数学模型试卷答案 经典
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）全等变换平移：平行线段平移形成平行四边形。
对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。
对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。
旋转全等模型半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。
自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。
共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。
中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。
模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
几何最值模型对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。
正方形的边长可以通过射影定理来求解。
假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。
这可以通过旋转相似模型来实现。
例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。
更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。
相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。
另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。
A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案：A2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。
当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。
A) 长为 4，宽为 3\B) 长为 5，宽为 3\C) 长为 4，宽为 2.5\D) 长为 5，宽为 2.5答案：A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。
求该直线的方程。
A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案：B4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。
A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案：A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。
假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。
求两辆车首次相遇的时间。
A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案：A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。
答案：$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。
答案：$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。
数学建模试卷及参考答案
数学建模 试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。
将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。
《数学建模》考试试卷与参考答案
《数学建模》试卷 第 1 页 共 4 页《数学建模》试题一、填空题（每题5分，满分20分）：1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 .2. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 .3. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .4. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .二、分析判断题（每题10分，满分20分）：1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。
2. 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？表1单位：元/件上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。
三、计算题（每题20分，满分40分）：1. 有一批货物要从厂家A 运往三个销售地B 、C 、D ，中间可经过9个转运站.,,,,,,,,321321321G G G F F F E E E 从A 到321,,E E E 的运价依次为3、8、7；从1E 到21,F F 的运价为4、3；从2E 到321,,F F F 的运价为2、8、4；从3E 到32,F F 的运价为7、6；从1F 到21,G G 的运价为10、12；从2F 到321,,G G G 的运价为13、5、7；从3F 到32,G G 的运价为6、8；从密线封层次报读学校专业姓名317《数学建模》试卷 第 2 页 共 4 页1G 到C B ,的运价为9、10；从2G 到D C B ,,的运价为5、10、15；从3G 到D C ,的运价为8、7。
数学建模试题(带答案)
数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。
f 和g 都是连续函数。
椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。
不妨设0)0(,0)0(g >=f 。
当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。
就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。
证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。
数学建模小学试题及答案
