线性时滞系统的状态反馈H∞控制
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线性离散不确定时滞系统滞后相关H∞鲁棒控制
ｌ
（ ＝ （ ） ），一 ｄ ≤ ≤ Ｏ．
（） ３
其 中为 待求 的 控 制器 增 益 矩 阵． 在 给 出 主要 结 果 之 前 ， 先 给 出 以下 引理 ． 首
引 理 １７ ［ ３ 对 于 任 意 适 当 维 数 的 矩 阵 和 Ｙ， 有
ｌ ，＋ ≤ Ｘ ＰＸ ＋ Ｕ ＰＹ 。 Ｐ ＞ ０ Ｖ
式 中 ， ） ∈ Ｒ 为 系 统 状 态 向 量 ， （ （ ｋ） ∈ Ｒ 为 系 统 控 制 输 入 向 量 ， 后） ∈ Ｒ 系 ∞（ 为
统 干 扰 输 入 向 量 ，（ ） ∈ Ｒｐ 系 统 控 制 输 出 向 量 ， ＞ ０ 为 系 统 的 滞 后 常 数 ， （ ） ∈ Ｒ ｋ 为 ｄ 忌 为 系 统 的 初 始 向 量 函 数 ， ， ，Ｂ，Ｂ： Ｃ 分 别 为 具 有 适 当 维 数 的 已 知 常 数 矩 阵 ， ， ， ， 厶 ， ， 厶 为
道 ．
本 文 以具 有 状 态 时 滞 的线 性 离 散 时 滞 不 确 定 系 统 为 研 究 对 象 ， 于适 当 的 Ｌａ ｕｏ 基 ｙｐｎｖ 泛 函 ， 出 了 滞 后 相 关 型 日。状 态 反 馈 控 制 器 设 计 方 案 ， 过 求 解 一 个 线 性 矩 阵 不 等 式 即 给 通 可 求 得 满 足 设 计 要 求 的控 制 器 ．
引 理 ２ ［Ｓ ｈ ｒ补 引 理 ］对 于 定 义 在 Ｒ“ 的 矩 阵 ， （ ） ＝ Ｑ（ ｃｕ 上 口 ）， （ Ｒ ） ＝ Ｒ（ ）以
及 ．（ ）， 性 矩 阵 不 等 式 （ ｓ 线 ＬＭＩ ）
『 （ （ １ （ ）＞ｏ Ｑ Ｑ ） ＞ｏ ， （ ）一ｓ Ｒ （ （ （ ） ） ）＞ｏ ・
系统 的 不 确 定 矩 阵 ， 满 足 ： 且
（ ＝ （ ） ），一 ｄ ≤ ≤ Ｏ．
（） ３
其 中为 待求 的 控 制器 增 益 矩 阵． 在 给 出 主要 结 果 之 前 ， 先 给 出 以下 引理 ． 首
引 理 １７ ［ ３ 对 于 任 意 适 当 维 数 的 矩 阵 和 Ｙ， 有
ｌ ，＋ ≤ Ｘ ＰＸ ＋ Ｕ ＰＹ 。 Ｐ ＞ ０ Ｖ
式 中 ， ） ∈ Ｒ 为 系 统 状 态 向 量 ， （ （ ｋ） ∈ Ｒ 为 系 统 控 制 输 入 向 量 ， 后） ∈ Ｒ 系 ∞（ 为
统 干 扰 输 入 向 量 ，（ ） ∈ Ｒｐ 系 统 控 制 输 出 向 量 ， ＞ ０ 为 系 统 的 滞 后 常 数 ， （ ） ∈ Ｒ ｋ 为 ｄ 忌 为 系 统 的 初 始 向 量 函 数 ， ， ，Ｂ，Ｂ： Ｃ 分 别 为 具 有 适 当 维 数 的 已 知 常 数 矩 阵 ， ， ， ， 厶 ， ， 厶 为
道 ．
本 文 以具 有 状 态 时 滞 的线 性 离 散 时 滞 不 确 定 系 统 为 研 究 对 象 ， 于适 当 的 Ｌａ ｕｏ 基 ｙｐｎｖ 泛 函 ， 出 了 滞 后 相 关 型 日。状 态 反 馈 控 制 器 设 计 方 案 ， 过 求 解 一 个 线 性 矩 阵 不 等 式 即 给 通 可 求 得 满 足 设 计 要 求 的控 制 器 ．
引 理 ２ ［Ｓ ｈ ｒ补 引 理 ］对 于 定 义 在 Ｒ“ 的 矩 阵 ， （ ） ＝ Ｑ（ ｃｕ 上 口 ）， （ Ｒ ） ＝ Ｒ（ ）以
及 ．（ ）， 性 矩 阵 不 等 式 （ ｓ 线 ＬＭＩ ）
