离散数学+高等里离散数学 课件 CHAP11

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§11.2 欧拉公式
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欧拉公式
• 定理11.2.1(欧拉公式)：对任何一个简单连通平 面图G (p, q, r)均满足：p – q + r = 2 . • 证明：对面数r作归纳证明。 • 当r=1时，G是树，此时q = p – 1，结论成立。 • 假设对G (p, q, r-1)， r2，结论成立，设G是有 r个面的平面图，G至少有一条回路。设e是某回 路上的边，G –e仍是连通平面图，它有p个顶点， q –1条边和r –1个面，由归纳假设有， p –(q – 1)+(r –1) = 2。整理即得 p – q + r = 2。 • 由归纳法原理，欧拉公式成立。
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K3,3是不可平面图
• 推论11.2.5：K3,3是不可平面图。
• 证明：因K3,3是二分图，故它不含K3 ，假设
K3,3是可平面图，则由推论11.2.4知
9 = q 2p – 4 =26 – 4 = 8 ,
即 ：9 8 ，矛盾。故结论成立。
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简单平面图的最小度小于6
d( fi ) =2q , (i =1 , 2 , ,r). • 证明：由于G的每条非割边恰属于两个面，所 以，在计算这两个面的次数时，该边计算两次， 而割边只属于一个面，但由规定也计算了两次， 故上式成立，即所有面的总次数为边数的两倍。 • 对比：d( vi ) =2q，(i =1 , 2 , , p)，即所有 顶点的总度数为边数的二倍。
• 推论11.2.6：任何简单连通平面图G (p, q, r)均有 (G) ＜ 6。 • 证明：若(G) 6，则 • q = (1/2) d( vi ) (2q = d( vi ) ) • (1/2)p (G) (6/2)p > 3p – 6 , • 此与推论11.2.2( 对任何简单连通平面图G (p, q, r) ( p 3)，都有 q 3p – 6 )矛盾。故结论成立。
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平面图的面
• 定义11.1.2：设G是一个平面图，平面被G的边所 围成的区域称为面，这些边称为该面的边界；其 中有限区域对应的面称为内部面，无限区域对应 的面称为外部面(用f0表示)。 • 用G(p, q, r)表示一个p个顶点，q条边以及r个面的 平面图。 • 一个面 f 所包含的边数称为 f 的次数，记为d( f ) ， 若边为割边，则计算两次。
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极大平面图的五个性质
• 定理11.2.2：设简单连通平面图G (p, q, r) 是极大平面图( p 4) ，于是 ①q = 3p – 6 ; ②r = 2p – 4 ; ③(G) 3; ④(G) 3 ; ⑤G中至少有4个顶点的度不超过5 .
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§11.3 可平面性判定
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剖分图
• 定义11.3.1：设G是一个图，e = uv ∈ E(G)，
在G –uv中增加一个新点w及边wu , wv .称此过 程为对图G的一次剖分运算。如果H是由G经过 有限次剖分运算得到的，则称H是G的剖分图。 • 直观地说，剖分就是在图的某边上加个顶点。 右边就是K4的剖分。
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极大平面图连通度不小于3
• 证明：∵G的面都是K3，∴ (G) 2。 • 假设(G) = 2 ，则有顶点割S ={u, v}。其中的u和 v都应该与G – S的至少两个连通分支中的顶点在 G中邻接。 • 不妨设在G的一个平面嵌入G 中与u邻接的点按环 绕u的顺序依次为u1, , ut。 • 而 u1, , ut中除可能有一点是v外，其余的点分别 属于G–S的至少两个分支，必有两点ui和ui+1分属 G – S的两个不同分支。
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平面图的同构
• 定义11.1.3：设G和H是两个平面图。如果 并且 f 是G中一个由途径uvwu围成的面当 且仅当(u)(v) (w)(u)围成H的一个面 f ’ , 则称G与H同构。有时可省略。 • 例1中图⑵与图⑶就是平面图同构。
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图的同构与平面图的同构
证明：设G的顶点集V = {v1 , v2 , , vp}。 若对i = 1, 2, , p –3，均有d(vi) 6，则由性 ？ 质④， 对i = p–2 , p–1, p，有d(vi) (G) 3。 于是，6p –21= 2q –9
2q – d( v ) (这里j = p–2, 因为由性质①，q j= 3p – 6 ，于是p-1, p) = d(vi ) (这里i =1, 2q , p –3) 6p – 12 = 2, 6(p –3) = 6p –18 . 此为矛盾，故结论成立。
• 如果两个图是平面图同构，则必是两个同构的图。 可是两个同构的图不一定是平面图同构。 • 例1中图⑴与图⑵和图⑶是同构的图，但图⑴却不 是平面图，因而不可能和它们平面图同构。 • 下面两个平面图是图同构，但不是平面图同构：
