2.3.1双曲线及其标准方程(第二课时)
高中数学《双曲线及其标准方程》课件
解析
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 双曲线标准方程的认识 例 1 若 θ 是第三象限角，则方程 x2＋y2sinθ＝cosθ 表示的曲线是( ) A．焦点在 y 轴上的双曲线 B．焦点在 x 轴上的双曲线 C．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 x 轴上的椭圆
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为xm2＋yn2＝1， 则当 mn<0 时，方程表示双曲线．若nm<>00，， 则方程表示焦点在 x 轴上的双曲 线；若mn><00，， 则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
【跟踪训练 1】 若 k>1，则关于 x，y 的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1 所表示 的曲线是( )
[解] b>0)．
(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，
∵M，N
在双曲线上，∴4－a22722－3
52
2 b2
＝1，
3 a2
－4b22＝1，
解得a12＝－116， b12＝－19
(不符合题意，舍去)．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6，两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
双曲线及其标准方程(第2课时)高中数学获奖教案
3.2.1 双曲线及其标准方程（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2．掌握根据条件求双曲线方程的基本方法；3．用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．二、教学重难点1．重点：双曲线方程的理解和根据条件求双曲线方程的基本方法．2．难点：根据条件求双曲线方程的基本方法．三、教学过程1．复习引入1.1双曲线的定义在上一节课，我们介绍了第二种圆锥曲线——双曲线，并学习了双曲线的轨迹及其标准方程，本节课我们在上一节课的基础上继续学习求解双曲线方程的几种典型方法，并利用它们解决一些简单的实际问题问题1：双曲线的定义是什么？【活动预设】学生回答，教师通过学生的答案，强调双曲线定义中的几个关键信息．【设计意图】通过对双曲线的复习，为后面引出相应的变式做准备。
1.2定义中关键要素的理解问题2：（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（记为2a ）的点的轨迹是双曲线吗？【活动预设】通过观察图形，学生主动发现随着a 的不同取值，点的轨迹除了双曲线意外还有另外三种情况． 【设计意图】通过设问，让学生强化定义中“距离之差小于”这一细节。
问题3：平面内满足的点M 的轨迹是双曲线吗？【活动预设】让学生探究发现，当去掉绝对值的限制时，所得到的轨迹只有双曲线的一支．12FF 1220MF MF a a -=>,()【设计意图】明确双曲线定义中的另一个关键要素：距离之差的绝对值，引导学生全面的了解双曲线定义中的三个要素，深化学生对双曲线定义的理解．问题4：双曲线的标准方程是什么？【活动预设】学生总结焦点在x 、y 轴上的两种不同情况下的双曲线标准方程。
【设计意图】复习上节课这一最重要的知识点，掌握双曲线的两种方程，为下面求解双曲线的标准方程做准备。
2．初步应用，熟悉方程例1已知线段，直线相交于点，且它们斜率之积是，求点的轨迹方程。
高中数学新课标选修2课件2.3.1双曲线及其标准方程
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标 准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有 比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半 径)．
2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)
o
x
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
X
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距
离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常
数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B)，
解:
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x
轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680，
y
A
P B
即 2a=680，a=340. 又 AB 800，
所以 2c=800,c=400,
b2 c 2 a 2 44 400，
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M
|||MF1
| - | MF2|| = 2a },
即
( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a .
