计算物理 傅立叶变换
傅里叶变换物理意义
您对于傅里叶变换恐怕并不十分理解傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
1为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。
要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。
傅里叶变换公式的推导
傅里叶变换公式的推导傅里叶变换是数学中的一个重要概念，它可以将一个函数分解成不同频率的正弦和余弦函数的组合。
在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的推导过程并不复杂，但需要一定的数学基础和推导技巧。
我们来看一维离散傅里叶变换的推导过程。
假设有一个长度为N的离散信号序列x(n)，其中n为整数。
根据傅里叶变换的定义，信号x(n)的傅里叶变换X(k)可以表示为：X(k) = Σ x(n) * exp(-j2πnk/N)其中，k为频率索引，取值范围为0到N-1。
上述公式是傅里叶变换的离散形式，表示信号在频域上的分解。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将其从时域转换到频域，方便进行频域分析和处理。
接下来，我们可以通过欧拉公式将指数函数转换为正弦和余弦函数的形式。
将指数函数exp(-j2πnk/N)展开，可以得到：exp(-j2πnk/N) = cos(2πnk/N) - j * sin(2πnk/N)将上述公式代入傅里叶变换的定义式中，可以得到傅里叶变换的公式：X(k) = Σ x(n) * [cos(2πnk/N) - j * sin(2πnk/N)]这就是一维离散傅里叶变换的推导过程。
通过将指数函数展开为正弦和余弦函数，我们可以将信号在频域上进行分解，得到不同频率成分的振幅和相位信息。
除了一维离散傅里叶变换，还有一维连续傅里叶变换和多维傅里叶变换等形式。
它们的推导过程类似，但需要考虑不同维度上的变换方式和性质。
总的来说，傅里叶变换是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们理解信号的频域特性和进行频域处理。
通过对傅里叶变换的推导和理解，我们可以更好地应用它在实际问题中，为信号处理和图像处理等领域提供更多可能性和方法。
希望本文的内容能够对读者有所帮助，引起对傅里叶变换的兴趣和深入研究。
物理计算中常用数值计算方法解析
物理计算中常用数值计算方法解析在物理学研究中，数值计算方法是解决复杂问题的重要工具。
它们通过将连续的物理过程离散化为离散的数值计算，从而使得问题变得更易于处理。
本文将介绍一些常用的数值计算方法，并探讨它们在物理计算中的应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常见的数值计算方法，它将连续的物理过程离散化为离散的差分方程。
通过将空间和时间划分为离散的网格点，有限差分法可以将微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程来获得数值解。
有限差分法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在流体力学中，有限差分法可以用来模拟流体的运动和变形。
在电磁学中，有限差分法可以用来计算电场和磁场的分布。
此外，有限差分法还可以用于求解热传导方程、波动方程等。
二、有限元法有限元法是一种常用的数值计算方法，它将连续的物理过程离散化为离散的有限元。
通过将物理区域划分为有限个小区域，有限元法可以将偏微分方程转化为代数方程，并通过求解代数方程来获得数值解。
有限元法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在结构力学中，有限元法可以用来计算结构的应力和变形。
在电磁学中，有限元法可以用来计算电场和磁场的分布。
此外，有限元法还可以用于求解热传导方程、流体力学方程等。
三、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于统计的数值计算方法，它通过随机抽样和概率统计的方法来获得数值解。
蒙特卡洛方法的核心思想是通过大量的随机抽样来近似计算复杂的数学问题。
蒙特卡洛方法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在统计物理学中，蒙特卡洛方法可以用来模拟粒子的随机运动和相互作用。
在量子力学中，蒙特卡洛方法可以用来计算量子系统的性质。
此外，蒙特卡洛方法还可以用于求解复杂的积分和优化问题。
四、快速傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的数值计算方法，它可以将一个信号从时域转换到频域。
FFT算法的核心思想是通过递归和分治的方法将一个大规模的离散傅里叶变换分解为多个小规模的离散傅里叶变换。
FFT在物理计算中有广泛的应用。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
傅里叶变换可以分为五种：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和希尔伯特-黄变换（HHT）。
一、离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是指将一个有限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的复数序列。
它是一种计算量较大的方法，但在某些情况下精度更高。
DFT 的公式如下：$$F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-i2\pi kn/N}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(k)$ 是频域表示。
二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种计算 DFT 的高效算法，它可以减少计算量从而加快计算速度。
FFT 的实现方法有多种，其中最常用的是蝴蝶运算法。
FFT 的公式与 DFT 相同，但计算方法不同。
三、连续时间傅里叶变换（CTFT）连续时间傅里叶变换是指将一个连续的时间信号，通过一定的算法转化成一个连续的频域函数。
CTFT 的公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中 $f(t)$ 是原始信号，$F(\omega)$ 是频域表示。
四、离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是指将一个无限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的周期性复数序列。
DTFT 的公式如下：$$F(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-j\omegan}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(e^{j\omega})$ 是频域表示。
五、希尔伯特-黄变换（HHT）希尔伯特-黄变换是一种基于经验模态分解（EMD）和 Hilbert 变换的非线性时频分析方法。
它可以对非平稳信号进行时频分析，并提取出信号中的本征模态函数（IMF）。
