探索相似三角形的条件
4.4《探索三角形相似的条件》数学北师大版九年级上册教案第3课时
第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件第3课时一、教学目标1．经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法．2．了解相似三角形的判定定理3．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识．二、教学重点及难点重点：掌握判定定理3，会运用判定定理3判定两个三角形相似．难点：会准确运用三角形相似的判定定理3来判定两个三角形是否相似．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资《复习相似三角形判定AA、SAS》动画，《相似三角形判定SSS》动画，《相似三角形的判定》微课.五、教学过程【复习引入】1．我们学过的相似三角形的判定方法有哪些？它们分别是从哪个角度进行判别的？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论．讨论结果：我们学过的相似三角形的判定方法有：定义法；判定定理1（两个角分别相等的两个三角形是相似三角形）；判定定理2（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．除此之外，是否还有其他的方法来判定两个三角形相似呢？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．设计意图：通过复习相似三角形的判定方法，类比之后，学生猜测出其他判定方法，为本节课的学习做好铺垫．【探究新知】想一想现在我们考虑增加“另两边成比例”的条件，看△ABC和△A'B'C'一定相似吗？也就是如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成“做一做”．做一做画△ABC与△A'B'C'，使，和都等于给定的值k．设法比较∠A与∠A'的大小．△ABC与△A'B'C'相似吗？改变k值的大小，再试一试．（师生活动：教师引导学生用直尺和圆规任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使，和都等于给定的值k．比较∠A与∠A'的大小来判定△ABC和△A'B'C'是否相似．改变k值的大小，再试一试．发现：三边成比例的两个三角形相似．设计意图：在教师的引导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．【典例精析】例如图，在△ABC和△ADE中，，∠BAD=20°，求∠CAE的度数．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程．解：∵，∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．设计意图：培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．【课堂练习】1．若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍，得到△A1B1C1，则下列结论正确的是（）．A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等B．△ABC与△A1B1C1不一定相似C．△ABC与△A1B1C1的相似比为D．△ABC与△A1B1C1的相似比为22．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm．当△DEF 的另两边长为下列哪一组时，这两个三角形相似？应选（）．A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm3．下列图形不一定相似的是（）．A．有一个角是100°的两个等腰三角形B．有一个角是60°的两个等腰三角形C．两个等腰直角三角形D．有一个角是45°的两个等腰三角形4．下列条件中，不能使△ABC和△A′B′C′相似的是（）．A．∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=4，A′C′=2，B′C′=3C．∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4，A′B′=3.6，B′C′=3D．AB=3，AC=5，BC=7，A′B′=，A′C′=，B′C′=5．如下图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）．6．如图，若A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格纸中的格点，且每个方格都是边长为1的正方形，为使△DME∽△ABC，则点M应是F，G，H，O点中的（）．A．F B．G C．H D．O师生活动：教师出示练习，找几名学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：通过练习，激发学生的学习热情，调动学生的学习积极性，培养学生独立解决问题的能力．7．如图，已知．求证：AD·CE=BD·AE．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．C．2．C．3．D．4．D．5．B．6．B．7．证明：∵，∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAD=∠CAE．又∵，即，∴△ABD∽△ACE．∴．∴AD·CE=BD·AE．设计意图：通过学生自主练习，可以查看学生答题的情况，统计差错及目标达成率，也可以让学生真正地动手、动脑，从而达到很好地掌握知识的目的．六、课堂小结这节课我们主要学习了相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.4 探索三角形相似的条件（3）1．相似三角形的判定定理3。
探索相似三角形条件说课稿
探索相似三角形条件说课稿探索相似三角形条件说课稿1尊敬的各位老师：大家好！今天我说课的题目是义务教育数学课程标准实验教材八年级下册第四章第六节的《探索相似三角形的条件（一）》这一课内容。
下面我分五部分来汇报我这节课的教学设计,这就是“教材分析“、“教学”、“学法”、“教学过程”、“教学评价”。
一、教材分析：（一）教材的地位和作用：“探索相似三角形的条件”是在学习了相似图形及相似三角形的概念等知识后，单独研究如何探索相似三角形的条件的一课，本课是判定三角形相似的起始课，是__的重点之一。
既是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展，也是今后证明线段成比例，求几何图形和研究相似多边形性质的重要工具，它在工农业生产、土木建筑、测量绘图和日常生活中有着广泛的应用。
比如我们在测量水塔、高楼大厦的高度时，都要利用相似三角形的判定来解决有关问题。
在本课中，学生学习的主要内容是三角形相似的判定定理1及其初步应用，这就为下节课学习相似三角形的判定条件（二）（三）打下好的基础。
通过本节课的学习，还可培养学生猜想、实验、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用。
因此，这节课在__中有着举足轻重的地位。
（二）教学目标：根据《新课程标准纲要》对这部分内容的要求及本课的特点，结合学生的实情，我本节课的教学目标确定为：l知识目标：①掌握三角形相似的判定方法（一）。
②会用相似三角形的判定方法（一）来判断及计算。
l能力目标：①通过亲身体会得出相似三角形的判定方法（一），培养学生的动手操作能力。
②利用相似三角形的判定方法（一）进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力。
l情感目标：通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，从而发展学生的合情推理能力，进一步培养逻辑推理能力。
（三）教学重点与难点这节课的重点是三角形相似的判定定理1及应用。