2
4.化简 代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 a 2 ), 得
x2 y2 2 1. 2 2 a c a
人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程 第2课时
双曲线及其标准方程第二课时（一）教学目标1．熟练掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的 ,,a b c , 并注重用换元法解关于21a 、21b 的二元方程组． 2．能利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题了, 了解利用爆炸声的时间差确定爆炸点的准确位置, 是双曲线的一个重要应用． （二）教学过程【复习提问】由一位学生口答, 教师板书．问题1．双曲线的定义是什么？问题2．双曲线的标准方程是怎样的？【新知探索】双曲线标准方程的求法由双曲线的定义和标准方程可知, 确定双曲线的标准方程需要三个条件, 除需指明焦点位置外, 还要确定a 、b 的值． 【例题分析】例 1 .已知双曲线的焦点在y 轴上, 并且双曲线上两点1P 、2P 的坐标分别为9(3,(,5)4-, 求双曲线的标准方程．分析：这里要用待定系数法, 涉及到解方程组, 可由教师讲解． 解：因为双曲线的焦点在y 轴, 所以设所求双曲线的标准方程为：22221(0,0)y x a b a b-=>>因为1P 、2P 在双曲线上, 所以点1P 、2P 的坐标适合方程, 将它们的坐标分别代入方程中得到方程组222232912581116a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩令2211,m n a b ==, 则方程组化为：32918125116m n m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩, 解这个方程组得11619m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2216,9a b ==, 所以所求双曲线的标准方程为：221169y x -=教师问：若去掉“焦点在y 轴上”这一条件, 所求的双曲线方程为221169y x -=或221169x y -=吗？ 这时肯定会有一部分学生回答是教师引导学生讨论若焦点在 轴上的情形．若焦点在x 轴上, 设所求双曲线方程为22221x ya b-=依题意得222293218125116b a b a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩此时无解, 故所求的双曲线方程仍为221169y x -=．教师问：解这道题能不能不讨论呢？学生回答：能, 设所求双曲线方程为221(0)Ax By AB -=>依题意得93218125116A B A B -=⎧⎪⎨-=⎪⎩, 解得19116A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故所求双曲线方程为221169y x -=．点评：这样设所求双曲线方程不必讨论且解二元一次方程组简捷迅速, 应予掌握．例2. 一炮弹在某处爆炸, 在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s , （1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A 、B 两地相距800m , 并且此时声速为340/m s , 求曲线的方程． 分析：这是一个有关双曲线的应用问题, 由教师讲解．解：（1）由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差, 可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差, 因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A 处比B 处更远, 所以爆炸点应在靠近B 处的一支上．（2）如图, 建立直角坐标系, 使A 、B 两点在x 轴上, 并且原点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点P 的坐标为(,)x y , 则: ||||PA PB -= 即2680a =, ∴ 340a =又||800AB =, 即2800c =, ∴400c = 22222400300444000b c a =-=-=故所求双曲线的方程为221(0)115600444000x y x -=>．点评：（1）求曲线方程, 若没有坐标系, 一定要先建立坐标系, 按建系设点,列式化简, 验证作答的程序进行．（2）利用两个不同的观测点得同一炮弹爆炸声的时间差, 可以确定爆x炸点所在的双曲线的方程, 但不能确定爆炸点的准确位置, 如果再增设一个观测点C , 利用B 、C （或A 、C ）两处测得的爆炸声的时间差, 可以求出另一个双曲线的方程, 解这两个方程组成的方程组, 就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用．例 3.在ABC ∆中,BC 固定,顶点A 移动.设||BC m =, 当三个角有满足条件1|sin sin |sin 2C B A -=时, 求A 的轨迹方程．由一位学生演板, 教师订正补充．解：以BC 所在直线为x 轴, 线段BC 的中点为原点建立直角坐标系,则(,0),(,0)22m mB C -设A 点坐标为(,)x y ． 