有增援的正规战争模型
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα&&。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
数学建模正规战与游击战ppt课件
6
f=ay
a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵 的杀伤率（单位时间的杀伤数）， 称乙方的战斗有效系数。可以进一 步分解为a=ry py，其中ry是乙方的射 击率（每个士兵单位时间内射击次 数），py是每次的命中率。
进一步分析某一方譬如乙方获胜
条件。由(6)式并注意到a , b的含义,乙 方获得胜利的条件可表示为
y0 x0
2
b a
rx ry
px py
(7)
12
Y(t)
k a
0
k
x(t)
b
图5-6 正规战争模型的相线
13
(7)式表明双方初始兵力之比y0/x0 以平方关系影响着战争结局。例如若
乙方的兵力增加到原来的2倍（甲方 不变），则影响战争结局的能力增加
2
2 • 0.1• 0.1106 2 •1•100
100
（18）
即y0/x0>10，乙方必须10倍于甲方的 兵力。
美国人曾用这个模型分析越南战 争（甲方是越南，乙方为美国）。更 具类似于上面的计算以及四五十年代 发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老 挝等地的混合战争的实际情况估计出，
27
正规部队一方要想取胜必须派出8 倍于游击部队的兵力，而美国最 多只能够派出6倍于越南的兵力。 越南战争的结局是美国不得不接 受和谈撤军，越南人民取得最后 的胜利。
由此可以写出关于x(t)、y(t)的微 分方程为
x(t) f (x, y) x u(t), 0 y(t) g(x, y) x v(t), 0 （1）
空间信息支援下的兰彻斯特作战模型
《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
硫磺岛战役分析
解：用()A t 和()J t 分别表示在t 天时的美军和日军的人数（兵力），t=1,2,3，···，36； a,b 分别表示日军和美军的杀伤率（战斗有效系数）；利用正规战争模型（忽略非战斗减员），且日军的增援情况为()v t =0，即美 日兵力 ()A t ()J t 战斗减员 -a ()J t - b ()A t 非战斗减员 0 0 增援 ()p t 0再加上初始条件可得方程组 A ()()()(0)0,(0)21500d aJ t u t dt dJbA t dt A J ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪==⎪⎪⎩○1对方程用求和代替积分可得11()(0)()()ttA t A a J u ττττ===-+∑∑ ○2 1()(0)()tJ t J b A ττ==-∑ ○3 (注意()A τ与()A t 是有区别的)估计c 的值，在○3式中当t=36，由()A t 的实际数据可得到361()A ττ=∑=2037000，（可由每天的伤亡记录得到(图中不是很明显能看出来，可以根据曲线有推得某几天的平均伤亡情况)）由此可以估计出361(0)(36)()J J b A ττ=-=∑=2150020372500=0.0106。
再把这个值带入○3式即可算得()J t ，t=1,2,3, (36)然后从○2式可估计出a ，令t=36，得361361()(36)()u A a J ττττ==-=∑∑=20265372500=0.0544.把这个值代入○2式得到11()0.0544()()ttA t J u ττττ===-+∑∑ ○4 由○4式就能够算出美军人数()A t 的理论值，如图由正规战争模型的平方律模型可知美军要战胜日军需要在没有增援的情况下人数的初始 200()0.05445.1321()0.0106A t a J t b ⎛⎫>== ⎪⎝⎭，即00() 2.2654()A t J t >=由此正规战争模型的平方律模型可以知道在双方没有支援的情况下美军要在初始的兵力要大于48700才可能战胜日军；美军如果在人数上大大多于日军，将会造成日军很快战败，而且减少己方伤亡数字。
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
Lanchester战争模型分析
其中ry为射击率 , Py为命中率 , 满足 一次射击的有效面积 S ry Py . 甲方活动的面积 Sx
类似 S rx g ( x , y ) dxy, 且d rx Px rx . Sy
S ry Sx
从而,模型为:
dx dt cxy x u (t ) dy dxy y v(t ) dt x(0) x , y (0) y 0 0
36
为估计b, 我们在(9)式中令t 36,由资料得到 A(i) 2037000,
i 1
21500 0 于是b 0.0106, 再回代(9)式, 得到J (t ). 2037000 再由(9)的第一式我们可估计 a, 得到
a
u (i ) A(36) u (i ) 20265
Lanchester战争模型
背景:早在第一次世界大战期间,nchester就提出了几 个预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进 一步解释,用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服 美国1975年结束越南战争起了重要的作用.
1.一般战争模型
用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的 兵力,不妨就假设为双方的士兵数.假设 1.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方 的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示. 2.每方的非战斗减员率(由疾病,逃跑等因素引起的)只与本方的 兵力成正比,分别用αx和βy表示. 3.甲乙双方的增援率是给定的函数,分别用u(t)和v(t)表示. 模型为
模型验证的思想方法:
1.美军每天的实际兵力可由上面的数据和伤亡记录得到. 2.将已经得到的实际数据代入方程组(8),并用求和代替积分. 3.估计出a,b的值.