G
3 6 4
2 1 5
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H
6’
3’
4’
2’
1’ 5’
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外平面图
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可平面图的充要条件
• 定理11.3.1 (Kuratowski定理) 一个图是 可平面图的充分必要条件是它不包含K5 或K3,3的剖分图. • 该定理亦可描述为：一个图是可平面的 当且仅当它没有一个可以收缩到K5或K3,3 的子图。
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§11.1 平面图的概念
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平面图
• 定义11.1.1：设G是平面上由有限个点及以这些点 为端点的有限连续曲线所组成的图形，如果G中 任意两条线最多只在它们的端点处相交，称G为 平面图。
• 例1，⑴图不是平面图， ⑵和⑶是平面图。
⑴
⑵
⑶
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可平面图
• 上例中的图⑴虽然不是平面图，但是却和 图⑵和图⑶是同构的，这样的图称为可平 面图。 • 可平面图：如果一个图G与一个平面图H同 构，称G是可平面图；而称H是G的一个平 面嵌入。 • 上例中的图⑴是可平面图，图⑵和图⑶是 图⑴的两个平面嵌入。
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计算下图中各面的次数：
2 f0 4 f0 3 f1 f2
1
f1
(a) • d( f0 ) = 3 ; • d( f1 ) = 5 。
(b) d( f0 ) = 8 ; d( f1 ) = 3 ; d( f2 ) = 3 .
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面的总次数为边数的两倍
• 定理11.1.1：对任何平面图G(p, q, r) ,有
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v1
v2
v4
v1 v4
v3
v2 v3
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极大平面图的面都是三角形
证明：… ⑶若v1与v3邻接，且 v2与v4邻接， 则v1v2v3v4v1所围成的区域是内部 面。 因此边v1v3，v2v4都在此 面之外，因而必相交, 此与G的 可平面性矛盾。 综合以上，知结论成立。
v1 v4 v2 v3
• 推论11.2.4：若简单连通平面图G (p, q, r) 的每个面均不是K3 ，则 q 2p – 4 . • 证明：由假设每个面的次数至少不小于4。 ∴ 2q = d( fi ) 4r • 即 r q /2 ,从而由欧拉公式有 2 = p – q + r p – q + q /2 = p – q /2 整理后得 q 2p – 4 .
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面等次平面图中边与点的关系
• 推论11.2.1：若简单连通平面图G (p, q, r) 的每个面的次数均为m , 则 q = m(p – 2) / (m – 2) • 证明：由定理11.1.1，2q = d( fi ) = mr ， 解出r，代入欧拉公式, 得 p – q + (2/m)q = 2 整理上式即得证。
第十一章
平面图
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图中的边不要交叉
• 实际中的很多问题都涉及到一个图中的边是否会 交叉的问题。例如：单面印刷电路板，集成电路 的布线，交通设计问题；等等。 • 由此便抽象出平面图的概念：没有交叉 (这里当然 不是指在端点处的相互邻接）的边的图。 • 一个有交叉的边的图能不能转换成与之同构的平 面图，显然是人们所关注的问题。 • 本章就是介绍平面图以及平面图的性质。
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K5是不可平面图
• 推论11.2.3 K5是不可平面图。
• 证明：若K5是可平面图，则由推论11.2.2知 q 3p – 6 ，于是 10 = q 3p – 6 =35 – 6 = 9 , 即 ：10 9 ，矛盾。故结论成立。
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无3次面的平面图边数的上界
说明：对一个不是极大的
可平面图，可以添加一些 边以得到一个极大可平面 图。(如图)
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极大平面图的面都是三角形
• 定理11.1.2 极大简单平面图的任何一个面都是三 角形K3。 • 证明： (反证)设G是极大简单平面图。若G的某个 面 f 不是K3，不妨设 f 由闭途径v1v2vnv1围成， 且d(f) = n 4。为简单起见，不妨设n = 4，即f 由闭途径v1v2v3v4v1围成。则 f 只有以下三种情况： ⑴v1与v3不邻接；⑵v1与v3邻接，而v2与 v4不邻接； ⑶ v1与v3邻接，而v2与 v4也邻接。 • 下面我们对这三种情况分别予以讨论：
• 定义11.1.4：图G称为外可平面图，如果它有一个 平面嵌入H，使得G的所有顶点均在H的同一个面 的边界上，这时，称H为外平面图。