0,所以f(x)在(0,＋∞)上有一个零点, 综上,函数f(x)的零点个数为2.
思维升华
判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数 的零点区间问题,往往要结合图象进行分析,一般是转化为两函数图象的交 点,分析其横坐标的情况进行求解.
师生共研
题≤0，
例 1 (1)函数 f(x)＝
的零点个数是 2 .
2x－6＋ln x，x>0
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2)函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)＜0.( ) (3)二次函数y×＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点.( ) (4)f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,恒有h(x)＜f(√x)＜g(x).( )
3.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时,函数f(x)的零点 x0∈(n,n＋1),n∈N*,则n＝ . 2 解析 对于函数y＝logax, 当x＝2时,可得y＜1, 当x＝3时,可得y＞1, 在同一坐标系中画出函数y＝logax,y＝－x＋b的图象, 判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内, ∴函数f(x)的零点x0∈(n,n＋1)时,n＝2.
新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.3.2一元二次不等式的应用课件新人教A版必修第一册
[解] 若 a＝0，则原不等式为－x－1<0，即 x>－1，不合题 意，故 a≠0.
令 y＝ax2＋(a－1)x＋a－1， ∵原不等式对任意 x∈R 都成立， ∴二次函数 y＝ax2＋(a－1)x＋a－1 的图象在 x 轴的下方， ∴a<0 且 Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，
即aa<－0，13a＋1>0 ∴a<－13.
[答案] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－ 1>0 的解集为 R，则a1>＋04，a<0， ，解得 a∈∅，所以不存在 a 使不 等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R
课堂互动探究
题型一 解简单的分式不等式 【典例 1】 解下列不等式： (1)x1＋－2x<0；(2)xx＋ －12≤2. [思路导引] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式 组求得．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再 通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述 方法求解．
[针对训练] 1．解下列不等式： (1)23xx－＋11≥0；
2－x (2)x＋3>1.
[解] (1)原不等式可化为32xx＋－11≠30x，＋1≥0，
解得xx≤≠－－1313或，x≥12，
[解] 由题意列出不等式 S 甲＝0.1x＋0.01x2>12， S 乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解，得 x<－40，或 x>30. x<－50，或 x>40. 由于 x>0，从而得 x 甲>30 km/h，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
课堂归纳小结 1．解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不 等式的逐步代换，基本思路是：代数化、分式整式化、有理化、 低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元 二次不等式上来. 2.当一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为 R 时，意味 着 ax2＋bx＋c>0 恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需 考虑开口方向与判别式 Δ 即可.
人教A版高中数学必修一《函数与方程》PPT (1)
解＋:(＋11与)1由与x条轴x件轴的,的抛交交点物点分线分别f(别在x)＝在区区间x2＋间(－(2－1m,01x),和＋0)和(21m,(21＋),2)1
与内内，x轴，如的如图交图(1)点(所1)分所示示别，，得在得区间(－1,0)和(1,2)内,
f0f＝0＝2m2＋m＋1<10<，0，
得ff－1ff＝－11＝＝41m＝42＋m>20＋2>，<020，<，0，
题号
1 2 3 4 5
答案
(1.25, 1.5)
1 2
,
1 3
3
a1
(-2,0)
主页
题 型 一 判断函数在给定区间上零点的存在性
【例 1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1) f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2) f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
解: ∵ ∴ 故(1方)fff∵∴故∵∴故∵∴故方f((((法181xfff)))ffffff法)fff＝ ·＝(((((((((二f＝(((181181181(xxx一)))))))))818)))＝＝··＝＝＝·＝x)ff＝＝f＝22<2((－－(－8881188180xxx)))2222，2233<<22－－－－<32－－－－× ×－00x0，，3333－，3333183××××××xx－ －x1－－－818181811，－－－－－－88111＝＝88x81111，，11∈8888，－288＝＝＝＝2xx＝＝[x>2∈∈1－－22∈00,－2228<，[[2>>]2211[0存>210000,,，8800,<<，，8在]]<，00存存]0，，存零，在在在点零零零．点点点．．． 令令ff((xx))＝＝00，，得得xx22－－33xx－－1188＝＝00，，xx∈∈[[11,,88]]．． ∴∴((xx－－66))((xx＋＋33))＝＝00，，∵∵xx＝＝66∈∈[[11,,88]]，，xx＝＝－－33∉∉[[11,,88]]，，
与内内，x轴，如的如图交图(1)点(所1)分所示示别，，得在得区间(－1,0)和(1,2)内,
f0f＝0＝2m2＋m＋1<10<，0，
得ff－1ff＝－11＝＝41m＝42＋m>20＋2>，<020，<，0，
题号
1 2 3 4 5
答案
(1.25, 1.5)
1 2
,
1 3
3
a1
(-2,0)
主页
题 型 一 判断函数在给定区间上零点的存在性
【例 1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1) f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2) f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
解: ∵ ∴ 故(1方)fff∵∴故∵∴故∵∴故方f((((法181xfff)))ffffff法)fff＝ ·＝(((((((((二f＝(((181181181(xxx一)))))))))818)))＝＝··＝＝＝·＝x)ff＝＝f＝22<2((－－(－8881188180xxx)))2222，2233<<22－－－－<32－－－－× ×－00x0，，3333－，3333183××××××xx－ －x1－－－818181811，－－－－－－88111＝＝88x81111，，11∈8888，－288＝＝＝＝2xx＝＝[x>2∈∈1－－22∈00,－2228<，[[2>>]2211[0存>210000,,，8800,<<，，8在]]<，00存存]0，，存零，在在在点零零零．点点点．．． 令令ff((xx))＝＝00，，得得xx22－－33xx－－1188＝＝00，，xx∈∈[[11,,88]]．． ∴∴((xx－－66))((xx＋＋33))＝＝00，，∵∵xx＝＝66∈∈[[11,,88]]，，xx＝＝－－33∉∉[[11,,88]]，，
人教A版高中数学必修一课件：3.1函数与方程 (共17张PPT)
(1) y 2
x 3
8
(2) y log3 ( x 2)
解：令y=0，解得 x=3
解：令y=0，解得 x=6
例2.下列各图象表示的函数中没有零点的是 ( D )
问题探究2：
问题1： 1.如图，函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？
零点： -1, 3 .
