2020年江苏省扬州高二(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷（理科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“______ ”．2.若复数z满足：z•（1+i）=2，则|z|=______．3.若f（x）=x3，其导数满足f'（x0）=3，则x0的值为______4.命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的______条件．5.投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为______．6.若曲线在点P处的切线平行于直线，则点的坐标为 .7.有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有______种不同的排列方法．（用数字作答）8.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=k+1成立时，f（n）=1+++…+增加的项的个数是______（用k表示）9.若数列{a n}为等差数列，定义b n=，则数列{b n}也为等差数列．类比上述性质，若数列{a n}为等比数列，定义数列{b n}：b n=______，则数列{b n}也为等比数列．10.（1+ax）6的展开式中二项式系数的最大值为______．（用数字作答）11.若函数f（x）=mx2+ln x-2x在定义域内是增函数，则实数m的最小值为______．12.已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈______．13.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，且对任意x＞0都有x•f'（x）-f（x）＞0成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集是______．14.设曲线f（x）=（ax-1）•e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，g（x）=（1-x）•e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知命题p：方程x2+mx+1=0有实数根；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，若命题p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．16.已知n•C+A=4•C（n≥3，n∈N）．（1）求n的值；（2）求（+）n展开式中的常数项．17.已知数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．（1）求a2、a3、a4；（2）猜想数列通项公式a n，并用数学归纳法给出证明．18.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q为侧棱PC上一点，=λ．（1）若λ=，证明：PB⊥DQ；（2）试确定λ的值，使得二面角P-BD-Q的大小为45°．19.在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（1）最多取两次就结束的概率；（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）取球次数的分布列和数学期望．20.已知函数f（x）=mx-a ln x-m，g（x）=，其中m，a均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜||恒成立，求a的最小值；（3）设a=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】∀x∈R，x2+x≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定“∀x∈R ，x2+x≤0”．故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．2.【答案】【解析】解：因为z•（1+i）=2，故，故，故答案为：．根据复数的基本运算法则进行化简求解即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.【答案】±1【解析】解：根据题意，若f（x）=x3，其导数f'（x）=3x2，若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得x0=±1；故答案为：±1．根据题意，求出函数的导数，进而可得若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得答案．本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．4.【答案】必要不充分【解析】解：解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；所以“x2-x-2=0“推不出“x=-1“；“x=-1“推出“x2-x-2=0”．故命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．先解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；由集合{-1}⫋{-1，2}，再根据由集合观点理解充分必要条件的定义，判断即可．本题考查了充分必要条件的定义，一元二次方程的求解，属于基础题．5.【答案】【解析】解：投掷两个骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，∴向上的点数之和为12的概率为P=．故答案为：．基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，由此能求出向上的点数之和为12的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】（1，0）【解析】解：设切点坐标为（m，m4-m），则f（m）=4m3-1=3，解得：m=1，则点P的坐标为（1，0）.故答案为：（1，0）.先设切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，根据切线的斜率等于函数f（x）在x=m处的导数建立等式，解之即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及解方程等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．7.【答案】288【解析】解：由题意得总的排法有（种）．故答案为：288．相邻问题捆绑法．即先将男生、女生各自看成一个“元素”进行排列，然后女生与男生内部再各自全排列．本题是一道常规题，按照计数原理和排列组合的知识求解即可．难度不大．8.【答案】2k【解析】解：当n=k时，f（k）=1+++…+，当n=k+1时，f（k+1）=1+++…++++…+，由f（k+1）-f（k）=++…+，可得需增加的项的个数为2k+1-1-2k+1=2k，故答案为：2k．分别写出n=k时，n=k+1时，f（k），f（k+1）的式子，相减可得所求增加项的个数．本题考查数学归纳法的证明，注意由n=k，等式成立，推得n=k+1也成立，需增加的项的个数，考查运算能力、推理能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，一般的思路有：由加法类比为乘法，由减法类比为除法，由算术平均数类比为几何平均数等，故可以由数列{a n}是等差数列，定义b n=，则数列{b n}也为等差数列；类比推断：若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，定义，则数列{b n}也是等比数列．故答案为：．直接由等差数列连续三项的算术平均数类比为等比数列中连续三项的几何平均数得结论．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），本题是基础题．10.【答案】20【解析】解：展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，故C63=20，故答案为：20．展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，问题得以解决．本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题题．11.【答案】[）．【解析】解：函数的定义域（0，+∞），，由题意可得，≥0在（0，+∞）上恒成立，故-2m，故-2m≤-1，所以m．故答案为：[）．先对函数求导，结合导数与单调性的关系可把原问题转化为≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求解函数的范围，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用．12.【答案】（-2，）【解析】【分析】本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（-x）=（-x）3+3（-x）=-（x3+3x）=-f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx-2）+f（x）＜0可化为：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），由f（x）递增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，则对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，所以，解得-2＜x＜，即x的取值范围是（-2，），故答案为：（-2，）．13.【答案】（-1，0）∪（1，+∞）【解析】解：令g（x）=，因为f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，故f（-1）=0，所以g（-x）===g（x），即g（x）为定义域上的偶函数；又对任意x＞0都有x•f'（x）-f（x）＞0成立，所以当x＞0时，g′（x）=＞0，即g（x）=在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，又f（1）=0，故g（1）=g（-1）=0，于是，当x＞0时，x2•f（x）＞0⇔＞0，即g（x）＞g（1），解得x＞1；当x＜0时，x2•f（x）＞0⇔＜0，即g（x）＜g（-1），解得-1＜x＜0；综上所述，-1＜x＜0或x＞1；故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．构造函数g（x）=，依题意可得g（x）=为偶函数，在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，g（1）=g（-1）=0，分x＞0与x＜0两种情况，将不等式x2•f（x）＞0分别转化为x＞0时，g（x）＞g（1），x＜0时，g（x）＜g（-1），从而可解得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想、分类讨论思想及函数与方程思想的综合应用，考查运算能力与规范表达能力，属于难题．14.【答案】1≤a≤【解析】解：函数f（x）=（ax-1）e x的导数为f′（x）=（ax+a-1）e x，∴l1的斜率为，函数g（x）=（1-x）e-x的导数为g′（x）=（x-2）e-x，∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=-1，从而有（ax0+a-1）•（x0-2）=-1∴a（x02-x0-2）=x0-3．∵存在x0∈[0，]，得到x02-x0-2≠0，∴a=，又a′=，令导数大于0得1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，∴x0=0时取得最大值为．x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故答案为：1≤a≤．根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由存在x0∈[0，]，得到x02-x0-2≠0，从而a=，然后根据在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，求出其值域即可得到a的取值范围．本题考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系，是中档题．15.【答案】解：若方程x2+mx+1=0有实数根，则判别式△=m2-4≥0，解得m≥2或m≤-2，即p：m≥2或m≤-2．若方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，则判别式△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．因为p、q中有且仅有一个为真命题，则①若p真，q假，则，解得m≥3或m≤-2．②若p假q真，则，解得1＜m＜2．综上实数m的取值范围是m≥3或m≤-2或1＜m＜2．【解析】分别求出命题p，q的等价条件，然后利用p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．本题主要考查复合命题的应用，以及一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，比较综合．16.【答案】解：（1）因为n•C+A=4•C（n≥3，n∈N）．所以+n（n-1）（n-2）=4×，整理可得，n=4；（2）由（1）可得（+）n=（+）4，则T r+1==，令=0可得r=1，即常数项为T2=8．【解析】（1）结合排列组合数公式展开即可求解；（2）结合二项展开式的通项即可求解．本题主要考查了排列组合数公式的应用及利用二项展开式的通项求解二项展开式的特点项，属于基础试题．17.【答案】解：（1）数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．则a2=-=-=-，a3=-=-．（2）猜想数列通项公式a n=-．用数学归纳法证明：（i）n=1时，a1=-=-成立，（ii）假设n=k∈N*时成立，a k=-．则n=k+1时，a k+1=-=-=-=-．因此n=k+1时，猜想成立．综上可得：数列通项公式a n=-．n∈N*．【解析】（1）数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．可得a2=-，a3=-．（2）猜想数列通项公式a n=-．用数学归纳法证明即可．本题考查了数学归纳法、数列递推关系、猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）证明：∵四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q为侧棱PC上一点，=．∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），Q（0，，），=（1，1，-1），=（0，），∵=0，∴PB⊥DQ．（2）C（0，2，0），设Q（a，b，c），则（a，b，c-1）=（0，2λ，-λ），∴Q（0，2λ，1-λ），=（0，0，1），=（1，1，0），=（0，2λ，1-λ），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），设平面BDQ的法向量=（a，b，c），，取a=1，得=（1，-1，），∵二面角P-BD-Q的大小为45°．∴cos45°==，由0≤λ≤1，解得．【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB⊥DQ．（2）C（0，2，0），设Q（a，b，c），则（a，b，c-1）=（0，2λ，-λ），从而Q（0，2λ，1-λ），求出平面BDP的法向量和平面BDQ的法向量，由此利用二面角P-BD-Q 的大小为45°．利用向量法能求出λ．本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，任取一球，取到红球的概率为=任取一球，取到白球的概率为=任取一球，取到蓝球的概率为=∵如果取出蓝色球则不再取球，∴最多取两次就结束的概率为++=（2）设A={整个过程中恰好取到2个白球}，B i={第i次取到白球}H i={第i次取到红球}L i={第i次取到蓝球}则P（A）=P（B1B2）+P（H1B2B2）+P（B1H2B3）=×++=（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==随机变量X的分布列如下X123P 从而E（X）=1×+2×+3×=【解析】（1）先分别求出任取一球，取到每种颜色的球的概率，因为取出蓝色球则不再取球，所以最多取两次就结束有两种情况，第一种，第一次取球，取到蓝球，第二种情况，第一次取球，取到红球或白球，第二次取球，取到蓝球，把两种情况的概率求出，再相加即可．（2）由（1）知任取一球，取到白球的概率为，取到蓝球的概率为，取到红球的概率为，而恰好取到2个白球包括三个互斥事件，即（白，白，非白），（白，红，白），（红，白，白），分别计算它们的概率，最后相加即可（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3，X=1即第一次就抓到蓝球，X=2即第一次不是蓝球，第二次是蓝球，X=3即第一次不是蓝球，第二次不是蓝球；分别计算它们的概率，列出分布列，由期望公式计算X的期望本题考察了古典概型概率的求法，互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及其期望的求法20.【答案】解：（1）g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（-∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．（2）当m=1，a＜0时，f（x）=x-a ln x-1，所以在[3，4]上f′（x）=＞0，∴f（x）在[3，4]上是增函数．设h（x）==，∴在[3，4]上h′（x）=＞0，∴h（x）在[3，4]上为增函数．设x2＞x1，则|f（x2）-f（x1）|＜||恒成立，变成f（x2）-f（x1）＜-恒成立，即：f（x2）-f（x1）＜h（x2）-h（x1）恒成立，即：f（x2）-h（x2）＜f（x1）-h（x1）．设u（x）=f（x）-h（x）=x-a ln x-1-•，则u（x）在[3，4]上为减函数．∴u′（x）=1--•≤0在[3，4]上恒成立．∴a≥x-e x-1+恒成立．设v（x）=x-e x-1+，∴v′（x）=1-e x-1+=1-e x-1[（+）2+]，∵x∈[3，4]，∴e x-1[（+）2+]≥e2，∴v′（x）＜0，∴v（x）为减函数．∴v（x）在[3，4]上的最大值为v（3）=3-e2．∴a≥）=3-e2，∴a的最小值为：3-e2．（3）由（1）知g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g（0）=0，g（e）=，∴g（x）的值域是（0，1]．∵f（x）=mx-2ln x-m；∴当m=0时，f（x）=-2ln x，在（0，e]为减函数，由题意知，f（x）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；当m≠0时，f′（x）=，由于f（x）在（0，e]上不单调，∴0＜＜e，即m＞；①此时f（x）在（0，）递减，在（，e]递增；∴f（e）≥1，即me-2-m≥1，解得m≥；②∴由①②，得m≥；∵1∈（0，e]，∴f（）≤f（1）=0满足条件．下证存在t∈（0，]使得f（t）≥1；取t=e-m，先证e-m＜证，即证2e m-m＞0；③设w（x）=2e x-x，则w′（x）=2e x-1＞0在[，+∞）时恒成立；∴w（x）在[，+∞）上递增，∴w（x）≥w（）＞0，∴③成立；再证f（e-m）≥1；∵f（e-m）=me-m+m≥m≥＞1，∴m≥时，命题成立．∴m的取值范围是：[，+∞）．【解析】（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．（2）在所给式子中含绝对值，一般考虑去掉绝对值，x1，x2是任给的两个数，所以可考虑用函数单调性．去掉绝对值之后，注意观察式子，你会发现，只要做适当变形，便可利用函数单调性的定义，得到一个新的函数的单调性，再结合导数求a的范围即可．（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。