由题设:1|sin sin |sin 2C B A -=, 根据正弦定理, 得：1||2c b a -=,即1||2AB AC m -=可知A 在以B 、C 为焦点的双曲线上． 这里122a m = ∴4m a =． 又2m c =∴故所求A 点的轨迹方程为：222216161(0)3x y y m m -=≠.点评：（1）利用正弦定理实现边角转换再利用双曲线的定义求轨迹是解题的关键．这种满足曲线的定义, 可直接写出所求的方程．（2）求轨迹要做到不重不漏, 应把不满足条件的点去掉, 这里A 是ABC ∆的顶点, 所以应去掉与B 、C 共线的点．（三）随堂练习1．求焦点在轴上, , 且过点的双曲线的标准方程．2．已知、、, 椭圆过、两点且以为其一个焦点, 求椭圆另一焦点的轨迹．（第1题可在例1后练习, 第2题可在例3后练习）答案：1．设所求双曲线方程为, 由题意得解得故所求双曲线方程为．2．设椭圆的另一焦点, 由题意得,∴．而, 于是,根据双曲线定义可知在以、为焦点的双曲线的左支上．这里, ∴, 又∴,故椭圆的另一焦点的轨迹方程为．（四）总结提炼1．求双曲线的标准方程一般应先判定焦点所在的坐标轴, 其次再确定, 的值．若已知双曲线经过两个定点, 求双曲线方程, 设所求双曲线方程为列出关于、的二元一次方程组．求出、既避免了讨论又降低了方程组、未知数的次数, 大大减少所需的运算, 体现了由繁至简的化归思想．2．求曲线轨迹方程一定要验证, 把不满足条件的点、线去掉．（五）布置作业1．若点是以、为焦点的双曲线上的一点, 则,且（）A． 2 B．22 C．2或22 D．4或222．方程所表示的曲线为．①若曲线为椭圆, 则；②若曲线为双曲线, 则或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在轴上椭圆, 则以上命题正的是（）A．②③B．①④C．②④ D．①②④3．如果表示焦点在轴上的双曲线, 那么它的半焦距的取值范围是（）A．B．（0,2） C． D．（1, 2）4．经过点与的双曲线标准方程为_____________．5．求与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹方程．6．设声速为 米/秒, 在相距米的、两哨所, 听到炮弹爆炸声的时间相差6秒, 求炮弹爆炸点的轨迹方程． 答案：1．C ； 2．C ； 3．A ； 4．； 5．；7．以、两哨所所在的直线为 轴, 它的中垂线为轴建立直角坐标系．得炮弹爆炸点的轨迹方程为．（六）板书设计典型例题（例1～例3） 例1 讨论 表示何种圆锥曲线, 它们有何共同特征． 分析：由于,, 则的取值范围为,,, 分别进行讨论． 解：（1）当时, ,, 所给方程表示椭圆, 此时,,, 这些椭圆有共同的焦点（－4, 0）, （4,0）．（2）当时, , , 所给方程表示双曲线, 此时,, , , 这些双曲线也有共同的焦点（－4, 0）, ）（4, 0）．（3）, , 时, 所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线, 称为同焦点圆锥曲线系, 不妨取一些值, 画出其图形, 体会一下几何图形所带给人们的美感．例2 根据下列条件, 求双曲线的标准方程．（1）过点, 且焦点在坐标轴上．（2）, 经过点（－5, 2）, 焦点在轴上．（3）与双曲线有相同焦点, 且经过点解：（1）设双曲线方程为, ∵、两点在双曲线上,∴解得∴所求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论, 得“巧求”的目的．（2）∵焦点在轴上, ,∴设所求双曲线方程为：（其中）∵双曲线经过点（－5, 2）, ∴∴或（舍去）∴所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：∵双曲线过点, ∴∴或（舍）∴所求双曲线方程为说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后, 便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法, 须有牢固的基础和一定的变通能力, 这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．例3 已知双曲线的右焦点分别为、, 点在双曲线上的左支上且, 求的大小．分析：一般地, 求一个角的大小, 通常要解这个角所在的三角形．解：∵点在双曲线的左支上∴∴∴∵∴说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中, 使问题得以简单化．（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键, 应引起我们的重视, 若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题（例4～例7）例4 已知、是双曲线的两个焦点, 点在双曲线上且满足, 求的面积．分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积．解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．∴,∵∴在中,∵∴∴∴说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．2．