战争模型
战争模型
J (0) = 21500, J (36) = 0, ∑ A(t ) = 2037000
t =1
36
从(4.3.9)令t=36解出
b= J ( 0 ) − J ( 36 )
∑ A( t )
t =1
36
=
21500 = 0 . 0106 2037000
求近似解
把 b 代 回 (4.3.9) 式 便 可 求 出 J(t),t=1,2,3……36. 又在(4.3.8)中令t =36解出
2 0
这是一族开口向右的抛物线
c n 2 x = y − 2b 2b
战争结局分析
y n>0 乙胜
n=0,平局
n/c
n<0 甲胜
0
-n/2b
x
初始兵0 2 2b ( ) > x0 cx0
实际上,由于正规军在明处,游击队在暗处, 而且活动区域较大,从而使c很小而b较大.从 而y0/x0较大.
战争模型
早在第一次世界大战时期， nchester就提出了预测战争结局的 数学模型。
考虑因素
nchester的模型十分简单，只考虑：
双方兵力多少和战斗力强弱； 兵力因战斗减员和非战斗减员而减少， 由后备力量的增援而增加； 杀伤对方的能力，与射击率、命中率以 及战争类型有关。
b 2 k x + a a
>0
x→0
时
y→ k
甲方输,乙方胜。
情形三,k<0, 轨线方程为 x =
y → 0 时，x →
a 2 k (y − ) b a
−k >0 b
乙方输，甲方胜
战争结局分析
y k>0,乙胜 k=0,平局
作战概念模型
作战概念模型什么是作战概念模型，以及它的重要性和应用领域。
作战概念模型是指为了描绘、解释和预测战斗和战争行动的关键概念而构建的一个理论框架。
它是战略规划和军事决策过程中的重要组成部分，能够帮助指挥员和决策者更好地理解战场环境、战术原则和行动步骤。
在作战概念模型中，军事专家和战略规划者利用各种战争理论和经验教训构建一个结构化的框架，以模拟和思考战争行动的可能形式和结果。
这些模型通常基于现有的科学原理和数学模型，以及对实际战争经验的总结和分析。
通过使用这些模型，指挥员可以更好地预测和评估不同战略选择的结果，并做出更明智的决策。
作战概念模型的重要性非常明显。
首先，它可以帮助决策者更好地理解战场环境和战术原则。
通过深入研究和建模，决策者能够更清楚地认识自己的实力和弱点，同时也了解敌人的行动和意图。
这种了解可以为战场上的指挥和行动提供宝贵的洞察力。
其次，作战概念模型可以用于预测和评估战争行动的结果。
通过建立不同的战略假设和参数，决策者可以模拟和评估不同的战场情景和结果。
这有助于指挥员制定更明智的决策，避免潜在的风险和错误，最大程度地提升作战效能。
此外，作战概念模型还可以用于培训和教育。
通过建立模拟训练环境，决策者和士兵可以在没有实际战斗的情况下进行训练和演练。
这种虚拟的训练可以帮助他们熟悉战场环境和作战原则，提高决策和执行的能力。
同时，模型也可以用于教育学生和新晋指挥员，让他们更好地理解战争的本质和方法。
作战概念模型的应用领域非常广泛。
首先，它在战略规划和决策制定中起到重要作用。
通过使用这些模型，决策者可以更好地了解和评估不同战略选择的可能结果。
其次，模型可以用于战场指挥和军事行动的监控和控制。
在战斗中，指挥员可以根据模型的分析和预测做出实时决策，调整战术和资源配置，以取得最佳效果。
此外，作战概念模型还可以用于评估和改进现有的军事技术和装备。
通过对现有战场系统的建模和仿真，军事研究人员可以评估不同武器和设备的性能和优势，为未来的军事装备采购和研发提供重要参考。
数学建模经典教材战斗模型
第六节 战斗模型：高阶线性模型人类会厌倦睡觉，厌倦爱情； 会厌倦唱歌；厌倦跳舞； 但是战争，却永不停歇。
——荷马〈伊利亚特〉很早以前荷马的这句话，一直被人类所证实。
战争是一个古老的而又很新的事情，许多人想逃避却又不得不面对。
决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单的数学模型所能解决的。
毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两件新式武器。
哲人说：人心的向背决定战争的胜负。
但人心是模糊的，很难说清楚。
这里，我们不想讨论战争胜负的原因。
只是从数学的角度来探讨决定一场战争胜负的一些因素。
早在第一次世界大战期间，nchester 就指出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的，后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战争。
Lanchester 提出的模型是非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。
更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。
一般战争模型用)(t x 和)(t y 表示甲乙交战双方时刻t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数，假设1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用),(y x f 和),(y x g 表示。
2、第一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵力成正比。
3、每一方的增援率是给定的函数，用)(t u 和)(t v 表示。
传统战争形式的基本模型
Ｊ一
１ 天的有关数据 ， ８ 且德军用的是闪电战， 战争进展
收稿 日期 ：２ Ｏ —０ ０ ０ ２ ２— ９
号 ＝一 （） ｔ ＝ ａ（） ０…＝… （） 一 ｒｏｔ＋
维普资讯
第 ２期
刘忠敏 钱 云 王 涛 陈帮富
◆
（ 重庆通信学 院基 础部 重庆 ４０ ３ ） ００ ５
摘
要 ：本文用兰彻斯特模型分析 了传统战争。
关键词 ：战争模型 ；兰彻斯特
很快 ， １ 天 的情 况很 有说 服 力 ， 以我 们 重点 关 前 ８ 所
注这 １ 的情况 。 ８天
Ｏ 引 言
据， 则更有理由推广到更大的战争形式上。
显战争初期 的绝大部分战斗都具有 以上特点 ， 我们
的假设 是合 理 的。
●
２ 苏德战争前 夕的双方情况
由于 现有 的 历史 书有 较 全 面 的苏 德 战 争 初 期
由假设 （） ３ 可推知： 德军增援率 ｇ ｔ （ ）＝ ｋ（ ） ｔ
维普资讯
第 ２ 卷第 ２期 １
Ｖ Ｏ ２１ＮＯ． １． ２
重 庆 通 信 学 院 学 报
Ｊ １ Ａ Ｏ Ｃ Ｎ ＱＮ Ｃ ＭＭ Ｎ Ｃ ＴＯ ｏ舢 Ｌ Ｆ ＨＯ Ｇ Ｉ Ｇ Ｏ Ｕ ＩＡ ＩＮ
２０ 年 ６月 Ｏ２
传 统 战 争 形 式 的基 本 模 型
显然． ｔ ＝ｏ 厂 ） ｇ假设被围苏军基本没有增援 、 （
ｙ ｏ ＝３ （） （ ） ｘ ０ 是认为德军以三倍 的人数攻击苏军 、 Ｙｔ （ ）＝ｙ ｏ 是认为德军有增援 ， （） 且力保一线部队 满员、 ＝ ｂ 口 是认为双方其它条件基本相 同。 明 很
考虑气象的兰彻斯特作战模型
考虑气象条件的兰彻斯特作战模型古今战例都表明,气象条件对战争有着极大的影响。
现代高技术局部战争对气象条件的依赖性不但没减弱,反而越来越强。
高科技、高精度的武器装备对气象条件的要求仍很苛刻。
本文在关于近代战争的兰彻斯特方程的基础上,将气象条件看作双方军事对抗中的“第三方”,并把其作为一个可量化的因素加入到该方程中,建立了考虑气象条件的兰彻斯特方程。
关键词：兰彻斯特，战争模型，气象条件一、问题重述战争是一个非常复杂的问题，涉及因素很多，如兵员的数量和质量，武器的先进与落后，地理位置的有利与不利，指挥员的艺术、后勤供应、气候条件等。
因此，如果把战争所涉及的因素都考虑进去，这样的模型是既难建立又难解决。
但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下选择主要因素建立一个作战数学模型，我们将会看到得出的结论是具有普遍意义的。
