数学模型-正规战与游击战
第四章 微分方程数学模型
3)、若s0
1
, 则i(t )先增加，当 s
1
1
时，i(t )达到最大
im 1
(1 ln s0 ), 然后减小趋于0, s(t ) s
若s0
1
, 则i(t )单调趋于0，(i)单调趋于s s
i0
i0
1
i
1
i
1
O
1
1
1
t
i0
O
t
O
t
1 1 i ( ) 0 1
1 1
1 ~ 阈值
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S曲线增长 健康人数不超过病人数
直接求解方程，亦可得到上述结果
di i (1 i ) i dt i (0) i0
时
i0 i (t ) i0 t 1
1
时
1 ( ) t e i(t ) i 0
x s0
i0小， 0 1 s
x x ln(1 ) 0 s0 1
x x2 x ( 2)0 s0 2 s 0 1
x 2s0 ( s0
1
)
令 s0 1 , 又 较小, s0 1)
x 2
模型检验 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广 义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康 复还是死亡对模型并无影响。
代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
学生建模报告：战斗模型2
信息与计算科学周丹20031090045 惠洁20031090046 秦剑20031090099战斗模型摘要本文以二战时期的阿登高原战役为背景，运用兰彻斯特关于战争的数学模型对其进行分析。
文中从兰彻斯特的三种战斗模型中寻找方法，它们分别是常规战模型，游击战模型以及混合战模型，对阿登高原战役的战场数据进行分析，提出问题。
问题可以归纳为以下几点：第一，常规战中双方的伤亡有何规律；第二，游击战中双方的伤亡有何规律；第三，混合战中双方的伤亡有何规律。
关键词：兰彻斯特模型常规战模型游击战模型混合战模型一. 问题的重述在第二次世界大战期间，德国国防军进行的最后一场大规模的进攻是阿登高原战斗。
德军于1944年12月~1945年1月在阿登地区对盟军发动了战略性反攻战役.这次战役德军的目的是为了夺回其在西线战场的主动权.1944年12月16日拂晓,德军发起进攻.20日抵达昂布莱沃河谷,17日围歼美军2个团,19日进抵巴斯托涅,但未能占领交通枢纽圣维特和巴斯托涅.在战役的初期德军的攻势一度非常迅猛,.之后盟军判明德军的企图后,采取了一定有针对性的局部战斗,并逐渐扭转了战役的局势.1月3日德军再次进攻巴斯托涅失利后,希特勒下令撤退.美军立即转入反攻,但由于天气恶劣,美军的进展缓慢,12日苏军营盟国要求参战,这场战役直到28日德军撤回本国境内宣告结束.此役是德军在西线最后一次进攻战役.德军损失10万人,美军损失8.1万人,英军损失1400人.德军虽使盟军遭受较大损失,推迟了其进攻齐格菲防线的时间,但未能扭转西线局势,反而严重降低了自己的防御力量和东线的机动兵力,从而加快了其在西线的溃败.战争是一个很复杂的问题,涉及的因素很多,如兵员的多少,武器的先进与落后,两军所处地理位置的有利与不利,士气的高低,指挥员的指挥艺术,,后勤供应状况,气候条件等诸多原因.因此,如果把战争涉及到的因素都要考虑进去,这样的模型是难以建立的,但对于通常情况下的局部战争,在合理的假设下建立一个作战数学模型,得出的结论是具有普遍意义的.二.模型的假设甲乙两支部队互相交战,设x(t) 和y(t) 分别代表两支队伍在t 时刻的力量,其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间.我们所作模型仅从以下方面进行考虑:1.双方兵力的多少和战斗力的强弱,同时考虑兵力因战斗减员和非战斗减员,又由后备力量的增援而增加;2.战斗力即杀伤对方的能力与射击率,即单位时间内的射击次数,射击命中率;3.战争类型:包括常规战,游击战以及二者混用的战争类型——混合战;4.交战双方的政治,经济,社会等因素均不予以考虑.为此,我们作如下假定:(1)假设两军人数关于时间的函数是连续变化的,并且充分光滑.(2)每一方的减员率取决于敌军的兵力.(3)每一方的非战斗伤亡数字为固定值.(4)每一方的增援率是给定的函数.符号说明:x(t),y(t) ：第t 天甲乙两军人数；f(t),g(t) ：第t 天甲乙两军减员率；u(t),v(t) ：第t 天甲乙两军增援率；rx ,ry ：x 军y 军的射击率(每个士兵单位时间射击次数)；sx ,sy ：x军y 军的活动面积；srx,sry ：x军y 军的每次射击有效面积；px ：x 军每次射击的命中率；三，模型的分析与求解下面分别就不同的战争类型进行讨论：1、常规战模型显然甲军人数越多，乙军伤亡越大，反之亦然，所以有假设：（1）甲军人数的减员率与乙军人数成正比；（2）乙军人数的减员率与甲军人数成正比。
