初一数学竞赛辅导第4讲-绝对值
阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用
当1＜ x ＜3时，原式＝( x －1)＋(3－ x )＝2；
当 x ≤1时，原式＝(1－ x )＋(3－ x )＝4－2 x .
【点拨】
要去掉两个绝对值的符号，就要同时确定两个绝对值
里的式子的正负号，可以使用零点分段法，用分类讨论的
a ， b 为正， c 为负.
｜｜
＋1＋(－1)＋(－1)＝0；
1
2
3
4
5
＋
｜｜
6
7
8
＋
9
｜｜
10
＋
｜｜
＝1
阶段拔尖专训
(3)当 a ， b ， c 中，有一个正数，两个负数时，不妨设 a
为正， b ， c 为负.
｜｜
＋
｜｜
＋
｜｜
＋
｜｜
＝1
＋(－1)＋(－1)＋1＝0；
－3
2 之间的距离；｜ x ＋3｜表示 x 与
之间的距离；
1
2
3
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5
6
7
8
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10
阶段拔尖专训
(3)当｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5时， x 可取整数 2(答案不
不唯一) .(写出一个符合条件的整数 x 即可)
【点拨】
因为｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5表示数轴上有理数 x 所
对应的点到2和－3所对应的点的距离之和为5，所以 x 在－
思想方法来解.
1
2
3
4
5
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10
七年级数学竞赛题：绝对值
七年级数学竞赛题：绝对值绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1．去绝对值符号法则2．绝对值的几何意义从数轴上看，a 即表示数a 的点到原点的距离，即a 代表的是一个长度，故a 表示一个非负数．3．绝对值常用的性质例1 已知a =5，b =3，且b a -=b －a ，那么a ＋b= .(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路 由已知求出a 、b 的值，但要注意条件b a -=b －a 的制约，这是解本例的关键．例2 如果0＜p ＜15,那么代数式p x -＋15-x ＋15--p x 在p≤x ≤15的最小值是( )．(湖北省黄冈市竞赛题)(A)30 (B)0 (C)15 (D)一个与P 有关的代数式解题思路设法脱去绝对值符号是解绝对值有关问题的基本思路，就本例而言，应结合已知条件判断每一个绝对值符号内代数式值的正负性．例3 已知11-x ＋22-x ＋33-x ＋…＋20022002-x ＋20032003-x =0, 求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值.解题思路 运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x 1、x 2、x 3…x 2002、x 2003的值，注意21+n －2n 的化简规律．例4 设a 、b 、c 是非零有理数，求a a +b b +c a +ab ab +ac ac +bc bc ＋abcabc 的值． (“希望杯”邀请赛试题)解题思路 根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键． 例5若a 、b 、c 为整数，且19ba -＋99ac -=1，试求a c -+b a -＋c b -的值．(北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 1写成两个整数的和的形式有几种可能?l 写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解本例的突破口．1．若m 、n 为有理数，那么，下列判断中： (1)若∣m ∣=n ，则一定有m=n ；(2)若∣m ∣>n ，则一定有∣m ∣>∣n ∣； (3)若∣m ∣<∣n ∣，则一定有m<n ；(4)若∣m ∣=n ，则一定有m 2=(-n)2。
初一数学绝对值知识点、考点及例题梳理
初一数学绝对值知识点、考点及例题梳理绝对值是初一上册数学的重难点之一，很多同学绝对值的学习中都存在着一些问题，所有问题的根源大都是对绝对值的概念理解不透彻，没有建立起完整的知识体系，在此梳理下在绝对值学习中需要注意的一些要点。
在绝对值的学习中，首先需要去理解和掌握的就是绝对值的概念，什么是绝对值呢？在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离。
在概念的理解中需要注意，绝对值这个概念是从数轴引出的，它表示的是距离，绝对值本质上是数轴上两点之间的距离，哪两点之间的距离呢？表示某个数的点和原点。
那么由绝对值的定义，我们可以得到有关绝对值的那些性质呢？因为绝对值表示的是距离，从日常经验可知，距离最小为0，不可能为负数，所以就得出了绝对值最重要的一条性质：绝对值具有非负性。
从绝对值的定义出发，结合绝对值的非负性，可以得到绝对值的代数意义，也看成是绝对值性质的推广：正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值等于它的相反数。
以上三条需要牢记。
这是求绝对值和简化绝对值的方法基础。
除过绝对值的定义和性质之外，在绝对值的学习中还需要注意以下细节和要点：任何数都有绝对值，只有一个，而且是非负的。