难点是三角形相似的判定方法1的运用。
突破重难点的方法是充分运用多媒体教学手段，设置问题、探究讨论、例题讲解、课后小结直至布置作业，突出主线，层层深入，逐一突破重难点。
探索三角形相似的条件
探索三角形相似的条件一．相似三角形特征：相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，目的：(容易找到相似三角形的对应角和对应边)．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．故：全等三角形都是相似图形，但相似图形不一定是全等图形二．探索三角形相似的条件判定1：两角对应相等，两三角形相似;判定2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似;判定3：三边对应成比例，两三角形相似.例1．某老师上完“探索三角形相似的条件”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB ∽△DOC ．理由如下：在△AOB 和△DOC 中，∵AD ∥BC ，∴∠OAD=∠OCB ∠ODA=∠OBC∴△AOD ∽△COB ∴A OD OO C O B又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB ∽△DOC请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．练习1.如图，DE ∥FG ∥BC ，则图中相似三角形共有（ ）A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对2.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD,只要CD 等于( ) A.c b 2 B.a b 2 C.c ab D.ca 2 3.如图所示,在△ABC 中 ∠AED=∠B, AD=3, BD=5, 那么AC AE =_______易错1.已知△ABC 的三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与三角形相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边.那么另两边的长度（单位：cm ）分别为（ ）A ．10，25B 。
北师大版九年级数学上册《图形的相似——探索三角形相似的条件》教学PPT课件(4篇)
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下， 夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种， 而忽视了另一种．
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ， 则 △ ADC∽△ACB ， 若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ， 则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？ 为什么？
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P， 在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过 点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m， 求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，
北师大版九年级数学第四章探索相似三角形相似的条件
探索相似三角形相似的条件【学习目标】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点进阶：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点进阶：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果AC BCAB AC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点进阶：512AC AB-=≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，512-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点进阶：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念例1、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：3333343()4()()3r r rr a r ar aππ==+++＜1当a一定时，r值越大，（3()rr a+的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？类型二、相似三角形的三个判定定理例2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．举一反三【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．例3、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长为多少？举一反三【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AEBC ED，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是___________．例4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）举一反三【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）类型三、黄金分割例5.折纸与证明---用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）举一反三：【变式】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．【巩固练习】一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B． 2个 C．3个D． 4个2．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C. AD ACAE AB= D.AD DEAC BC=3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对 B． 6对 C．4对D． 2对4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有a cb d ．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是．11．如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三、解答题13. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．14如图，已知△ABC 中，AB=，AC=，BC=6，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求MN 的长．15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．。
6.探索三角形相似的条件
作业：习题4.7 1，2，3 （P134 ）.
改变∠α(如600)和 ∠β (如750)的大小,再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论?
