5.3 计算傅里叶变换全息
傅里叶变换概念及公式推导
傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。
傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。
为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。
通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。
这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。
要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。
计算全息实验二
实验注意事项（必读）1．提前预习，没有弄清楚实验内容者，禁止接触实验仪器。
2．注意激光安全。
绝对不可用眼直视激光束，或借助有聚光性的光学组件观察激光束，以免损伤眼睛。
3．注意用电安全。
He-Ne激光器电源有高压输出，严禁接触电源输出和激光头的输入端，避免触电。
4．注意保持卫生。
严禁用手或其他物品接触所有光学元件（透镜、反射镜、分光镜等）的光学表面；特别是在调整光路中，要避免手指碰到光学表面。
5．光学支架上的调整螺丝，只可微量调整。
过度的调整，不仅损坏器材，且使防震功能大减。
6．实验完成后，将实验所用仪器摆放整齐，清理一下卫生。
实验过程中要切记以上注意事项。
如有违犯，将严重影响你的实验成绩！计算全息（二）修正离轴干涉型与相息图编码计算全息是利用计算机设计制作全息图或衍射光学元件的技术。
从原理上，计算全息和光学全息没有什么本质差别，所不同的是产生全息图的方法。
光学全息是直接利用光的干涉特性，通过物波和一束相干参考波的干涉将物波的振幅和位相信息转化成一幅干涉条纹的强度分布图，即全息图。
光学全息记录的物体必须是实际存在的。
而计算全息则是利用计算机程序对被记录物波的数学描述或离散数据进行处理，形成一种可以光学再现的编码图案，即计算全息图。
他不需要被记录物体的实际存在。
由于计算全息图编码的多样性和波面变换的灵活性，以及近年来计算机技术的飞速发展，计算全息技术已经在三维显示、图像识别、干涉计量、激光扫描、激光束整形等研究领域得到应用。
最近计算全息领域的新进展是利用高分辨位相空间光调制器实现了计算全息图的实时再现，这种实时动态计算全息技术已经在原子光学、光学微操纵、微加工、软物质自组织过程的控制等领域得到成功的应用，显示了计算全息技术的巨大应用发展前景。
计算全息除了其在工业和科学研究方面的应用价值，也是一个非常好的教学工具。
要做好一个计算全息图，既要熟悉衍射光学、光全息学等物理知识，还要了解抽样理论、快速傅里叶变换、调制技术和计算机编程方面的知识。
傅里叶光学课件 05_06傅里叶变换全息
x+
yo − yr
λ zo
y
⎤ ⎥
⎫⎪ ⎬
⎦ ⎭⎪
5.6.10
可见，基元全息图是正余弦条纹图样，条纹的空间频率为：
u = xo − xr , v = yo − yr
λ zo
λ zo
5.6.11
不同的物点(xo, yo)在全息图上所产生条纹的空间频率不 同，或者说全息图上的空间频率与物点之间具有一一对应的 关系。这一点与FT全息图的特征类似。
=
ro
2
+
G
2
⎡ + ro exp ⎢−
⎣
jk
x2 + y2 2f
⎤ ⎥
exp [ −
⎦
j2π
bv
]iexp
⎡ ⎢
⎣
jk
x2 + y2 2f
⎤ ⎥ G(u, v) ⎦
+ ro
exp
⎡ ⎢ ⎣
jk
x2 + 2f
y2
⎤ ⎥
exp
[
⎦
j2π bv]iexp
⎡ ⎢− ⎣
jk
x2 + 2f
y2
⎤ ⎥
G∗
(
u,
−∞ −∞
u = x ,v = y ,
5.6.1
λf λf
其中：(xo,yo)是物面的空间坐标， f 是透镜焦距，(u,v)是空间 频率坐标，(x,y)是记录面（频谱面）的空间坐标。
¾参考光波由位于物面上(0,-b)的点源产生。空域表示为：
r( xo , yo ) = roδ (0, yo + b)
y1
分布的共轭。沿y轴方向的宽度Wy 。
第三、四项都是实像，关于原点对称分布.
陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(4-7章)
第四章习题4.1 若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：λλννΔΔ=。
设光波波长为nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。
若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度?=c l证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。
421.510c λνλ∆∆==⨯赫，32010()c c cl ct m ν===⨯∆4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。
（1）试求光场的复自相干度的模。
（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。
假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 ()^1212rect rect νννννδνδνδν⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦G (1)光场的复相干度为^1()()exp(2)1sin ()exp(2)[1exp(2)]2r j d c j j τνπντνδντπντπντ∞==+∆⎰G式中12ννν-=∆，复相干度的模为ντπδνττ∆=cos )(sin )(c r 由于νδν∆，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。
相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，c τ为相干时间，故相干长度δλλδλλδντ22≈===cc l c c 。
（2）可见到的条纹总数589301.05893====δλλλcl N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ∆=1，故可见度的变化周期数601.06==∆=∆==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数9826058930===n N4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑21-21--=+-1=N N n n NνννδνΔgˆ 式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。
计算全息
转换过程具有可逆性和唯一性
将复值函数变换为实值非负函数的编码方法可以归纳为两大 类：第一种方法是把一个复值函数表示为两个实值非负函数， 例如用振幅和相位两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相 位进行编码。
（2）空域插值
严格说来，频带有限的函数在物理上并不存在，一个有限 宽度的函数，其频谱范围总是扩展到无穷。但表征大多数 物理量的函数，其频谱在频率高到一定程度时总是大大减 小，以致于略去高频分量所引入的误差是可以允许的。实 际上，信号的检测、传递过程采用的仪器都是有限通频带 宽的。所以很多物理量函数都可视为有限带宽函数，从而 可用离散的抽样序列代替。
k 方向上相邻光线的光程差为
d
k
d
d sink
相位差为
2
dsink这时在
k
方向上
观察光栅的衍射光波，是一个平面波，
可以认为波面上各点光波振动的相位相
k
同,设为 0
级衍射波 问题：如果光栅的栅距有误差,如在
某一位置处栅距增大了
这时在 k 方向观察的衍射波是否
还是平面波？
d
k
相邻光线的光程差为
(d)sin k
d
k 方向的衍射光波在该
d
k级衍射波
位置处引入的相应相位延迟
k2 (d)sik n2 dsik n
d
dsink k
2
si nk
2k
迂回相位
d
迂回相位的值与栅距的偏移量和衍射级次
成正比，而与入射光波的波长无关。
计算全息图的基本理论与制作
计算全息图的基本理论与制作覃芳【摘要】Compared with traditional optical holography,CGH has been widely used due to its high flexibility, simple realization and the capability to record inexistent object. More and more experts and scholars have dedicated themselves to the research of CGH. After a brief introduction of the basic theory of CGH a fourth-order detour phase encoding method is used to obtain Fourier binary CGH and Fresnel binary CGH based on MatLab. The reconstruction images are explicit and clear in the reconstruction experiment. It s a good reference for research and development of extensive applications of CGH.%与传统光学全息相比,计算全息图因具有极高灵活性,制作简单并且能够记录实际不存在物体的特点而被广泛应用.越来越多的专家和学者致力于研究计算全息图.在介绍计算全息基本理论后,采用四阶迂回相位编码方法,基于MatLab平台分别制作了傅里叶二元计算全息图和菲涅耳二元计算全息图.再现实验中得到的再现像直观明显,对研究和开拓计算全息图更广泛的应用具有参考价值.【期刊名称】《光学仪器》【年(卷),期】2012(034)001【总页数】6页(P16-21)【关键词】计算全息图;傅里叶变换;菲涅耳全息图;再现;MatLab【作者】覃芳【作者单位】上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】TP336引言随着数字计算机与计算机技术的迅速发展，人们广泛地使用计算机去模拟、运算、处理各种光学过程。
全息术体积和计算全息
反射体全息对波长敏感
C 0 有再现像 C 0 无再现像
0
用白光再现时，得到单色像 不会出现色混淆
“蓝移”现象：再现单色像的波长通常 并不与 0 相同 原因是全息图在化学处理过程中发生了 乳胶收缩
1.4、体积全息图应用例子
电控全息WDM光开关
如果光栅强度与外加直 流电场有关...