利用双曲线定义求动点的轨迹例5 已知两点、, 求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义, 可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义, 可知所求点的轨迹是双曲线．∵,∴∴所求方程为动点的轨迹方程, 且轨迹是双曲线．说明：（1）若清楚了轨迹类型, 则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题, 一般可采用定义去解．例6 在中, , 且, 求点的轨迹．分析：要求点的轨迹, 需借助其轨迹方程, 这就要涉及建立坐标系问题,如何建系呢？解：以所在直线为轴, 线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系, 则, ．设, 由及正弦定理可得：∵∴点在以、为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：∴, , ∴, , ∴∴所求双曲线方程为∵, ∴∴点的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分例7 求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与⊙内切, 且过点（2）与⊙和⊙都外切．（3）与⊙外切, 且与⊙内切．分析：这是圆与圆相切的问题, 解题时要抓住关键点, 即圆心与切点和关键线段, 即半径与圆心距离．如果相切的⊙、⊙的半径为、且, 则当它们外切时, ；当它们内切时, ．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆的半径为（1）∵⊙与⊙内切, 点在⊙外∴, ,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支, 且有：, ,∴双曲线方程为（2）∵⊙与⊙、⊙都外切∴, ,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支, 且有：, ,∴所求的双曲线的方程为：（3）∵⊙与⊙外切, 且与⊙内切∴, ,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支, 且有：, ,∴所求双曲线方程为：说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小, 提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析, 我们体会到了, 灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．扩展资料“情侣”曲线—椭圆与双曲线细心研究, 教学奥妙无穷, 深入探索, 数学联系密切, 深入研究椭圆与双曲线, 发现它们之间有一组有趣的性质．性质1：若双曲线的弦和实轴所在直线垂直, 则直线与直线的交点的轨迹是以已知双曲线的实轴为长轴, 虚轴为短轴的椭圆．证明：不防设已知双曲线的方程为则它的两个顶点为, 如图,因为, 因此设,则直线的方程为①直线的方程为②①×②, 得③又点在双曲线上, 所以, 即．将④代入③, 消去、, 整理得即是所求椭圆的方程, 结论成立．性质2：若椭圆的弦和长轴垂直, 则直线与直线的交点, 轨迹是以已知椭圆的长轴为实轴, 短轴为虚轴的双曲线．证明与性质1类似, 请读者自己给出证明．由此可知椭圆与双曲线相伴, 双曲线与椭圆相随．。
高中数学选择性必修一课件：双曲线及其标准方程(第2课时)
(2)已知 F1，F2 分别为双曲线x52－y42＝1 的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一
点，点 A 在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( C )
A. 37＋4
B. 37－4
C. 37－2 5
D. 37＋2 5
【解析】 因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2 5，所以要求|AP|＋|AF2|的最小 值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
【解析】 双曲线的两个焦点 F1(－4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且 两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM| －|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
(2)如图，已知双曲线的方程为 x2－y42＝1，点 A 的坐标为(－ 5，0)，B 是圆 x2＋(y－ 5)2＝1 上的点，点 C 为其圆心，点 M 在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB| 的最小值．
思考题 1 (1)如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满 足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程． 【解析】 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
如图，连接 F1P 交双曲线的右支于点 A0.当点 A 位于点 A0 处时，|AP|＋|AF1| 最小，最小值为|PF1|＝ [3－（－3）]2＋12＝ 37.故|AP|＋|AF2|的最小值为 37－ 2 5.
