计算物理课件 傅立叶变换
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《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
傅里叶变换的定义与计算ppt课件
解： F f FT rect x
1
2 1
exp
j 2 fx dx
2
1
e jf e jf
j2f
sin f sin c f
f
f x
Ff
1
1
2
2
.
六、广义傅立叶变换
不能用傅立叶变换的定义去确定其傅立叶频谱。 为了解决类似的问题，引入广义傅立叶变换。
一些理想化的函数（cos，step、常数C等）， 它们可以用广义傅立叶变换来讨论。
.
.
.
.
.
.
.
.
教材33页 1.7.5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
欧拉公式:
e e j2n0u x j2n0u x
co2sn0u x
2
e e j2n0 ux j2n0 ux
si2 nn0ux
2j
.
例题： fxrex ct，求它的傅立叶变换 F f ．
gxcos2fxdx j gxsin2fxdx
gr
xcos2f
xdx
gi
xsin2f
xdx
j
gi
xcos2f
xdx
gr
xsin2fxdx
Rf
jI f
.
(1) gx是实函 , 则数 Gf是厄米型函数。 G fG f
(2) gx是实值G 偶 f也 函 是 数 实 ， 值偶 (3) gx是实值G 奇 f也 函 是 数 实 ， 值奇
归纳4种傅里叶变换.ppt
x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）
精品课件-数学物理方法傅里叶变换法
定理 ftiFf t iF()
（2）积分定理
F F
t
f
t
dt
1 i
ft
（3）相似性定理
Ff(ax)
1 a
F(
a
)
2
（4）延迟性定理
F fx x0 e i x0 F( )
2
2 ax at
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx)0(x)
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t,k)(k)ek2a2t
进行傅里叶逆变换可得：
u(x,t)F1[U(t,k)] (k)ek2a2teikdx k
1
[
(
)eikd
]ek2a2teikdx k
2
6
交换积分次序
u (x ,t)1 () [ e k2 a 2 te i( k x )d]d k
2
积分公式： e 2k2ekd k( /a )e2/4 2
u
|t
0
0 0
( (
x x
0) 0)
(x 0) (x 0)
则 ut a2uxx0
u|t020(x)( - x )
u|t020(x)
引用例2结果可得
u(x,t)
20()2a1t
e(x4a2t)2
d
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
（2）积分定理
F F
t
f
t
dt
1 i
ft
（3）相似性定理
Ff(ax)
1 a
F(
a
)
2
（4）延迟性定理
F fx x0 e i x0 F( )
2
2 ax at
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx)0(x)
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t,k)(k)ek2a2t
进行傅里叶逆变换可得：
u(x,t)F1[U(t,k)] (k)ek2a2teikdx k
1
[
(
)eikd
]ek2a2teikdx k
2
6
交换积分次序
u (x ,t)1 () [ e k2 a 2 te i( k x )d]d k
2
积分公式： e 2k2ekd k( /a )e2/4 2
u
|t
0
0 0
( (
x x
0) 0)
(x 0) (x 0)
则 ut a2uxx0
u|t020(x)( - x )
u|t020(x)
引用例2结果可得
u(x,t)
20()2a1t
e(x4a2t)2
d
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
傅里叶变换及反变换PPT课件
即实信号的频谱是共轭对称函数
F( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] F*( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
第14页/共37页
4 共轭特性
f (t) F( j)，则 f * (t) F * ( j)
2
F
(
j
)
e
j
t
d
1
2
F(
j )
d
e
j t
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和；
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F( j )d ，本身是无穷小量， 但F(jw)描述了各频率分量的2相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
④：F(jw) 称为“频谱密度函数”，简称“频谱函数”或“频谱”； F ( j) F ( j) e j() F( j ) ~ 幅度谱； () ~ 相位谱
f (t) 1
F
(
j
)
e
j
t
d
2
第18页/共37页
6 时域展缩特性：
f (t) F( j)，则 f (at) 1 F( j ) , a 是不为零的实数
aa
|a|>1 时域压缩，频域扩展 |a|<1 时域扩展，频域压缩
解： f (at) f (at)e jtdt
1
at
a
1
a
G
(t
)
Sa
2
c
Sact
G2c
( )
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常用的傅里叶变换对
F( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] F*( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
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4 共轭特性
f (t) F( j)，则 f * (t) F * ( j)
2
F
(
j
)
e
j
t
d
1
2
F(
j )
d
e
j t
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和；
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F( j )d ，本身是无穷小量， 但F(jw)描述了各频率分量的2相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