结论：
两角对应相等的两个三角形相似。 用几何语言表示为： 在△ABC 和△DEF中， ∵∠A=∠ D,∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF
A
B
C
D
E
F
练习：
尝试独立完成：判断下列每组图形中的两个三角形是否相似？ 你是怎么想的？
1.什么叫相似三角形？ 2. 相似三角形有什么性质？
三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似叫 相似三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的 对应角就相等，对应边就成比例。
△ABC∽△A′B′C′′
6பைடு நூலகம்探索三角形相似的条件
例题:如图D,E分别是△ABC边AB,AC上的两点,且DE∥BC. （1）图中有哪些相等的角？ （2）找出图中的相似三角形,并说明理由； （3）写出三组成比例的线段 解: (1) ∵DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC;∠AED=∠ACB (2) ∵ ∠ADE=∠ABC;∠AED=∠ACB ∴ ∆ADE∽∆ABC (3) ∵ ∆ADE∽∆ABC
学以致用
如图：AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚2m，梯上点D距墙1.6m，BD长0.5m，求该梯子AB的长。
21.探索三角形相似的条件
21．探索三角形相似的条件对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形．判定两个三角形相似的基本方法有：两角对应相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．通过寻找（或构造）相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在计算线段的长度、证明角相等、证明线段成比例等方面有广泛的应用，是平面几何中应用最广泛的方法之一．熟悉以下基本图形、基本结论：问题解决例1 （1）将三角形纸片（△ABC ）按如图①所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ，已知AB =AC =3，BC =4，若以点B ′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么EF 的长度是______________．（2）如图②，△ABC 中，∠ABC=60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB =∠BPC =∠CP A ，且P A =8，PC=6，则PB =____________．例2 已知任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，且AB=CD ．若只增加下列条件中的一个：①AO=BO ；②AC=BD ；③AO DO CO BO=；④∠OAD=∠OBC ，一定能使∠BAC =∠CDB 成立的可选条件是（ ）A ．②④B ．①②C ．③④D ．②③④例3如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME =∠A =∠B =α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中相似三角形，并证明其中的一对；（2）请连结FG ，如果a =45°，AB AF =3，求FG 的长．例4（1）如图①，等边△ABC 中，D 为AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连结AE ．求证：AE ∥BC ：（2）如图②，将（1）中等边△ABC 的形状改成为以BC 为底边的等腰三角形，所作△EDC 改成相似于△ABC ，请问：是否仍有AE ∥BC ？证明明你的结论．例5 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示．（1）如图①，在△ABC 中，∠A =∠B ，且∠A =60°，求证：a 2=b （b +c ）；（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图②，其中∠A =2∠B ，关系式a 2=b （b +c ）是否仍然成立？并证明你的结论．数学冲浪知识技能广场1．如图，在△ABC 中，AC >AB ，点D 在AC 边上，若再增加一个条件就能使△ABD ∽△ACB ，则这个条件可以是_______________．2．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别努AD 、BC 边上的点，若AG =1，BF =2，∠GEF =90°，则GF 的长为_______________．3．如图，点P 是△ABC 中AB 边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线最多有_____________条．4．已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3；连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是__________________． 5．如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（ ）．A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对6．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP =1，D 为AC 上一点，若∠APD =60°，则CD 的长为（ ）．A ．32 B ．23 C ． 12 D ． 347．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC=3，AC =4，AB 的垂直平分线交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）． A ．32 B ．76 C ．256D ．28．直线DE 与△ABC 的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于E ，下列条件：① DE ∥BC ；②∠AED =∠B ；③AE·AC=AD·AB ；④AE ED AC BC=中，能使△ADE 与△ABC 相似的条件有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ．9．已知：R t △OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P （3，4）为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt △OAB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与 Rt △OAB 相似?