双曲线及其标准方程课件2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2
1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC
o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解
第12课时双曲线的定义及标准方程(2)
2.3.1双曲线及其标准方程（2）目的：1、进一步掌握双曲线标准方程的求法，特别是要熟练掌握用待定系数法求双曲线标准方程的方法。
2、学会利用双曲线的定义和标准方程的知识解决简单的实际问题。
重点：进一步理解双曲线的定义和方程，了解一些常见的知识并记忆准确。
过程：一、复习提问：1、 复习曲线的定义、焦点、焦距、两种情形的标准方程。
2、 口答问题：（1）点P 在双曲线x 24 -y 29=1上，F 1、F 2为焦点，若|PF 1|=5,则|PF 2|=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ （2）(k+1)y 2-x 2=k-1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽（3）以椭圆x 264 +y 216=1的短轴长为2a 值，长轴长为焦距的双曲线方程是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ （4）已知F 1,F 2双曲线2x 2-3y 2=24的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1||PF 2|=32,则∠F 1PF 2=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽（5）已知F 1,F 2双曲线x 24-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90︒,则∆PF 1F 2的面积是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽3、 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1,P 2坐标分别为（3，-4 2 )、(94,5),求双曲线的标准方程。
分析：提问椭圆的设法，引入到双曲线中。
也可以用代换的思想，见书上的例题的解答。
4、处理上解的思考题：当0≤θ≤1800，方程x 2cos θ+y 2sin θ=1的曲线怎样变化？ 分析：分θ=0︒，（0︒，45︒），45︒，（45︒，90︒），90︒，（90︒，180︒），180︒共七种情况讨论。
分析：提问椭圆的设法，引入到双曲线中。
也可以用代换的思想见书上的例题的解答。
二、理科例题：1、双曲线x 216 -y 29=1上取一点P 与双曲线两焦点F 1，F 2构成∆PF 1F 2,求 ∆PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标。
双曲线及其标准方程 第二课时
双曲线及其标准方程（第二课时）➢ 教学重点、难点：理解双曲线的的定义和标准方程．➢ 教学过程： 一、复习1.双曲线的定义、焦点、焦距、两种情形的标准方程. 2．练习：（1）点P 在双曲线22149x y -=上，12,F F 为两焦点，若1||5PF =，则2||PF = ．（1或9）（2）22(1)1k y x k +-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是 ． （11k -<<）（3）以椭圆2216416x y +=的短半轴长为a 值，长轴长为焦距且焦点在y 轴上的双曲线的方程是 ． （2211648y x -=，或者2211648x y -=） 二、例题分析例1．已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为9(3,,5)4-，求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>> ① ∵点12,P P 在双曲线上， ∴点12,P P 的坐标适合方程①．xyO2F1F PQNMxyO1F2FPM将9(3,,5)4-分别代入方程①中，得方程组：2222222(319()2541ab ab ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 将21a 和21b 看着整体，解得221116119a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴22169a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即双曲线的标准方程为221169y x -=. 说明：本题只要解得22,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚．例1变式一：已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为9(3,2),(,5)4-，求双曲线的标准方程．例1变式二：在双曲线221169y x -=上任取一点P 与双曲线两焦点12,F F 构成12PF F ∆的内切圆与12F F 的切点坐标．解：如图，由已知得4,3,5a b c ====根据圆的切线长定理和双曲线的定义，有1122||||,||||,||||PM PQ QF NF MF NF === ∴2121121121121||||||||||||(||||)||(||||)NF F F NF F F QF F F PF PQ F F PF PM =-=-=--=--1212212122||[||(||||)]||||||||F F PF PF MF F F PF PF NF =---=-+-∴12212||||||||92F F PF PF NF +-==， ∴22||||||4ON NF OF =-=，因此切点坐标为(4,0)-，根据对称性，当P 在双曲线右支时，切点N 的坐标为(4,0).例1变式三：双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是OxyABP曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程.