④：F(jw) 称为“频谱密度函数”，简称“频谱函数”或“频谱”； F ( j) F ( j) e j() F( j ) ~ 幅度谱； () ~ 相位谱
f (t) 1
F
(
j
)
e
j
t
d
2
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6 时域展缩特性：
f (t) F( j)，则 f (at) 1 F( j ) , a 是不为零的实数
aa
|a|>1 时域压缩，频域扩展 |a|<1 时域扩展，频域压缩
解： f (at) f (at)e jtdt
1
at
a
1
a
G
(t
)
Sa
2
c
Sact
G2c
( )
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常用的傅里叶变换对
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
数学物理方法5傅里叶变换
图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
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f ( x) = ∫ F3 (ω )ei2πω x dω
−∞ +∞
3.第三种定义式 第三种定义式
F3 (ω ) = ∫
+∞
−∞
f (t )e
− i2πω x
dx,
三者之间的关系为
1 1 ω F1 (ω ) = F2 (ω ) = F3 ( ) 2π 2π 2π
傅立叶变换简介
三种定义可统一用下述变换对形式描述
1 ∞ F(ω) = f1(x)e−iωxdx 2π ∫−∞ F(ω) = F[ f (x)]
傅立叶变换简介
2.平移性（延迟） 平移性（延迟） 平移性
F[ f (x − x0 )] = e−iωx0 F(ω)
证明： 证明：
1 ∞ F[ f (x − x0 )] = f (x − x0 )e−iωxdx ∫−∞ 2π 作 换 y = x − x0 , 则 代 F[ f (x − x0 )] = =e
1 +∞ F (ω) = f (x)e−iωxdx, 1 ∫−∞ 2π
1 +∞ f (x) = F (ω)eiωxdω ∫−∞ 1 2π
傅立叶变换简介
2.第二种定义式 第二种定义式
F2 (ω ) = ∫
+∞
−∞
f ( x )e
− iω x
dx,
1 +∞ iω x f ( x) = ∫−∞ F2 (ω )e dω 2π
−iωx0
1 2π
∫
∞Байду номын сангаас
−∞
f ( y)e−iω( y+x0 )dy
1 2π
∫
∞
−∞
f ( y)e−iωydy
= e−iωx0 F(ω)
傅立叶变换简介
3.相似性（扩展） 相似性（扩展） 相似性
1 ω F[ f (ax)] = F( ) a a
证明： 证明：
∞ 1 F[ f (ax)] = f (ax)e−iωxdx − 2π ∫ ∞ 作 换 y = ax , 则 代
傅立叶变换简介
傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式， 在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果， 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式： 转换，特给出如下关系式： 1.第一种定义式 第一种定义式
F[ f (ax)] =
1 2π
∫
∞
−∞
f ( y)e
−i
ω
a
y
1 dy a
−i y ∞ 1 1 = f ( y)e a dy − a 2π ∫ ∞ 1 ω = F( ) a a
F (ω ) = F [ f ( x)] f ( x) = F −1[ F (ω )]
傅立叶变换简介
傅立叶变换的性质（假定 （ ）的积分存在） 傅立叶变换的性质（假定f（x）的积分存在） 1. 线性
若 [ f1(x)] = F (ω) , F[ f2 (x)] = F2 (ω) F 1
傅立叶变换简介 傅立叶的两个最主要的贡献—— 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 号的加权和” 号的加权和”——傅里叶的第一个主要 傅里叶的第一个主要 论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要论点
F (ω ) = F [ f ( x)] −1 f ( x) = F [ F (ω )]
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
1 1 , 2π 2π
傅立叶变换简介
1 +∞ F (ω) = f (x)e−iωxdx, 1 ∫−∞ 2π 1 +∞ f (x) = F (ω)eiωxdω ∫−∞ 1 2π
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的． 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如 在初等数学中， 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算． 简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算， 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用． 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
傅立叶变换简介
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系． 傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这 个术语来自于光学.通过对频谱的分析， 个术语来自于光学 通过对频谱的分析，可以了解周期函 通过对频谱的分析 数和非周期函数的一些基本性质. 数和非周期函数的一些基本性质 傅立叶变换在物理学中 的很多问题中占有很重要的地位， 的很多问题中占有很重要的地位，这包括实验的数据处理 与理论问题的计算。 与理论问题的计算。 理论问题： 理论问题：量子力学中波函数在坐标空间和动量空间 的表示就对应着一对傅立叶变换。 的表示就对应着一对傅立叶变换。 实验数据处理： 实验数据处理：
则 [c1 f1(x) + c2 f2 (x)] = c1F (ω) + c2F2 (ω) F 1
证明： 证明：
c1, c2为 数 常
1 F[c1 f1(x) + c2 f2 (x)] = 2π = c1F (ω) + c2F2 (ω) 1
∫
∞
−∞