二、问题假设（1）假设每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力；（2）假设每一方的非战斗减员率与本方的兵力成正比；（3）假设每一方的增员率是给定的函数；（4）假设两军士兵都处于双方火力范围内；（5）不考虑双方支援部队；四、问题分析4.1兰彻斯特方程简介设交战双方分别为x1方与x2方,经典兰彻斯特关于近代战斗的数学模型为：dx1(t)dt=−a2x2(t)dx2(t)dt=−a1x1(t)x1t,x1t是战斗开始后t时刻x l与x2双方分别具有的兵力,一般将兵力与作战人数对等起来。
考虑到现代战争是多兵种、多种武器的战争,则可将x1t、x1t看作是与x1t和x1t双方t时刻具有的作战单元数。
a1、a2分别称为x1方和x2方的作战平均损耗系数,其表示xl方和x2方每一作战单元对对方作战单元消灭的平均速率,是衡量双方作战效能的重要指标。
4.2加人气象因子的兰彻斯特方程在军事气象研究领域,一般是将气象条件作为军事活动的保障问题进行研究的。
我们则认为气象条件不仅仅是军事活动的一个环境因素,而且也是双方军事对抗中的“第三者”,它可以使一方有极大损耗,也可以使一方获益匪浅,而这一切取决于作战者对它的适应和运用能力,由此可见,气象条件在某种意义下也是不容忽视的“战斗力”。
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα 。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
混合型战争微分方程模型研究
专 题 研 究
． ．
掌
滞
●
濮 鹫麟
【 要】 文讨论微 分方程 在 混合型 战争进 程 中的应 摘 本
用 ． 对 一个 战 争模 型 ， 出关 于 每 个 部 队 战 斗 因素 变化 率 针 求
的 适 当 公 式 ， 后 分 析 相 应 微 分 方 程 （组 ）的 解 （ ）， （ ）， 然 ｔ ｙｔ
其 中 ， （ ｔ （ ｔ 分 别 是 ， ，） ，） Ｙ部 队 的 自然 损 失 率 ；
ｇ （ Ｙ ｔ ， ， ， 分 别是 ， 部 队 的战 斗 损 失 率 ； 。 ｔ ， ， ，） ｇ （ Ｙ ｔ ） Ｙ ｈ （ ） ｈ （ ） 别 是 ， 队 的补 充 率 ． ｔ分 Ｙ部
②若 ａ ， 么（ ，） ≠ｄ 那 ０ ０ 为稳 定 结 点 ．
Ｃ （ ） 可 给 出类 似 的 解 释 ． Ｘ ｔ也 另设 ａ ｄ为 自然 损 失 率 常 数 ， （ ） 不 难 得 到 关 于 ， 由 式 （ ）， （ ） ｔ Ｙ ｔ 的微 分 方 程 组 ：
当 ， ＝ 一 ），征 程 为 ２ （ ） （ 号时特 方 化 Ａ＋ ， 一
析 仅 仅 运 用 微 分 方 程 来 分 析 混 合 型 战 争 模 型 ． 的 要 赢 得 真
方 程 组 的 一 条 轨 线
战争 ， 仅 要 在 理 论 上 “ ” 还 需 要 英 明 的 指 挥 和 将 士 的骁 不 赢 ， 勇善战．
以上 关 于 圆锥 曲 线 的 切 线 与 准 线 和 焦 点 的 相 互 关 系 ， 揭 示 了圆 锥 曲 线 切 线 的 本 质 ， 研 究 二 次 曲 线 中 有 很 好 的 在 应 用 价 值．
与 焦 点 相 对 应 的 准线 上 ．
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα 。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
有增援的正规战争模型
介 玲
夺
力成比 从而可进一步优化正规战争的模型。 例，
a 2
本文是在一般的 正规战争模型(即LQ h st r 二 ce e 次律模型) 只考虑作战双方的战斗减员率的基础 上， 增加了作战双方均有增援的情形。这种增援不 是一直地或是不变地增援下去， 而是根据一方在战
场上的作战人数以及该方可供增援的后备兵力来
容易画出式(3 的轨线图， ) 见图1.