解：如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，∴c ==∴已知双曲线两焦点为12(F F ， ∵12PF F ∆存在，∴10y ≠由三角形重心坐标公式有11(3003x x y y ⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩即1133x x y y =⎧⎨=⎩ ∵10y ≠∴0y ≠已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠.例2．一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ， （1）爆炸点应在怎样的曲线上？（2）已知,A B 两地相距800m ，并且此时声速为340/m s ，求曲线的方程． 解：（1）由声波及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上，因为爆炸点离A 处比离B 处更远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上． （2）如图，建立直角坐标系xOy ，使,A B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合，设爆破点P 的坐标为(,)x y ，则||||3402680PA PB -=⨯=，则2680,340a a == 又∵||800AB =∴2800,400c c ==，22244400b c a =-=又∵||||6800PA PB -=>∴0x > 所求的双曲线的方程为221(0)11560044400x y x -=>． 说明：利用两个不同的观察点测得同一爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增设一个观察点C ，利用,B C （或,A C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置，这就是双曲线的一个重要应用．（选做题2为此中类型）三、课堂小结1．待定系数法、代入法求双曲线的标准方程． 2．用双曲线解决实际问题.四、作业补充1．双曲线的方程为22221x y a b-=，直线)5y x c =-经过双曲线的右焦点2(,0)F c ，且与双曲线交于,M N 两点，若,||4OM ON MN ⊥=，求出双曲线的方程．答案：2213y x -=． 2．某国北部沿海顺次分布着纬度相同的,,A B C 三地，A 距B 200km ，B 距C 300km ，若,,A B C 三地分别于当日10时零8分，10时零3分，10时13分监听到海上一火山爆发时的巨大爆炸声，并且此时声速为20/min km ，问这一火山大约在距C 地多远的什么方向的海面上？（结果精确到0.1km ）.答案：346.4km ．。
《双曲线及其标准方程》第二课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《双曲线及其标准方程》第2课时教学设计“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．1．使学生熟练掌握用待定系数法求双曲线的标准方程．2．能利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题，了解利用爆炸声的时间差确定爆炸的准确位置，是双曲线的一个重要应用．教学重点：用待定系数法求双曲线的标准方程．教学难点：待定系数法的理解与应用．复习引入1．双曲线的定义及两种形式的标准方程是什么？教师投影并指出：双曲线的定义和标准方程是解题的基础．2．求适合下列条件的标准方程．①a ＝3，b ＝4；②a ＝25，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上．设计意图：复习是建构培育和预热用待定系数法求“双曲线”标准方程的“最近发展区”．通过学生熟悉的、简单的问题引出课题.探究新知设问：①②两题的解法分别是什么？这一节课，我们一起来学习双曲线的应用，并掌握用待定系数法求双曲线的方程． 运用新知1已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为(3，－42)，(94，5)，求双曲线的标准方程．提出问题：已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程，用什么办法解决呢？活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，教师从三个方面引导学生列式计算：方程设法、方程特点、方程解法．并找学生板演．学情预测：学生容易从焦点在y 轴上的一般式方程入手，设双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，代入坐标后的方程组是分母是二次的分式方程组，用换元法或整体法求解．解：设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)， 又因为双曲线过点P 1(3，－42)、P 2(94，5)， 所以，⎩⎪⎨⎪⎧ 32a 2－9b2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16.b 2＝9. 所以所求双曲线方程为y 216－x 29＝1. 变式教学提出问题：例1若去掉“焦点在y 轴上”这一条件，如何设双曲线的标准方程呢？ 活动设计：学生讨论交流，尝试解答．学情预测： 学生的答案可能有三种：1.直接认为是y 216－x 29＝1或x 216－y 29＝1； 2．分类讨论后检验；3．用一般式设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)．活动设计：教师引导学生讨论后请2至3名学生上台板书，教师巡视后订正、引导学生比较解法、点评．点评：已知双曲线经过两点，所求双曲线方程设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)，不必讨论且解二元一次方程组简捷迅速，应予掌握．巩固练习已知双曲线的焦点在x 轴上，且经过点(－2，－3)，(153，2)，求双曲线的标准方程．活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果， 得到答案x 2－y 23＝1.