第五章线性参数的最小二乘处理

第五章线性参数的最小二乘处理习题5-1研究铂-铱米尺基准器的膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示：x+ty+t2z=L式中x表示在0℃时米尺基标准器的修正值（微米）；y和z为温度系数；t为温度（℃）；L 为t℃基准器的长度的修正值（微米）。

经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表：求未知参量x，y，z的最可依赖值。

5-2对未知量x，y，z，组合测量的结果如下：x=0y=0z=0x-y=0.92,-y+x=1.35-x+z=1.00试求x，y，z的最可依赖值及其标准误差。

5-3由等精度测定方程为：x+37y+1369z=36.3x+32y+1024z=41.4x+27y+729z=47.5x+2y+484z=54.7x+17y+289z=63.2x+12y+144z=72.9x+7y+49z=83.7试用矩阵最小二乘法求x ，y ，z 的最可依赖值及其精度。

5-4交流电路的电抗x =ωL Cω1-， 在角频率ω1=3时，测得x 为x 1=0.8ω2=2时，测得x 为x 2=0.2 ω3=1时，测得x 为x 3=-0.3试求：(i) L ，C 及其方差；(ii) ω=3时（ωσ=0.1）电抗值及其方差。

5-5试求下列方程给出的x ，y 的最大或然值及其标准误差。

2x +y =5.1x -y =1.14x -y =7.4x +4y =5.95-6测得一直线上四段长度AB 、BC 、CD 、DE 分别为24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD 准确长90厘米和BE 准确长100厘米。

试求AB ，BC ，CD ，DE 的最大或然值。

5-7由方程组3x +y =2.9x -2y =0.92x -3y =1.9试求x ，y 的最大或然值及其标准误差。

5-8由下面的不等精度的测定方程组，求x 1，x 2的最可信赖值及其标准误差。

x 1=0 权： P 1=8 x 2=0P 2=10 x 1+2x 2=0.25 P 3=1 x 1-3x 2=0.92P 4=55-9由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求x ，y 的最大或然值及其标准误差。

x -3y =-5.6权： P 1=1 4x +y =8.1 P 2=2 2x -y =0.5P 3=35-10由下面的测定方程组，试求x ，y 的最可依赖值及其标准误差。

2x +y =5.1权：P 1=1 x -y =1.1P 2=3 4x -y =7.2P 3=25-11试求满足下列方程的x ，y ，z 及其标准误差（假设它们是等权的）。

x +y +z =4.012x-y+z=1.04x+3y-2z=5.023x+y=4.975-12由座标点(1，0) (3，1) 和 (-1，2)到某点的距离分别为3.1，2.2和3.2。

试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。

5-13对某一角度值，分两个测回进行测定，其权等于测定次数，测定值如下。

试求该角度的最可信赖及其标准误差。

5-14某平面三角形三个角被测出为A=48º5′10″，B=60º25′24″，C=70º42′7″，令假设这种测量（i）各次权相等；（ii）各次权分别为1、2、3；试求A、B、C的最大或然值。

5-15数N系时间t的函数N=x1+ x2t+ x3t2测定后的N的值如下。

测定是在异权情况下进行的，试求x1，x2，x3的最可信赖值。

5-16硝酸钠在100份水的溶解度与温度的关系，测定为上述关系可用直线67.5+0.87t表示(式中t为温度)。

试用最小二乘法来检证。

5-17由下列测定的方程组，求X、Y最可信赖及其或然误差。

X+Y=37.0 权：P1=52X+Y=61.9 P2=43X+Y=86.7 P3=4X+2Y=49.2 P4=4X+3Y=60.6 P5=32X+3Y=86.7 P6=23X+2Y=98.4 P7=35-18由下列测定方程组，求X、Y最可信赖及其标准误差。

2X+4Y+8Z=0.16122.200X+4.840Y+10.648Z=0.19863.200X+10.240Y+32.768Z=0.50982.600X+6.760Y+17.576Z=0.28963X+9Y+27Z=0.41815-19假设有三个某种量规，其值分别为Y1、、Y2、Y3。

现在将它们直接地或间接地与数值已知为N的标准量规比较，比较的方案为下述三种（三种组合）：（i）每一个量规各与标准量规比较二次；（ii）第一个量规（Y1）与标准量规比较二次，第二个量规（Y2）与第一个量规比较二次，第三个量规（Y3）与第二量规比较二次；（iii）每一个量规各与标准量比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次；上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示：试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。

（提示：可以比较不同测量方案下未知数的权）。

典型题解5-1 由测量方程9.23=+y x 9.02=-y x 9.132=-y x 试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