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式原理及公式非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。
但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。
因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。
有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为：可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。
当N较大时，这个计算量是很大的。
利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。
对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。
图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。
由图可以明显看出FFT算法的优越性。
将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。
由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为：上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。
依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。
图3为8点FFT的分解流程。
FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。
FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。
关于FFT精度的说明：因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。
为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。
傅里叶级数的定义和计算方法
傅里叶级数的定义和计算方法傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数来描述周期性函数的方法。
在现代物理、数学和工程学中，傅里叶级数有着广泛的应用，例如信号处理、图像处理、热力学、电路等领域。
傅里叶级数通过将周期函数展开成无穷多个正弦和余弦函数的和来描述。
1. 定义一个周期为T的函数f(x)可以表示成下面的傅里叶级数：$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}{[a_n \cos(\frac{2n\pi x}{T}) + b_n \sin(\frac{2n\pi x}{T})]}$其中，系数$a_0, a_n$和$b_n$用下面的公式计算：$a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)dx$$a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos(\frac{2n\pi x}{T})dx$$b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\sin(\frac{2n\pi x}{T})dx$由于正弦和余弦函数是正交的，所以傅里叶级数可以唯一地表示一个周期函数。
2. 计算方法计算傅里叶级数需要求出系数$a_0, a_n$和$b_n$。
这通常需要使用积分计算方法，但对于某些特殊情况，也可以通过代数计算来求出这些系数。
例如，对于一个偶函数，其傅里叶级数中的正弦函数系数$b_n$均为零，因此只需要计算系数$a_0$和$a_n$即可。
另外，对于周期为2π的函数，傅里叶级数可以表示成欧拉公式的形式：$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}{[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]}$其中，系数$a_0, a_n$和$b_n$用下面的公式计算：$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)dx$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)dx$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)dx$3. 应用傅里叶级数在工程学、物理学和数学中有着广泛的应用。
傅里叶变换详解
若函数
以 为周期，即为
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 函数族
，则可取三角 (7.1.2)
作为基本函数族，将 级数）
展开为傅里叶级数（即下式右端 (7.1.3)
式（7.1.3）称为周期函数
的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简
称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
7.3.3 傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式：
1.第一种定义式
2.第二种定义式
3.第三种定义式 三者之间的关系为 三种定义可统一用下述变换对形式描述
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
这些数值时，相应有不同的频率
和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化 的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图. 称为函数
的振幅频谱（简称频谱）.
若用横坐标表示频率 ，纵坐标表示振幅 ，把点
用图形表示出来，这样的图
形就是频谱图. 由于
,所以频谱 的图形是
不连续的，称之为离散频谱．
利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为
（7.1.4）
其中
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（ Dirichlet）定理 7.1.1 若函数
满足条件：
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； （2）在每个周期内只有有限个极值点，则级数（7.1.3）收敛，
傅里叶变换的原理以及应用
傅里叶变换的原理以及应用1. 傅里叶变换的原理傅里叶变换是一种数学变换，将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦波的线性组合。
它可以将一个时域的函数转换为频域的函数，揭示了信号在频域上的组成成分。
傅里叶变换的数学表达式为：F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt其中，F(w)表示函数在频域上的表示，f(t)表示函数在时域上的表示，e^(-jwt)是复指数函数。
傅里叶变换的原理可以简单总结为以下几点： - 任何连续周期函数都可以由一组正弦和余弦函数构成。