数学建模小学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是偶数？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A2. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 16B. 24C. 32D. 48答案：C3. 一个数的3倍是45，这个数是多少？A. 15B. 12C. 10D. 5答案：A4. 一个班级有40名学生，其中女生占全班人数的1/3，那么女生有多少人？A. 10B. 13D. 20答案：D5. 一个数加上它的一半等于10，这个数是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B6. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少厘米？A. 5B. 10C. 15D. 20答案：A7. 一个数的4倍是32，这个数是多少？A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B8. 一个班级有60名学生，其中男生占全班人数的2/3，那么男生有多少人？A. 40B. 50C. 60D. 809. 一个数减去它的1/4等于9，这个数是多少？A. 12B. 11C. 10D. 9答案：A10. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 30B. 25C. 20D. 15答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的5倍加上20等于50，这个数是______。
答案：62. 一个数的3倍减去10等于20，这个数是______。
答案：103. 一个班级有50名学生，其中男生占全班人数的3/5，那么男生有______人。
答案：304. 一个数的2倍减去5等于15，这个数是______。
答案：105. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，那么它的面积是______平方厘米。
答案：96三、解答题（每题10分，共50分）1. 一个数的4倍加上8等于40，求这个数。
答案：设这个数为x，则有4x + 8 = 40。
解这个方程，我们得到4x = 32，所以x = 8。
《数学模型(第三版)》习题参考解答
《数学模型(第三版)》习题参考解答一、选择题（一）、单项选择１、数学教学就是数学活动的教学，就是师生之间、学生之间（3）的过程。
①交往互动②共同发展③交往互动与共同发展２、教师必须积极主动利用各种教学资源，创造性地采用教材，学会（2）。
①教教材②用教材教３、算法多样化属学生群体，（2）每名学生把各种算法都学会。
①要求②不要求４、新课程的核心理念就是（3）①联系生活学数学②培养学习数学的爱好③一切为了每一位学生的发展５、根据《数学课程标准》的理念，解决问题的教学必须横跨于数学课程的全部内容中，不再单独发生（3）的教学。
①概念②计算③应用题６、“三维目标”就是指科学知识与技能、（2）、情感态度与价值观。
①数学思考②过程与方法③解决问题７、《数学课程标准》中采用了“经历（体会）、体验（体会）、积极探索”等刻画数学活动水平的（1）的动词。
①过程性目标②知识技能目标８、创建蜕变记录就是学生积极开展（3）的一个关键方式，它能充分反映出来学生发展与进步的历程。
①自我评价②相互评价③多样评价９、学生的数学自学活动应就是一个生动活泼的、主动的和（2）的过程。
①单一②富有个性③被动１０、“用数学”的含义就是（2）①用数学学习②用所学数学知识解决问题③了解生活数学１１、以下现象中，（d）就是确认的。
a、后天下雪b、明天有人走路c、天天都有人出生d、地球天天都在转动１ 2、《标准》精心安排了（b）个自学领域。
a）三个 b）四个 c）五个 d）不确定１３、教师由“教书匠”转型为“教育家”的主要条件就是（d）a、坚持学习课程理论和教学理论b、认真备课，认真上课c、经常编写教育教学论文d、以研究者的眼光校对和分析教学理论与教学实践中的各种问题，对自身的行为进行反思１４、崭新课程标准通盘考虑了九年的课程内容，将义务教育阶段的数学课程分成（b）个阶段。
a）两个 b）三个 c）四个 d）五个１５、以下观点不恰当的就是（d）a）《标准》并不规定内容的呈现顺序和形式b）《标准》倡导以“问题情境——创建模型——表述、应用领域与开拓”的基本模式呈现出科学知识内容c）《标准》努力体现义务教育的普及性、基础性和发展性d）年全国教育工作会议后，制定了中小学各学科的“教学大纲”，以逐步替代原来的“课程标（二）、多项选择１、义务教育阶段的数学课程应当注重彰显（acd），并使数学教育面向全体学生。
数学建模试卷及答案
《数学模型》试卷一、基本问题。
（本大题共2小题，每小题20分，共40分）1．在七项全能中对于跳高运动的记分点方法由下式给出：c b m a P )(-=其中m c b a ,348.1,0.75,84523.1===是跳的高度（按cm 计）。
求跳的高度为183cm 的记分点，并确定积分1000点需要跳的高度。
2．铁匠用直条铁做蹄铁，把直条铁弯成通常铁蹄的形状。
为求得铁条需要的长度，要测量蹄的宽度（W 英寸），并用下列形式的公式：b aW L +=求得需要的条长度（L 英寸）。
试用下列数据求的a 和b 的估计值。
并得出该公式的估计式。
宽W （英寸） 长L （英寸）6.50 12.005.75 13.50二、渔场捕捞问题。
（本大题共3小问，每小问20分。
满分共60分。
）三、在渔场中捕鱼，从长远利益而言，通常希望既使渔场中鱼量保持不变，又能达到最大的捕获量。
假设：（1）在无捕捞的情况下，鱼量的变化符合Logistic 模型：)1(Nx rx dt dx -=，其中：r 为固有增长率，N 是渔场资源条件下最大鱼量；（2）在捕捞的情况下，设单位时间的捕捞量与渔场中的鱼量成正比。
1．建立在有捕捞的情况下，渔场的产量模型；2．研究该模型鱼量的稳定性；3．找出该模型下适合的捕捞量。
《数学建模》考试卷（答案）一、1．解：把183,348.1,0.75,84523.1====m c b a 代入记分公式，得348.1)0.75183(84523.1)(-⨯=-=c b m a P =348.110884523.1⨯（=1016.5）由公式c b m a P )(-=，有c b m a P )(-=，解得公式：b a P m c +=1)( 把1000,348.1,0.75,84523.1====P c b a 代入上式，得b aP m c +=1)( 0.7594.5410.75)84523.11000(74184.0348.11+=+= （=106.7+75.0=181.7）2．解：把两组数据00.12,50.6==L W 和50.13,75.5==L W 分别代入公式 b aW L +=得方程组：⎩⎨⎧+=+=b a b a 75.55.135.60.12 解得：⎩⎨⎧=-=252b a 所以b a ,的估计值为：25,2^^=-=b a 。