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα 。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα 。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
正规战和游击战
36
a = 0.0544
军备竞赛
目的 假设
• 描述双方 国家或国家集团 军备竞赛过程 描述双方(国家或国家集团 国家或国家集团)军备竞赛过程 • 解释 预测 双方军备竞赛的结局 解释(预测 预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 ）由于相互不信任，一方军备越大， 方军备增加越快； 方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 ）由于经济实力限制，一方军备越大， 自己军备增长的制约越大； 自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 ）由于相互敌视或领土争端， 在增加军备的潜力。 在增加军备的潜力。
dA dt = −aJ (t ) + u (t ) dJ = −bA(t ) dt A(0) = 0, J (0) = 21500
A(t ) = A(0) + ∫ [−aJ (τ ) + u (τ )]dt
t 1
A(t ) ≈ A(0 ) − a ∑ J (τ ) + ∑ u (τ )
k, l ~ 对方军备数量的刺激； 对方军备数量的刺激 军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 本方军备竞赛的潜力 军备竞赛的潜力。 军备竞赛的结局 t → ∞时的 ，y(t) 时的x(t)，
微分方程的平衡点及其稳定性
& 线性常系数 x(t ) = ax + by 的平衡点及其稳定性 微分方程组 y(t ) = cx + dy & cx + dy = 0 若从P 某邻域的任一初值出发， 若从 0某邻域的任一初值出发，都有 lim x (t ) = x0 , t →∞
kh + βg x0 = , αβ − kl
第五章 微分方程模型讲1
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
Lanchester战争模型分析
其中ry为射击率 , Py为命中率 , 满足 一次射击的有效面积 S ry Py . 甲方活动的面积 Sx
类似 S rx g ( x , y ) dxy, 且d rx Px rx . Sy
S ry Sx
从而,模型为:
dx dt cxy x u (t ) dy dxy y v(t ) dt x(0) x , y (0) y 0 0
36
为估计b, 我们在(9)式中令t 36,由资料得到 A(i) 2037000,
i 1
21500 0 于是b 0.0106, 再回代(9)式, 得到J (t ). 2037000 再由(9)的第一式我们可估计 a, 得到
a
u (i ) A(36) u (i ) 20265
Lanchester战争模型
背景:早在第一次世界大战期间,nchester就提出了几 个预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进 一步解释,用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服 美国1975年结束越南战争起了重要的作用.
1.一般战争模型
用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的 兵力,不妨就假设为双方的士兵数.假设 1.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方 的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示. 2.每方的非战斗减员率(由疾病,逃跑等因素引起的)只与本方的 兵力成正比,分别用αx和βy表示. 3.甲乙双方的增援率是给定的函数,分别用u(t)和v(t)表示. 模型为
模型验证的思想方法:
1.美军每天的实际兵力可由上面的数据和伤亡记录得到. 2.将已经得到的实际数据代入方程组(8),并用求和代替积分. 3.估计出a,b的值.
