傅里叶变换全解
傅里叶变换推导详解
傅里叶变换推导详解三角函数标准形式为公式2.1所示f\left( t \right) = Asin\left( \omega t + \varphi\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\ \在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t为时间变量,A为波幅, ω为角速度, φ为相位，我们可以通过公式2.2求得这个正弦波的频率。
f = \frac{\omega}{2\pi}\ (2.2)根据等式2.2，角速度和正弦波的频率是正相关的。
同时，因为三角函数是周期函数，其在-π到π的积分必定为0，由此性质可写出式2.3，2.4\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.3)}}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)}}设某三角函数为f\left( x \right) = \sin\left( \text{nx} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.5)在式2.5两边同时乘以 \sin\left( \text{mx} \right) 同时,对两边在-π到π内进行积分,得出\int_{- \pi}^{\pi}{f\left( x \right)sin(mx)dx} =\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx}\right)sin(mx)dx}\ \ \ \ \ (2.6)由三角函数的积化和差公式,上式可变形为\int_{- \pi}^{\pi}{f( x )\sin( \text{mx} )\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack - \cos\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} - \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.7)依据上述推导方法我们可以继续推导出下列公式:\int_{-\pi}^{\pi}{\cos( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack + \cos\lbrack ( m + nx ) \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ (2.8)\int_{-\pi}^{\pi}{\sin( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \sin\lbrack ( m - n )x \rbrack + \sin\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.9)因为三角函数在-π到π内的积分为0,因此当 m \neq n 时,式2.7、2.8、2.9的结果必定为0，因此可以得出以下结论，频率不同的三角函数相乘在一个周期内(-π到π)的积分必定为0。
傅里叶变换通俗理解
傅里叶变换通俗理解傅里叶变换（简称Fouriertransform）是一种数学变换，它是把一个时间序列的信号变换成一种频率特征的表示，它已成为信号处理的重要技术手段，是现代信号处理和信道分析的基础。
立叶变换广泛用于声学、信号处理、智能控制等领域。
是一种研究时间域信号的频率域特性的工具，它可以把一个时间序列的信号（或者其它序列）变换成一组由频率和幅度组成的复数信号，从而在频率域上去描述时域信号的幅度与频率的分布特点。
在传统的数学上，傅里叶变换的定义是把一个函数在时间域上的函数值转换为它在频率域上的复变函数值。
谓频率域，是指当我们把时域上的函数用角频率ω表示时，这个函数就变成了频率域上的函数。
是一种从时空域到频率域的变换，是基于函数在时域上的函数值变换到在频率域上的函数值。
也就是把函数在时间域上的函数值转换为它在频率域上的复变函数值。
傅里叶变换是一种基于函数在时域上的函数值变换到在频率域上的函数值的过程，它可以将信号从时域变换到频域，这样就可以使用频域的分析来处理信号，而不需要考虑时域的变化情况。
傅里叶变换的基本思想是，任何一个信号都可以看作一系列正弦波的和。
但是实际上，傅里叶变换有多种形式，比如离散傅立叶变换、快速傅立叶变换等，这些变换都可以把时域上的信号转换到频域上。
一般情况下，傅里叶变换可以用来分析信号的频率组成，分解出低频成分和高频成分，从而判断信号的特性。
还可以用来过滤不需要的信号，为信号处理提供有效的方法。
例如，傅里叶变换可以把时域信号中的低频成分过滤掉，然后再进行高频信号的处理，从而可以获得较好的结果。
傅里叶变换也可以用来估计不可测量的频率参数，例如相位和幅度，从而可以用来推断信号的结构特性。
样还可以用来估计时间滞后性及其影响，这在多媒体信号处理中尤为重要。
因此我们可以看出，傅里叶变换在信号处理上拥有很强的功能，不但可以把信号从时域转换成频域，还能用来获取信号的特征分析，精确估计信号的参数等。
傅里叶变换的性质解析
3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去
间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
• 推论
• F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
5
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F (w ) F
[- jtf (t)].
一般地, 有
dn
dw n
F (w )
(-
j) n F
[t n f (t)]
jn
dn
dwn
F (w) F
[t n f (t)]
6
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t )d t 0 -
则
F
t -
f
(t
)d
t
1
jw F
[ f (t)].