战争的经济学模型与实证研究
战争的经济学模型与实证研究战争一直以来都是国际关系中的重要议题，它对国家的经济、政治和社会等方面都有深远影响。
在经济学领域，许多学者尝试运用模型和实证研究的方法来探究战争与经济之间的关系。
本文将探讨战争的经济学模型，并分析一些相关的实证研究。
一、战争的经济学模型1.1 公共物品理论公共物品理论是分析战争经济学的一个重要工具。
根据该理论，战争可以被视为一种公共物品，其特点是非竞争性和不可排除性。
在战争中，国家为了维护自身的利益和安全，会不遗余力地投入资源和人力。
然而，由于战争的非竞争性，每个国家都不能独享战争所带来的好处，因此会面临囚徒困境。
这导致了国际关系中的冲突和紧张局势。
1.2 游戏论模型游戏论模型是分析战争和经济之间关系的另一种重要方法。
在游戏论模型中，战争被视为一个博弈过程，涉及多个参与国之间的策略选择。
这些国家在决策时需要权衡战争的成本和利益，以及其他国家的行动。
博弈论模型可以帮助我们理解国家之间的冲突和合作，以及战争与经济之间的相互作用。
二、战争与经济的实证研究2.1 战争对经济的影响许多实证研究表明，战争对经济有着深远的影响。
首先，战争导致资源的重新分配，特别是军事支出的增加。
这会削减其他经济部门的投资，可能导致经济的不稳定和衰退。
其次，战争还会破坏基础设施和生产能力，给经济带来巨大损失。
最后，战争还会引发社会动荡，破坏经济秩序，导致失业率上升和收入不平等加剧。
2.2 战争与经济增长尽管战争对经济会造成短期的负面影响，但一些研究发现，在某些情况下，战争也可能对经济增长产生积极的影响。
这主要是因为战争会刺激技术创新和资源的有效配置。
在战争中，国家为了提高军事实力，会投入大量资源进行研发和生产，这可能带来技术的进步和效率的提高。
此外，战争还可能促进市场的开放和贸易的发展，进一步推动经济增长。
2.3 战争与经济不平等战争还会对经济的分配格局产生影响，导致收入和财富的不平等加剧。
一些研究发现，在战争中，富裕阶层通常能够从战争中获取更多的利益，而弱势群体则更容易受到战争的负面影响。
正规战争模型
正规战争模型假定设甲乙两方都是正规部队,双方士兵公开活动,每个士兵处在对方的杀伤范围内1．甲方战斗减员率与乙方兵力成正比：，a称为乙方战斗有效系数(a>0)；2．乙方战斗减员率与甲方兵力成正比：，b称为甲方战斗有效系数(b>0).建模直接把代入得：若只考虑最简单的情况，,则分析1.轨线方程(4.45)是微分方程组，其解不太容易解。
不过我们也可不求其解。
直接分析战争的结局，我们可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。
相平面----把时间ｔ作为参数，为坐标的平面。
轨线——相平面中由方程组的解所描述的曲线。
从两边取不定积分得，令得2c=(4.46)就是轨线方程2.战争结局分析以下对Ｋ的三种情况分别作分析注：由于现在是没有增援的，故随ｔ增大，双方兵力越来越少，先为０者是输方。
①K=0，轨线方程为，开方：,得直线L：,过原点，双方兵力同时为０. ,平局。
②K>0（Ⅰ）轨线方程：即轨线总在直线Ｌ上方（Ⅱ），即y关于x递增，也即随x减少y也减少。
（Ⅲ）, 即轨线向上凹的。
（Ⅳ）时，，即甲方兵力先为０，甲方输,乙方胜。
③K<0（Ⅰ）轨线方程：，即轨线总在直线Ｌ下方。
（Ⅱ）, 即随y减少，x也在减少,此性质与K无关（Ⅲ），即轨线向下凹（Ⅳ），即乙方兵力先为0，乙方输，甲方胜。
3.初始兵力分析双方战平K=0 （平衡条件)可见若甲方初始兵力不变，乙方战斗有效系数也不变，而乙方初始兵力增到原来的2倍,则甲方的战斗有效系数就要增加到原来的4倍才能与之抗衡.同理可分析其余情况.（4.45）也称为平方率模型。
注：可求出（4.45）的解为若用此解去分析战争结局反而麻烦。
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介 玲
夺
力成比 从而可进一步优化正规战争的模型。 例，
a 2
本文是在一般的 正规战争模型(即LQ h st r 二 ce e 次律模型) 只考虑作战双方的战斗减员率的基础 上， 增加了作战双方均有增援的情形。这种增援不 是一直地或是不变地增援下去， 而是根据一方在战
场上的作战人数以及该方可供增援的后备兵力来
容易画出式(3 的轨线图， ) 见图1.