2019-2020学年江苏省扬州市宝应县高二下学期期中数学试题(解析版)
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,故D正确,
故选:BCD
【点睛】
本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.
三、填空题
13． ______________
【答案】31
【解析】由题意结合组合数公式计算所给的式子即可.
A．1B． C．2D．0
【答案】B
【解析】分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为 的形式，利用复数相等求出 即可
详解：
解得
故选
点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相等即可求出答案．
3．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 为( )
A．45种B．56种C．90种D．120种
【答案】A
【解析】将 人中既有男生又有女生分成两种情况： 个男生 个女生； 个男生 个女生.然后利用分步计数原理计算出两种情况的方法数，再相加求得总的选法数.
【详解】
人中既有男生又有女生分成两种情况： 个男生 个女生； 个男生 个女生.“ 个男生 个女生”的方法数有 . “ 个男生 个女生”的方法数有 .故总的方法数有 种.所以本题选A.
【点睛】
本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.对于比较复杂的计数问题，往往先通过分类的方法，将复杂的问题转化为几个较为简单的问题来计算.在计算每个简单的问题过程中，又是用分步计数原理来计算方法数.最后相加得到总的方法数.
8．由 组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
2019-2020学年江苏省扬州市宝应县高二下学期期中数学试题
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．﹣的值为（）A．3B．9C．12D．152．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种3．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．244．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）A．B．C．D．5．函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名7．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜48．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i＝1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i＝1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省扬州市邗江中学2020学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
江苏省邗江中学2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知复数（为虚数单位），则=______．【答案】5【解析】【分析】直接利用复数的模的公式求解.【详解】因为复数，所以.故答案为：5【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数的模.2.已知集合，则___________【答案】【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为_____ 【答案】＋＋＋＋<【解析】试题分析：不等式的规律是：，则第⑤个不等式为考点：归纳推理点评：归纳推理，关键在于观察事实，寻求规律，然后得到结论。
对此类题目，只要用心思考，都能做得很好。
4.已知，用数学归纳法证明时，__________．【答案】【解析】试题分析：因为假设时，，当时，，所以．考点：数学归纳法．【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法，由归纳法的性质，我们由对成立，则它对也成立，由此类推，对于的任意整数均成立，其中熟记数学归纳法的步骤和推理结构是解答此类问题的关键，本题的解答中根据数学归纳法的思想，得出当和时，分别写出和的表达式，即可作差求解的表示形式，属于基础题．5.已知，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则矩阵的另一个特征值为___________【答案】-3【解析】【分析】由求得，则可得矩阵的特征多项式为，令求得结果.【详解】由题意得：，即可得：，解得：特征多项式为则或另一个特征值为：本题正确结果：【点睛】本题考查矩阵的特征向量问题，属于基础题.6.设随机变量，且，则事件“”的概率为_____（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项分布求得，再利用二项分布概率公式求得结果.【详解】由可知：本题正确结果：【点睛】本题考查二项分布中方差公式、概率公式的应用，属于基础题.7.已知命题，命题，若命题且是真命题，则实数的取值范围是______【答案】【解析】试题分析：是真命题，则为真命题，为真命题，命题为真命题，则，命题为真命题，，则，所以．考点：1、命题的真假性；2、一元二次不等式恒成立．【方法点睛】本题主要考察存在性问题，一元二次不等式恒成立问题，存在性问题等价于或，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2），一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式．8.已知，设……，则……___________【答案】1023【解析】【分析】根据组合数公式性质可得；分别代入和求得和，作差即可得到结果.【详解】即：代入可得：代入可得：本题正确结果：【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是,直线被曲线截得的线段长为_______【答案】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程；直线极坐标方程化为直角坐标方程，联立后求得交点坐标，利用两点间距离公式求得线段长.【详解】由得的普通方程为：又的直角坐标方程为：联立，解得交点坐标为：，直线被曲线截得的线段长为：本题正确结果：【点睛】本题考查直线被曲线截得的弦长问题，关键是能够将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，进而在直角坐标系中来求解.10.下列命题错误的是__________（1）命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”；（2）若命题：，则：；（3）中，“”是“”的充要条件；（4）若向量满足，则的夹角为钝角。
扬州市邗江中学2020年春高二数学下学期期中试卷附答案解析
扬州市邗江中学2020年春高二数学下学期期中试卷一、单选题1．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A ．1B ．2C ．πD ．2π2．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布14N （，），若(2)=0.2P X ≥，则(01)P X ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.64．若7781n n n C C C +-=，则n 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 5．已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ）A ．π-B ．2π-C ．2π D ．π6．二项式(√x +2x 2)10展开式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ）A ．38B ．1340C ．1345D ．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种9．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++，则8a =（ ） A ．45-B ．27C ．27-D ．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A + 12．已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈L，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=L ，则正整数n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ．14．若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．15．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是_________16．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为________. 三、解答题17．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻.19．已知n+的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项.20．有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AB 、CD 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大.21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望()EX ；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？22．已知函数()x f x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设*n N ∈，证明：123()()()()1nnnnn e nnnne ++++<-L . 解析扬州市邗江中学2020年春高二数学下学期期中试卷一、单选题1．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A ．1 B ．2C ．πD ．2π【答案】C【解析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-.故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】 解：∵()()()()2121211112i i i i i zi i i i ++====-+--+， 则复数z 的虚部为1．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．3．已知随机变量X 服从正态分布14N （，），若(2)=0.2P X ≥，则(01)P X ≤≤为（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.4D ．0.6【解析】X 服从正态分布(14)N ，，对称轴1μ＝，利用正态曲线的对称性可解 【详解】解：∵随机变量X 服从正态分布(14)N ， ∴12μσ＝，＝， 又(2)=0.2P X ≥，∴(01)=(12)=0.50.2=0.3P X P X ≤≤≤≤-； 故选：B ． 【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()00()1P X x P X x <-≥=；(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．4．若7781n n n C C C +-=，则n 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 【答案】C【解析】试题分析：由7781n n n C C C +-=和组合数公式得()()()()1!!!7!6!7!7!8!8!n n n n n n +-=---,化简得()()1116778n n n n +-=-⋅--,解之得14n =.【考点】组合数计算. 5．已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ）A ．π-B ．2π-C ．2π D ．π【答案】A【解析】根据导数运算,求得()'f x ,代入即可求解.【详解】 因为()sin 2f x x x =⋅所以sin 22'2cos 2222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⨯⨯⨯⎭+0cos πππ=+=-故选:A 【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题. 6．二项式(√x +2x 2)10展开式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360【答案】A【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【详解】 解：二项式(√x +2x )10展开式的通项公式为T r+1=C 10r ⋅2r⋅x5−5r2，令5−5r 2=0，求得 r =2，可得展开式中的常数项是C 102⋅22=180，故选：A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ）A ．38B ．1340C ．1345D ．34【答案】B【解析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =I ，分别计算(),()P A B P A I 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件A B I为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件 1313()9872P A B ==⨯I 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==I故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种【答案】B【解析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．9．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【详解】'且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值， ∴当x >﹣1时，()f x '<0；当x ＝﹣1时，()f x '＝0； 当x <﹣1时，()f x '>0．∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0； 当x <﹣1时，()xf x '＜0． 故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10．已知()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++，则8a =（ ） A ．