数学建模的多种作战模型
数学建模中的作战模型在第一次世界大战期间，F ·W 兰彻斯特（Lanchester ）投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。
对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。
还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。
两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。
一、 正规战模型：令()X t 表ｔ时刻甲军人数,()y t 表ｔ时刻乙军人数：在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为dxdt aydydtbx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (1)其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得ay bx ay bx c 220202-=-= (2)这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y 平面上是一族双曲线。
如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。
由图17.8可知，乙军要想获胜，即要使不等式2020bx ay >成立。
可采用两种方式：(1) 增加a ，即配备更先进的武器；(2) 增加最初投入战斗的人数y 0。
但是，值得注意的是：在上式中，a 增大两倍，结果ay 02也增大两倍，但y 0增大两倍则会使ay 02增大四倍。
这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义，说明兵员增加战斗力将大大增加。
如果考虑两军作战时有增援，令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率，所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。
此时正规部队对正规部队的作战模型为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g bx dtdyt f ay dt dx(3)现在回答一开始时提出的问题，设甲军有m=100人，乙军有n=50人，两军装备性能相同，即令ab=1，没有援军，将(2)变为 y b a x c ay x ca2222-=-=(4)将y = 100，x = 50代入(4)式得 10050750022-==ca(5) 再将c/a=7500代入(17.29)式得y t x t 227500()()-= (6) 战斗结束一方人数为零，显然这里乙军x=0，代入(6)式得y y 2750087=≈即甲军战死13人，剩下87人，乙军50人全部被消灭。
战争模型
(1.2)
(1.3)
对于该方程，因为这是一个初始值问题，可以应用Matlab中的ode45来进行求解。但是在 写该程序的时候，必须对该方程进行预处理：把上式写成如下形式： x′ y′ 0 −rx px −ry py 0 x y (1.4)
=
对应的Matlab代码： infinity=12; options = odeset(’RelTol’,1e-4,’AbsTol’,[1e-4 1e-4 1e-5]); [T,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[x0 y0 ],options); function dy = rigid(t,y) dy = zeros(2,1); dy(1) = -ry py y(1); dy(2) = -rx px y(2); 这是一个初始值问题，这样可以计算出方程的解。而同样对这样的方程不直接进行求 解，可以直接判断双方的胜负： bx r x px x dy = = dx ay ry py y 很容易计算出上面方程的解， ay 2 − bx2 = k 而根据方程的初始条件，有
2 cy 2 − 2bx = n, cy0 − 2bx0 = n,
(1.12)
(1.13)
这时相轨线是抛物线。并且乙方取得胜利的条件是：
2 y0 2b 2rx px sx > = 2 cx0 ry sry x0 x0
(1.14)
通过这个表达式，很容易可以得到在战争中如何处于弱势的游击一方以空间换取对对方 的战斗力的消弱的。可以作如下假设： 设甲方初始兵力为x0 = 100,命中率为px = 0.1, 火力rx 是乙方火力ry 的一半，活动区域面 积sx = 0.1平方公里，而乙方的射击的有效面积是sry = 1平方米，那么乙方胜利的条件是：
一个游击战问题模型论文2
题目一个游击战问题模型组长数学111 文丽 201159265118组员数学111 孙欢 201159265116组员数学111 揭蔡芹 201159265115组员数学111 尹永刚 201159265135组员数学111 李兵 201159265132组员数学111 余育成 201159265128摘要：在正规战与游击战模型中，我们考虑了双方兵力的多少和战斗力的强弱。