但是有两个数的绝对值等于正数，而且是相反的。
很多同学容易漏掉其中的一个，比较容易出错。
在有关绝对值的运算，在解含有绝对值的方程中，经常需要运用到分类讨论思路。
绝对值的概念来源于数轴，代表数轴上两点之间的距离。
绝对值与数轴有着密切的关系，在绝对值相关题目的分析和求解中，一定要注意数形结合思想的应用。
特别是在绝对值的几何意义的理解和应用上，需要结合数轴来分析和解决。
绝对值等于它本身的数是正数和0，绝对值等于它的相反数的数是负数和0.1.解决问题的关键是理解绝对值的定义和性质，把握其非负性。
2、求一个数的绝对值，先判定这个数是正数、负数还是0，再根据绝对值的性质确定最终的结果。
3、利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
七年级数学竞赛《绝对值》教学课件
c b0 a x 图1－1
例 3 、已知x<-3，化简： |3+|2-|1+x|||．
• 解： 因为 abc≠0，所以 a≠0，b≠0，c≠0．
• (1)当 a，b，c 均大于零时，原式=3；
• (2)当 a，b，c 均小于零时，原式=-3；
• (3)当 a，b，c 中有两个大于零，一个小于零时，
• 原式=1；
• (4)当 a，b，c 中有两个小于零，一个大于零时，
• 原式=-1a． b c • 所以 | a | | b | | c | 的所有可能值是±3, ±1 • 说明本例的解法是采取把 a，b，c 中大于零与小于零的
• 例如，化简|3x+1|，只要考虑 3x+1 的正负，即
可去掉绝对值符号．这里我们是分 x 1 与x 1
•
两种情况加以讨论的，此时 x
类似地，对于|2x-1|而言，x
1 2
13是一个分3 界点3， 是一个分界点，为
同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点
• 所 化示13简和)了即12 。标x 在13,数13轴x上12，, x 把，12 数这轴样分我为们三就部可份以(分如类图1讨－论2
• 2x-5x+3x=0 一种情况．因此必须有
• |4-5x|=4-5x 且|1-3x|=3x-1．
• 故 x 应满足的条件是 4 5x 0
1
• 解之得：3
绝对值与最值-七年级数学竞赛
|b|＜|a|，则|x﹣ |+|x﹣ |+|x+ |的最小
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
13.已知|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|＝4，则实数 x
的取值范围是
．
6.在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的 x 值代 入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 （） A．1 B．2 C．3 D．4
切记，你的目标决定你的努力程度！---木木
2
木木竞赛数学.
五大板块―――1.重点，2.难点，3.考试易错点，4.提高能力点， 5.思想方法拓展点.
绝对值与最值问题
15.（1）对于式子|x|+13，当 x 等于什么值时，有最小 值？最小值是多少？
1.已知 a，b 是异号的两个有理数，且|a+b|＝|a|﹣b 用
17.小聪和小敏在研究绝对值的问题时，遇到了这样一道 18.先阅读下面的材料，然后解答问题：
题：
在一条直线上有依次排列的 n（n＞1）台机床工作，
当式子|x﹣1|+|x+5|取最小值时，x 应满足的条件
我们要设置一个零件供应站 P，使这 n 台机床到供应
是
，此时的最小值是
．
站 P 的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比
A1 和 A2 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离 之和等于 A1 到 A2 的距离．
小敏说：我明白了，若点 C 在数轴上对应的数为 x，
线段 AC 的长就可表示为|x﹣（﹣5）|，那么|x﹣1|
七年级数学绝对值PPT课件
授课：XXX
5
解：
6 6, 8 8, 3.9 3.9, 5 5 22
2 2 , 100100, 0 0 11 11
议一议：
正数、0、负数的绝对值与这个数本身有什么关
系？
2021/3/9
授课：XXX
6
2.绝对值代数定义： （1）正数的绝对值是它本身
(2)负数的绝对值是它的相反数 (3) 0的绝对值是0
2021/3/9
授课：XXX
9
想一想： (1)绝对值是3的数有几个？
各是什么？
(2)绝对值是0的数有几个？它是什么？
(3)是否存在绝对值是－2的数？若存在， 请说出来？
2021/3/9
授课：XXX
10
做一做：
计算： （1）|-3|- |-1.5|+ |0| +|+2.1|
解： 原式=3-1.5+0+2.1 =1.5+2.1 =3.7
1. 两只小狗走的路线相同吗？ 2. 走过的路程远近相同吗？ 3. 有只大象从O点出发向东走4米，则大象走
的距离是多远？
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
2021/3/9
授课：XXX
3
大象在数轴上+4点，距离原点4个单位长度。
向西走的小狗在数轴上-3点。距离原点3 个单位长度。
归纳：数轴上的点到原点的距离只与这个点离开原点的
|a| = a 0 -a
a＞0 a＝0
a＜0
2021/3/9
授课：XXX
7
例2. 求下列各组相反数的绝对值。
(1)9,-9;(2)0.6,-0.6;(3)
1 ; 1 88
解: （1）|9|=9
绝对值ppt课件
课本例题
例1 求下列各数的绝对值:
求一个数的绝对值的方法：
15
1
- ，+ ，-4.75，10.5.