45- B ．27 C ．27- D ．45【答案】A【解析】分两类求解，当()1x -，取 1时， ()91-x 取8个x ，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，分别求值，再相加. 【详解】 当()1x -取 1时， ()91-x 取8个x ，则1891a C =-⨯， 当()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，则()278911a C =-⨯⨯-，所以()27189911145a C C =-⨯⨯--⨯=- .故选：A 【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了分类讨论的方法，属于基础题.11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A + 【答案】D【解析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ， 故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +， 即选项D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.12．已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈L，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=L ，则正整数n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a 的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出min max (1)()()n f x f x -…,即可求得n 的最大值.11()ax f x a x x'-=-=, ①当0a ≤或10a e <≤时,()0f x '<在[]1,x e ∈恒成立,从而()f x 在[]1,e 单调递减,所以min ()()13f x f e ae ==-=,解得41,a e e ⎛⎤=∉-∞ ⎥⎝⎦,不合题意; ②当11a e <<时,易得()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, 所以min 11()1ln 3f x f a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,解得21,1a e e ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,不合题意;③当1a >时,()f x 在[]1,e 单调递增,所以min ()(1)31f x f a ===>,满足题意; 综上知3a =. 所以()3ln f x x x =-,[]1,x e ∈,所以min ()(1)3f x f ==,max ()()31f x f e e ==-依题意有min max (1)()()n f x f x -≤,即(1)331n e -≤-,得23n e ≤+, 又*n N ∈,所以3n ≤. 从而n 的最大值为3. 故选:B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题13．（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ． 【答案】【解析】试题分析：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10） ∴Eξ=故答案为：点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．14．若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．【答案】1023【解析】赋值法 令0x =得：01a =；令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++(),再两式相减可得. 【详解】解：∵102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()， 令0x ＝得：01a = ；①令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++()； ② 由①②可得：12310102411023a a a a +++⋯+-==； 故答案为：1023． 【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()n ax b +，2()m ax bx c ++ (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如()()n ax by a b R +∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可． (3)若()2012n n f x a a x a x a x +++⋯+=，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ．15．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是_________【答案】827【解析】先分别求出顺时针、逆时针方向跳的概率，分析跳四次之后停在A 叶上，有两种情况：有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，再分别计算对应的概率即可. 【详解】解：设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ， 则2=3=1p p p +，解得p 13=，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23， 若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，①若先按逆时针开始从A →B ，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为123221124()3338127C ⨯⨯⨯==， ②若先按顺时针开始从A →C ，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为123112124()3338127C ⨯⨯⨯==， 则概率为448272727+=， 故答案为:827【点睛】求复杂互斥事件概率的步骤：第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．16．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为________. 【答案】213e 【解析】分别求出函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的导函数，设公共点为()00,g x y ，则00()()f x g x ''=解得03x a =，又()()00f x g x =，则2236ln 3(0)b a a a a =-->，令22()36ln 3(0)h a b a a a a ==-->，求出函数的导数，研究函数的最值. 【详解】解：设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,gx y ，因为26(),a f x x'=()24g x x a '=-，所以200624a x a x -=，化简得2200230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =. 因为()()00f x g x =.所以2200046ln ,x ax b a x --=2236ln 3(0)b a a a a =-->.设()h a b =，所以()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13a e=， 所以当103a e <<时，()0'>h a ；当13a e>时，()0h a '<. 即()h a 在10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以b 的最大值为21133h e e⎛⎫=⎪⎝⎭. 故答案为：213e【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.三、解答题17．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6 【解析】【详解】（1）设(,)z x yi x y R =+∈ 所以，2(2)z i x y i +=++；(2)(2)225z x yi x y x y i i i +-++==-- 由条件得，20y +=且20x y +=，所以4,2x y ==-(2)222()(42)(124)8(2)z ai i ai a a a i +=-+=+-+-由条件得：21240{8(2)0a a a +->->，解得26a <<所以，所求实数a 的取值范围是(2,6)-18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻.【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种 【解析】（1）按照排列的定义求解..（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解..（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解. 【详解】（1）从7人中选5人排列，有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=（种）. （2）分两步完成，先选4人站前排，有47A 种方法，余下3人站后排，有33A 种方法，共有4373A A 5040=g （种）.（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有44A 种方法，再将女生全排列，有44A 种方法，共有4444A A 576=g（种）. （5）（插空法）先排女生，有44A 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有35A 种方法，共有4345A A 1440=g（种）. 【点睛】本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.19．已知n+的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）358x ；（2）747x 和527x . 【解析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n 的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项. 【详解】（1）由题意，n的展开式是1rn rrr nT C -+=， 化简得23244122n r r n r r rr rr nnTC xxC x-----+=⋅=⋅⋅则02211n n nT C x x =⋅=⋅，23231144222n n nn T C x x---=⋅⋅=⋅，()3322223128n n nn n T C xx----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n-⋅=+，解得8n =或1n =（舍去）则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 二项式系数是8r C ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C xx --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<，则计算0441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x -=⋅⋅=⋅，5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅，7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅ 则当2r =或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.20．有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AB 、CD 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大.【答案】（1）2）4πθ=时，总造价最大.【解析】（1）根据梯形的面积公式可得()()sin cos sin ,0,2fπθθθθθ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得三角函数的性质和导数求得()f θ的最大值. （2）求得花圃的总造价，然后利用导数求得4πθ=时，总造价最大.【详解】（1）设半径为r ，则100r =米，作CE AB ⊥，垂足为E ，因为BOC θ∠=，所以sin sin ,cos CE OC R OE r θθθ=⋅==， 所以22cos CD OD r θ==， 所以()()()2122cos sin sin cos sin 2fr r r r θθθθθθ=⨯+⨯=+ ()410sin cos sin ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.()()()()'42410cos 2cos 110cos 12cos 1f θθθθθ=+-=+-，所以当π0θ3<<时，()'0f θ>，()f θ递增；当32ππθ<<时，()'0f θ<，()f θ递减.所以当3πθ=时()f θ最大，最大值为41034f π⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（2）设花圃总造价为()()()()()51050022cos 10sin 11cos Wf r r θθθθθ=++=++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()()'52210cos cos sin sin W θθθθθ=+--()()510cos sin cos sin 1θθθθ=-++.令()'0Wθ=，则cos sin 0θθ-=，由于0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4πθ=.当04πθ<<时，()'0Wθ>，函数()W θ单调递增，当42ππθ<<时，()'0W θ<，函数()W θ单调递减， 所以当4πθ=时，函数()Wθ有最大值，即总造价最大.【点睛】本小题主要考查函数导数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，属于中档题. 21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望()EX ；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？ 【答案】（1）625；（2）219100；（3）详见解答. 【解析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，求出()P B ，每个人获奖的概率相等，获奖人数X 服从二项分布(3,())X P B :，求出X 可能值0,1,2,3的概率，由此求出X 的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论. 【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则21111232323222556()25C C C C C C P A C C +==，所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率625； （2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，则获得一等奖的概率为2232122553100C C P C C ==， 获得三等奖的概率为2211112233322322222552350C C C C C C C C P C C ++==， 所以362373()1002550100P B =++=， 每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等， 获奖人数X 服从二项分布73(3,)100X :， 3373270,1,2,3,()()(),0,1,2,3100100i i iX P X i C i -====，分布列为：73219()3100100E X =⨯=； （3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，36(300),(200)10025P P ηη====， 23(100)50P η==，1122112223232323225527(0)100C C C C C C C C P C C η++===，η的分布列为：3244627()3002001000103100100100100E η=⨯+⨯+⨯+⨯=， 如果购买1200选择打九折，优惠金额为120103>， ∴选择打九折更有利. 【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.22．已知函数()x f x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设*n N ∈，证明：123()()()()1nnnnn e nnnne ++++<-L . 【答案】（1）见解析；（2）(,e 1)-∞-（3）见证明【解析】（1）对函数求导，分类讨论0a ≤和0a >两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将()f x x a >-化为1x e a x <-，再由导数的方法求1xe x-在(]0,2的最小值即可；（3）先由（1）令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥，即1x x e +≤，再令()11,2,3,,kx k n n+==L ，即可证明结论成立.【详解】 解：（1）因为()x f x e ax a =--，所以()x f x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； ②当0a >时，()0ln x f x e a x a >⇒>⇒>'，()0ln x f x e a x a <⇒<⇒<'所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）因为对任意的(]0,2x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，即不等式()1x a x e +<恒成立.即当(]0,2x ∈时，1xe a x<-恒成立.令()(]()10,2x e g x x x =-∈，则()()21xx e g x x -'=.显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，(]1,2x ∈时，()0g x '>，所以()gx 在()0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增.∴1x =时()gx 取最小值1e -.所以实数a 的取值范围是(),1e -∞-（3）在（1）中，令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥， 即1x x e +≤（等号当且仅当0x =时成立）令()11,2,3,,k x k n n +==L ，则1k n k e n -<，即nkk nn k e e n e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭故123n n n nn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()1231nn e e e e e <++++L()()()111n ne e ee e e -=<--【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.。