2j
2j
则g(t) e j2t
G(w
-
2)
1
1
j(w
-
2)
g (t) e- j2t
G(w
2)
1
1
j(w
2)
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
15
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
-
j 2
1 j(w (1 jw
信号课件第三章傅里叶变换
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
详解傅里叶变换公式
详解傅里叶变换公式傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换到频域信号的数学方法。
它可以将一个信号分解为不同频率的正弦波之和，从而揭示信号的频率结构。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信、物理学等领域具有广泛的应用。
首先，我们要理解时域（Time Domain）和频域（Frequency Domain）的概念。
1. 时域：在时域中，信号表示为时间轴上的函数，例如：```f(t) = A * cos(2 * π* t) + B * sin(2 * π* t)```在这个例子中，f(t) 是一个正弦波函数，t 是时间。
2. 频域：在频域中，信号表示为频率轴上的函数，例如：```F(ω) = A * cos(2 * π* ω) + B * sin(2 * π* ω)```在这个例子中，F(ω) 是一个正弦波函数，ω是频率。
傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，公式如下：```F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^(-jωt) dt```其中，F(ω) 是频域信号，ω是频率，t 是时间，j 是虚数单位，e 是自然对数的底数。
傅里叶变换的逆变换公式如下：```f(t) = ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^(jωt) dω```现在，我们来通过一个简单的例子来说明傅里叶变换。
假设我们有一个正弦波信号，如下所示：f(t) = A * sin(2 * π* t) + B * sin(2 * π* t + π/4)```我们可以使用傅里叶变换将其转换为频域信号，如下所示：```F(ω) = A * cos(2 * π* ω) + B * cos(2 * π* ω+ π/2)```通过傅里叶变换，我们可以看到信号中包含的主要频率成分。
例如，在这个例子中，我们可以看到信号主要包含两个频率成分：一个是A = 1，ω= π/2 的正弦波，另一个是B = 1，ω= π/4 的正弦波。
五种傅里叶变换解析
五种傅里叶变换解析标题：从简到繁：五种傅里叶变换解析引言：傅里叶变换是数学中一种重要且广泛应用于信号处理、图像处理和物理等领域的工具。
它的基本思想是将一个信号或函数表示为若干个不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号或函数的频谱特性。
本文将展示五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开，帮助读者逐步理解傅里叶变换的原理与应用。
第一部分：离散傅里叶变换（DFT）在此部分中，我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和算法。
我们将讨论DFT的离散性质、频域和时域之间的关系，以及如何利用DFT进行频域分析和滤波等应用。
此外，我们还将探讨DFT算法的时间复杂度，以及如何使用DFT来解决实际问题。
第二部分：快速傅里叶变换（FFT）在这一部分中，我们将深入研究快速傅里叶变换算法，并详细介绍其原理和应用。
我们将解释FFT如何通过减少计算量和优化计算过程来提高傅里叶变换的效率。
我们还将讨论FFT算法的时间复杂度和几种不同的FFT变体。
第三部分：连续傅里叶变换（CTFT）本部分将介绍连续傅里叶变换的概念和定义。
我们将讨论CTFT的性质、逆变换和时频分析的应用。
进一步，我们将引入傅里叶变换对信号周期性的描述，以及如何利用CTFT对信号进行频谱分析和滤波。
第四部分：离散时间傅里叶变换（DTFT）在这一章节中，我们将介绍离散时间傅里叶变换的基本原理和应用。
我们将详细讨论DTFT的定义、性质以及与DFT之间的关系。
我们还将探讨DTFT的离散频率响应、滤波和频谱分析的相关内容。
第五部分：傅里叶级数展开最后，我们将深入研究傅里叶级数展开的原理和应用。
我们将解释傅里叶级数展开如何将周期函数分解为多个不同频率的正弦波的叠加。
我们还将讨论傅里叶级数展开的收敛性和逼近性，并探讨如何利用傅里叶级数展开来处理周期信号和周期性问题。
结论：综上所述，本文介绍了五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开。