解：方法一：列出误差方程组：123 2.9(32)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+⎫⎪=--⎬⎪=--⎭22231i 2i))32(9.1())2(9.0())3(9.2(y x y x y x V--+--++-∑＝＝分别对y x ，求偏导，并令它们的结果为0，02)9.1)32((2)9.0)2((23)9.2)3((2=⨯--+--+⨯-+y x y x y x 03)9.1)32((22)9.0)2((2)9.2)3((2=⨯--+⨯----+y x y x y x即，14513.4514 4.6x y x y -=⎫⎬-+=-⎭由上式可解得结果：9626.0=x 0152.0=y方法二：直接列表计算给出正规方程常数项和系数可得正规方程14513.4514 4.6x y x y -=⎫⎬-+=-⎭将y x ，的结果代入分别求得：123 2.9(30.96260.0152)0.0030.9(0.962620.0152)0.03221.9(20.962630.0152)0.0204v v v =-⨯-⎫⎪=--⨯-⎬⎪=-⨯⨯⎭＋＝＝－＝ 得，322221231222(0.003)(0.0322)(0.0204)0.00146ii vv v v ==++=-+-+=∑ 由题已知，23==t n ，得0382.0231046.13312=-⨯=-=-∑t n viσ 由不定乘数的方程组1112111214515140d d d d -=⎫⎬-+=⎭2122212214505141d d d d -=⎫⎬-+=⎭得0819.011=d 0819.022=d得0109.00819.00382.011===d x σσ0109.00819.00382.022===d y σσ方法二：按矩阵形式计算，由误差方程∧=-V L A X123 2.9(32)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+⎫⎪=--⎬⎪=--⎭上式可以表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x l l l v v v 322113321321即123v v v ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦V ；123 2.90.91.9l l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L ； 311223⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ； x y ∧⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 可得11()T T T x y ∧--⎡⎤===⎢⎥⎣⎦X C A L A A A L式中1111()31312145121235142314514511145145145171514T ---=⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-C A A － 所以1 2.914531210.9145123171 1.92.94741310.9292332171 1.9164.61 2.61710.96260.0152T x y ∧-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦X C A L＝ 即解得，0.96260.0152x y =⎫⎬=⎭将最佳估计值代入误差方程可得，123123311223v v v l x l y l ∧⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦V L A X312.90.96260.9120.01521.9230.00300.03220.0204⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦将计算得到的数据代入式中0382.02-31046.13312=⨯=-=∑－t n viσ 为求出估计量y x ，的标准差，首先求出不定常数ij d )21(，，=j i 。

由已知，不定常数ij d 的系数与正规方程的系数相同，因而ij d 是矩阵1-C 中各元素，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-5145141711222112111d d d d C 则0819.01711411==d 0819.01711422==d 可得估计量的标准差为0109.00819.00382.011===d x σσ0109.00819.00382.022===d y σσ5-2 已知误差方程为11013.10x v -= 33002.10x v -= )(008.0315x x v --=22010.10x v -= )(004.0214x x v --= )(006.0326x x v --=试给出321x x x ，，的最小二乘法处理及其相应精度。

解:根据矩阵形式，误差方程∧=-V L AX 可以表示为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡321654321654321110101011100010001x x x l l l l l l v v v v v v 即123456v v v v v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦V ；12345610.01310.01010.0020.0040.0080.006l l l l l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L ； 100010001110101011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ；123x x x ∧⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦X 可得11123()T T T x x x ∧--⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦X C A L A A A L 式中1111()1000101001103110010101011311100010111131010118448441148448431116448448131113T ---=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦----C A A － 得1123T x x x ∧-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦X C A L 10.01310.01084410011010.00214840101010.004160010114480.0080.006⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10.01310.010********.00214844040.004164480440.0080.006⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦160.20001160.148016160.052010.012510.009310.0033⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即解得12310.012510.009310.0033x x x =⎫⎪=⎬⎪=⎭将最佳估计值代入误差方程可得4111050005.00125.10013.10013.10-⨯==-=-=x v 4221070007.00093.10010.10010.10-⨯==-=-=x v 43310130013.00033.10002.10002.10-⨯-=-=-=-=x v 42141080008.0)0093.100125.10(004.0)(004.0-⨯==--=--=x x v45130.008()0.008(10.012510.0033)0.00121210v x x -=--=--=-=-⨯0)0033.100093.10(006.0)(006.0326=--=--=x x v得62222222123456i 1424242424286(510)(710)(1310)(810)(1210)0(254916964144)104.5110i vv v v v v v -------=+++++=⨯⨯-⨯⨯-⨯=++++⨯=⨯∑＝＋＋＋＋＋ 可得366121021.23-61051.4－－⨯=⨯=-=∑tn viσ为求出估计量321x x x ，，的标准差，首先求出不定乘数ij d ，不定乘数ij d 的系数 与正规方程的系数相同，因而ij d 是矩阵1-C 中各元素，即1112131212223313233844148416448d d d d d d d d d -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C 则5.0816111＝⨯=d5.0816122＝⨯=d 5.0816133＝⨯=d 于是估计量的标准差，0016.05.01021.23111＝-⨯==d x σσ 0016.05.01021.23222＝-⨯==d x σσ0016.05.01021.23333＝-⨯==d x σσ5-3 测力计示值与测量时的温度t 的对应值独立测得如下表所示。