数学模型笔试题及答案初中
数学模型笔试题及答案初中一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^2 + bxC. y = ax + cD. y = a + bx + cx^2答案：A2. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C3. 如果一个数的平方是9，那么这个数是：A. 3B. -3C. 3 或 -3D. 以上都不是答案：C4. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么它的体积是多少立方厘米？A. 24B. 12C. 8D. 6答案：A5. 以下哪个选项是不等式的基本形式？A. x > 5B. x = 5C. x + 5 = 0D. x^2 = 9答案：A6. 一个等腰三角形的两边长分别是5cm和8cm，那么第三边的长度是多少？A. 3cmB. 5cmC. 8cmD. 无法确定答案：C7. 一个数的立方是27，那么这个数是：A. 3B. -3C. 3 或 -3D. 以上都不是8. 一个正方体的边长是4cm，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 64B. 96C. 48D. 24答案：B9. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5 或 -5D. 以上都不是答案：C10. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，那么斜边的长度是多少？A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方根是2，那么这个数是_________。
2. 一个数的立方根是0.5，那么这个数是_________。
答案：0.1253. 如果一个数的一半加上3等于8，那么这个数是_________。
答案：54. 一个数的相反数是-7，那么这个数是_________。
答案：75. 一个数的绝对值是8，那么这个数可能是_________。
数学模型试题及答案解析
数学模型试题及答案解析一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个不是数学模型的特征？A. 抽象性B. 精确性C. 可验证性D. 复杂性答案：D2. 数学模型的建立通常不包括以下哪个步骤？A. 定义问题B. 收集数据C. 建立假设D. 验证结果答案：D3. 在数学建模中，以下哪个不是模型分析的方法？A. 定性分析B. 数值分析C. 图形分析D. 统计分析答案：D4. 数学模型的验证不包括以下哪项？A. 内部一致性检验B. 与已知结果比较C. 与实验数据比较D. 模型的优化答案：D5. 在数学建模中，以下哪个不是模型的类型？A. 确定性模型B. 随机模型C. 动态模型D. 静态模型答案：D6. 以下哪个是数学模型的典型应用领域？A. 经济学B. 物理学C. 生物学D. 所有以上答案：D7. 数学模型的建立过程中，以下哪个步骤是不必要的？A. 问题定义B. 假设建立C. 模型求解D. 模型展示答案：D8. 数学模型的分析中，以下哪个不是常用的工具？A. 微分方程B. 线性代数C. 概率论D. 量子力学答案：D9. 在数学建模中，以下哪个不是模型的评估标准？A. 准确性B. 可解释性C. 简洁性D. 复杂性答案：D10. 数学模型的建立过程中，以下哪个步骤是至关重要的？A. 问题定义B. 数据收集C. 模型求解D. 模型验证答案：A二、多项选择题（每题5分，共20分）11. 数学模型的建立过程中，以下哪些步骤是必要的？A. 问题定义B. 数据收集C. 模型求解D. 模型验证答案：ABCD12. 数学模型的类型包括以下哪些？A. 确定性模型B. 随机模型C. 动态模型D. 静态模型答案：ABCD13. 数学模型的分析方法包括以下哪些？A. 定性分析B. 数值分析C. 图形分析D. 统计分析答案：ABCD14. 数学模型的验证包括以下哪些？A. 内部一致性检验B. 与已知结果比较C. 与实验数据比较D. 模型的优化答案：ABC三、填空题（每题4分，共20分）15. 数学模型的建立通常包括定义问题、______、建立假设和模型求解四个步骤。
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南昌航空大学2007—2008学年第二学期考试卷答案
（20分）某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
5年。
若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。
解：设12345,,,,x x x x x 分别表示购买证卷A,B,C,D,E 的金额（万元），则到期后的净收益为
12345max 0.0430.0270.0250.0220.045z x x x x x =++++
约束条件为；
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即
234400x x x ++≥
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即
12345
12345
225 1.4x x x x x x x x x x ++++≤++++
（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。
12345
12345
9154325x x x x x x x x x x ++++≤++++
(4)投资总额为1000万
123451000x x x x x ++++≤ 整理得到（以百万为单位）：
12345234123451234512345max 0.0430.0270.0250.0220.0454
6644360410230..0,1,2,3,4,510
i z x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x i x x x x x =++++++≥⎧⎪+--+≤⎪⎪+---≤⎨⎪≥=⎪++++≤⎪⎩
二、战争模型（共计25分）
下列方程给出了正规战争模型：00
()()(0),(0)x t ay y t bx x x y y
⎧
=-⎪
⎪=-⎨
⎪==⎪⎩
，其中(),()x t y t 分别为甲、乙双方在时刻
t 的兵力，a,b 分别为乙方和甲方的战斗有效系数。
假设00/8,2a b x y ==，问：乙取胜时的剩余兵力是多少？乙方取胜的时间如何确定？ 解：由模型：
00
()()(0),(0)x t ay y t bx x x y y
⎧
=-⎪
⎪=-⎨
⎪==⎪⎩
(1) 消去t,得到相轨线方程为：
dy bx dx ay
=， 解得：
222
2
00