（注：在图中画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．10．取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC 绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°<α≤45°），得到△ABC ′，如图②所示，试问：（1）当α为多少度时，能使得图②中AB ∥CD ?（2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度?图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比．（3）连结BD ，当0°<α≤45°时，探寻∠DBC ′+∠CAC ′+∠BDC 值的大小变化情况，并说明理由．11．如图，已知四边形ABCD 为正方形，直角∠POQ 的顶点在正方形对角线AC 上，直角边分别交AB 、BC 于P 、Q 两点．（1）如图①，当点O 在AC 的中点时，OP OQ=_______________； （2）如图②，当12OA OC =时，OP OQ =___________，并证明你的结论； （3）如图③，当32OA OC =时，OP OQ =___________，并证明你的结论．思想方法天地12．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE=5，EF =2，则FG 的长是___________．13．如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15m ；分别自两杆上高出地面4m 、6m 的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D 、B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为____________m ．14．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、AD 上的点，AC 与EF 交于点G ， ACAG AD AF AB AE 则,31,21===________________．15．如图：矩形ABCD 中，AB =a ，BC=b ，M 是BC 的中点．DE ⊥AM 于E ，则DE 等于（ ）．A ．2242b a ab+ B ．224b a ab + C ．2242b a ab + D ．224b a ab +16．如图，在△ABC 中，∠BAC ：∠ABC ：∠ACB=4：2：1，AD 是∠BAC 的平分线，有如下三个结论：①BC ：AC ：AB =4：2：1；②AC =AD +AB ；③△DAC ∽△ABC ．其中正确的结论是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③17．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的2倍，且AB =7，AC =8，则BC =（ ）．A ．B ．10CD ．18．如图；在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，BD 是中线，AE ⊥BD ，交BC 于点E ．求证：BE =2EC ．19．如图，H 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BH =BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为P ．求证：DP ⊥PQ ．应用探究乐园20．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ．（1）求证：;CDCG AD EG = （2）FD 与DG 是否垂直?若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB=AC 中，△FDG 为等腰直角三角形吗?并说明理由．21．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA =7，AB =4，∠COA =60°，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、A 重合，连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标．；（2）当点P 运动到什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动到什么位置时，使得∠CPD =∠OAB ，且58BD AB =，求这时点P 的坐标．。
3.5探索三角形相似的条件(第1课时)
A、②③④B、③④⑤C、④⑤⑥D、②③⑥
4、如图7，在正方形网格中画一个△DEF，使△DEF与△ABC相似（相似比不等于1），且D、E、F都在网格的顶点上。
【例2】如右图所示，在正方形网格上有△ABC和△DEF，试说明△ABC和△DEF相似。
及时演练：
1、在△ 和△ 中，已知AB＝6，BC＝8，AC＝10， ， ，则当 时，△ ∽△ 。
2、已知△ABC的三边长分别为 、 、 ，△DEF的三边分别为 、 、 ，试判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由。
5、如图8所示，∠AOB＝90°，AO＝OB＝BC＝CD＝1，下列结论中正确的是（）
A、△OAB∽△OCA B、△OAB∽△ODA C、△ABC∽△DBA D、△OAB∽△ACD
6、在正方形网格上画有梯形ABCD，求∠BDC的度数。
（1）若∠1＝，则△CBD∽△CAB。
（2）若∠2＝，则△CBD∽△CAB。
2、△ 和△ 中，已知，则图中存在对相似三角形，请把它们用“∽”表达在横线上：
。
4、如图3，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，则图中有对相似三角形，它们分别是
。
5、如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，图中共有对相似三角形，它们分别是。
3.5探索相似三角形的条件（第1课时）
知识点一：三角形相似的条件一
两角对应相等的两个三角形相似。
即：在△ABC和△DEF中，如果∠A＝∠D，∠B＝∠E，那么△ABC∽△DEF。
【例1】如右图所示，已知∠DAB＝∠EAC，∠B＝∠D。找出图中的相似三角形，并说明理由。
初中数学九年级下册苏科版6.4探索三角形相似的条件优秀教学案例
4.根据评价结果，教师及时调整教学策略，以满足学生的个性化需求，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用学生的已有知识，通过以下步骤激发他们对相似三角形的学习兴趣：