练习完后，学生讨论探究出：已知双曲线经过两点的情况下，将双曲线方程设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)，求出A 、B ，既避免了讨论又降低了方程组中未知数的次数，大大减小运算量．设计意图：根据学生对知识的掌握，灵活安排．目的是尝试探究，深化概念，巩固创新． 2已知A 、B 两地相距800 m ，一炮弹在某处爆炸，在A 地听到爆炸声比在B 地晚2 s ．且声速为340 m /s ，(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)求曲线的方程．思路分析：首先根据题意，判断轨迹的形状，由声速及A ，B 两处听到爆炸声的时间差，可知A ，B 两处离爆炸点的距离的差为定值．这样，爆炸点在以A ，B 为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A 处比离B 处远，所以爆炸点应在靠近B 处的双曲线的一支上．解：(1)设M 为爆炸点，由题意得|MA |－|MB |＝340×2＝680.∵爆炸点离A 点比离B 点距离更远，∴爆炸点在以A 、B 为焦点且距B 较近的双曲线的一支上．(2)如图所示，建立直角坐角系，使A 、B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点M 的坐标为(x ，y )，则|MA |－|MB |＝340×2＝680，即2a ＝680，a ＝340.∵|AB |＝800，∴2c ＝800，c ＝400，b 2＝c 2－a 2＝44 400，∵|MA |－|MB |＝680>0，∴x >0.∴曲线的方程为x 2115 600－y 244 400＝1(x >0)． 变式练习提出问题：1.若A 、B 两地相距680 m ，其余条件不变，曲线方程是什么？2．如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？活动设计：1.y ＝0(x ≥340).2.爆炸点在线段AB 的垂直平分线上．设计意图：巩固定义，培养学生数学思维的缜密性，留给学生更多的思考和探索． 变练演编如果方程x 22－m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，求m 的取值范围． 解：由(2－m )(m ＋1)>0，得－1<m <2.设计意图：巩固双曲线方程Ax 2－By 2＝1(AB >0)，对条件进行加强训练， 对此方程既可以正用，又可逆用．变式：(1)方程x 22－m ＋y 2m ＋1＝1表示双曲线时，m 的取值范围为____________． 解：由(2－m )(m ＋1)<0，得m <－1或m >2.(2)方程x 22－m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆时，m 的取值范围为____________． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m>0，m ＋1>0，2－m≠m ＋1，得m ∈(－1，12)∪(12，2)． (3)方程x 22－m ＋y 2m ＋1＝1表示圆时，m 的值为____________． 解：由2－m ＝m ＋1，得m ＝12. 设计意图：通过变式，对方程Ax 2＋By 2＝1的认识能有进一步提升， 使学生明白在设双曲线、椭圆方程时的通法，但一定要注意条件．达标检测1．已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，则双曲线的标准方程为____________． 2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2 ＝c 表示双曲线”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆4．若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，则实数t 的取值范围是____________________． 答案：1.y 29－x 216＝1 2.A 3.C 4.t >4或t <1 课堂小结1．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：确定焦点位置，若不能确定，应分类讨论．定型：求a ，b ，c 的值．(2)注意：若过两点，无法判断焦点位置的设法．2．用定义法求双曲线标准方程的思考：(1)注意定义中的限制条件，(2)何时为双曲线一支，何时为双曲线两支？作业布置课本习题2.3B 组第2题．补充练习基础练习1．求焦点的坐标是(－6,0)、(6,0)，并且经过点A (－5,2)的双曲线的标准方程．2．求经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程． 3．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( ) A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．94．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为______．5．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．1B .55C ．2D . 5 6．P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的位置关系是( )A ．内切B ．外切C ．外切或内切D ．无公共点或相交答案：1.x 220－y 216＝1 2.y 225－x 275＝1 3.B 4.16 5.B 6.C 拓展练习判断方程x 29－k －y 2k －3＝1所表示的曲线． 解：①当⎩⎪⎨⎪⎧9－k>0，k －3<0，9－k≠k －3，即当k <3时，是椭圆；②当(9－k )(k －3)>0，即当3<k <9时，是双曲线．本节设计目的是要求学生掌握双曲线的标准方程，掌握待定系数法求双曲线的标准方程，能利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题，了解利用爆炸声的时间差确定爆炸的准确位置，是双曲线的一个重要应用．基于这样的目的， 教学设计运用启发探究式教学、互动式教学．引导学生进行主动探究学习．抓住本节课的重点和难点，采取类比、联想、发现、探究、协作、讨论等学习方法相结合的教学模式，突出重点、突破难点．鼓励学生主动发现问题、大胆分析问题和解决问题，引导学生进行主动探究学习．例题1主要是让学生熟悉双曲线的标准方程的形式及一般设法，例题2则是双曲线在实际生活中的应用，难度上循序渐进，逐步提高，符合学生的学习规律、认识规律．。