,ay bx k k ay bx -==-
(1) 乙方取胜的充要条件是：当x=0时，0y >等价于2
000y b
k x a ⎛⎫>⇔> ⎪⎝⎭
，因为
2
0011
,84
y b a x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故乙方胜，当乙方取胜时()0,x t =
从而02
y y ==。
(2) 为了求得乙方取胜的时间，解方程组(1),重写为：
()0()()0()()()x t a x t x t A b y t y t y t ⎛⎫
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，00a A b -⎛⎫= ⎪-⎝
⎭
求解得到A
的特征值为12λλ=
=
1λ=
对应的特征向量为1T
u ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
1λ=
1T u ⎫=⎪⎪⎭
， 从而方程组（1）的解为：
12()()11x t c c e y t ⎛⎛⎫ =+ ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭
⎝⎭
（2）
从而()x t c c =-+
，12()y t c c e =-+，由初始条件
00(0),(0)x x y y ==
得到10020011,22c y c y ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
000011()()()22x t x x e =
-++ (3)
当()0x t =时，解得
e =
将002,8x y a b ==
代入上式得到3e =
=+
t =
四、（共20分）
学生毕业后选择工作，有两个衡量准则：工资水平和个人发展。
现有三个待选单位：321,,A A A 。
假设相对于总目标选择工作C ，准则“工资水平1c ”和“个人发展2c ”21,c c 的权重为
T w ]5.0,5.0[0=，相对于准则“工资水平1c ”，方案321,,A A A 的判断距阵为
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212/1521
A ，相对于准则“个人发展2c ”，方案321,,A A A 的判断距阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1535/113/13/131B ，试用和法求方案321,,A A A
答：
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212/1521
A 中各列归一化
⎪⎪⎪⎭ ⎝⎛8/17/117/28/27/217/57/417/10 各行求和 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛385.0830.0785.1再归一化
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛128.0277.0595.0=1w 6分 131/31/311/5351B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
中各列归一化
0.2310.3330.2170.0770.1110.1300.6920.5560.652⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
求各行平均值 0.2600.1060..633⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
=2w 6分
所以三个方案321,,A A A 对总目标的权重为：
1200.5950.2600.430.5(,)0.2770.1060.190.50.1280.6330.38W w w w ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3分
故三个待选单位321,,A A A 的排名为 1，3，2。
五、贷款买房问题（共计10分）
某高校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款10万元，年利率为6.39%(月利率为 r= 0.5325%), 贷款期为20年(=240个月)，这对夫妇希望知道每月要还多 多少钱，20年才可以还清？（1）假设这对夫妇每月可以节余1000元，是否可以去买房呢？（2）若贷款期还是20年(=240个月)，但第11年第一个月起，银行贷款年利率提高到12%(月利率为1%)，问从第11年的第一个月起，每个月要还多少款？（提示：设第i 个月欠银行的款数为i A ，则第1i +个月欠银行的款数(加上利息)应为(1)i r A +，r 为月利率，而一开始的借款数为010A =万）。
解：设第i 个月欠银行的款数为i A ，则第1i +个月欠银行的款数(加上利息)应为
(1)i r A +，但每月的还款数为x ,故总的欠款数为1(1)i i A r A x +=+-，而一开始的借款数为010A =万，所以我们的数学模型可表述为：
10
(1)(10)k k A r A x
A +=+-⎧⎨
=⎩万已知 上述模型求解 由10(1)A r A x =+-
22100(1)(1)[(1)](1)[1(1)]A r A x r r A x x r A x r =+-=++--=+-++； 利用数学归纳法得到
10(1)[1(1)...(1)]k k k A r A x r r -=+-+++++
0(1)[(1)1]k k x
r A r r
=+-+-，k=1,2,3, (240)
由2400A =，解得
0(1)(1)1k k A r r x r +=
+-=240
240100.005325(10.005325)(10.005325)1
⨯⨯++-=739.11(元)；故这对夫妇可以买房。
（2）因为第11年第一个月，即第121个月的欠款数为
1211211210(1)[(1)1]
x
A r A r r
=+-+-
121121739.11
(10.005325)1010000[(10.005325)1]0.005325
=+⨯⨯-
+-
=190144.7714-125120.9426=65023.83(元) 根据(1),从第11年的第一个月起，在余下的10年中，每个月还款数为
0(1)(1)1
k
k
A r r x r +=+-，此处065023.83A =，0.01r =（当银行年利率提高到12%，则月利率为1%），k=120,代入上式得到
1200120(1)65023.830.01(1+0.01)(1)1(1+0.01)1
k k A r r x r +⨯⨯==
+--65023.830.01 3.300386895
932.902.300386895
⨯⨯=
≈（元）
即每月还款数增加到932.90元。