『 （ （ １ （ ）＞ｏ Ｑ Ｑ ） ＞ｏ ， （ ）一ｓ Ｒ （ （ （ ） ） ）＞ｏ ・
系统 的 不 确 定 矩 阵 ， 满 足 ： 且
反馈鲁棒H∞控制器的存在条件
反馈鲁棒H∞控制器的存在条件【摘要】针对状态和输入带时滞的不确定性线性系统，利用线性矩阵不等式LMI （Linear matrix inequality），给出了反馈鲁棒H∞控制器的存在条件。
【关键词】不确定性；时滞；鲁棒H∞控制；LMIThe Condition for the Existence of RobustH∞ Controller FeedbackLI Jing-jing（Shandong University of Science and Technology，Qingdao Shandong，266590）【Abstract】According to the state and input time delay linear uncertain systems，linear matrix inequality LMI（Linear matrix inequality ），given the conditions for the existence of robust H∞ controller feedback.【Key words】Uncertainty；Time delay；Robust H∞；Control；LMI1 简述（Simple Description ）时滞现象是自然界中普遍存在的现象，在控制系统的设计和分析中如不考虑时滞的影响，有可能导致闭环系统的不稳定。
因此近年来时滞系统的研究已经成为控制领域一个非常热门的研究方向[1-3]，H∞控制是一种重要的鲁棒控制方法，它要求在系统存在不能精确测量的外部干扰情况下，设计控制器有效抵消外来干扰的影响在一定水平之下。
H∞控制无论在理论研究还是工程应用方面都取得了巨大的进展。
纵观现有文献，当系统方程中含不确定项，状态和控制同时有时滞情形，其相关的H∞控制研究几乎还是个空白。
本文对状态和输入带时滞的不确定性线性系统，利用线性矩阵不等式LMI（Linear Matrix Inequality）[4]的处理方法，给出了状态反馈鲁棒H∞控制器存在的条件。
线性系统时滞相关鲁棒H∞控制
Ｈ ｕ ｎ ｎ Ｘｉ ｎ ｆ ｎ ａ ｇ Ｙａ ｇ ｅ Ｙｏ ｇ ａ ｇ
（ ｃ ｏ ｌｏ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ Ｓ ｉｎ ｅ＆ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ ｎ ｒ ｌ ｏ ｔ ｉ． Ｓ ｈ ｏ ｆＩ ｆ ｒ ｔ ｃｅ ｃ ｏ ｇ ｎ ｅ ｉｇ。Ｃｅ ｔａ ｕ ｈ Ｕｎｖ ，Ｃｈ ｎ ｓ ａ４ ０ ８ Ｓ ａ ｇ ｈ ０ ３，Ｃｈｎ ） １ ｉａ
关 键词 ： 态 时滞 ； 时滞 相关 ； 鲁 棒控 制 ； Ｈ 状 控制 ； 线性矩 阵不 等式 中 图分 类号 ： Ｐ ３ Ｔ １ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ２９ ８ ２ Ｏ ） ６０ ４ －４ １ ７ —４ Ｘ（ Ｏ ６ ０ —５ １０
Ｄｅａ － ｅ ｎｄ ｎ ｂｕ ｔＨ Ｃｏ ｒ ｌｆ ｒＬｉ ｅ ｒＴｉ ｅＤｅ ａ ｌ ｙ ｄ ｐｅ ｅ ｔＲｏ ｓ ｎｔ ｏ ｏ ｎ ａ ｍ ｌ ｙ Ｕｎｃ ｒ ａ ｎ Ｓ ｓ ｅ ｓ ｅ ｔ ｉ ｙ ｔ ｍ