2020年江苏省扬州市邗江区高二(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.复数的共轭复数是______．2.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是______ ．3.已知，且，则x的值是______．4.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有______种．5.若直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，则m=______．6.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是_______.7.已知=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______．8.六个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种(用数字作答)9.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时，增加的项数是______10.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则=______11.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______．12.已知结论:“在三边长都相等的△ABC中,若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2．”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝____________”.13.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为______．14.观察下列等式：①cos2α=2cos2α-1；②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；⑤cos10α=m cos10α-1280cos8α+1120cos6α+n cos4α+p cos2α-1；可以推测，m-n+p=______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设为复数z的共轭复数，满足|z-|=2．（1）若z为纯虚数，求z；（2）若z-2为实数，求|z|．16.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男女相间．17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，F为BC的中点，．（1）若λ=2，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E-AF-C的余弦值．18.（1）已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：不可能是等差数列．（2）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．19.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，侧面AEB为等腰直角三角形，∠AEB=，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20.在数列{a n}中，．（1）求a2，a3的值；（2）证明：①0≤a n≤1；②．答案和解析1.【答案】-i【解析】解：复数===i的共轭复数是-i．故答案为：-i．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2.【答案】正方形的对角线相等.【解析】解：由演绎推理三段论可得本例中的“平行四边形的对角线相等”为大前提；本例中的“正方形是平行四边形”为小前提；则结论为“正方形的对角线相等”故答案为：正方形的对角线相等三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．3.【答案】5【解析】解：∵，且，∴=-3+2x-5=2，解得x=5．故答案为：5．利用空间向量数量积公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】81【解析】解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3=34=81故答案为81每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m个物品放到n个不同的位置的方法有n m，属于基础试题5.【答案】-2【解析】解：∵l⊥α，又∵直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），∴向量（4，2，m）与向量（2，1，-1）平行，则存在实数λ使（4，2，m）=λ（2，1，-1）即故m=-2故答案为：-2由已知中直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，我们可得向量（4，2，m）与向量（2，1，-1）平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m的方程组，解方程组，即可得到答案．本题考查的知识点是向量语言表述线面垂直，其中正确理解线面垂直时，直线的方向向量和平面的法向量平行是解答本题的关键．6.【答案】18【解析】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共A52=20有种排法，因为=，=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是：20-2=18，故答案为：18．因为lg a-lg b=lg，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题．7.【答案】x＞-2且x≠-【解析】解：=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），则•=-3-2（x-1）-3=-4-2x，若∥，则=λ，即有-1=3λ，x-1=-2λ，1=-3λ，x=，由于与的夹角为钝角，则＜0，即为-4-2x＜0，解得，x＞-2．则有x＞-2且x≠-．故答案为：x＞-2且x≠-．运用数量积公式求出与的数量积，再求向量与的共线的情况，由于与的夹角为钝角，则•＜0，解不等式即可得到范围．本题考查平面向量的数量积的运用，考查向量的夹角为钝角的条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．8.【答案】480【解析】【分析】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题，属于简单题．排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．9.【答案】2k【解析】解：假设n=k时成立，即f（k）=1+++…+，则n=k+1成立时，有f（k+1）=1+++…+++…+，∴左边增加的项数是（2k+2k-1）-（2k-1）=2k．故答案为：2k．当n=k成立，写出f（k）的表达式，当n=k+1时，f（k+1）的表达式，观察计算即可．本题考查数学归纳法，考查n=k到n=k+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．10.【答案】++【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，∴==（）=（）+[++]=+（-+）++（）+=++．故答案为：++．==（）=（）+[++]，由此能求出结果．本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】96【解析】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．12.【答案】3【解析】解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，∵O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，∴O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有四面体的体积V=4r=，∴r=，即OM=，所以AO=AM-OM=，所以=3，故答案为：3设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又因为O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，可得O到四面体各面的距离都相等，所以O也是四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而结果可求．本题考查类比推理知识，属于基础题.13.【答案】84【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故答案为：84．根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意“小明的父母至少有一人与小明相邻”的条件，由此分析其可能的情况．14.【答案】962【解析】解：因为2=21，8=23，32=25，…，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，-2×4，3×6，-4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=-400．所以m-n+p=962．故答案为：962．本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15.【答案】解：（1）设z=bi，b∈R，则=-bi，因为|z-|=2，则|2bi|=2，即|b|=，所以b=，所以z=.（2）设z=a+bi，（a，b∈R），则=a-bi，因为|z-|=2，则|2bi|=2，即|b|=．z-2=a+bi-（a-bi）2=a-a2+b2+（b+2ab）i．因为z-2为实数，所以b+2ab=0.因为|b|=，所以a=，所以|z|==【解析】（1）设z=bi，b∈R，则=-bi，利用|z-|=2，求出b，然后求解复数z．（2）设z=a+bi，（a，b∈R），则=a-bi，利用|z-|=2，求出|b|=，化简z-2，通过z-2为实数，求出a，然后求解|z|．本题考查复数代数形式的混合运算，复数的模的求法，共轭复数的应用，考查计算能力．16.【答案】解：（1）先排甲有6种，其余有A88种，∴共有6•A88=241920种排法．（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有A22•A77=10080种排法．（3）先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A55种方法，故共有A44•A55=2880种排法．【解析】（1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有6种，剩下的8个元素全排列有A88种，根据分步计数原理得到结果．（2）先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果．（3）先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A55种方法，根据分步计数原理得到结果．本题主要考查考查排列组合问题，排列问题常见的解题思路：元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路．17.【答案】解：（1）四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，F为BC的中点，．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，当λ=2时，P（0，0，2），D（0，2，0），C（1，2，0），E（，，），F（1，1，0），=（0，2，-2），=（，-，-），设异面直线PD与EF所成角为θ，则异面直线PD与EF所成角的余弦值为：cosθ===．（2）当，E（，），A（0，0，0），F（1，1，0），C（1，2，0），=（），=（1，1，0），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），平面AFC的法向量=（0，0，1），设二面角E-AF-C的平面角为θ，则二面角E-AF-C的余弦值为：cosθ===．【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PD与EF所成角的余弦值．（2）当时，求出平面AEF的法向量和平面AFC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AF-C的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】证明：（1）假设是等差数列，则，即，∴，∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0，∴a-b=b-c≠0，∴，∴a=c，此时公差d=0，这与题设矛盾，∴假设不成立，即不可能是等差数列．（2）①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立；②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，不等式（1+x）k＞1+kx成立，当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴当p=k+1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．【解析】（1）利用反证法求证即可；（2）利用数学归纳法求证即可．本题考查反证法及数学归纳法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）因为平面ABE⊥底面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=，所以CE=，则直角三角形CBE中，sin∠CEB=，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为；（2）存在点F，且时，有EC∥平面FBD，证明如下：解：连接AC、BD交于点M，面ACE∩面FBD=FM．因为EC∥平面FBD，所以EC∥FM．在梯形ABCD中，有△DMC∽△BMA，可得MA=2MC，∴AF=2FE，即点F满足时，有EC∥平面FBD．【解析】（1）可知∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=，得CE=，则直角三角形CBE中，sin∠CEB=；（2）连接AC、BD交于点，推出EC∥FM．通过△DMC与△BMA相似，然后求解EF即可．本题考查了直线与平面平行的判定定理的应用、线面角的求解，考查空间想象能力以及逻辑推理能力、转化思想的应用．20.【答案】解：（1）a2=0，a3=-1，（2）设f（x）=-1，则a n+1=f（a n），①（i）当n=1时，命题成立，（ii）假设n=k时，命题成立，即0≤a k≤1，则当n=k+1时，易知f（x）在（-∞，1]上为减函数，从而0=f（1）≤f（a k）≤f（0）=-1＜1，即0≤a k≤1，所以当n=k+1时结论成立，由（i），（ii）可知命题成立，②先证a2n＜a2n+1，（n∈N*），（i）当n=1时，0=a2＜a3=-1，即n=1时命题成立，（ii）假设n=k时，命题成立，即a2k＜a2k+1，（k∈N*），则当n=k+1时，由①f（x）在（-∞，1]上为减函数，得a2k+1=f（a2k）＞f（a2k+1）=a2k+2，故a2k+2=f（a2k+1）＞f（a2k+2）=a2k+3，所以当n=k+1时结论成立，由（i），（ii）a2n＜a2n+1，（n∈N*），再证a2n＜＜a2n+1，由上可知，a2n＜-1，即（a2n+1）2＜a2n2-2a2n+2，因此a2n＜，由f（x）在（-∞，1]上为减函数，得f（a2n）＞f（a2n+1），即a2n+1＞a2n+2，所以a2n+1＞-1，即a2n+1＞，所以a2n＜＜a2n+1．【解析】（1）代值计算即可，（2）①由数学归纳法和数列与函数的性质，即可证明，②先证a2n＜a2n+1，（n∈N*），由数学归纳法即可证明，再证a2n＜＜a2n+1，利用函数的性质即可证明．本题考查了数列和函数关系，以及数学归纳法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
