正规战争模型
战争模型
J (0) = 21500, J (36) = 0, ∑ A(t ) = 2037000
t =1
36
从(4.3.9)令t=36解出
b= J ( 0 ) − J ( 36 )
∑ A( t )
t =1
36
=
21500 = 0 . 0106 2037000
求近似解
把 b 代 回 (4.3.9) 式 便 可 求 出 J(t),t=1,2,3……36. 又在(4.3.8)中令t =36解出
2 0
这是一族开口向右的抛物线
c n 2 x = y − 2b 2b
战争结局分析
y n>0 乙胜
n=0,平局
n/c
n<0 甲胜
0
-n/2b
x
初始兵0 2 2b ( ) > x0 cx0
实际上,由于正规军在明处,游击队在暗处, 而且活动区域较大,从而使c很小而b较大.从 而y0/x0较大.
战争模型
早在第一次世界大战时期， nchester就提出了预测战争结局的 数学模型。
考虑因素
nchester的模型十分简单，只考虑：
双方兵力多少和战斗力强弱； 兵力因战斗减员和非战斗减员而减少， 由后备力量的增援而增加； 杀伤对方的能力，与射击率、命中率以 及战争类型有关。
b 2 k x + a a
>0
x→0
时
y→ k
甲方输,乙方胜。
情形三,k<0, 轨线方程为 x =
y → 0 时，x →
a 2 k (y − ) b a
−k >0 b
乙方输，甲方胜
战争结局分析
y k>0,乙胜 k=0,平局
第6讲 微分方程模型之战争模型
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
x cxy
y
bx
cy 2 2bx n n cy02 2bx0
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
g bx, b rx px
x ay x u(t)
y
bx
y
v(t)
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x&(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y&(t)
g(x,
y)
y
v(t
),
0
f, g 取决于战争类型
y(t)
n 0,乙方胜
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y0 x0
2rx px sx ry sry x0
n 0,平局 n 0,甲方胜
设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα&&。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα 。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
数学建模正规战与游击战ppt课件
6
f=ay
a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵 的杀伤率（单位时间的杀伤数）， 称乙方的战斗有效系数。可以进一 步分解为a=ry py，其中ry是乙方的射 击率（每个士兵单位时间内射击次 数），py是每次的命中率。
进一步分析某一方譬如乙方获胜
条件。由(6)式并注意到a , b的含义,乙 方获得胜利的条件可表示为
y0 x0
2
b a
rx ry
px py
(7)
12
Y(t)
k a
0
k
x(t)
b
图5-6 正规战争模型的相线
13
(7)式表明双方初始兵力之比y0/x0 以平方关系影响着战争结局。例如若
乙方的兵力增加到原来的2倍（甲方 不变），则影响战争结局的能力增加
2
2 • 0.1• 0.1106 2 •1•100
100
（18）
即y0/x0>10，乙方必须10倍于甲方的 兵力。
美国人曾用这个模型分析越南战 争（甲方是越南，乙方为美国）。更 具类似于上面的计算以及四五十年代 发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老 挝等地的混合战争的实际情况估计出，
27
正规部队一方要想取胜必须派出8 倍于游击部队的兵力，而美国最 多只能够派出6倍于越南的兵力。 越南战争的结局是美国不得不接 受和谈撤军，越南人民取得最后 的胜利。
由此可以写出关于x(t)、y(t)的微 分方程为
x(t) f (x, y) x u(t), 0 y(t) g(x, y) x v(t), 0 （1）
有增援的正规战争模型
介 玲
夺
力成比 从而可进一步优化正规战争的模型。 例，
a 2
本文是在一般的 正规战争模型(即LQ h st r 二 ce e 次律模型) 只考虑作战双方的战斗减员率的基础 上， 增加了作战双方均有增援的情形。这种增援不 是一直地或是不变地增援下去， 而是根据一方在战
场上的作战人数以及该方可供增援的后备兵力来
容易画出式(3 的轨线图， ) 见图1.