1.复习旧知：简要回顾上一节课所学的三角形知识，如三角形的分类、性质等，为新课的学习做好铺垫。
1.定义讲解：明确相似三角形的定义，即对应角相等、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。
2.判定条件：详细讲解相似三角形的判定条件，包括对应角相等、对应边成比例和AAA相似定理。
3.实例演示：通过具体实例，演示如何运用相似三角形的判定条件解决实际问题，如求线段长度、证明线段平行等。
4.互动提问：在讲解过程中，适时向学生提问，了解他们对相似三角形判定条件的理解和掌握情况。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握相似三角形的定义及判定条件，包括对应角相等、对应边成比例和AAA相似定理。
2.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如求线段长度、证明线段平行等。
3.培养学生运用几何画板、尺规作图等工具绘制相似三角形的能力，提高他们的动手操作能力。
4.提高学生分析问题、解决问题的能力，使他们能够将相似三角形的性质运用到其他数学领域，如平面几何、立体几何等。
此外，利用多媒体教学手段，如几何画板、PPT等，展示丰富的图片和动画，让学生在视觉上感受相似三角形的魅力。情景创设旨在让学生在实践中学习，提高他们对数学知识的认同感和应用意识。
（二）问题导向
以问题为导向的教学方法，有助于激发学生的求知欲和思考能力。在本章节的教学中，我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题，引导学生自主探究相似三角形的性质。
探索相似三角形相似的条件
探索相似三角形相似的条件基础知识:相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
（沿用相似四边形的定义）一、相似三角形的判定：三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例且夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例注意：“两边对应成比例且夹角相等”中的“夹角”不是任意的角，而是成比例的两条线段所构成的夹角。
二、相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2典型例题考点一：相似三角形的判定看图例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．答：A BCEDFED BC 60°图2练习：1、图2中，x= ．2222、（2008海南省）如图2所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（ ） A. 12 B. 2 C. 3 D. 33、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）通过内平行找相似例1：（2009年湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为（ ）A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米例2：(2008年福建省福州市)如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若5DE ，则BC 的长是 ．练习:1、(2008年广东梅州市) 如图，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米．1（） 30°45°x 30° ） （105° 图2（第7题） A ． B ． C ． D ．第4题BC D E A2、（2008山东潍坊）如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ）A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -3、如图，已知在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，四边形EFDH 为内接正方形，则AE ：AB= ．4、（2008湖南株洲）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若6BC =，则DE 等于 A ．5 B ．4 C ．3 D ．25、(2008 江苏 常州)如图,在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB =12,DE=4cm,则BC 的长为（ ）A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm6、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．A B CDEPAB CDF EHAC DE7、如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）例3：如图，梯形ABCD中，AB CD∥，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：CDF BGF△∽△；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF CD∥交AD于点E，若6cm4cmAB EF==，，求CD的长．例4：已知：如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点M、N.求证：（1）＝；（2）BM＝CM.D CFEAB G6题例5：已知如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD 垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为F ，我们可以证明＋＝成立（不要求证明）.若将图（1）中的垂直改为斜交，如图（2），AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BD 于点F ，则： （1）＋＝还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 间的关系式，并给出证明.通过外平行找相似例1：如图7所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB ∥CD)，如果已知物体AB=30，则CD 的长应是（ ）A 、15B 、30C 、20D 、10B CDO12E CDAFBA DBEFM(第2题练习：1、（2008湖北襄樊）如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC的大小为（）A.60°B.70°C.80°D.120°2、（2008上海市）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果23BEBC=，那么BFFD=．