傅里叶变换
f ( x) dx
收敛，则f(x) 可表示为傅里叶积分，且：
傅里叶积分值=[f(x+0) + f(x-0) ]/2
f (x) 0 A() cos(x)d 0 B()sin( x)d
0 C() cos[x ()]d
C() A2 () B2 ()
为振幅谱
() arctg[B() / A()] 为相位谱
傅里叶积分定理
对于偶函数，有傅里叶余弦积分
f (x) 0 A() cos(x)d
A()
2
0
f
( ) cosd
对称写法
f (x)
2
A() cos(x)d
0
A()
2
f ( ) cosd
0
对于奇函数，傅里叶正弦积分
f (x) 0 B()sin x)d
B( )
2
0
f
( ) sin
d
对称写法
f (x)
l
l
f ( )sin
n d
l
l l
[a0
k 1
(ak
cos
k
l
bk
sin
k
l
)]sin
n
l
d
bk
1 l
l l
f ( )sin k d
l
ak bk
称为周期函数 的傅里叶系数
狄里希利定理：(傅里叶级数收敛条件）
若f(x)满足： (1)、处处连续，或在每个周期有有限个第一类间断点 (2)、或在每个周期有有限个极值点，级数收敛
2 0
x
0
x
a
0
sin( a )x dx
0
x
傅里叶变换结果解释
傅里叶变换结果解释傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学方法，用于将时域信号转换为频域信号。
它是数学家约瑟夫·傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）在19世纪提出的，是信号处理领域中非常重要的基本工具。
傅里叶变换不仅可以将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，还可以在频域中对信号进行分析和处理。
傅里叶变换的数学表示为：F(ω) = ∫f(t)·e^(-iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的复数表示，f(t)表示时域中的函数，ω是角频率，e是自然对数的底数。
傅里叶变换将f(t)从时域映射到频域，得到的结果可以反映信号在不同频率上的能量分布情况。
傅里叶变换的结果可以通过频谱图来表示，频谱图是将频率和幅度绘制在坐标轴上的图形。
频谱图可以提供关于信号频率成分的重要信息。
傅里叶变换的结果解释如下：1. 频率分量分析：傅里叶变换将信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波。
通过分析变换结果中的频率分量，可以了解信号中不同频率成分的贡献程度。
频率分量越高，代表信号中包含的高频信号越多。
2. 能量分布：傅里叶变换的结果反映了信号在不同频率上的能量分布情况。
在频谱图上，幅度越大代表该频率上的能量越强。
可以通过观察傅里叶变换结果的幅度谱，在频域中找到信号的主要频率成分。
3. 频域滤波：傅里叶变换可以用于频域滤波，即通过在频谱图上调整幅度谱，实现对信号中特定频率的滤波操作。
通过抑制或增强特定频率成分，可以对信号进行去噪、降噪、增强等操作。
4. 逆变换：傅里叶变换之后，可以进行逆变换将信号从频域回变为时域。
逆变换结果与原始信号相同，但可能存在微小的误差。
逆变换使得我们可以在频域对信号进行处理后，再将其还原到时域进行进一步的分析或应用。
总结起来，傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学方法，其结果可以通过频谱图来表示。
通过观察傅里叶变换的频率分量、能量分布以及进行频域滤波和逆变换等操作，我们可以深入理解信号的特性和结构，为信号处理、图像处理、通信等领域提供基础工具和方法。
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计算推导傅里叶变换全息图的记 录和重现表达式
傅里叶变换全息图不是记录物光波本身，而是记录物光波的傅里叶变换频谱。利用透 镜的傅里叶变换性质，将物置于透镜的前焦面上，而在透镜的后焦面上就得到物光波 的频谱，再引入一参考光与之相干涉，便可记录下物光波的傅里叶变换全息图。本实 验是用平行光照明方式记录和重现傅里叶变换全息图的原理光路。 设物光波分布为 g(x,y)，则其空间频谱分布为：
预期目标
通过对傅里叶变换全息图在光学 存储技术中的应用探讨与分析，了解 影响傅里叶全息图质量的因素，并改 变不同因素大量地实验得到最佳拍摄 条件。此外，利用旋转复用技术法， 重现时，通过不同角度可以观察到不 同图像。
Байду номын сангаас 进度
2015年1月1日—2015年月15日，查阅资料，拟定论文 写作大纲； 2015年1月16日—4月30日，完成毕业论文初稿； 2015年5月1日—5月14日，修改论文初稿； 2015年4月15日—5月24日，毕业论文定稿和装订； 2015年5月25日—6月9日，毕业论文答辩。