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1. 已 知 动 圆 ⊙P 与 ⊙F1 : ( x 5)2 y 2 36 内 切 , 且 过 点 x2 y2 F2 (5, 0) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程. 1 ( x 3)
9 16
2.已知点 A(0,7) , B(0, 7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆的另一焦点 F 的轨迹方程. x2 y2 1( y ≤ 1) 48 x2 3.设 F1 , F2 是双曲线 y 2 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上, 4 1 且满足 PF1 PF2＝0 ,那么 △F1 PF2 的面积是_______.
知识回顾
双曲线的定义 图形
MF1 MF2 2a( F1 F2 2c 2a 0)
焦Байду номын сангаас坐标 标准方程
a、b、c 的关系
F1 (c,0) 、F2 (c,0)
F1 (0, c ) 、F2 (0, c )
x2 y2 y2 x2 2 1 2 1 2 2 a b a b a 2 b2 c 2 (c a 0, c b 0)
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线的右支
( x 3) y ( x 3) y
2 2 2
2
6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
典型例题解析
课堂练习
应用题: 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测 点的报告： 正西、 正北两个观测点同时听到了一声巨响， 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各 观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生 的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点 均在同一平面上)
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
课堂练习(巩固及提高): 1.已知在 △ABC 中, B( 5, 0) , C (5, 0) ,点 A 运动时满足 3 sin B sin C sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5
x y 1( x 3) 9 16
上一节,我们学习了双曲线的定义及推导出了双曲 线的标准方程,这一节我们一起来体会这些知识的运用.
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线?
(1) ( x 3) y ( x 3) y 4
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线
(2)
(3)
( x 3) y ( x 3) y 5
分析:依题意画出图形(如图)
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P
yC
A
o
B
x
要求曲线的方程,恰当的建立坐 标系是一个关键.
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(－1020,0） B(1020,0） ， ，C(0,1020）. 设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
解: 在△ABC中,|BC|=10， 3 sin B sin C sin A , 5
由 正 弦 定 理 得 3 3 AC AB BC 10 6 10 5 5
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
x y 则顶点A的轨迹方程为 1 ( x 3) 9 16
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360, x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上， a b 依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402 x2 y2 1 ∴双曲线的方程为 2 2 680 5 340 用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|, x 680 5, y 680 5, 即P ( 680 5, 680 5), 故PO 680 10
2.课本 P62 习题 2.3 A 组第 5 题 如图,圆 O 的半径为定长 r ,A 是 圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆 O 上运动时, 点 Q 的轨迹是什么?为什么?
2
2
课堂练习(巩固及提高): 1.已知在 △ABC 中, B( 5, 0) , C (5, 0) ,点 A 运动时满足 3 sin B sin C sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5
2
2
学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义 及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 据例 2 这个原理来定位的. 运用定义及现成的模型思考,这是一个 相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最 容易想到的地方.
x2 y2 一般性结论： F1 , F2 是双曲线 2 2 1 的两个焦点,点 P 在双 a b
曲线上,且满足 F1 PF2＝ ,则 S F1 PF2 b cot
2
2
作业:1.课本 P62 习题 2.3B 组第 2 题