日军的优势在于人数、武器和资源方面。
人民军的优势在于地理优势、群众基础和灵活机动。
对双方优势进行层次分析，得出双方优势比重符合一致性检验。
再混合战模型的基础上，结合优势比重得出新的模型。
通过查找中日战争时期双方作战战斗力数据，得出 Sxy和p y 变化范围。
进而对所建立的微分方程模型进行求解，即数值模拟。
问题一：建立微分方程模型。
通过参考战争预测等微分方程模型，并结合该题所给条件，可初步确立微分方程模型。
问题二：求解模型的数值解或者解析解。
通过Sxy和p y 范围和问题一所建立的模型，可得a和b的值。
进而由a和b的值，画出相轨线。
根据相轨线的走向，可直观得出战局走势，并最终预测战争结局，设计打击方案。
关键字：混合战模型优势比重相轨线打击方案一、问题叙述战争作为人性的负面总是伴着社会的发展，它是一个复杂的问题，涉及兵员、武器、地理、士气、指挥艺术，后勤、气候等等的综合作用。
这样的模型一般是很难建立的。
但在一定合理假设的条件下，还是可以近似建模的。
比如说解放区的抗日战争，日军凭借人数、武器和资源等的优势，常常对人民武装进行打击、扫荡。
而人民军他总是凭借自己的地利优势，群众基础、灵活机动等来抗击敌人的打击，从而牵制和消灭敌人。
假设有一次，由于叛徒的出卖。
日军获知一支人数为 400人的游击队在某一个面积为60平方公里的山区活动。
于是派出了人数为900人的部队分三路进行包围打击。
游击队在敌人进攻前也得到了敌人要来的情报。
于是研究组织了应敌之策。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
忽略αx，βx并设u=v=0，在初始条件
下（8）式为
(t ) cxy x (t ) dxy y x(0) x0 , y (0) y0
（ 9）
与正规战争模型中方程（3）的
解法类似，方程（9）解为
19
cy – dx = m m = cy0 – dx0
(10) (11)
图5-8 混合战争模型的轨线
26
假定以正规部队作战的乙方火 力较强，以游击部队作战的甲方虽 然火力较弱，但活动范围大。利用 （17）式可以估计出乙方为了取胜 需投入多大的初始兵力。为了确定 起见不妨设甲方的兵力x0 =100,命中 率px=0.1，火力是乙方的ry的一半， 活动面积sx = 0.1平方千米，乙方每 次射击的有效面积sry = 1平方米，那 么由(17)式乙方获胜的条件为
36
由（24）式就能够算出美军人 数A(t)的理论值，图5-9中用实线画 出。与虚线表示的实际相比，可以 看出吻合情况。
37
美军人数
70，000
66，000
62，000
58，000
54，000
50，000
4
8
12
16
20
24
28
32
36
天数
图5-9 美军兵力实际数据与理论结果
38
54,000 0 t 1 6,000 2 t 3 u (t ) 13,000 5 t 6 0 其它
（20）
32
并可由每天伤亡人数算出A(t)，其中 t= 1,2,...,36 (见图5-9中虚线)。下面要 利用这些实际数据代入(19)式，算出 A(t)的理论值,并与实际值比较.
24
y0 2b x cx 0 0
以
2
（16）
b rx px , c rx
代入得
sry sx
(17)
25
y0 2rx p x s x x ry sry x0 0
2
y(t)
n >0,乙方胜
n =0 , 平局
n<0,甲方胜
0 x(t)
其中分子是美军的总伤亡人数，为 20,265人，分母可由已经算出的J(t)
35
得到，为372,500人，于是从（23） 式有：
20,265 a 0.0544 372,500
把这个值代入（21）式得到
A(t ) 0.0544 J ( ) u( )
1 1
t t
（24）
c ry p y ry
sry sx
其中ry认为射击率，而命中率py等于 乙方一次射击的有效面积sry与甲方 活动面积sx之比。
17
类似地有
g dxy srx d rx px rx sy
于是，这个模型中方程（1）化为
(t ) cxy x u (t ) x （ 8） (t ) dxy x v(t ) y
(10)式确定的相轨线是直线族,如 图5-7。象分析正规战争模型一样，可 知m>0时乙方胜，m<0时甲方胜，m= 0时战平。
乙方获胜的条件还可以表示为
20
y(t)
m>0,乙方胜 m=0,平局
m/c
m<0,甲方胜
0
-m/d
x(t)
图5-7 游击战争模型轨线
21
y0 d rx srx sx x0 c ry sry s y
k 0 a
12
即当甲方兵力为零时乙方的兵力为正
值，表示乙方获胜。同理可知，k<0
时甲方获胜，而当k =0时双方战平。
进一步分析某一方譬如乙方获胜
条件。由(6)式并注意到a , b的含义,乙
方获得胜利的条件可表示为
2
y0 b rx p x x ar p y y 0
(7)
用A(t)和J(t)表示美军和日军第t天 的人数，在正规模型(2)中忽略非战斗 减员，且v = 0,再添加上初始条件，有
31
dA aJ (t ) u (t ) dt dJ bA(t ) dt A(0) 0, J (0) 21,500
（19）
美军战地纪录给出增援率u(t)为
数学模型
中南大学 数学科学学院 应用数学与应用软件系