式中，第1，3项是函数，表示直接透射光经透镜会聚在像面中心产生的亮点；第二项 是物光分布的自相关函数，形成焦点附近一种晕轮光；第4项是原始像的复振幅，中心 位于反射坐标系的点；第五项是共轭像的复振幅，中心位于反射坐标系的点，两者都 是实像。
设物体在y方向的宽度为wy，则其自相关函数的宽度为2wy，因此，欲使重现象不受晕 轮光的影响，必须是3 wy/2 ,在安排记录光路时应保证满足这一条件。 傅里叶变换全息图的记录： 傅里叶变换全息图的再现：
了解傅里叶变换全息图的应用价值及其研 究的现实意义。 计算推导傅里叶变换全息图的记录和重现 表达式。 对影响傅里叶变换全息图质量不同的因素 进行大量实验。 对运用于包装装潢中的傅里叶全息图复用 技术的研究。
了解傅里叶变换全息图的应用价 值及其研究的现实意义
傅里叶变换全息图具有高密度，大容量， 冗余信息等特性，使它在光信息存储中具 有很大的优势和吸引力。通过大量的实验 得到最优的拍摄条件，大大提升全息图在 存储领域的优势。同时，傅里叶全息图的 空间复用技术可以应用于包装装潢中，提 升商品竞争力。故研究傅里叶变换全息图 在光学存储技术中的应用具有现实意义。
参考光是由位于物平面上点处的点源: 通过透镜后形成倾斜的平行光。因此，在后焦面上记录的合光场及其光强分别是：
在线性记录条件下，全息图的振幅透过率为：
重现时，假定用振幅为B0 的平面波垂直照明此全息图，则其透射光波的复振幅为：
式中第四项包含原始物的空间频谱，第五项包含共轭频谱，这两个频谱分布在相反的方 向，各有一个位相倾斜，倾斜角为 。 为了得到物体的重现象，必须对全息 图的透射光场做一次逆傅里叶变换。为此，可将全息图置于一透镜的前焦面上，在透镜 的后焦面上就得到物体的重现象。根据傅里叶变换有关定理，后焦面上的光场分布为：
傅里叶变换全息图在光学 存储技术中的应用
导 师：施鹏程 报告人：陈明猷
主要内容
内容背景与简介 选题的目的与任务 研究内容 预期的目标 进度安排与参考文献
背景与简介
随着计算机和多媒体技术的发展，需要处理和存 储的数据量大幅度增加，人们对大容量的信息存 储技术的需求也日益迫切。傅里叶变换全息图记 录的是物体的频谱，其重现像的质量受曝光时间， 参考光与物光的光强之比，参考光与物光夹角， 离焦量等因素的影响。因此研究傅里叶变换全息 图最佳拍摄条件可以大大提高其全息存储优势。
目的与任务
目的：1.了解全息存储的发展状况。 2.了解透镜的傅里叶变换性质。 3.优化拍摄傅里叶变换全息图的实验条件。 4.研究傅里叶变换全息图在包装装潢中的应用。 任务：1.对影响傅里叶变换全息图质量不同的因素进行大量 实验。 2.对运用于包装装潢中的傅里叶全息图复用技术的研究。
研究内容
参考文献
张青兰;武银兰; 傅立叶变换全息图的优化拍摄[J]; 大 学 物 理 实 验;2012年第4期 王 也; 高 密 度 体 全 息 存 储 器 的 光 学 系 统 设 计[D];北京工业大学博士学位论文;2006年 6月 浦东林;光刻胶傅里叶全息图的记录条件及防伪应用研究[D];苏州大学硕士学位论文;2003年5月. 张德攘;陆滨灵; 用傅立叶变换全息图进行超缩微存贮的实验研究[J]; 西安电子科技大学学报 ;1990年9月 高永伟; 俞艳蓉; 全 息 摄 影 技 术 的 实 验 研 究[J]; 宁 夏 工 程 技 术;2011年12月 曹阳; 郑波; 傅立叶变换全息实验及信息存储[J]; 教育教学论坛;2014年8月 曹雪官; 周华鹏; 傅立叶变换全息术应用[J];西安应用光学研究所[J];2014年8月 Jan.Ju一Seong,Shin.Dong一hak,Holographic data storage by combined use of PeristroPhic,angular,and spatial multiplexing,Optical Engineering,2000,39(11), 2975 一2981 D.A.Waldman, C.J.Butler and D.H. Raguin. CROP holographic storage media for optical data storage at greater than 100bits/µ m2. Proceeeding of SPIE. 2003, 5216, p10-25 Marc Dubios,Xiaolei Shi, Christoph Erben et al.Characterization of microlograms recordsed in a themoplastic medium for three-dimensional optcial data storage[J].Opt.Lett,2005,30(15),1947~1949
谢谢大家
傅里叶变换全息图的实验光路：
对影响傅里叶变换全息图质量不 同的因素进行大量实验
曝光时间 参考光与物光的光强之比 参考光与物光夹角 离焦量
对运用于包装装潢中的傅里叶全 息图复用技术的研究
利用旋转复用技术： 在记录时保持两记录光束光路不变,每记录 一个全息图,将记录全息干板绕垂直于自身 表面的轴旋转一个角度,记录全息图的位置 是旋转的中心。