2
10
解：
15
−
2
15
= ，
2
1
+
10
=
去掉绝对值符号时，必须按照“先
1
，
10
−4.75 = 4.75， 10.5 =10.5.
判后去”的原则，先判断这个数是
正数、0或负数，再根据绝对值的
值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.
试探索：(1)｜5－(－2)｜＝ 7
.
(2)探索猜想：对于任意有理数 x ，｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜是否有最小值？
如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
【解】对于任意有理数 x ，｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜有最小值.因为｜ x －(－6)｜
【解】点 A3向左移动2个单位长度到达 A2点，再向右移动6个单位长度到
达 A5点.
(3)若原点是零件供应点，则5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多
少？
【解】｜－4｜＋｜－3｜＋｜－1｜＋｜1｜＋｜3｜＝12.
答：5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12.
分层练习-拓展
15. [新考法 特例猜想法]同学们都知道，｜5－(－2)｜表示5与－2之差的绝对
A. x ≤2
B. x ＜2
｜ a ｜＝ a ；当 a ＜ 0时，｜ a ｜＝－ a ；当 a ＝0时，
C. x ≥2
D. x ＞2
｜ a ｜＝ a ＝－ a ，所以当 a ≤0时，｜ a ｜＝－ a .
初一年级奥数知识点：绝对值
初一年级奥数知识点：绝对值
1.绝对值的几何意义
一个数的绝对值，•就是在数轴上该数所对应的点与原点的距离.
2.绝对值的代数意义
(1)正数的绝对值是它的本身.
(2)负数的绝对值是它的相反数.
(3)0的绝对值是0.
掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值.
掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答.
理解绝对值的概念，利用绝对值比较两负数的大小.比较方法是先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来解答.掌握了绝对值的概念后，判断有理数的大小就不一定要依赖于比较数轴上的点的位置了.
注意
(1)任何一个数的绝对值均大于或等于0(即非负数).
(2)互为相反数的两数的绝对值相等;反之，当两数的绝对值相等时，•这两数可能相等，可能互为相反数.
练习题
1. -3的绝对值是( )
(A)3 (B)-3 (C)13 (D)-13
2. 绝对值等于其相反数的数一定是
A.负数
B.正数
C.负数或零
D.正数或零
3. 若│x│+x=0，则x一定是( )
A.负数
B.0
C.非正数
D.非负数
4.某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为0.1kg、0.2kg、0.3kg的字样，从中任意拿出2袋，它们的质量最多相差( )
A.0.8kg
B.0.6kg
C.0.5kg
D.0.4kg
5.正式比赛时，乒乓球的尺寸要有严格的规定，已知四个乒乓球，超过规定的尺寸为正数，不足的尺寸记为负数，为选一个乒乓球用于比赛，裁判对这四个乒乓球进行了测量，得到结果:A 球+0.2mm，B球-0.1mm，C球+0.3mm，D球-0.2mm，你认为应选哪一个乒乓球用于比赛?为什么?。
七年级数学专题-绝对值问题的几种解法
小结：
• 这节课你有什么收获？
一、直接推理法
说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号
二、巧用数轴法
说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序， 从而达到去掉绝对值的目的.
