信息光学--傅里叶变换全息图
1傅立叶变换全息图实验
实验一 付里叶变换全息图一、实验目的1． 掌握付里叶变换全息图的原理．2． 拍摄一张付里叶变换全息图，观察其再现像。
3． 总结付里叶变换全息图的特点及影响其质置的因素．二、实验原理付里叶变换全息图是全息图的一种特殊类型，它不象一般全息图那样记录物光波本身，而是记录物光波的空间频谱，即记录物光波的付里叶变换。
引入一束参考光去和物的频谱相干涉，用得到的干涉条纹记录物频谱的振幅分布和位相分布就得到付里叶变换全息图。
这就需要用透镜对物分布作付里叶变换，然后把记录介质置于频谱面上记录参考光和频谱的干涉条纹。
由付里叶变换特性知道，用单色点光源将物体照明以后，通过透镜在点光源的共轭像面上，能得到物分布的付里叶频谱．当用单色平行光将物照明时，频谱面与透镜后焦面重合。
如图1－1所示，物分布g （x 0,y 0）放在透镜L 的前焦面上，通过透镜后在后焦面上得到其频谱函数(,)(,)x y x y G f f G f f λλ=，其中，x 、y 是后焦面的坐标，，透镜L1将入射平行光汇聚于其前焦面的（-b,0）点，通过小孔照射到L 上，通过L 后变为参考光R 。
放在L 后焦面上的记录介质H 接受到的光振动是物频谱和参考光两部分，H 上的光强分布为如果对底片的处理是线性的．则底片透过率可以表示为(,)(,)t x y I x y αβ=+在透过率中有包含着(,)xy G f f λλ和*(,)xy G f f λλ的两项。
这两项在再现时再作一次傅立叶变换就能得到物的原始像和共轭像。
再现原理如下；图1—2中透镜焦距仍为f ，将全息图放在其前焦面上，用波长为λ，振幅为C 。
的平行光垂直照明，全息图的光振动分为四个部分：其中第一项是常数， 表示具有一定振幅的平行于光轴的平行光，经过透镜L 的付立叶变换后，是位于后焦点的一个亮点(δ函数)，第二项经过傅立叶变换后是物分布的自相关函数(由付里叶变换的自相关定理*00()*F C G G C g g ββ=可得到)，这部分分布的总宽度是物分布宽度的两倍，称为中心晕轮光，对第三项作傅立叶变换并略去与分布无关的常数C 0βR ，则上式中除了一个常数外，分布g(-(x i +b),-y i )与物分布一样，只是坐标反转了，并且在x i的方向上相对移动了－b，这就是再现得到的原始像。
信息光学课后作业
1．在如图所示相干成像系统中，物体的复振幅透过率为1(,){1cos[2()]}2a b t x y f x f y π=++为了使像面能得到它的像，问(1)若采用圆形光阑，直径应大于多少？(2)若采用矩形光阑，各边边长应大于多少？解:物体的频谱为(,){(,})y T t x ξη=F 111(,)(,)(,)244a b a b f f f f δξηδξηδξη=+−−+++物体有三个频谱分量,在频谱面上的位置分别是(0,0),(,)a b f f 和(,)a b f f −−。
要使像面上得到物体的像,则必须要求这三个频率分量都通过系统,即系统的截止频率要大于这三个频率分量中的任何一个分量的频率。
(1)若采用圆形光阑，假设光阑直径为D,系统的截止频率2c Dfξλ=根据上面的分析,要使像面上得到物体的像,必须要求c ξ>即要求2D fλ>(2)若采用矩形光阑，假设其大小为a b ×,则系统的截止频率22cx cy a f b f ξλξλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据上面的分析,要使像面上得到物体的像,必须要求cx acy b f f ξξ=⎧⎪⎨=⎪⎩即要求22aba ffb ff λλ=⎧⎨=⎩2．物体的复振幅透过率可以用矩形波表示,它的的基频是50mm -1。
通过圆形光瞳的透镜成像。
透镜焦距为10cm,物距为20cm,照明波长为0。
6um 。
为了使像面出现条纹,在相干照明和非相干照明的条件下,分别确定透镜的最小直径应为多少？解:要使像面上出现条纹,则必须至少使矩形波的基频成分通过系统,而矩形波的基频分量的频率为50mm -1,因此要求系统的截止频率至少要大于这个基频值。
已知透镜焦距为f =10cm,物距d =20cm,则根据透镜成像关系111if d d =+可确定像距i d ,带入上述数值,有20cm i d =。
(1)对于相干照明系统,系统截止频率为2c iD d ξλ=式中,D为透镜直径,λ=0。
信息光学中的傅里叶变换
为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
信息光学第四章部分相干理论
前两项基本上是常数，作为偏置项，第 三项是干涉项，包含有物光波的振幅和 相位信息。参考光波作为一种高频载波， 其振幅和相位都受到物光波的调制（调 幅和调相）。参考光波的作用正好完成 使物波波前的相位分布转换成干涉条纹 的强度分布的任务。
5.2.1 波前记录
作为全息记录的感光材料很多，最常用 的是由细微粒卤化银胶涂敷的超微粒干 板.假定全息干板的作用相当于一个线性 变换器，它把曝光期间内的入射光强线 性地变换为显影后负片的振幅透过率， 为此必须将曝光量变化范围控制在全息 干板t-E曲线的线性段内。
5.2.1 波前记录
图5.2.2是负片的t-E 曲线： 横坐标E表示曝光量， 纵坐标t表示振幅透 过率。
5.2.1 波前记录