应用 于线性 时滞 系统的控 制综 合 ， 用 Ｌ ａ ｕ ｏ — ａｏ ｓ ｉ泛 函方法 ， 利 ｙ ｐ ｎ ｖＫｒｓｖ ｋｉ 通过 牛顿一 布尼 茨公 式中 莱
各项 相互 关 系引入“ ” 获 得 了一 种 的经 无 记 忆状 态反 馈 控 制后 可 鲁棒 镇 定 ，而 且 具有 给 定 的 ０ 阵， Ｈ 性 能指标 的 时滞相 关 ， 时滞 导数相 关 的充 分 条 件 ， 出 了一种 矩 阵分 解 的次优 算 法． 提 最后 用 实 例表 明 了所 得结 论 的有效 性．
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第２ ８卷
第 ６期
三 峡 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊｏ ｉａＴｈ ｅ ｒ ｅ ｉ． Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃｓ ｆＣｈｎ ｒｅＧｏｇ ｓＵｎｖ （ ｔ ｒｌ ｉｎ ｅ ） Ｓ
（ ｃ ｏ ｌｏ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ Ｓ ｉｎ ｅ＆ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ ｎ ｒ ｌ ｏ ｔ ｉ． Ｓ ｈ ｏ ｆＩ ｆ ｒ ｔ ｃｅ ｃ ｏ ｇ ｎ ｅ ｉｇ。Ｃｅ ｔａ ｕ ｈ Ｕｎｖ ，Ｃｈ ｎ ｓ ａ４ ０ ８ Ｓ ａ ｇ ｈ ０ ３，Ｃｈｎ ） １ ｉａ
关 键词 ： 态 时滞 ； 时滞 相关 ； 鲁 棒控 制 ； Ｈ 状 控制 ； 线性矩 阵不 等式 中 图分 类号 ： Ｐ ３ Ｔ １ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ２９ ８ ２ Ｏ ） ６０ ４ －４ １ ７ —４ Ｘ（ Ｏ ６ ０ —５ １０
Ｄｅａ － ｅ ｎｄ ｎ ｂｕ ｔＨ Ｃｏ ｒ ｌｆ ｒＬｉ ｅ ｒＴｉ ｅＤｅ ａ ｌ ｙ ｄ ｐｅ ｅ ｔＲｏ ｓ ｎｔ ｏ ｏ ｎ ａ ｍ ｌ ｙ Ｕｎｃ ｒ ａ ｎ Ｓ ｓ ｅ ｓ ｅ ｔ ｉ ｙ ｔ ｍ
应用 于线性 时滞 系统的控 制综 合 ， 用 Ｌ ａ ｕ ｏ — ａｏ ｓ ｉ泛 函方法 ， 利 ｙ ｐ ｎ ｖＫｒｓｖ ｋｉ 通过 牛顿一 布尼 茨公 式中 莱
各项 相互 关 系引入“ ” 获 得 了一 种 的经 无 记 忆状 态反 馈 控 制后 可 鲁棒 镇 定 ，而 且 具有 给 定 的 ０ 阵， Ｈ 性 能指标 的 时滞相 关 ， 时滞 导数相 关 的充 分 条 件 ， 出 了一种 矩 阵分 解 的次优 算 法． 提 最后 用 实 例表 明 了所 得结 论 的有效 性．
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三 峡 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊｏ ｉａＴｈ ｅ ｒ ｅ ｉ． Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃｓ ｆＣｈｎ ｒｅＧｏｇ ｓＵｎｖ （ ｔ ｒｌ ｉｎ ｅ ） Ｓ
时滞独立的网络控制系统H∞控制器设计
式中
Ｘ ｔ 一 系统 的状 态 向量 ， （ ）∈Ｒ ； ｔ一 有 （） Ｘｔ Ｗ（）