阮
考虑的， 显然比 原先只考虑战斗减员率要优越， 也
七 ，
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(创 kl) 卜
1+
b k a 一l
由假设中对参数的约束可知
考 思式 (3 的地 阵 A : ) I
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时，由图 1 可以看出随着时间t 的变大，
甲 兵 减 零， 方的 趋于专 此时 方的 力 少到 而乙 兵力
记
比，甲、乙 战斗有效系数分别为a b， >0， 通过分析轨线的变化来讨论其结果。问 方的 ， ( a
b>0).以 ， 2 ( )双方的自 然减员率为零， 即忽略如疾病、 逃
兵机械的损坏以及运作的失误率等。I j l
收稿日期: 2以 1卜2 刀一 6
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( 1)
另假 部队的 力二 )和州 连续 设 兵 ( t ) t 地变化， 并
且为时间的可导函数。当然， 这是事态真实状况的 一种理想化， 因为兵力必须都是非负的整数， 而且 随 着时间 整数地变化。 一旦将兵力x t 和烈t 理想 ( ) )
(2 )
建 模 。1 立 型 1 渭
2 模型假设 设甲乙双方都是正规部队，双方士兵公开活
4 模型分析
4.1 轨线分析
动， 每个士兵处在对方的 杀伤范围内， 具体假设有:
(1 一方的战斗减员率与另一方的兵力成正 )
式( )是微分方程组， 2 不太容易解， 但可以通过 微分方程的 定性理论， 利用方程本身在相平面上 即
甲方输， 乙方胜。
b 0 即 ’犷 a < ， 点(x ，)是系 统(2)的 点。 鞍 由} E， }二七 + )人 a 可得A 的两个特 A A 人 任 +kl一 l b
征值:
巫址 巫 丝 丝 _ 情形二 .、兰丝 义工 2生 ‘ 、
. j 、 内 七 钊
‘口
(成 几 卜 1)
]+
(成 左 卜 1)
(3)
作者简介: 张 永康 (198 一， 甘肃 3 ) 男， 通渭人， 天津师范 学 学 学学院在 硕士 生。 大 科 读 研究
28
令式( ) 的右端均为零， 3 可得该方程的平衡点
吞无 P : ， 1(砂 M) x=
b k a 一l
， 二 y
丝 件_ 情形一 .。丛 匕迫巫呸巫至 .j 产
名进乙
3 建立模型
无形因素。 这些因素连描述都很困难， 更不用说转 化为数量了。 我们将采用一种简单的回避的方法， 即 视力量城t 和抓t 为士 数量。 ) ) 兵的
与 别 示 、 双 的 力 化 卒与 分 表 甲 乙方 兵 变率
6 不
斋，y依 分 表 甲乙 的 始 力则 翔 次别示 、 初兵 ， ， o 方 模
斗开始时以天数计算。将“ 力量” 定量化是不容易 的， 因为它包括:士兵数量、 战斗准备就绪情况、 武 器的性能和数量、 指挥员的素质以及大量心理的等
3 ( ) 甲、 乙双方可用于增援的后备的总兵力分 别为M， 且M与N 相差不大， . N 增援的具体兵力与 在战场上战斗的 人数成反比， 1分别来表 用k， 示甲、 乙的增援兵力的控制系数， 并且k，< ， < . 1a b
比只考虑作战一方或双方有固定不变的增援率更 贴合实际。 当然还可以对该模型再进行简单而又 自然的
! \ 吸 一
圈1 微分方程组(3 的轨线图 ) 不妨记
扩充， 即作战过程中可能出现运作失误， 这里是指 一些非战争的因素， 如疾病、 由于心理因素而产生 逃兵以及机械的损坏等是很难精确度量的。但是，
我们可以假设非 自然的战斗减员率与部 队的战斗
x(0)二。 y ， 0 y(0)=
整理 即为
化为t 的 连续、 可导的函 于 ( 约 ( t 的图 数， 是x 和y ) 形 就很光滑， 没有任何的角点和尖点。 这样的理想化
处理使得我们能够对战斗力函数用微分方程组来
劣 kx一 &=一 叮+kM
y&=一 十 ຫໍສະໝຸດ x y b l N +二 x 。 (0)= ， y(0)勺 乞
时，由图1可以看出随着时间t 的变大，
其对应的特征向量为:
甲方的兵力趋于凡， 而乙方的兵力减少到零， 此时 甲 方胜， 方输。 乙 情形三:随着时间t 趋于无穷， 即战斗一直僵持 下去， 那么双方的兵力都接近于平衡点尸此时即平 ， 局的情形。 5 模型的评价
u挤( 1
其中的 显见，
卫 义 业 0 卫廷 丛兰 鱼虹>
20 8 年 3 月 0 第2 卷 第2 期 8
天水师范学院学报
Jo r a o T anshui Nor a Univer it u nl f i ml s y
Ma .， 8 r 20 0
Vol.28 No.2
有增援的正规战争模型
张永康
(天 津师范大 数 学 学科学 学院， 天津 30 387 0 )
含的动态变化性态.
关扭词: 正规部队; 鞍点; 轨线分析
中图分类号: 0 175.1 文献标识码: A 文章编号: 1671一 1351 (2( 8) 02一 28刁2 ) X ) X (
1 背
景
设 支二 和 支y 部队 互交战， t 和 一 部队 一 相 ( x)
抓t 分别代表两个部队在: 时刻的力量， ) 其中t 从战