全息图的振幅透过率记为：
假定参考光的强度在整个记 录表面是均匀的，则：
5.2.2 波前再现
用一束相干光波照射 全息图，假定它在全 息图平面上的复振幅 分布为C(x,y),则透过 全息图的光场为：
全息照相过程分两步：波前记录和波前再现。 波前记录是将物体衍射（被激光照射）的光波 与另一相干光波——参考光波相干涉，用照相 方法将干涉条纹记录在全息记录介质上，称为 全息图或全息照片。当用原记录时的参考光或 其他合适的光波照射全息图时，光通过全息图 时的衍射和衍射光之间的干涉形成与物体光波 相似的光波，即物体波前的再现，构成物体的 再现像。
光学全息
利用光的干涉原理，将物体发射的特定光波以 干涉条纹的形式记录下来，使物光波前的全部 信息都贮存在记录介质中，故所记录的干涉条 纹图样被称为“全息图”。 当用光波照射全息图时，由于衍射原理能重现 出原始物光波，从而形成与原物体逼真的三维 像，这个波前记录和重现的过程称为全息术或 全息照相。
陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(4-7章)
第四章习题4.1 若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：λλννΔΔ=。
设光波波长为nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。
若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度?=c l证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。
421.510c λνλ∆∆==⨯赫，32010()c c cl ct m ν===⨯∆4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。
（1）试求光场的复自相干度的模。
（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。
假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 ()^1212rect rect νννννδνδνδν⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦G (1)光场的复相干度为^1()()exp(2)1sin ()exp(2)[1exp(2)]2r j d c j j τνπντνδντπντπντ∞==+∆⎰G式中12ννν-=∆，复相干度的模为ντπδνττ∆=cos )(sin )(c r 由于νδν∆，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。
相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，c τ为相干时间，故相干长度δλλδλλδντ22≈===cc l c c 。
（2）可见到的条纹总数589301.05893====δλλλcl N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ∆=1，故可见度的变化周期数601.06==∆=∆==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数9826058930===n N4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑21-21--=+-1=N N n n NνννδνΔgˆ 式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
18各种全息图及衍射效率
反射体全息
反射体全息图的情形： 物光和参考光从介质的两侧相向射入，介质内干涉面几乎与介质 表面平行，再现时表现为较强的波长选择性 反射体全息能避免色串扰的出现，是一种较好的白光再现全息图 ，用白光再现反射体全息时 ，只能得到单色再现像 由于记录介质在后处理过程中发生乳胶的收缩，条纹间隔变小， 使再现像波长发生“兰移”
傅里叶变换全息图记录原理
设物光波为 Ox0 , y0 O0 x0 , y0 exp j0 x0 , y0
参考光可利用置于前焦面上的点光源产生，设其位置坐标为(-b,0)，
数学表述为一个δ函数：
R ( xo , yo ) = R0 δ( xo + b , yo )
经透镜变换后到达干板处的光振动是它们的傅里叶频谱之和：
η = 衍射成像光通量 / 再现光总光通量 以下就振幅型和位相型两种全息图的衍射效率作一分析
振幅平面全息图衍射效率
正弦型振幅全息图，其振幅透射率函数表达为
tH（x，y）= t0（x，y）+ t1（x，y）cos（2πfxx） = t0 + (t1/2)[ exp( j2πfxx）+ exp( -j2πfxx）]
θ= (θ1-θ2 )/2 体光栅常数d 应满足关系式
2dsinθ = λ 式中λ为光波在介质内传播的波长。
体积全息图对光的衍射作用与布喇格（Bragg）对晶体的X射线衍 射现象所作的解释十分相似，因而常借用所谓的“布喇格定律” 来讨论体积全息图的波前再现，