[c1 f1(x) + c2 f2 (x)]e−iωxdx
计算物理导论
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换简介 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 高维傅立叶变换
傅立叶变换简介
傅里叶生平
1768年生于法国 年生于法国 1807年提出“任何周期 年提出“ 年提出 信号都可用正弦函数级数 表示” 表示” 1829年狄里赫利第一个 年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 年首次发表在“ 年首次发表在 的分析理论” 的分析理论”一书中
−∞ +∞
3.第三种定义式 第三种定义式
F3 (ω ) = ∫
+∞
−∞
f (t )e
− i2πω x
dx,
三者之间的关系为
1 1 ω F1 (ω ) = F2 (ω ) = F3 ( ) 2π 2π 2π
傅立叶变换简介
三种定义可统一用下述变换对形式描述
1 ∞ F(ω) = f1(x)e−iωxdx 2π ∫−∞ F(ω) = F[ f (x)]
傅立叶变换简介
2.平移性（延迟） 平移性（延迟） 平移性
F[ f (x − x0 )] = e−iωx0 F(ω)
证明： 证明：
1 ∞ F[ f (x − x0 )] = f (x − x0 )e−iωxdx ∫−∞ 2π 作 换 y = x − x0 , 则 代 F[ f (x − x0 )] = =e
1 +∞ F (ω) = f (x)e−iωxdx, 1 ∫−∞ 2π
1 +∞ f (x) = F (ω)eiωxdω ∫−∞ 1 2π
傅立叶变换简介
2.第二种定义式 第二种定义式
F2 (ω ) = ∫
+∞
−∞
f ( x )e
− iω x
dx,
1 +∞ iω x f ( x) = ∫−∞ F2 (ω )e dω 2π
−iωx0
1 2π
∫
∞Байду номын сангаас
−∞
f ( y)e−iω( y+x0 )dy
1 2π
∫
∞
−∞
f ( y)e−iωydy
= e−iωx0 F(ω)
傅立叶变换简介
3.相似性（扩展） 相似性（扩展） 相似性
1 ω F[ f (ax)] = F( ) a a
证明： 证明：
∞ 1 F[ f (ax)] = f (ax)e−iωxdx − 2π ∫ ∞ 作 换 y = ax , 则 代
傅立叶变换简介
傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式， 在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果， 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式： 转换，特给出如下关系式： 1.第一种定义式 第一种定义式
F[ f (ax)] =
1 2π
∫
∞
−∞
f ( y)e
−i
ω
a
y
1 dy a
−i y ∞ 1 1 = f ( y)e a dy − a 2π ∫ ∞ 1 ω = F( ) a a
F (ω ) = F [ f ( x)] f ( x) = F −1[ F (ω )]
傅立叶变换简介
傅立叶变换的性质（假定 （ ）的积分存在） 傅立叶变换的性质（假定f（x）的积分存在） 1. 线性
若 [ f1(x)] = F (ω) , F[ f2 (x)] = F2 (ω) F 1
傅立叶变换简介 傅立叶的两个最主要的贡献—— 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 号的加权和” 号的加权和”——傅里叶的第一个主要 傅里叶的第一个主要 论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要论点
F (ω ) = F [ f ( x)] −1 f ( x) = F [ F (ω )]
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
1 1 , 2π 2π
傅立叶变换简介
1 +∞ F (ω) = f (x)e−iωxdx, 1 ∫−∞ 2π 1 +∞ f (x) = F (ω)eiωxdω ∫−∞ 1 2π
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的． 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如 在初等数学中， 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算． 简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算， 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用． 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
傅立叶变换简介
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系． 傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这 个术语来自于光学.通过对频谱的分析， 个术语来自于光学 通过对频谱的分析，可以了解周期函 通过对频谱的分析 数和非周期函数的一些基本性质. 数和非周期函数的一些基本性质 傅立叶变换在物理学中 的很多问题中占有很重要的地位， 的很多问题中占有很重要的地位，这包括实验的数据处理 与理论问题的计算。 与理论问题的计算。 理论问题： 理论问题：量子力学中波函数在坐标空间和动量空间 的表示就对应着一对傅立叶变换。 的表示就对应着一对傅立叶变换。 实验数据处理： 实验数据处理：
则 [c1 f1(x) + c2 f2 (x)] = c1F (ω) + c2F2 (ω) F 1
证明： 证明：
c1, c2为 数 常
1 F[c1 f1(x) + c2 f2 (x)] = 2π = c1F (ω) + c2F2 (ω) 1
∫
∞
−∞
[c1 f1(x) + c2 f2 (x)]e−iωxdx
计算物理导论
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换简介 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 高维傅立叶变换
傅立叶变换简介
傅里叶生平
1768年生于法国 年生于法国 1807年提出“任何周期 年提出“ 年提出 信号都可用正弦函数级数 表示” 表示” 1829年狄里赫利第一个 年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 年首次发表在“ 年首次发表在 的分析理论” 的分析理论”一书中