三、零点分段法
说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时 去掉两个绝对值符号
四、分类讨论法
练习：
思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的 取值范围
绝对值问题几种解法
• 绝对值是初中代数中的一个基本概念， 在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号 的问题，同学们要注意知识的创新运 用， 掌握好方法，顺利解决这些问 题．
知识回顾
• 1．去绝对值的符号法则： • 2．绝对值基本性质 • ①非负性：
• 3．绝对值的几； |a-b|表示数a 、数 b的两点 间的距离．
2021年新版人教版七年级数学上册《绝对值》赛课课件
正数 大于负数． (2) 两个负数，绝对值大的_反而小. 如： 1 _>__ 0，0 _>__-1 ，-1 _>___-2 . （用“<”或“>”填空）
利用绝三对值、比较研有理读数的课大小文
知
（1）-（-1）和-（)=__-2_.
3、两个 负数 ，绝对值大的反__而_小____ 4、学习反思：
______________________
五、强化训练
1、填空：(1)-2__<_ 2 (2)- _<___-3.14
3 (3)-
4
_>____-0.76
3
3
(4)-10 _<____- 11
1
3
(5)-3 3 __<____-3 10
2、把课本12页图中的七天中每天的最低温度
按从低到高的顺序排列出来:_-_4_, _-3, -2, -1, 0, 1, 2. _.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
3、按照上面的顺序把这些数表示在数轴上，你发现了什么？
二、学习目标
1 会利用数轴比较有理数的大小 2 理解比较有理数大小的规定
三、研读课文
2.52.25
∴ 2.52.25
（4） 3 和 3
5
4
解：∵ 3 3 , 3 3
55 44
33 54
∴
33 54
四、归纳小结
1、数学中规定：在数轴上表示有理数， 它们从 ___到左___的右顺序，就是从小 到 大 的顺序，即 _____左_边_的_数_小_于右边的数
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数学兴趣小组教案
第四讲绝对值
初一数学兴趣小组(2课时)
一、教学目标
1掌握绝对值的两种定义，并在此基础上理解绝对值的基本性质；
2领会并应用绝对值的基本性质；
3 体会渗透在绝对值中的几何（数形结合）思想。
二、教学重点
根据绝对值的两种定义，领会并应用绝对值的基本性质
三、教学难点
体会用数形结合的思想去绝对值符号
四、教学方法
启发教授
五、教学手段
六、教学过程
（一）复习引入
1回忆绝对值的代数和几何定义；、
答：代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；几何定义：一个数的绝对值是这个数在数轴上所表示的点到原点的距离。
2根据定义理解教材中关于绝对值的几个基本性质；
非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数；可以用符号语言表示：ａ＞＝０，｜ａ｜＝ａ；ａ＜＝０，｜ａ｜＝－ａ３几个问题：
（1）|a|与|-a|的关系；
（2）如果|a|=|b|,则a与b的关系；
（3）|a|*|a|与|a*a|,a*a的关系；
（4）|ab|与|a||b|的关系；
（5）|a/b|与|a|/|b|（b不等于0）的关系。
小结：通过几个问题，根据定义，引出绝对值的几个有用的性质。
（二）教授新知识
1基础知识
绝对值的基本性质
（1）|a|＝|-a|；
（2）如果|a|=|b|,则a＝b或a＝－b；
（3）|a|*|a|＝|a*a|＝a*a；
（4）|ab｜＝|ａ｜|b|；
（5）|a/b|＝|a|/|b|（b不等于0）。
注意：在绝对值中涉及一个重要的数学思想方法：分类讨论的思想。
2例题
例题1若|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。
小结：|x-x0|它的几何意义是：表示x到x0的距离。
我们知道一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，例如：|a|表示a到原点0的距离，|a|=|a-0|.两个点之间的距离求法：用较大的数减去较小的数。
例题2已知：m>4,化简|m-4|+|7-2m|
小结：要化简含有绝对值符号的式子，首先判断绝对值符号里边的数的正负，然后利用绝对值的定义去绝对值符号，在这里，题目中已经给出m的取值范围，只需根据条件求出m-4,7-2m的取值范围即可。
例题3若x<-3,化简|3+|2-|1+x|||
小结：化简具有多重绝对值符号的式子，只要逐层从里到外去绝对值即可。
例题４化简｜ｘ＋１｜＋｜ｘ－２｜－｜ｘ＋３｜
小结：化简没有给出ｘ的取值范围的式子方法是：零点分段法。
首先令x+1=0 ,x-2=0,x+3=0将上述方程中的解在同一数轴中表示出来，这些数对应的数轴上的点将数轴分成四部分，然后根据四部分对应的四个取值范围分四种情况即可。
练习：
3 课堂小结
七、板书设计
课后反思。