【精准解析】江苏省扬州市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析
2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分）.1．已知复数z满足z（1+2i）＝3+i，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．在的展开式中，x2的系数是（）A．60B．﹣60C．60D．﹣603．将0，1，2，3，4，5这6个数组成无重复数字的五位偶数的个数为（）A．360B．312C．264D．2884．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CC1＝，若点M为A1B1的中点，则直线AM与直线CB1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．5．曲线y＝x•e x+x2在x＝0处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝2x C．y＝x D．y＝3x+16．今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22021天后是（）A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六7．函数的大致图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝x+a cos x，对于任意x1、x2∈R（x1≠x2），都有恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．[1﹣，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1﹣]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0B．i+i2+i3+i4＝0C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第二象限D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则|z﹣1+i|的最小值为110．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为729B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为240x311．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A．平面BCM⊥平面A1AB1B．三棱锥B﹣MB1C体积最大值为C．当M为AB1中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为D．直线CM与A1D所成的角不可能是12．对于定义域为R的函数f（x），f′（x）为f（x）的导函数，若同时满足：①f（0）＝0；②当x∈R且x≠0时，都有xf′（x）＞0；③当x1＜0＜x2且|x1|＝|x2|时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）为“偏对称函数”．下列函数是“偏对称函数”的是（）A．f1（x）＝e2x﹣e x﹣xB．f2（x）＝e x+x﹣1C．f3（x）＝D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中15题第一空2分，第二空3分）。
2019-2020学年扬州中学高二下学期期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年扬州中学高二下学期期中数学试卷(文科)一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={1,2，3，4}，B={−2,0，2}，则A∩B=______．2.据国家海洋研究机构统计，中国有约120万平方公里的海洋国土处于争议中，该数据可用科学记数法表示为平方公里．3.下列命题中(1)在等差数列{a n}中，m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)是a m+a n=a s+a t的充要条件；(2)已知等比数列{a n}为递增数列，且公比为q，若a1<0，则当且仅当0<q<1；(3)若数列{n2+λn}为递增数列，则λ的取值范围是[−2,+∞)；(4)已知数列{a n}满足12a1+122a2+123a3+⋯+12na n=2n+5，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1(5)若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零．其中正确命题是______(只需写出序号)4.已知f(x)=a sin3x+b tan x+1，若f(2)=3，则f(2π−2)=______ ．5.设P为曲线C：f(x)=x2−x+1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[−1,3]，则点P的纵坐标的取值范围是________．6.实数x，y>0，且x+2y=4，那么log2x+log2y的最大值是______ ．7.已知f(2x+1)=3x−2，且f(a)=4，则a的值是______ ．8.“sinθ≠12”是“θ≠30°”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)9.函数y=√3−x+1x2−x−6的定义域为______ ．10.对于mn，且m，n∈N且m，n≥2可以按如下的方式进行“分解”，例如72的“分解”中最小的数是1，最大的数是13.若m3的“分解”中最小的数是651，则m=______11.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．12.若f′(2)=1，则lim△x→0f(2+2△x)−f(2)△x=______ ．13.定义域为R的奇函数y=f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，则y=f(x)在区间[0,2]上至少有______个零点．14.函数f(x)=4x2−mx+5在[2,+∞)上为增函数，则m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.实数a取什么值时，复数z=a2−1+(a+1)i.是(I)实数；(Ⅱ)虚数；(Ⅲ)纯虚数．16.设命题p：函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上单调递增；q：关于x的方程x2+2x+log a32=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17.发烧是因为体内的白细胞为了吞掉细菌而迅速增加，耗氧增加而引起．发烧本身不是疾病，而是一种症状，它是体内抵抗感染的机制之一．为避免体温持续过高引发肺炎、脑膜炎、心肌炎等多种疾病，持续高烧的患者需要及时服用退烧药．某退烧药在病人血液中的含量不低于2克时，具有治疗作用．已知每服用a(1≤a≤5且a∈R)个单位的药，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系近似地表示为y=a⋅f(x)，其中f(x)={94+x ,0≤x<5,7−x 2,5≤x≤7.．(1)若病人一次服用2个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，5小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．18.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x．(1)求函数f(x)的解析式及其值域；(2)设x0是方程f(x)=4−x的解，且x0∈(n,n+1)，n∈Z，求n的值；(3)若存在x≥1，使得(a+x)f(x)<1成立，求实数a的取值范围．19.(本小题满分12分)已知函数，的最大值为．(1)求的值；(2)若，，求．−alnx+1(a∈R)．20.设函数f(x)=x−4x(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，求f(x)的极值；(2)当a≤4时，若不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：{2}解析：解：∵A={1,2，3，4}，B={−2,0，2}；∴A∩B={2}．故答案为：{2}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：解析：试题分析：根据科学计数法的规定可知120万用科学计数法可以表示为．考点：本小题主要考查科学计数法的应用．点评：科学计数法的应用十分广泛，要注意准确应用．3.答案：(2)(5)解析：解：(1)在等差数列{a n}中，m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)⇒a m+a n=a s+a t，反之不成立，例如常数列a n=0，不正确；(2)等比数列{a n}为递增数列，且公比为q，若a1<0，则当且仅当0<q<1，正确；(3)数列{n2+λn}为递增数列，则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化为：λ>−(2n+1)，∴λ>−3，因此λ的取值范围是(−3,+∞)，因此不正确；(4)数列{a n}满足12a1+122a2+123a3+⋯+12na n=2n+5，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，n=1时，a1=14，不成立，因此不正确；(5)若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，若q≠1，则S n=a11−q−a11−q q n，则A+B=0−q=1时，S n=na1，不满足条件，舍去．因此A+B为零，正确．其中正确命题是(2)(5)．故答案为：(2)(5)．(1)在等差数列{a n}中，由m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)⇒a m+a n=a s+a t，反之不成立，可举反例；(2)利用等比数列的单调性即可判断出正误；(3)数列{n2+λn}为递增数列，则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化简即可得出；(4)n=1时，a1=14，不成立；(5)由已知q≠1，S n=a11−q −a11−qq n，即可验证A+B=0−本题考查了等差数列等比数列的定义通项公式求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：−1解析：解：f(x)=a sin3x+btanx+1，若f(2)=3，则f(2π−2)=a sin3(2π−2)+btan(2π−2)+1=−a sin32−btan2+1=−(a sin32+btan2+1)+2=−3+2=−1故答案为：−1利用诱导公式以及函数值求解即可．本题考查诱导公式以及函数值的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．5.答案：解析：设P(x0,y0)，则f′(x)=2x−1．∴−1≤2x0−1≤3，即0≤x0≤2．∵y0=f(x0)=−x0+1= 2+，∵x0∈[0,2]，∴≤y0≤3，故点P的纵坐标的取值范围是．6.答案：1解析：解：∵实数x，y>0，且x+2y=4，∴4≥2√2xy，化为xy≤2，当且仅当x=2y=12时取等号．则log2x+log2y=log2(xy)≤log22=1．因此log2x+log2y的最大值是1．故答案为：1．利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．7.答案：5解析：解：令t=2x+1得，x=t−12，代入f(2x+1)=3x−2得，f(t)=32t−72，则f(x)=32x−72，则f(a)=32a−72=4，解得a=5，故答案为：5．令t=2x+1得x=t−12，代入解析式求出f(x)的解析式，再由f(a)=4列方程求出a的值．本题考查了函数的解析式的求法：换元法，以及函数的值，属于基础题．8.答案：充分不必要解析：解：“sinθ≠12”能推出“θ≠30°是充分条件，“θ≠30°推不出sinθ≠12，不是必要条件，故答案为：充分不必要根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．9.答案：{x|x<3且x≠−2}解析：解：由{3−x ≥0x 2−x −6≠0，解得x <3且x ≠−2． ∴函数y =√3−x +1x 2−x−6的定义域为{x|x <3且x ≠−2}．故答案为：{x|x <3且x ≠−2}．由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 10.答案：26解析：解：由题意，m 2−(m −1)=651，∴m =26或−25(负数舍去)，即m =26．故答案为：26．观察m 的3次方分解规律中，发现：所分解的最小数是m 的平方与m −1的差．根据发现的规律进行计算即可．本题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在m 2中所分解的最大的数是2m −1；在m 3中，所分解的最小数是m 2−m +1．11.答案：解析：解析：略 12.答案：2解析：解：∵f′(2)=1，∴lim △x→0f(2+2△x)−f(2)△x =lim △x→0f(2+2△x)−f(2)2△x×2 =2f′(2)=2×1=2．故答案为：2．根据题意，由导数在某一处的定义，求出计算结果．本题考查了导数的定义的应用问题，解题时应明确导数的定义公式，从而得出计算结果，是基础题．13.答案：3解析：解：f(x−1)=f(x+1)，∴f(x)=f(x+2)，即函数是周期为2的周期函数，∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，则f(2)=f(0)=0，令f(x−1)=f(x+1)中x=0，则f(−1)=f(1)=−f(1)，则f(1)=0，即0，1，2为y=f(x)在区间[0,2]上的零点，则y=f(x)在区间[0,2]上至少有3个零点，故答案为：3根据条件判断函数的周期是2，结合函数奇偶性和周期性，以及函数零点的定义进行判断即可．本题主要考查函数零点的个数，结合条件判断函数的周期，利用函数的周期以及奇偶性进行转化是解决本题的关键．难度中等．14.答案：(−∞,16],+∞)，解析：解：函数f(x)的增区间为[m8又f(x)在[2,+∞)上为增函数，所以[2,+∞)⊆[m，+∞)，8≤2，解得m≤16，则m8所以m的取值范围是(−∞,16]．故答案为：(−∞,16]．由f(x)在[2,+∞)上为增函数，得[2,+∞)为f(x)增区间的子集，由此得到不等式，解出即可．本题考查二次函数的单调性，属基础题，若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则[a,b]为f(x)增区间的子集．15.答案：解：(I)当a+1=0，即a=−1时，复数z是实数；(II)当a+1≠0，即a≠−1时，复数z是虚数；(III)当{a2−1=0，即a=1时，复数z是纯虚数．a+1≠0解析：(I)当a +1=0，复数z 是实数；(II)当a +1≠0，复数z 是虚数；(III)当{a 2−1=0a +1≠0，复数z 是纯虚数． 本题考查了复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16.答案：解：由命题p 得a >1；由命题q 知关于x 的方程x 2+2x +log a 32=0无解，∴△=4−4log a 32<0，解得1<a <32； 由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假知p ，q 中一真一假；∴若p 真q 假，则：a >1，且0<a <1，或a ≥32，∴a ≥32；若p 假q 真，则0<a <1，或1<a <32，解得a ∈⌀；综上得，实数a 的取值范围为[32,+∞)．解析：先求出命题p ，q 下的a 的取值范围，根据p ∨q 为真，p ∧q 为假可知p ，q 一真一假．所以讨论，p 真q 假，和p 假q 真两种情况，求出a 的范围求并集即可．考查对数函数的单调性，一元二次方程的解和判别式△的关系，p ∨q ，p ∧q 的真假情况和p ，q 真假情况的关系．17.答案：解：(1)a =2时，y ={184+x ,0≤x <514−2x 2,5≤x ≤7； 当0≤x <5时，由184+x ≥2，解得x ≤5，此时0≤x <5；当5≤x ≤7时，由14−2x 2≥2，解得x ≤5， 此时x =5；综上0≤x ≤5，故有效治疗的时间可达5小时；(2)当5≤x ≤7时，y =2×7−x 2+m ⋅94+x−5=7−x +9m x−1，其中1≤m ≤4，m ∈R ； 又函数y 1=7−x 与y 2=9m x−1在区间[5,7]上单调递减，∴函数y =7−x +9m x−1在区间[5,7]上单调递减；∴当x =7时，y min =9m 6≥2，解得m ≥43；∴m 的最小值是43．