阮
考虑的， 显然比 原先只考虑战斗减员率要优越， 也
七 ，
、 _
(创 kl) 卜
1+
b k a 一l
由假设中对参数的约束可知
考 思式 (3 的地 阵 A : ) I
‘ _ 、___ ， ， ~ ，_ _ 1一 k
\ 一臼
汀 0. 乍
e 由于 d 认二 一 kl
(成 kl) 卜
时，由图 1 可以看出随着时间t 的变大，
甲 兵 减 零， 方的 趋于专 此时 方的 力 少到 而乙 兵力
记
比，甲、乙 战斗有效系数分别为a b， >0， 通过分析轨线的变化来讨论其结果。问 方的 ， ( a
b>0).以 ， 2 ( )双方的自 然减员率为零， 即忽略如疾病、 逃
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα&&。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
1）模型假设1．不考虑增援，并忽略非战斗减员；2．甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上。
因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比例关系，以b 、a 分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力，称为战斗有效系数。
若以x r 、y r 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以x p 、y p 分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有y y p r a ⋅=、x x p r b ⋅=。
2）模型建立根据模型假设1，结合一般的战争模型，可得正规作战数学模型的形式应为：⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=00)0( ,)0(),()(),()(y y x x y x g t yy x f t x &&。
又由假设2，甲乙双方的战斗减员率分别为ay y x f =),(，bx y x g =),(。
于是得正规作战的数学模型：3）模型求解模型是微分方程组，其解不太容易解。
不过我们也可不求其解。
直接分析战争的结局，我们可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。
为此，我们引入如下定义定义：相平面是指把时间t 作为参数，以y x ,为坐标的平面。
轨线是指相平面中由方程组的解所描述出的曲线。
现在，我们来求解轨线方程。
将模型方程的一式除以二式，得到bx ay dy dx --=，即dy ay dx bx ⋅=⋅，进而得该模型的解满足：K ay bx =-22，其中令2020ay bx K -=。
图3-4 平方律的双曲线4）战争结局分析模型解确定的图形是一条双曲线，如图3-4所示。
箭头表示随着时间t 的增加，)(t x 、)(t y 的变化趋势。
而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投降或被歼灭）的一方为败。
因此，如果0<K ，则乙的兵力减少到a K-时甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。
同理可知，0>K 时，甲方获胜。
而当0=K 时，双方战平。
不难发现，甲方获胜的充要条件为02020>-ay bx ，即2020ay bx >。
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为2020y p r x p r y y x x ⋅⋅>⋅⋅，从其形式，可以发现一种用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战斗力的评价函数可取为2x p r x x ⋅⋅，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、士兵一次射击的（平均）命中率（士兵的个人素质）、士兵数的平方均服从正比例关系，这样在三个因素中当只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，显然要选士兵数的增加，它可以带来部队综合战斗力四倍的提升。
因此，游击作战模型又被称为平方律模型。
5）模型应用正规作战模型在军事上得到了广泛的应用，主要是作战双方的战斗条件比较相当，方式相似。
，发现和实际数据吻合得很好。
3.4.2 模型II ：游击作战模型1）模型假设1．不考虑增援，忽略非战斗减员；2．甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的。
因此，甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会越大，显然二者服从正比例关系，这样对方投来的一枚炮弹的平均杀伤力（期望值）也会服从正比例关系增加；3．若以x S 、y S 分别表示甲乙双方的有效活动区域的面积，以x s 、y s 分别表示甲乙双方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，以x r 、y r 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，x s 、y s 、x r 、yr 主要取决于部队的武器装备的性能和贮备；x r 、y r 也取决于士兵的个人素质。