-2 -1
f(x)=x2-2x-3
类型二：判断函数零点个数
例3.求函数f ( x) ln x 2 x 6的零点的个数.
解法二：
①令f(x)=0, 得方程lnx+2x-6=0 ②方程变形，lnx=-2x+6 , 拆成两个函数 g(x)=lnx, h(x)=6-2x ③画出两个函数图象 ④两个函数图象的交点个数
数形结合思想 y
6
y=－2x +6 y= lnx
1
0
1 2 3 4
x
类型三：确定函数零点所在的大致区间
9 例4.函数f(x)=lgx的零点所在的大致区间是( x
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)
D
)
课堂小结
1、函数零点的定义： 2、方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标 与函数零点的等价关系：
第三章 函数的应用 3.1 函数与方程
—————洪维维
问题探究1:
一元二次方程
对应的二次函数
y
x1=－1,x2=3
y
－1
.
2 1
－1 －2
0
1
2
.
3
x
－3 －4
问：一元二次方 程的根与对应的 二次函数图像的 交点的横坐标有 什么关系？
x1=x2=1
函数的零点与方程的解课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
(4)若函数 f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2课时基本不等式的实际应用
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
反思感悟
1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条
件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备
这些条件,则应进行适当的变形.
2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见
形式有 y=ax+ 型和y=ax(b-ax)型.
【变式训练 1】 (1)已知 x>3,求 y=x+
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)“x>0”是“x+ ≥2 成立”的充要条件.(
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数的零点与方程的解课件新人教A版必修第一册ppt
.
探索点三 函数零点所在区间问题
【例 3】 (1)函数 g(x)=2x+5x 的零点 x0 所在的一个
区间是 (
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析:因为函数 g(x)=2x+5x 在 R 上单调递增,
且 g(-1)=2-1-5<0,g(0)=1>0,
所以 g(-1)·g(0)<0,
-
解析:令 f(x)=
得 x-2=0 或 ln x=0,解得 x=2 或 x=1.
故函数 f(x)的零点为 1 和 2.
e,0和-2
-, > ,
(2)函数 f(x)=
的零点是
- -, ≤
≤ ,
-
=
,
解析:由 f(x)=0,得
或
- - = ,
≥ ,
< ,
或
= ,
| -| =
-
< ,
< ,
≥ ,
整理,得
或
或
- = - = - = ,
解得 x=1 或 x=4.故选 A.
答案:A
x
(2)方程 3 +log2x=0 在区间
,1
上的实数根的个数为 1 .
解析:方法 1 方程 3x+log2x=0 可化为 3x=-log2x=lo x.设
所以函数 g(x)在区间(-1,0)上存在唯一的零点,
故选 B.
答案:B
(2)若 x0 是方程( )x= 的解,则 x0 属于区间 (
A.( ,1)
B.( , )
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[由题悟法] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用 3 方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等 式，再通过解不等式确定参数范围
分离参 先将参数分离，转化成求函数值域问题 数法 加以解决
数形结 合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标 系中，画出函数的图象，然后数形结合 求解
Thank you for watching !
1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区
间是
()
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) 解析：∵a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，
D．(1,2)
∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案：B
2．设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：函数 f(x)的零点所在的区间转 化为函数 g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐标所在的范围．作图 如右：可知 f(x)的零点所在的区间为 (1,2)．故选 B． 答案：B
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y
＝f(x)的零点．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(Байду номын сангаас>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图象
与x轴的交点 (_x_1_,0__)，___(_x_2_,0_)_
零点个数
__2_
_(_x_1_,0__) _ __1_
无交点 __0_
1．函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)＝0 的根，也是函 数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是 必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性 或结合函数图象．
考点一 函数零点所在区间的判定 [题组练透]