解析：(1)利用分段函数表示a =2时函数y 的解析式，求出有效治疗的时间；(2)判断函数y 的单调性，根据函数的性质求出满足题意的m 的最小值．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．18.答案：解：(1)若x <0，则−x >0，则当−x >0时，f(−x)=2−x ．∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=2−x =−f(x)，则f(x)=−2−x ，x <0，当x =0时，f(0)=0，则f(x)={2x , x >0 , 0 , x =0 , −2−x , x <0 ． …3分值域为(−∞,−1)∪{0}∪(1,+∞).…5分(2)令g(x)=f(x)−(4−x)={2x +x −4 , x >0 , −4 , x =0 , −2−x +x −4 , x <0 ． 显然x =0不是方程f(x)=4−x 的解．当x <0时，g(x)=−2−x +x −4<0，∴方程f(x)=4−x 无负数解． …7分当x >0时，g(x)=2x +x −4单调递增，所以函数g(x)至多有一个零点；…8分又g(1)=−1<0，g(2)=2>0，由零点存在性原理知g(x)在区间(1,2)上至少有一个零点．…9分 故g(x)的惟一零点，即方程f(x)=4−x 的惟一解x 0∈(1,2)．所以，由题意，n =1. …10分(3)设ℎ(x)=2−x −x ，则ℎ(x)在[1,+∞)上递减．∴ℎ(x)max =ℎ(1)=−12.…13分当x ≥1时，f(x)=2x ，不等式(a +x)f(x)<1，即a <2−x −x ．∴当a <−12时，存在x ≥1，使得a <2−x −x 成立，即关于x的不等式(a+x)f(x)<1有不小于1的解．…16分．解析：(1)根据函数奇偶性的对称性即可求函数f(x)的解析式及其值域；(2)根据函数和方程之间的关系进行求解即可；(3)构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．19.答案：解析：20.答案：解：(1)∵f(x)=x−4x −alnx+1，∴f′(x)=1+4x2−ax，由题意，切线斜率k=f′(1)=1+4−a=0，∴a=5．∴f(x)=x−4x −5lnx+1，f′(x)=1+4x2−5x=x2−5x+4x2(x>0)．由f′(x)=0，得x=1或x=4．x(0,1)1(1,4)4(4,+∞)f′(x)+0−0+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数∴f(x)的极小值为f(4)=4−1−5ln4+1=4−10ln2，f(x)的极大值为f(1)=1−4−0+1=−2．(2)由题意，当a≤4时，f(x)在[1,4]上的最大值M≥2．f′(x)=x2−ax+4x2(1≤x≤4)．(i)当−4≤a≤4时，f′(x)=(x−a2)2+4−a 24x2≥0，故f(x)在[1,4]上单调递增，M=f(4)，(ii)当a<−4时，设x2−ax+4=0(△=a2−16>0)的两根为x1，x2，则x1+x2=a<0，x1x2=4，故x1，x2<0．∴在[1,4]上f′(x)=x2−ax+4x2>0．故f(x)在[1,4]上单调递增，M=f(4)．综上所述，当a≤4时，f(x)在[1,4]上的最大值M=f(4)=4−1−aln4+1≥2．解得：a≤1ln2．∴a的取值范围是(−∞,1ln2].解析：(1)求出原函数的导函数，由题意得到f′(1)=0，求得a值，代入f(x)后利用导数求得极值点，进一步求得极值；(2)把不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解转化为f(x)在[1,4]上的最大值M≥2，把原函数求导后对a 分类求得函数的最大值，再由最大值M≥2求得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，把不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解转化为f(x)在[1,4]上的最大值M≥2是解答该题的关键，是压轴题．。
2020年江苏省扬州市邗江区高二(下)期中数学试卷(文科)
期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x=______．2.命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是______．3.已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为，若，则|z|=______．4.三段论：由①正方形的对角线相等．②平行四边形的对角线相等．③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是______．（填序号）5.命题“若实数a满足a≤3，则a2＜9”的否命题是______．命题（填“真”、“假”之一）．6.根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为______．7.函数f（x）=的定义域是______．8.已知函数f（x）=ax3+bx+1，f（2）=3，则f（-2）=______．9.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为______．10.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-x+1，则x＜0时，f（x）=______．11.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第n件首饰所用珠宝总数为颗______．（结果用n表示）12.已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[-1，1]恒成立，则实数a的取值范围是______ ．13.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=8，则f（2019）=______．14.已知函数设g（x）=kx+1，且函数y=f（x）-g（x）的图象经过三个象限，则实数k的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知p：x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足2＜x≤9．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16.已知z是复数，z+2i与均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应点在第一象限．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）求实数a的取值范围．17.已知x∈R且f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），得f（x）的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．（1）已知a为正的常数，x∈R且f（x+a）=-f（x），求f（x）的一个周期；（2）已知a为正的常数，x∈R且，求f（x）的一个周期．18.已知函数，其中a＞0．（1）若a=1，证明函数y=f（x）在（0，+∞）为增函数；（2）若f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．若函数f（x）只有一个不动点，求实数a的值；（3）若存在x∈[，3]使f（x）＞x成立，求实数a的取值范围．19.（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，试用分析法证明：；（2）等差数列{b n}，，用反证法证明：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20.已知函数f（x）=|x|（x-a）（a∈R）．（1）若函数f（x）为R上的奇函数，求实数a的值；（2）当a＞0时，函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（x）在闭区间[-2，1]上的最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】1【解析】解：∵集合M={2，0，x}，N={0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，∴x=1．故答案为：1．根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．本题主要考查集合的包含关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系．一般集合中问题，如果含有参数，求解之后要注意对集合进行验证．属于基础题．2.【答案】∃x∈R，x2＜0【解析】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜0根据一个命题的否定定义解决．本题考查一个命题的否定的定义．3.【答案】【解析】解：∵，∴z=1+i，则|z|==，故答案为：根据共轭复数的定义，先求出z，结合复数的模长公式进行计算即可．本题主要考查复数模长的计算，结合共轭复数的性质求出复数z是解决本题的关键，比较基础．4.【答案】①【解析】解：由演绎推理三段论可得大前提：“平行四边形的对角线相等”；小前提：“正方形是平行四边形”；结论：“正方形的对角线相等”，故答案为：①．三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．本题考查了三段论，考查逻辑思维能力和推理能力，属于基础题．5.【答案】真【解析】解：命题“若实数a满足a≤3，则a2＜9”的否命题是“若实数a满足a＞3，则a2≥9”，它是真命题，因为a＞3时，a2＞9，∴a2≥9成立．故答案为：真．写出该命题的否命题并判断真假．本题考查了四种命题之间的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．6.【答案】6【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3值．可得S=1+2+3=6，故输出的S值为6．故答案为：6．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3时S的值，即可计算得解．本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7.【答案】（-4，1）【解析】解：函数f（x）=中，由-x2-3x+4＞0，整理得x2+3x-4＜0，解得-4＜x＜1；所以函数f（x）的定义域是（-4，1）．故答案为：（-4，1）．根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．8.【答案】-1【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1，f（2）=3，∴f（x）-1=ax3+bx是奇函数，若f（2）=3，则f（-2）-1=-[f（2）-1]=-（3-1）=-2，即f（-2）=-2+1=-1，故答案为：-1根据条件，构造函数，结合函数的奇偶性，进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合条件构造函数，判断函数的奇偶性，利用函数的奇偶性是解决本题的关键．比较基础．9.【答案】【解析】解：模拟程序的运行，可得x=1，y=1z=2满足条件z＜30，执行循环体，x=1，y=2，z=3满足条件z＜30，执行循环体，x=2，y=3，z=5满足条件z＜30，执行循环体，x=3，y=5，z=8满足条件z＜30，执行循环体，x=5，y=8，z=13满足条件z＜30，执行循环体，x=8，y=13，z=21满足条件z＜30，执行循环体，x=13，y=21，z=34此时，不满足条件z＜30，输出的值为．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算x，y，z的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】-x2-x-1【解析】解：若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=x2+x+1，∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=x2+x+1=-f（x），即f（x）=-x2-x-1，x＜0，故答案为：-x2-x-1根据函数奇偶性的定义进行转化求解即可．本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的定义进行转化是解决本题的关键．比较基础．11.【答案】2n2-n【解析】解：依题意，知a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，…；∴a2-a1=5，a3-a2=9，a4-a3=13，a5-a4=17，a6-a5=21，…，a n-a n-1=4n-3；∴（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+（a5-a4）+（a6-a5）+…+（a n-a n-1）=a n-a1=5+9+13+17+21+…+（4n-3）==2n2-n-1；∴a n=2n2-n，故答案为：2n2-n．设第n件首饰所用珠宝总数为颗为a n，根据前5项的递推关系，推测a n-a n-1=4n-3，进而根据累加法求出a n即可．本题考查了数列的递推关系以及求和公式的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】[-1，1]【解析】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（-2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[-1，1]恒成立，∴-2≤x+a≤2，即-2-x≤a≤2-x在x∈[-1，1]上恒成立，∴-1≤a≤1，故答案为：[-1，1]．先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（-2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[-1，1]恒成立，导出-2-x≤a≤2-x在x∈[-1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．13.【答案】8【解析】解：令x=-2，则f（2）=f（-2）+f（2），故f（-2）=0，∵函数f（x）为偶函数，∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，∴f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=f（3-4）=f（-1）=f（1）=8．故答案为：8．先求得f（-2）=f（2）=0，进而得到函数的周期为4，由此即可得解．本题考查函数性质的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】（-12+2，-3]∪{}【解析】解：作出函数的图象如图，g（x）=kx+1，要使函数y=f（x）-g（x）的图象经过三个象限，则y=g（x）与y=f（x）的图象在（-∞，0）与（0，+∞）上有三个交点．联立，得x2-（k+12）x+2=0．由△=（k+12）2-8=0，解得k=-12+2，或k=-12-（舍）．又直线g（x）=kx+1过点（0，1），∴k的取值范围为（-12+2，-3]∪{}．故答案为：（-12+2，-3]∪{}．由题意画出函数y=f（x）的图象，把函数y=f（x）-g（x）的图象经过三个象限转化为y=g（x）与y=f（x）的图象在（-∞，0）与（0，+∞）上有三个交点，利用判别式法求出直线y=kx+1与二次函数y=x2-12x+3相切时的k值，数形结合可得实数k的取值范围．本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．15.【答案】解：（1）当a=1时，p：1＜x＜4，q：实数x满足2＜x≤9，又因为p∧q为真，所以2＜x＜4；所以实数x的取值范围（2，4）；（2）p：x2-5ax+4a2＜0，解得a＜x＜4a，q：实数x满足2＜x≤9，若p是q的充分不必要条件，则（a，4a）⫋（2，9]，，解得，所以实数a的取值范围为[2，]．【解析】（1）当a=1时，解出x的值，由p∧q为真即可解得x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件，可得（a，4a）⫋（2，9]，从而解得a的取值范围．本题主要考查复合命题的真假，充分条件必要条件和不等式的解法，属于基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）设z=x+yi（x，y∈R），又z+2i=x+（y+2）i，且为实数，∴y+2=0，解得y=-2．∴===，∵为实数，∴=0，解得x=4．∴z=4-2i（Ⅱ）∵复数（z+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+8（a-2）i=（12+4a-a2）+（8a-16）i，∴，解得2＜a＜6．即实数a的取值范围是（2，6）．【解析】（I）利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．（II）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件、复数的几何意义、不等式组的解法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵f（x+a）=-f（x），∴f（x）=-f（x+a），∴f（x+a）=-f（x+2a），∴f（x）=f（x+2a），即函数f（x）的一个周期为2a；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴，即函数f（x）的一个周期为4a．