限能 量 的外 部 扰 动 ， ｔ Ｗ（ ）∈ Ｒ ； （） 系统 的控 制 ｎ ｔ一
输 入 ， （ ）∈Ｒ ； （ ） 被 调 输 出 ，（ ）∈Ｒ ； Ｂ， ｎ ｔ Ｚ ｔ一 Ｚｔ Ａ，
Ｃ， Ｅ 已 知 的 实 常 数 矩 阵 。 Ｄ， 一 现设 计 Ｈ 状 态 反 馈
互联 网数据传输 中产 生 的不确 定延 时 问题 。从 传感 器 读 出数 据到控制信号抵达被 控系统 ， 这段 时 间是 不确定 的。尽 管针对 固定延 时问题 已经有很 多有效 的方法 ， 但
是随机 延时问题依然是 一个 开放 的课 题 。 而这 种不 确 定 延时很有 可能 使 系统性 能减弱 ， 至崩溃 。 甚 本研 究 主要 讨 论 网络 控 制 系 统 中的 时 滞 独 立 系
ＩＴＬ — ｈ ｎ，Ｊ ＡＮＧ ｉ ｇ ｐ ｎ Ｊ ｉｃ ｕ Ｉ Ｊｎ — ｉ ｇ，ＹＵ ａ — ｎ Ｘｉ ｏ ｍｉ ｇ
（ ｏ ｅｅｏ ｌ ｔｃ ｌ ｎ ｉｅ ｉｇ ｈ ｉ ｇ Ｕ ｉ ｒ ｔ ， ａ ｇ ｈ ｕ３ ０ ２ ， ｈｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｌ ｆＥ ｅ ｒ ａ Ｅ ｇｎ ｅ ｎ ，Ｚ ｅ ａ ｎｖ ｓ ｙ Ｈ ｎ ｚ ｏ １ ０ ７ Ｃ ｉ ｃｉ ｒ ｊｎ ｅｉ ａ
李 丽春 ， 蒋静坪 ， 于晓明
（ 江 大 学 电气 工 程 学 院 ， 江 杭 州 ３ ０２ ） 浙 浙 １０７
摘 要 ： 绍 了网络控 制 系统 中的 时滞独立 系统 。利 用 Ｌ ａ ｕ ｏ 介 ｙ ｐ ｎｖ稳 定 性 定理 和线 性矩 阵不等 式 （ ＭＩ Ｌ ）
工具给 出了 Ｈ 控 制器存在 的时滞独立 网络控制 系统的 充分条件 。通过 求 解一 个具有 线性矩 阵不等 式的 凸优化 问题 ， 出 最 小的 Ｈ 得 控制 率。仿 真 实验 结果 显示 ， 整个 系统对 干扰信 号有较好 的抑制 作用。
线性广义时滞系统的状态反馈H∞控制
以下两式 ：
定义２ 若方程 （ ） ４ 的零解关于｛（ ｘ， ， ） ｑｆ ）Ｏ＋ ） ， 【 是稳定的 ， 且
ｖｏ 【 ＋ ） Ａｔ ＞ ， ∈ （ Ａｔ） ，（，∞ ，有 Ｉ，（ｆ ）＝ ｔ∈０ ∞， （） ０ ， ３ ｏ Ｖ Ｂ０ （） ｆ＋ ） ， 。ｎ 。 Ｉ ，ｆ。 ） ０ ｑ ， （
Ｐ Ｅｐ ０ Ｅ： ｒｒ 尸 （ ～一 ； 暖 量 一 一 ｕ ｒ， ｕ ＜
（Ｏ １） （ ） ¨
则称方程 （）的零 解关于｛（ｘ， ， ） ４ ｑｆ ）Ｏ＋ ） ， 【 渐近稳 定。 引理 １ 给定矩 阵 ∈ …， Ｒ Ｑ＝ Ｒ ： Ｒ ， Ｗ ， Ｗ≠ ， 若 ０ 且 ０ 则 ｐ ｐ ＋ ＋ Ｐｒ ０＜ （ ）可 行 当 且 仅 当 ｗ ｒ ｒ ＋ ｏ ６ ） Ｑ一 Ｘ ） ＜ ，若 （ ）可 行， （ ｗ ｏ ６
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＂
ｖ／ （，） Ａ ｏ ， ＇ Ｂ０８ ＮＳ ｔ ）方程 （ ） ｑ ， ４ 通过初始 条件（ ） ， 的解ｘ， ｏ （ ｔ ） ，，
ＰＦ＝Ｅ Ｐ ≥ ０
满足 ， （） ￡ ， ｔ ｔ ，则方程 （ ）的零解关于｛ ｆ） ， ， 和Ｖ ∈【 ｋ ｘ） Ｏ ） ４ ｇ，， （ ｝
记 旷： Ｆｔ ～ ＋＞ ，＞ ，则 （ ）的所有可行解为 ｗ＋ —， ） ０ ０ （ Ｆ ６
Ｐ；（１ 一 一ｐ） ５ ｊ 一一 旷 ～ｕｕ ｊ ． ＜， 再 ‘ ， 中