- 傅里叶变换将函数从时域转换到频域，将函数分解为不同频率的成分。
- 傅里叶变换可以用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
2. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。
2.1 信号处理傅里叶变换在信号处理领域有着重要的作用，可以将时域信号转换为频域信号，从而提取出信号的频率特征。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特征，如频率分布、幅度和相位信息等。
这对于音频信号处理、图像处理等都有重要的应用。
例如，在音频处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号转换为频域信号，进而实现音频的滤波、降噪、音频识别等功能。
2.2 图像处理傅里叶变换在图像处理领域也有广泛的应用。
通过将图像进行傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，在频域上进行操作，如去除图像中的噪声、增强图像的细节等。
傅里叶变换在图像压缩、图像识别、图像恢复等方面也有重要的应用。
2.3 通信系统傅里叶变换在通信系统中也起到了重要的作用。
在通信系统中，我们需要传输不同频率的信号，而傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的成分，从而实现信号的调制和解调。
在调制过程中，我们可以通过选择不同的频率成分来实现不同的调制方式，如调幅、调频、调相等。
在解调过程中，我们可以通过傅里叶变换将信号从频域转换到时域，恢复出原始信号。
2.4 音频与视频压缩傅里叶变换在音频和视频压缩中也有着重要的应用。
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这样可把积分变成一个离散求和的形式：
离散傅立叶变换
fn
1 N
N 1
Fk exp(i2nk / N )
n0
FK
1 N
N 1 n0
fn exp(i2nk / N )
傅立叶变换简介
傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式：
1.第一种定义式
F1()
1 f (x)eixdx, 2π
f (x)
1 2π
F1
(
)ei
x
d
傅立叶变换简介
2.第二种定义式
作代换 y x x0 ,则
F[ f (x x0 )]
1
f ( y)ei ( y x0 )dy
2
eix0
1 f ( y)eiy dy
2
eix0 F ()
傅立叶变换简介
3.相似性（扩展）
F[
f
(ax)]
1
F
(
)
aa
证明：
F[ f (ax)] 1 f (ax)eixdx
2
2
[ 1 f (x)ei()xdx]
2 F ()
傅立叶变换简介
4.导数变换
F[ f (x)] iF()
证明：
F[ f (x)]
1 f (x)eixdx
2
1
2
[f
( x)eix ]
1 f (x)[eix ]dx
2
根据傅立叶积分定理，有 lim f (x) 0 x
F[ f (x)] 1 f (x)[eix ]dx
F2 ()
f (x)eixdx,
3.第三种定义式
f (x) 1
2π
F2
()eixd
F3()
f (t)ei2πxdx,
f (x)
F3
(
)ei
2
π
x
d
三者之间的关系为
F1()
1 2π
F2 ()
1
2π F3 ( 2π)
傅立叶变换简介
三种定义可统一用下述变换对形式描述
F() F [ f (x)]
1)
c2
f2
( x)]e ix dx
c1F1() c2F2 ()
F()
1
2
f1 ( x)e ix dx
F() F[ f (x)]
傅立叶变换简介
2.平移性（延迟）
F[ f (x x0 )] eix0 F ()
证明：
F[ f (x x0 )]
1
2
f
(x
x0 )eixdx
作代换 y ax ,则
F[ f (ax)] 1
f
i y
( y)e a
1
dy
2
a
1 1
i y
f ( y)e a dy
a 2
1 F( )
aa
傅立叶变换简介
4.复共轭
F[ f (x)] F()
证明：
F[ f (x)] 1 f (x)eixdx
2
1 [ f (x)eixdx]
2
iF ()
离散傅立叶变换
离散傅立叶变换
为了在计算机上实现傅立叶变换，需要对傅立叶变换进行离散 化处理。也就是把
F () f (t)ei2 tdt, f (t) F ()ei2 td
离散化。这种离散化和实际的物理过程相对应：我们的对信号的采 集总是在有限的时间内进行有限次的操作。考虑时变信号f(t)，对它 的测量在[0,t]时间内进行，也就是说在此区间内f(t)不为零。为简
理论问题：量子力学中波函数在坐标空间和动量空间 的表示就对应着一对傅立叶变换。
实验数据处理：
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
f
(x)
F
1[ F ()]
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义，
所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
1, 1 2π 2π
傅立叶变换简介
F1()
1 f (x)eixdx, 2π
f (x)
1 2π
F1
(
)ei
xd
F() F [ f (x)]
f
(x)
F
1[ F ()]
傅立叶变换简介
傅立叶变换的性质（假定f（x）的积分存在）
1. 线性
若F[ f1(x)] F1() , F[ f2(x)] F2()
则F[c1 f1(x) c2 f2(x)] c1F1() c2F2 () c1, c2为常数
证明：
F[c1 f1(x) c2 f2 (x)]
计算物理导论
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换简介 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 高维傅立叶变换
傅立叶变换简介
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期
信号都可用正弦函数级数 表示” 1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中
其中 fn f (t n ), Fk F( k) 。注意傅立叶系数的 数目和采样点的数目相等，都是N个。
快速傅立叶变换
快速傅立叶变换
快速傅立叶变换的基本思想是重新排列采样序列的 顺序并以分级方式进行求和。这种思想早在1886年就 由Gauss提出，但并未受到关注。直到1965年 Cooley和Tukey才正式提出这种算法并把其在计算 机上实现。
下面简单介绍这种算法的思想
快速傅立叶变换
把傅立叶变换中的奇数项和偶数项分开
N / 21
傅立叶变换简介
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要 论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
傅立叶变换简介
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这 个术语来自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函 数和非周期函数的一些基本性质. 傅立叶变换在物理学中 的很多问题中占有很重要的地位，这包括实验的数据处理 与理论问题的计算。