所以甲方的战斗有效系数y xx S s r d =，乙方的战斗有效系数x yy S s r c =。
2）模型建立与正规作战模型相同，据模型假设1，得游击作战模型的形式也为：⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=00)0( ,)0(),()(),()(y y x x y x g t yy x f t x &&。
由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为cxy y x f =),(，dxy y x g =),(。
结合以上两表达式，并代入c 、d 的值，可得游击作战的数学模型：3）模型求解从模型方程得到dy S s r dx S s r y y y x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，进而可得该模型的解满足：L y S s r x S s r y y y x x x =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，结合初始条件，知00y S s r x S s r L y y y x x x ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=。
图3-5 线性律4）战争结局分析模型解所确定的图形是直线，如图3-5所示。
像分析正规作战模型一样，可知0<L 时乙方获胜，0>L 时甲方获胜，0=L 时，双方战平。
不难发现，甲方获胜的充要条件为000>⋅⋅⋅-⋅⋅⋅y S s r x S s r y y y x x x ，即00y S s r x S s r y y y x x x ⋅⋅⋅>⋅⋅⋅。
从其形式，可以发现一种用于游击作战部队的综合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战斗力的评价函数可取为x S s r x x x ⋅⋅⋅，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、炮弹的有效杀伤范围的面积、部队的有效活动区域的面积、士兵数四者均服从正比例关系，这样在四个要素中当只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，它们均可以带来部队综合战斗力成倍的提升，即没有像在正规作战模型中所表现出的差别。
特别考虑士兵数在表达式中的地位，游击作战模型又被称为线性律模型。
3.4.3 模型III ：混合作战模型1）模型假设1．不考虑增援，忽略非战斗减员；2．甲方以游击作战方式，乙方以正规作战方式；3．以b 、c 分别表示甲乙双方的战斗有效系数，若以x r 、y r 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，以x p 、y p 分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，以x S 表示甲方的有效活动区域的面积，以y s 表示乙方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，则x x p r b ⋅=，x yy S s r c ⋅=。
2）模型建立根据对正规作战和游击作战的分析，得混合作战的数学模型：3）模型求解从模型方程得到该模型的解满足：M cy bx =-22，其中2002cy bx M -=。
图3-6 抛物律4）战争结局分析模型解所确定的图形是一条抛物线，如图3-6所示。
可知0<M 时乙方获胜，0>M 时甲方获胜，0=M 时，双方战平。
并且，乙方获胜的充要条件为02200<-y s r x S p r y y x x x ，即2002y s r x S p r y y x x x <。
5）模型应用假定以正规作战的乙方火力较强，以游击作战的甲方虽火力较弱，但活动范围较大，利用上式可以估计乙方为了获胜需投入多大的初始兵力。
不妨设1000=x ，1.0=x p ，2y x r r =，活动区域1.0=x S 平方千米，乙方每次射击的有效面积1=y s 平方米，则可得乙方获胜的条件为：10010012101.01.026200=⨯⨯⨯⨯⨯>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y ， 即1000>x y ，乙方必须10倍于甲方的兵力。
点评与讨论在战争模型里，我们应用了微分方程建模的思想。
我们知道，一个战争总是要持续一段时间的，随着战争态势的发展，交战双方的人力随时间不断变化。
这类模型反映了我们描述的对象随时间的变化，我们通过将变量对时间求导来反映其变化规律，预测其未来的形态。
譬如在战争模型中，我们首先要描述的就是单位时间双方兵力的变化。
我们通过分析这一变化和哪些因素有关以及它们之间的具体关系列出微分方程。
然后通过对方程组化简得出双方的关系。
这也就是我们微分方程建模的步骤。