【解析】（1）反复运用已知条件可求得f（x）=f（x+2a），即可求得周期；（2）先求得f（x），再反复运用，即可求得周期．本题考查函数周期性的求解，事实上是两个结论，解题时要紧抓函数周期性的定义，属于基础题．18.【答案】解：（1）f（x）==-，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2f（x1）-f（x2）=--（-）=∵x1＞x2＞0∴x1-x2＞0，x1x2＞0∴f（x1）-f（x2）＞0，函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（2）解：令⇒ax2-x+a=0，令△=1-4a2=0解得a=（负值舍去）将a=代入ax2-x+a=0得x2-x+=0解得x0=1（3）存在x∈[，3]使f（x）＞x成立即存在x∈[，3]使f（x）=＞x，即存在x∈[，3]使得ax2-x+a＜0即a＜∴a＜【解析】（1）先对函数的表达式进行化简，然后根据函数单调性的定义进行判断；（2）令转化为二次函数，根据该函数有且仅有一个不动点，令判别式等于0即可求出a的值；（3）要存在x∈[，3]使f（x）＞x成立，只需f（x）-x的最大值大于0即可，然后利用参变量分离，从而求出实数a的取值范围．本题主要考查函数单调性的定义和基本不等式的应用．考查计算能力和综合运用能力，属于中档题．19.【答案】证明：（1）∵a＞b＞c且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，要证，只需证，只需证b2-ac＜3a2，又b=-（a+c），只需证（a+c）2-ac＜3a2，即证（a-c）（2a+c）＞0，∵a-c＞0，2a+c=a+c+a=a-b＞0，∴（a-c）（2a+c）＞0成立，故原不等式成立；（2）假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r（p，q，r互不相等）成等比数列，则，即，∴，∵p，q，r∈N*，∴，∴，∴（p-r）2=0，∴p=r，这与p≠r矛盾，∴数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）利用分析法由可知，只需证明（a-c）（2a+c）＞0即可；（2）假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r（p，q，r互不相等）成等比数列，得到p=r 与p≠r矛盾，从而证明结论．本题考查了利用分析法和反证法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），即|-x|（-x-a）=-|x|（x-a），变形可得：a=0；（2）根据题意，若x∈[2，+∞）；则f（x）=x（x-a），为二次函数，其对称轴为x=≤2，故a≤4；（3）根据题意，当x≥0，f（x）=x（x-a），x＜0，f（x）=-x（x-a），当x=-2时，f（-2）=-2（a+2）≤1，得a，当x=1时，f（1）=1-a≤1，即a≥0，故a≥0，当a≥0时，若x＞0，f（x）=x（x-a）f（x）max=f（1）=1-a=1，得a=0，若x≤0，f（x）=-x（x-a），f（x）max=f（0）=0，故a=0时，f（x）在闭区间[-2，1]上的最大值为1．【解析】（1）利用奇函数的性质，判断即可；（2）根据对称轴求出即可；（3）在闭区间[-2，1]上的最大值为1，分段讨论，求出每个段上的最大值，让最大值为1，求出a．题考查函数的最值，涉及函数奇偶性与单调性的应用，中档题．。
江苏省扬州市邗江中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A. 1 B. 2C. πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-.故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2.复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A. ﹣1 B. 1C. iD. ﹣i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+， 则复数z 的虚部为1． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．3.已知随机变量X 服从正态分布14N （，），若(2)=0.2P X ≥，则(01)P X ≤≤为（ ） A. 0.2 B. 0.3C. 0.4D. 0.6【答案】B 【解析】 【分析】X 服从正态分布(14)N ，，对称轴1μ＝，利用正态曲线的对称性可解 【详解】解：∵随机变量X 服从正态分布(14)N ， ∴12μσ＝，＝， 又(2)=0.2P X ≥，∴(01)=(12)=0.50.2=0.3P X P X ≤≤≤≤-； 故选：B ．【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()00()1P X x P X x <-≥=；(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．4.若7781n n n C C C +-=，则n 等于（ ）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C 【解析】试题分析：由7781n n n C C C +-=和组合数公式得()()()()1!!!7!6!7!7!8!8!n n n n n n +-=---,化简得()()1116778n n n n +-=-⋅--,解之得14n =.考点：组合数计算.5.已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ） A. π- B. 2π-C.2π D. π【答案】A 【解析】 【分析】根据导数运算,求得()'f x ,代入即可求解. 【详解】因为()sin 2f x x x =⋅所以由导数运算公式可得()'sin 22cos2f x x x x =+ 所以sin 22'2cos 2222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⨯⨯⨯⎭+0cos πππ=+=-故选:A【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.6.二项式1022)x展开式中的常数项是( ) A. 180 B. 90C. 45D. 360【答案】A 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【详解】解：二项式1022)x展开式的通项公式为5521102r r r r T C x -+=⋅⋅，令5502r -=，求得 2r =，可得展开式中常数项是22102180C ⋅=， 故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A. 38B.1340C.1345D.34【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯ 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.8.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A. 48种B. 72种C. 96种D. 144种【答案】B 【解析】 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．9.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）AB.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【详解】∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数()f x '， 且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，∴当x >﹣1时，()f x '<0；当x ＝﹣1时，()f x '＝0；当x <﹣1时，()f x '>0．∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0； 当x ＝﹣1时，()xf x '＝0； 当x <﹣1时，()xf x '＜0． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10.已知()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++，则8a =（ ） A. 45- B. 27 C. 27- D. 45【答案】A 【解析】 【分析】分两类求解，当()1x -，取 1时， ()91-x 取8个x ，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，分别求值，再相加.【详解】当()1x -取 1时， ()91-x 取8个x ，则1891a C =-⨯，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，则()278911a C =-⨯⨯-，所以()27189911145a C C =-⨯⨯--⨯=- .故选：A【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了分类讨论的方法，属于基础题. 11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C ，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ，故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.12.已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=，则正整数n 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a 的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出min max (1)()()n f x f x -,即可求得n 的最大值.【详解】11()ax f x a x x '-=-=, ①当0a ≤或10a e<≤时,()0f x '<在[]1,x e ∈恒成立,从而()f x 在[]1,e 单调递减,所以min ()()13f x f e ae ==-=,解得41,a e e ⎛⎤=∉-∞ ⎥⎝⎦,不合题意; ②当11a e <<时,易得()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, 所以min 11()1ln 3f x f a a ⎛⎫==-=⎪⎝⎭,解得21,1a e e ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,不合题意; ③当1a >时,()f x 在[]1,e 单调递增, 所以min ()(1)31f x f a ===>,满足题意; 综上知3a =.所以()3ln f x x x =-,[]1,x e ∈,所以min ()(1)3f x f ==,max ()()31f x f e e ==-依题意有min max (1)()()n f x f x -≤,即(1)331n e -≤-,得23n e ≤+, 又*n N ∈,所以3n ≤. 从而n 的最大值为3. 故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ． 【答案】 【解析】试题分析：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10） ∴Eξ=故答案为点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．14.若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．【答案】1023 【解析】 【分析】赋值法 令0x =得：01a =；令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++(),再两式相减可得. 【详解】解：∵102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，令0x ＝得：01a = ；①令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++()； ②由①②可得：12310102411023a a a a +++⋯+-==； 故答案为：1023．【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()n ax b +，2()max bx c ++ (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如()()nax by a b R +∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．(3)若()2012nn f x a a x a x a x +++⋯+=，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ．15.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是_________【答案】827【解析】 【分析】先分别求出顺时针、逆时针方向跳的概率，分析跳四次之后停在A 叶上，有两种情况：有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，再分别计算对应的概率即可. 【详解】解：设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ， 则2=3=1p p p +，解得p 13=，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23， 若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，①若先按逆时针开始从A →B ，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为123221124()3338127C ⨯⨯⨯==， ②若先按顺时针开始从A →C ，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为123112124()3338127C ⨯⨯⨯==， 则概率为448272727+=， 故答案为:827【点睛】求复杂互斥事件概率的步骤：第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．16.若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为________. 【答案】213e 【解析】【分析】分别求出函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的导函数，设公共点为()00,g x y ，则00()()f x g x ''=解得03x a =，又()()00f x g x =，则2236ln 3(0)b a a a a =-->，令22()36ln 3(0)h a b a a a a ==-->，求出函数的导数，研究函数的最值.【详解】解：设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,g x y ，因为26(),a f x x'=()24g x x a '=-，所以200624a x a x -=，化简得2200230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =. 因为()()00f x g x =. 所以2200046ln ,x ax b a x --=2236ln 3(0)b a a a a =-->.设()h a b =，所以()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13a e=， 所以当103a e <<时，()0'>h a ；当13a e>时，()0h a '<. 即()h a 在10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以b 的最大值为21133h e e⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：213e 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数．（1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6 【解析】【详解】（1）设(,)z x yi x y R =+∈ 所以，2(2)z i x y i +=++；(2)(2)225z x yi x y x y ii i +-++==-- 由条件得，20y +=且20x y +=， 所以4,2x y ==-(2)222()(42)(124)8(2)z ai i ai a a a i +=-+=+-+-由条件得：21240{8(2)0a a a +->->，解得26a <<所以，所求实数a 的取值范围是(2,6)-18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻.【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种 【解析】 【分析】（1）按照排列的定义求解..（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解..（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.【详解】（1）从7人中选5人排列，有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=（种）. （2）分两步完成，先选4人站前排，有47A 种方法，余下3人站后排，有33A 种方法，共有4373A A 5040=（种）.