阮
考虑的， 显然比 原先只考虑战斗减员率要优越， 也
七 ，
、 _
(创 kl) 卜
1+
b k a 一l
由假设中对参数的约束可知
考 思式 (3 的地 阵 A : ) I
‘ _ 、___ ， ， ~ ，_ _ 1一 k
\ 一臼
汀 0. 乍
e 由于 d 认二 一 kl
(成 kl) 卜
时，由图 1 可以看出随着时间t 的变大，
甲 兵 减 零， 方的 趋于专 此时 方的 力 少到 而乙 兵力
记
比，甲、乙 战斗有效系数分别为a b， >0， 通过分析轨线的变化来讨论其结果。问 方的 ， ( a
b>0).以 ， 2 ( )双方的自 然减员率为零， 即忽略如疾病、 逃
常微分方程模型
t0 1961 ,
x0 3.0610 ,
9
r 0.02,
x(t ) 3.0610 e
9
0.02( t 1961)
(4)
公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世 界估计人口总数,
8
但当t=2510年,
t=2635年, t=2670年,
x = 21014 (2万亿), x = 1.8 1015 (18万亿), x = 3.6 10 (36万亿),
(7)
dx ~ x 曲线 和 dt
根据(6),(7)两式可画出 图如图1-a及图1-b：
x~t
图1-a
图1-b
12
dx ~ x 是一条抛物线， 如图1-a, dt dx 他表示人口增长率 dt 随着人口数量 xm 的增加而先增后减，在 x 处达到 2
x
最大值。
如图1-b，x ~ t 是一条 型 xm 曲线 ，拐点在 x 处，当 x 2 m x 时，t
i i1
i2
(17)
制订生育政策就是确定 (t ) 和 hi (t ) ，通过 (t ) 控制 生育多少，通过hi (t )可以控制生育的早晚和疏密。 引入向量、矩阵记号：
x(t ) [ x1(t ), x2 (t ), xm (t )]
T
(18)
20
0 0 0 1 d1 ( t ) A( t ) 0 1 d 2 (t ) 0 0
3
影响人口增长的因素很多,人口的多少,出生率 的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况, 工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害, 战争,人口迁移等等. 如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我 们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素—增 长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立 一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考 虑次要因素的影响,从而建立一个与实际更加吻合 的数学模型.
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
Lanchester战争模型分析
其中ry为射击率 , Py为命中率 , 满足 一次射击的有效面积 S ry Py . 甲方活动的面积 Sx
类似 S rx g ( x , y ) dxy, 且d rx Px rx . Sy
S ry Sx
从而,模型为:
dx dt cxy x u (t ) dy dxy y v(t ) dt x(0) x , y (0) y 0 0
36
为估计b, 我们在(9)式中令t 36,由资料得到 A(i) 2037000,
i 1
21500 0 于是b 0.0106, 再回代(9)式, 得到J (t ). 2037000 再由(9)的第一式我们可估计 a, 得到
a
u (i ) A(36) u (i ) 20265
Lanchester战争模型
背景:早在第一次世界大战期间,nchester就提出了几 个预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进 一步解释,用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服 美国1975年结束越南战争起了重要的作用.
1.一般战争模型
用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的 兵力,不妨就假设为双方的士兵数.假设 1.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方 的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示. 2.每方的非战斗减员率(由疾病,逃跑等因素引起的)只与本方的 兵力成正比,分别用αx和βy表示. 3.甲乙双方的增援率是给定的函数,分别用u(t)和v(t)表示. 模型为
模型验证的思想方法:
1.美军每天的实际兵力可由上面的数据和伤亡记录得到. 2.将已经得到的实际数据代入方程组(8),并用求和代替积分. 3.估计出a,b的值.
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正规战争模型
假定
设甲乙两方都是正规部队,双方士兵公开活动,每个士兵处在对方的杀伤范围内
1．甲方战斗减员率与乙方兵力成正比：，a称为乙方战斗有效系数(a>0)；
2．乙方战斗减员率与甲方兵力成正比：，b称为甲方战斗有效系数(b>0).
建模
直接把代入得：
若只考虑最简单的情况，,则
分析
1.轨线方程
(4.45)是微分方程组，其解不太容易解。
不过我们也可不求其解。
直接分析战争的结局，我们可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。
相平面----把时间ｔ作为参数，为坐标的平面。
轨线——相平面中由方程组的解所描述的曲线。
从
两边取不定积分得，
令得2c=
(4.46)就是轨线方程
2.战争结局分析
以下对Ｋ的三种情况分别作分析
注：由于现在是没有增援的，故随ｔ增大，双方兵力越来越少，先为０者是输方。
①K=0，轨线方程为，开方：,
得直线L：,过原点，
双方兵力同时为０. ,平局。
②K>0
（Ⅰ）轨线方程：
即轨线总在直线Ｌ上方
（Ⅱ），即y关于x递增，
也即随x减少y也减少。
（Ⅲ）
, 即轨线向上凹的。
（Ⅳ）时，，即甲方兵力先为０，甲方输,乙方胜。
③K<0
（Ⅰ）轨线方程：，即轨线总在直线Ｌ下方。
（Ⅱ）, 即随y减少，x也在减少,此性质与K无关
（Ⅲ），即轨线向下凹
（Ⅳ），即乙方兵力先为0，乙方输，甲方胜。
3.初始兵力分析
双方战平
K=0 （平衡条件)
可见若甲方初始兵力不变，乙方战斗有效系数也不变，而乙方初始兵力增到原来的2倍,则甲方的战斗有效系数就要增加到原来的4倍才能与之抗衡.同理可分析其余情况.（4.45）也称为平方率模型。
注：可求出（4.45）的解为
若用此解去分析战争结局反而麻烦。