1
正规战与游击战
早在第一次世界大战时期，F.W. Lanchester 就提出几个预测战争结局 的数学模型，其中有描述传统的正规 战的，也有考虑稍微复杂的游击战的。 以及双方分别使用正规部队和游击部 队的所谓混合战争的。后来人们对这 些模型作了改进和进一步的解释，用 以分析历史上一些著名的战争， 如第
（ 3）
不能直接求解方程（3），而且在相 平面上讨论相轨线的变化规律更容易 判断双方的胜负。又方程（3）可得
10
dy bx dx ay
其解为
（ 4）
ay bx k
2 2
（ 6）
11
注意到方程（3）的初始条件，有
k ay bx
2 0
2 0
（ 6）
由（5）式确定的相轨线是双 曲线，如图5-6。箭头表示随时间t 的增加，x(t) , y(t)的变化趋势。可 以看出，如果k > 0,轨线将与y轴相 交。这就是说t1使x(t1)=0 , y(t1)=
硫磺岛位于东京以南660英里 的海面上，是日军的重要空军基地。 美军在1945年2月19日开始进攻， 激烈的战斗持续了一个月，双方伤 亡惨重，日方守军21,500人全部阵
30
阵亡或被俘，美方投入兵力 73,000人， 伤亡20,265人，战争进行了28天时美 军宣布占领该岛，实际战斗到36天才 停止。美军的战地记录有按天统计战 斗减员和增援情况，日军没有后援， 战地记录全部遗失。
(t ) cxy x (t ) bx y x(0) x0 , y (0) y0
（13）
23
它的轨线
cy 2 2bx n n cy 2bx 0
2 0
（14）
（15）
是抛物线，如图5-8。可以知道 n >0 时乙方胜，n <0 甲方胜，n = 0时双 方战平。并且乙方（正规部队一方） 取得胜利的条件可表为
(t ) ay x u (t ) x （ 1） (t ) bx x v(t ) y
在分析结局时忽略非战斗减员一项 （与战斗减员相比,这项很小），并
9
且假设双方没有增援。记双方的初始 兵力分别是x0和y0，方程（2）简化为
ay x by y x(0) x0 , y (0) y0
27
y0 2 0.1 0.1 106 100 x 2 1 100 0
2
（18）
即y0/x0>10，乙方必须10倍于甲方的 兵力。
美国人曾用这个模型分析越南战 争（甲方是越南，乙方为美国）。更 具类似于上面的计算以及四五十年代 发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老 挝等地的混合战争的实际情况估计出，
（12）
即初始兵力之比y0/x0以线性关系影响战 争结局，并且当射击率和射击有效面积 一定时，增加活动面积sy与增加初始兵 力y0起着相同的作用。 这个模型又称线性律模型。
22
混合战争模型 甲方为游击部队，乙 方为正规部队.
根据对正规战和游击战争模型的 分析假设, f = cxy ， g = bx，在相同 的忽略和假设下方程为
15
游击战争模型 作战。
双方都用游击部队
甲方士兵在乙方士兵看不到的 某个面积为 sx 的隐藏区域内活动， 乙方士兵不是向甲方士兵开火，而 是这个隐藏区域内射击，并且不知 道杀伤情况。这是甲方战斗减员率 不仅与乙方兵力有关，而且随着甲 方的兵力的增加而增加。因为在一
16
个有限区域内，士兵越多，被杀伤 的就越多。这样可以简单地假设 f =cxy ，且乙方战斗有效系数c可表 示为
1
36
于是，从(22)式估计出
21,500 b 0.0106 2,037,00
34
再将这个值带入（22）式即可算出 J(t) , t = 1, 2 ,…，36。然后从（21） 式估计a ，令t = 36，得
a
u ( ) A(36)
0
36
J ( )
0
36
（23）
2
二次世界大战中美日硫磺岛之战和 1975年结束的越南战争。
Lanchester 提出的模型是非常简单的， 他只考虑双方兵力的多少和战斗力的 强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员 而减少，又由于后备力量的增援而增 加，战斗力即杀伤对方的能力，则与 射击率(单位时间的射击次数)，射击 命中率以及战争类型(正规战、游击战）
3
等有关，这些模型当然没有考虑交战 双方的政治、经济、社会等因素，而 仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战 争胜负的，所以我们认为用这些模型 判断整个战争的结局是不可能的，但 是对局部战役来说或许还有参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为我 们借助数学建模讨论社会科学领域中 的实际问题提出了可以借鉴的实例。
6
正规战模型 甲乙双方都用正规部队 作战。我们只须分析甲方的战斗减员 率f (x,y)。 甲方士兵公开活动，处于乙方每 一个士兵的的监视和杀伤力范围内， 一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的活 力立即集中在其余的士兵身上，所以 甲方的战斗减员率只与乙方的兵力有 关，可以简单地设f 与y成正比，即
7
f=ay
对方程(19)用求和代替积分可得
A(t ) A(0) a J ( ) u ( ) （21）
1 1
t
t
J (t ) J (0) b A( )
1