上式称为“布喇格条件”，角度θ称为“布喇格角”。
xi
2
xc zc
z0
2
c
z0
再现光源宽度的影响
再现光源宽度对再现像的影响：
信息光学复习重要知识点
1.常用的非初等函数：矩形函数、Sinc函数、三角形函数、符号函数、阶跃函数、圆柱函数。
2.δ函数的定义：a.类似普通函数定义b.序列极限形式定义c.广义函数形式定义δ函数的性质：a.筛选性质 b.坐标缩放性质 c.可分离变量性d.与普通函数乘积性质4.卷积，性质：线性性质、交换律、平移不变性、结合律、坐标缩放性质5.互相关，两个函数f(x,y）和g(x,y)的互相关定义为含参变量的无穷积分6.惠更斯-菲涅尔原理：光场中任意给定曲面上的诸面元可以看作是子波源，如果这些子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任意一点处的光振动都可看作是子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
7.基尔霍夫理论：在空域中光的传播，把孔径平面上的光场看作点源的集合，观察平面上的场分布则等于他们所发出的带有不同权重的因子的球面子波的相干叠加。
8.角谱理论：孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。
9.点扩散函数：面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，这个像场分布函数叫做~。
10.菲涅尔衍射成立的充分条件：传递函数：11.泰伯效应：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透明片后的某些距离上出现该周期函数的现象，这种不用透镜就可以对周期物体成像的现象称为~。
12.夫琅禾费衍射：13.衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制。
14.单色信号的复表示：去掉实信号的负频成分，加倍实信号的正频成分。
多色信号的复表示：16.如果两点处的光扰动相同，两点间的互相干函数将变成自相干函数。
18.光学全息：利用干涉原理，将物体发出的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，使物光波前的全部信息都储存在记录介质中，做记录的干涉条纹图样被称为“全息图”，当用光波照射全息图时，由于衍射原理能能重现出原始物光波，从而形成与原物体逼真的三维像，这个波前记录和重现的过程成为~19.+1级波（虚像），-1级波（实像），±1级波（赝像）20.从物光与参考光的位置是否同轴考虑：同轴全息、离轴全息。
计算全息实验一
1、实验目的:
1. 2. 通过设计制作一计算全息图、利用高分辨液晶空间光调制器(LCD)实时再现 该计算全息图、观察再现结果、并利用 CCD 记录再现像等实验内容； 掌握计算全息图的编码原理，加深对光全息原理， 光的干涉和衍射特性的 认识； 训练使用空间滤波器、空间光调制器（LCD） 、CCD 图像采集等重要 的现代光学实验装置进行数字光学实验的能力。 同时初步了解 Matlab 语言在光学中的应用。
（1）
其傅里叶变换（空间频谱）为
F (u, v ) = A(u, v ) exp[iφ (u, v )] ,
（2）
为满足抽样定理 （见附录） 的要求， 物波函数及其空间频谱函数必须是带限函数， 即
f ( x, y ) = 0 F ( u, v ) = 0 x ≥ u≥
∆x 2 ∆u 2
, ,
y ≥ v ≥
实验过程中要切记以上注意事项。如 有违犯，将严重影响你的实验成绩！
1 鲁东大学物理与光电工程学院 朱林伟---内部资料禁止外传
2015 年光电信息科学与工程专业综合实验-信息光学专题实验
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算全息（一） 罗曼迂回相位编码与李氏四阶迂回相位编码
计算全息是利用计算机设计制作全息图或衍射光学元件的技术。从原理上， 计算全息和光学全息没有什么本质差别，所不同的是产生全息图的方法。光学全 息是直接利用光的干涉特性， 通过物波和一束相干参考波的干涉将物波的振幅和 位相信息转化成一幅干涉条纹的强度分布图，即全息图。光学全息记录的物体必 须是实际存在的。 而计算全息则是利用计算机程序对被记录物波的数学描述或离 散数据进行处理，形成一种可以光学再现的编码图案，即计算全息图。他不需要 被记录物体的实际存在。由于计算全息图编码的多样性和波面变换的灵活性，以 及近年来计算机技术的飞速发展，计算全息技术已经在三维显示、图像识别、干 涉计量、激光扫描、激光束整形等研究领域得到应用。最近计算全息领域的新进 展是利用高分辨位相空间光调制器实现了计算全息图的实时再现， 这种实时动态 计算全息技术已经在原子光学、光学微操纵、微加工、软物质自组织过程的控制 等领域得到成功的应用，显示了计算全息技术的巨大应用发展前景。 计算全息除了其在工业和科学研究方面的应用价值， 也是一个非常好的教学 工具。要做好一个计算全息图，既要熟悉衍射光学、光全息学等物理知识，还要 了解抽样理论、快速傅里叶变换、调制技术和计算机编程方面的知识。这些知识 对于物理类和光电信息技术类专业的学生和研究人员都是不可缺少的。