（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有44A 种方法，再将女生全排列，有44A 种方法，共有4444A A 576=（种）.（5）（插空法）先排女生，有44A 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有35A 种方法，共有4345A A 1440=（种）.【点睛】本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.19.已知n的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）358x ；（2）747x 和527x . 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n 的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.【详解】（1）由题意，n+的展开式是1rn rrr nT C -+=， 化简得23244122n r r n r r rr rr nnTC xxC x-----+=⋅=⋅⋅则02211n n nT C x x =⋅=⋅，23231144222n n nn T C x x ---=⋅⋅=⋅，()3322223128n n n n n T C x x ----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n-⋅=+，解得8n =或1n =（舍去）则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 二项式系数是8rC ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C xx --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<， 则计算0441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x-=⋅⋅=⋅， 5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅， 7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅ 则当2r或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.20.有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AB 、CD 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大. 【答案】（1）75003；（2）4πθ=时，总造价最大.【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积公式可得()()sin cos sin ,0,2f πθθθθθ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得三角函数的性质和导数求得()f θ的最大值.（2）求得花圃的总造价，然后利用导数求得4πθ=时，总造价最大.【详解】（1）设半径r ，则100r =米，作CE AB ⊥，垂足为E ，因为BOC θ∠=，所以sin sin ,cos CE OC R OE r θθθ=⋅==， 所以22cos CD OD r θ==， 所以()()()2122cos sin sin cos sin 2f r r r r θθθθθθ=⨯+⨯=+ ()410sin cos sin ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.()()()()'42410cos 2cos 110cos 12cos 1f θθθθθ=+-=+-，所以当π0θ3时，()'0f θ>，()f θ递增；当32ππθ<<时，()'0f θ<，()f θ递减.所以当3πθ=时()fθ最大，最大值为43310750033f π⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）设花圃总造价为()()()()()51050022cos 10sin 11cos W f r r θθθθθ=++=++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()()'52210cos cos sin sin W θθθθθ=+--()()510cos sin cos sin 1θθθθ=-++.令()'0Wθ=，则cos sin 0θθ-=，由于0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4πθ=. 当04πθ<<时，()'0Wθ>，函数()W θ单调递增，当42ππθ<<时，()'0Wθ<，函数()W θ单调递减，所以当4πθ=时，函数()W θ有最大值，即总造价最大.【点睛】本小题主要考查函数导数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，属于中档题. 21.已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望()E X ；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？ 【答案】（1）625；（2）219100；（3）详见解答. 【解析】 【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，求出()P B ，每个人获奖的概率相等，获奖人数X服从二项分布(3,())XP B ，求出X 可能值0,1,2,3的概率，由此求出X 的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论. 【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则21111232323222556()25C C C C C C P A C C +==， 所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率625； （2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，则获得一等奖的概率为2232122553100C C P C C ==， 获得三等奖的概率为2211112233322322222552350C C C C C C C C P C C ++==， 所以362373()1002550100P B =++=， 每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等， 获奖人数X 服从二项分布73(3,)100X， 3373270,1,2,3,()()(),0,1,2,3100100i i iX P X i C i -====，X 分布列为：73219()3100100E X =⨯=； （3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，36(300),(200)10025P P ηη====，23(100)50P η==， 1122112223232323225527(0)100C C C C C C C C P C C η++===， η的分布列为：3244627()3002001000103100100100100E η=⨯+⨯+⨯+⨯=， 如果购买1200选择打九折，优惠金额为120103>，∴选择打九折更有利.【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.22.已知函数()xf x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设*n N ∈，证明：123()()()()1nnnn n e nn nn e ++++<-. 【答案】（1）见解析；（2）(,1)e -∞-（3）见证明 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论0a ≤和0a >两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将()f x x a >-化为1xe a x<-，再由导数的方法求1x e x -在(]0,2的最小值即可；（3）先由（1）令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥，即1x x e +≤，再令()11,2,3,,kx k n n+==，即可证明结论成立.【详解】解：（1）因为()x f x e ax a =--，所以()xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； ②当0a >时，()0ln xf x e a x a >⇒>⇒>'，()0ln x f x e a x a <⇒<⇒<'所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）因为对任意的(]0,2x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，即不等式()1xa x e +<恒成立.即当(]0,2x ∈时，1x e a x<-恒成立.令()(]()10,2x e g x x x =-∈，则()()21xx e g x x -'=.显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，(]1,2x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增. ∴1x =时()g x 取最小值1e -. 所以实数a 的取值范围是(),1e -∞-（3）在（1）中，令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥， 即1x x e +≤（等号当且仅当0x =时成立）令()11,2,3,,kx k n n+==，则1k n k e n -<，即nk k n n k e e n e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭故123nnnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1231n n e e e e e <++++ ()()()111n ne e ee e e -=<-- 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.。
江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题【含答案】
江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：（ ）A ．B ．C ．30D ．402．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3x x= D ．1(ln )x '=x 3．的展开式中的系数为（ ）A ．20B ．C ．5D ．14．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ）A ．950 B ．12C ．910D ．145．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ） A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ） A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A ．-3是()f x 的一个极小值点； B ．-2和-1都是()f x 的极大值点； C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞； D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．1811．已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin xf x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数当时，,则= __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为，，则 __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++，①求012n a a a a ++++；②若在012,,,,n a a a a 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值；（2）设2012()(1)(1)(1)nn f x b b x b x b x =+++++++，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0.（1）求实数a 的值； （2）若直线与函数图象交于两点,,,且12x x <，两点的中点的横坐标为证明：.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >. （1）若，证明：；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln xf x x =，则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e-=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14． 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+.设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点.所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法. 18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表)又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率.答：甲答对1题乙答对2题的概率为（2）m 的所有取值有1，2，3，，，，1 2 3故或.由题意可知，，，，1 2 3故或.答：甲、乙两位同学答对题目数的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)n nnf x x a a x a x a x=+++++=，①令1x=，则0123nna a a a+++=+；②因为二项式(2)nx+展开式的通项为：12r n r rr nT C x-+=，又在012,,,,na a a a中，唯一的最大的数是4a，所以445544332222n nn nn nn nC CC C----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n nn nA AA AA AA A⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411nn<⎧⎨>⎩，即1114n<<，又*n N∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nn nnf x x x b b x b x b x=+++=++++++=+，根据二项展开式的通项公式，可得，rr nb C=，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!1 11nrr rnn nC Cr r r n r n r n r nbr+++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++，则()11231111112(1)12112111n nnn n nnrrn nbrC C Cn n n+++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x xx x-+'=-+=（0x>）.因为0a <，所以180a ->，令得11184a x --=，21184ax +-=， 且10x <，20x >，在118,4a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上；在1180,4a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭上；所以函数()f x 在1184a x +-=时，取最小值0，又()10f =，所以11814a +-=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--， 设（），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤），则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即22．【解析】（1）,增；减；.（2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=.令()00f x '=可得04a x +=（负值舍去）. 在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，014a x +=>，所以()f x 在(0,1)上递增. 又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =.结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点.综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =；当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。