1 得到有效的衍射
白光 q
1 3
4 5
f
z
按衍射条件：所有波长的光波都可能得到再现， 但各自的衍射角不同。
按反射条件：反射角等于入射角q
结果：只能有一个波长，其出射方向同时满足两个条件
2Λsinf = λc 布拉格条件
仅当照明光束的入射角和波长同时满足布拉格条件，才能 得到最强的衍射光。若波长或角度稍有偏移，衍射光强将大幅 度下降，并迅速降为零。
1
2Bx 和
1 的抽样值唯一地确定。
2By
函数的还原
将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上，只要抽样函数 的频谱不产生混叠，总可以选择一个适当的滤波函数，使 Fs( ,)
中，n=0,m=0的项无畸变地通过，而滤去其它各项，这时滤波 器的输出就是复原的原函数，这一过程可由下面框图示意。
f (x, y)
因此，孔径参数与复值函数的关系如下
fmn
2k
d
mn
绘制全息图
Pmn
f mn 2k
Lmn Amn
根据上面方法确定了每个单元开孔尺寸和位置后，就可 以用计算机控制绘图仪产生原图，再经过缩版得到计算全息 图。由于在迂回相位编码方法中，全息图的透过率只有0和1 两个值，故制作简单，噪声低，抗干扰能力强，并可多次复 制而不失真，因而应用较为广泛。
第六章计算全息(1)教材
6·1·4时域信号和空域信号的调制与解调
在第五章我们已经知道，在光学全息中， 由于记录介质只能记录光场强度分布， 对波前（复振幅分布）的记录必须通过 与参考光干涉形成干涉花样（强度分布） 才有可能。再现过程中，通过照明光照 射全息图产生的衍射效应，又将干涉花 样（强度分布）还原成所需要的波前 （复振幅分布）。
例如：连续函数f(t)和序列f(n)之间满足:
直观上，抽样间隔越小，则抽样序列越 准确地反映原来的连续函数，但是抽样 间隔越小，对于信息检测、传送、存贮 和处理都提出了更高的要求。
问题：那么如何选择一个合理的抽样间 隔，以便做到既不丢失信息，又不对检 测、处理等过程提出过分的要求，并由 这样的抽样值恢复一个连续函数呢？
通常
称为奈魁斯特（Nyquist)间隔，
奈魁斯特抽样定理又可表述为：
一个有限带宽的函数，它没有频率在Bx和By以 上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小
于
的抽样值唯一地确定。
2·函数的复原
将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上， 只要抽样函数的频谱不产生混叠，总可以选择 一个适当的滤波函数，使 的项无畸变通过，而滤除其它各项，这时滤波 器的输出就是复原的原函数。
6·1 计算全息的理论基础
6·1·1概述 光学全息图是直接用光学干涉法在记录介质上记
录物光波和参考光波叠加后形成的干涉图样。 假如物体并不存在，而只知道光波的数学描述，
也可以利用电子计算机，并通过计算机控制绘图仪 或其它记录装置（例如阴极射线管、电子束扫描器 等）将模拟的干涉图样绘制和复制在透明胶片上， 这种计算机合成的全息图称为计算全息图。
计算傅里叶变换全息
计算傅里叶变化全息原图（秦时明月-卫庄）离散图（512*512）计算全息图再现图实现程序%用imread () 函数读入物波函数抽样数据并保存到矩阵A中,这样原始物体就以离散数据形式保存在一个二值矩阵中(矩阵中每个元素非0即1) Image=imread('');N=512;A=zeros(N,N);B=zeros(N,N);for I=1:1:256for J=1:1:256ImageNum=double(Image(I,J,1));A(I,J)=ImageNum/255;B(I,J)=0;endendfigure;imshow(A);%为降低全息图的动态范围，通过乘随机相位因子的办法来平滑物函数的傅里叶变换谱(起到光学全息中毛玻璃漫射光的作用) PI=;for I=1:1:Nfor J=1:1:NR=rand(1,1);B(I,J)=A(I,J)*sin(R*2*PI);A(I,J)=A(I,J)*cos(R*2*PI);F(I,J)=A(I,J)+j*B(I,J);endend%对物函数做二维快速傅里叶变换（FFT）变换% F=fft2(F);Max=max(max(abs(F)));F=F/Max;A=real(F);B=imag(F);%定义载波参数alpha=;for