3、（2008新疆建设兵团）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为．（精确到0.01）4、（2008湖北荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:45 .如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使BCAB⊥，然后再选点E，使BCEC⊥，确定BC与AE的交点为D，测得120=BD米，60=DC米，50=EC米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？A BC DO图136④已知一公共角，找相似例1:（2008江苏盐城）如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行 (1)当满足什么条件时，ADE ACB △∽△． (2)若DE=3cm,BC=4cm,EA==4.8cm,求AB 的长。
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例2、如图： Rt△ABC中， ∠C=90°，四边形DEFG是正方 如图： Rt△ABC中 C=90° 四边形DEFG是正方 DEFG EF 2 = AE • BF 求证： 形，求证：
C D G
A
E
F
B
Hale Waihona Puke 例3、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D点,E是AC 如图， ABC中 BAC=90° AD⊥BC于 ,E是 的中点，ED延长线交AB延长线于 延长线交AB延长线于F 的中点，ED延长线交AB延长线于F点， 求证： DF 2 = AF • BF 求证：
（1）由△PCD为等边三角形，故∠PCD＝ PCD为等边三角形， 为等边三角形 PCD＝ PDC＝ 从而∠ACP＝ ∠PDC＝60 o，从而∠ACP＝∠PBD=120 o, 若要△ACP∽△PDB， 若要△ACP∽△PDB，必要 AC = PD
PC DB
AC·DB PC·PD DB＝ PD， PC＝PD＝CD， 从而 AC DB＝PC PD，又PC＝PD＝CD，故 CD 2 = AC ⋅ DB
AB BC CA = = ∵ DE EF FD
∴△ABC∽△DEF ∽
定理： 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边 与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例， 比例，那么这两个直角三角形相似
如图， 如图，在 ∆ABC中， ∠BAC = 90°, AH ⊥ BC于H，以 AC和AB为边在 Rt∆ABC 形外作等边三角形∆ABD 和∆ACE 求证： 求证：∆BDH ∽ ∆ AEH
A
B
C
E
F
几何语言： 几何语言： DE DF Q = , ∠D = ∠A AB AC ∴△DEF∽△ABC ∽
判定定理3： 判定定理 ：如果一个三角形的三条边与另一 三条边对应成比例， 个三角形的三条边对应成比例 个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。 三角形相似。
D A
B
C
E
F
几何语言： 几何语言：
预备定理： 预备定理： 平行于三角形一边的直线，截其他两边（ 平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边 的延长线），所得的三角形与原三角形相似 的延长线），所得的三角形与原三角形相似 ），
A
相似三角形的预备定理： 1、相似三角形的预备定理： DE‖BC， ADE∽△ ∵ DE‖BC，∴△ADE∽△ABC
A E B
BF AB = FD AC
D
C
F
作 业 完成知识运用
B D E
C
判定定理1 判定定理1：
∵∠D=∠ ， ∵∠ ∠A， ∠E=∠B， ∠ ， ∴ △DEF∽ △ ABC ∽
A D
E
F
B
C
判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个 判定定理 ：如果一个三角形的两边与另一个 两边 三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那 三角形的两边对应成比例， 夹角相等， 对应成比例 么这两个三角形相似。 么这两个三角形相似。 D
例1、如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段 如图，正方形ABCD的边长为2 AE=EB，MN=1， ABCD的边长为 MN的两端分别在CB、CD上滑动 那么当CM=________ 的两端分别在CB 上滑动， CM=________时 MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时， ADE与 MNC相似 相似. △ADE与△MNC相似.
PDB∽△ACP，所以∠ DPB， （2）由△PDB∽△ACP，所以∠A＝∠DPB， APC＝ 又因为∠ APC＋ACP＝ ∠APC＝∠B，又因为∠A＋∠APC＋ACP＝180o， APC＝ CPD＝ 故∠A＋∠APC＝60o，又∠CPD＝60o， APB＝ 故∠APB＝∠APC+∠BPD+∠CPD=120o
如图， 在线段AB AB上 PCD是等边三角形 是等边三角形。 如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形。 当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB； AC，CD，DB满足怎样的关系时， ACP∽△PDB； 满足怎样的关系时 ACP∽△PDB时 试求∠APB的度数 的度数。 当△ACP∽△PDB时，试求∠APB的度数。
如图， ABC中 AB=AC=1， D,E在直线 如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D,E在直线 BC上运动 上运动． BC上运动．设BD=x, CE=y (l）如果∠ 试确定y (l）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y与x 之间的函数关系式； 之间的函数关系式； (2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当 β满足怎样的 (2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的 关系时，(l） 之间的函数关系式还成立？ 关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？ 试说明理由． 试说明理由．