I=1:1:Nfor J=1:1:NXcos=(J-1)/127;A1(I,J)=cos(2*PI*alpha*Xcos);B1(I,J)=sin(2*PI*alpha*Xcos);endend%全息图数据区for I=1:1:Nfor J=1:1:NHolodata(I,J)=+*(A(I,J)*A1(I,J)+B(I,J)*B1(I,J)); endend%绘制全息图，制作灰阶全息图像，灰度等级256M=512;%定义全息图的大小，Hologram=zeros(M,M);S=M/N;%定义每个抽样单元大小为S,Sfor I=1:1:Nfor J=1:1:NXa=(J-1)*S+1;Xb=J*S;Ya=(I-1)*S+1;Yb=I*S;for Ix=Xa:1:Xbfor Iy=Ya:1:YbHologram(Iy,Ix)=Holodata(I,J);endendendendMax=max(max(Hologram));Hologram=Hologram/Max;figure;imshow(Hologram);%计算傅里叶变换全息的再现Object=fft2(Hologram);Object=fftshift(Object);Object=abs(Object);Object=1000*Object/max(max(Object)); figure;imshow(Object);。
傅里叶变换全息介绍
平行光 y
x L1
b
x1
全息 干板
参考光
y1
F
F
图（2）傅里叶全息记录
设:物光(频谱)为：
~ G(fx1 , fy1 )
❖ 参考光为： R~x1, y1 R0expi 4
合光场： A~ fx1 , fy1 G~ fx1 , fy1 R~ x1, y1
光强：Ix1,y1
g4 ( x1, y1 ) RRG
[实验内容与步骤 ］
1、按照图（4）摆好光
激光器
C M1
路，并注意做好以下调
整： （1）保证光程相等。
O
M3
（2）傅里叶变换系统的
调整：保证L0 出射严格 H
的平行光；保证透光资
料g到L1距离为F 。 （3）各光学器件严格共
参考光
L1
gg
L0
BS
L
M2
轴，透光资料片上的光
（2）式是傅里叶变换,（3）式是傅里叶逆变换。 g(x,y) —是某物理量的空间域表示（物函数)；
Gf x , f y —是这个物理量（物函数）的空间频率域的描写，它称为傅里
叶频谱，简称的频谱。
y
fy
x
fx
2、傅里叶变换光学系统
❖ 由阿贝成像原理我们知道，不同方向的平面波经过透镜 后，在后焦面上得到物函数的频谱。与(1)式联系起来 可以看出，对物函数作傅里叶变换就得到傅里叶频谱函 数。这就是说，透镜起傅里叶变换的作用。
~ G fx1 ,fy1
R~x1, y1
G~* fx1 ,fy1
R~*x1, y1
R
2 0
G~G~ * R~ *
x1, y1
G~
fx1 , fy1
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1
j0
2
j
π 2
3
jπ
4
j
3π 2
傅立叶变换计算全息图步骤： 傅立叶变换计算全息图步骤：
物体抽样 编码 全息图面上 傅里叶变换谱 全息透过 率函数
(数学表达式) 数学表达式)
再现 像 计算 全息图
(照相缩版) 照相缩版)
要用到FFT，编码方法和前面介绍的相同。 ，编码方法和前面介绍的相同。 要用到
mn = arctg (
I mn
(5.3.7)
5.3.3
编码
编码的目的是将离散的复值函数 F(m,n) 转换成实的非负值 函数(全息图透过率函数 。可采用前面介绍的方法进行编码。 函数 全息图透过率函数)。可采用前面介绍的方法进行编码。 全息图透过率函数
§ 5.3
5.3.4
计算傅里叶变换全息
绘制全息图
5.3.1
抽样
设物波函数为 f(x,y) ，其 Fourior 变换为 F (x , h ) ， 其空域宽度为D x, D y ，频域宽度为 D x , D h ，于是有
f ( x , y ) = a( x , y )e jϕ ( x , y ) jφξ, η F ( ξ ,η ) = A( ξ ,η )e ( )
ü K ï - 1 ï ï ï 2 ï ï ï J - 1 ï ï ï 2 ï ý M ï - 1ï ï ï 2 ï ï ï N ï - 1 ï ï 2 ï þ
(5.3.4)
§ 5.3
5.3.2
计算傅里叶变换全息
计算离散傅里叶变换
¥
连续傅里叶变换可表示为： 连续傅里叶变换可表示为：
F (x , h ) =
§ 5.3
计算傅里叶变换全息
这种计算全息图记录的是物波函数的傅里叶变换， 这种计算全息图记录的是物波函数的傅里叶变换，再现 时得到物波函数的傅里叶变换谱，要得到物波函数，需要再 时得到物波函数的傅里叶变换谱，要得到物波函数， 进行一次傅里叶逆变换。 进行一次傅里叶逆变换。这和光学傅里叶全息图的基本原理 是一样的，只不过编码、 是一样的，只不过编码、抽样等都是针对物波函数的傅里叶 变换谱进行的。编码同样可以采用迂回相位编码法。 变换谱进行的。编码同样可以采用迂回相位编码法。
小结： 小结：
计算全息的编码方法 迂回位相方法的思想： 迂回位相方法的思想：
2p 2p D ¢- Lm ) = D sinqm = 2p m Dj = (Lm l l d
y
nd y
dx
W dx
Lm n d y d y
Pm n d x
mdx
x
图5.2.2 罗曼型编码单元
四阶迂回相位法
mn
= fmn e + fmn e + fmn e + fmn e
§ 5.3
计算傅里叶变换全息
在计算过程中， 这个复数分为实、 在计算过程中，通常 F(m,n) 这个复数分为实、两部分
Fmn = Rmn + jI mn = Amn e jj mn Amn = j
2 2 Rmn + I mn
) Rmn 因为光学模板的振幅透过滤最大为 1，所以 Amn 要进行 归一化。 归一化。
Dx
, dm = 1
Dy
，频域中的抽样点
(5.3.3)
§ 5.3
样的空间带宽积。 样的空间带宽积。
计算傅里叶变换全息
空域和频域中抽样点数目相同， 空域和频域中抽样点数目相同，空域和频域具有同
-
f jk = a jk e
jj
jk
-
Fmn = Amn e jj mn
K ＃k 2 J ＃j 2 M ＃m 2 N ＃n 2
dy£ 1
dx d y
Dx
,
, 若取等号，在空域中抽样点数 M jk = D x D y = D xD yD xD h , D h 若取等号，
M jk 正是前面讲到的物波函数的空间带宽积，同样在谱面上抽 正是前面讲到的物波函数的空间带宽积，
样，抽样间隔应满足 dx = 1
数 M = D x D h = D xD yD xD h mn dx dh
f ( j , k )e
骣 mj nk ÷ - j 2p ç + ÷ ç çJ 桫 K÷
(5.3.6)
J K k= 2 2
对上式作计算， 算法(1965 (1965年 Cooley对上式作计算，一般要采用 FFT 算法(1965年 CooleyTurkey提出) 这种算法大大降低了计算工作量。 Turkey提出)，这种算法大大降低了计算工作量。FFT 的程 提出 序可以从程序库中查到，直接调用即可。 序可以从程序库中查到，直接调用即可。
蝌
-
f ( x , y )e-
j 2 p ( xx + y h )
dxdy
(5.3.5)
对于离散函数的傅里叶变换， 对于离散函数的傅里叶变换，通常采用快速傅里叶变换 (FFT)，离散的傅里叶变换定义为： (FFT)，离散的傅里叶变换定义为：
F ( m , n) =
邋
j= -
J -1 2
K -1 2
(5.3.1)
§ 5.3
并且
ì f ( x, y) = 0 ï ï ï ï í ï ï F (x , h ) = 0 ï ï î
计算傅里叶变换全息
Dy 当 x > Dx 2 , y > 2
Dx , h > Dh 当 x> 2 2
时
(5.3.2)
时
由抽样定理：对于物光波 f(x,y)，则有抽样间隔 d x £ 1 抽样定理：
由于一般的绘图仪分辨率有限， 由于一般的绘图仪分辨率有限，绘制的图示经过放 大的全息图，需经过反拍缩版的到合适尺寸大小。 大的全息图，需经过反拍缩版的到合适尺寸大小。 5.3.5 再现
h
x
S
再现光路如图所示： 再现光路如图所示：
x
图5.3.1
y
§ 5.3
计算傅里叶变换全息
再现方法与光学全息相似， 再现方法与光学全息相似，只在某个特定的衍射方 向(级次)上才能看靠所期望的波前，输出平面上中心是 级次)上才能看靠所期望的波前， 一个亮点，两边是正、负一级像和高级一次像。通过滤 一个亮点，两边是正、负一级像和高级一次像。 波，使再现某一级的像。 使再现某一级的像。