一
其 中， 一 ＝
满秩分解 。 证 明
） ， 一 豆＝ ｊ
：
＋＋Ｆ，一ＷＷ ） ｊ （ ｊ ＋ 一 （ ， １ １ ， ｊ ） １
ＰＥ ： Ｅ ｒ ｐ ０
＋
＋ ４ Ｐ Ｑ＋ ｒ ４ ＜０ Ｑ一
定义２ 若方程 （ ） ４ 的零解关于｛（ ｘ， ， ） ｑｆ ）Ｏ＋ ） ， 【 是稳定的 ， 且
ｖｏ 【 ＋ ） Ａｔ ＞ ， ∈ （ Ａｔ） ，（，∞ ，有 Ｉ，（ｆ ）＝ ｔ∈０ ∞， （） ０ ， ３ ｏ Ｖ Ｂ０ （） ｆ＋ ） ， 。ｎ 。 Ｉ ，ｆ。 ） ０ ｑ ， （
Ｐ Ｅｐ ０ Ｅ： ｒｒ 尸 （ ～一 ； 暖 量 一 一 ｕ ｒ， ｕ ＜
（Ｏ １） （ ） ¨
则称方程 （）的零 解关于｛（ｘ， ， ） ４ ｑｆ ）Ｏ＋ ） ， 【 渐近稳 定。 引理 １ 给定矩 阵 ∈ …， Ｒ Ｑ＝ Ｒ ： Ｒ ， Ｗ ， Ｗ≠ ， 若 ０ 且 ０ 则 ｐ ｐ ＋ ＋ Ｐｒ ０＜ （ ）可 行 当 且 仅 当 ｗ ｒ ｒ ＋ ｏ ６ ） Ｑ一 Ｘ ） ＜ ，若 （ ）可 行， （ ｗ ｏ ６
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＂
ｖ／ （，） Ａ ｏ ， ＇ Ｂ０８ ＮＳ ｔ ）方程 （ ） ｑ ， ４ 通过初始 条件（ ） ， 的解ｘ， ｏ （ ｔ ） ，，
ＰＦ＝Ｅ Ｐ ≥ ０
满足 ， （） ￡ ， ｔ ｔ ，则方程 （ ）的零解关于｛ ｆ） ， ， 和Ｖ ∈【 ｋ ｘ） Ｏ ） ４ ｇ，， （ ｝
记 旷： Ｆｔ ～ ＋＞ ，＞ ，则 （ ）的所有可行解为 ｗ＋ —， ） ０ ０ （ Ｆ ６
Ｐ；（１ 一 一ｐ） ５ ｊ 一一 旷 ～ｕｕ ｊ ． ＜， 再 ‘ ， 中
一
其 中， 一 ＝
满秩分解 。 证 明
） ， 一 豆＝ ｊ
：
＋＋Ｆ，一ＷＷ ） ｊ （ ｊ ＋ 一 （ ， １ １ ， ｊ ） １
ＰＥ ： Ｅ ｒ ｐ ０
＋
＋ ４ Ｐ Ｑ＋ ｒ ４ ＜０ Ｑ一
不确定切换时滞线性系统的状态反馈鲁棒H∞控制
Ｖｏ． ＮＯ． １ ２９ ４ Ａｕｇ ．
２ｏ ８ ０
文章编 号 ：６ ２—６ ７ （ ０ ８ Ｏ ０ ６ Ｏ １７ ８ １ ２ ０ ）４— ０ ９一 ４
不 确 定 切 换 时滞 线 性 系统 的状 态 反 馈 鲁 棒
刘洪 刚 付 主木 高爱 云 ， ，
控 制
（ ． 湖 市供 电 公 司 ， 北 洪 湖 ４ ３ ０ ；．河 南 科 技 大学 电 子 信 息 工 程 学 院 ， 南 洛 阳 ４ １０ ；，河 南 科 技 大 学 车 辆 １洪 湖 ３２０２ 河 ７ ０ ３３
中 图分 类号 ： Ｐ ７ Ｔ２３ 文献 标 识 码 ： Ａ
Ｕ
刖 吾
时滞 系统 的分 析和综 合 一直 是控 制 理论 与控 制工 程领 域 中研 究 的 一个 热点 问题
， 年来 ， 近 针对
线 性 时滞 系统 的研 究 已经取 得 了较 多 成 果 ， 而 针对 切 换 时滞 系统 的研 究 尚不 多见 。文 献 ［ ］ 用共 然 ３使
Ｂ（ ＋ Ｂ（＋ Ｂｚ ）“） － ） ［ △ （］（・ ＿ ｔ ： “ （ ）
，
（ １ ）
（ ）＝ ｃ （ ｔ ｔ ） ）＋Ｄ （ “ ｔ （ ）（）
（） ＝ （） Ｖｔ∈ ［ ， ］ ， 一ｄ ０
其 中 ∈Ｒ 表示 系统状 态 ； ∈Ｒ 表 示 外部 干扰 且 ∈Ｌ ［ ， ］ ∈Ｒ ｏ ９ ：０ Ｔ ， 表示 受控 输 出 ； ｄ是 已知 常 数 的
与 动 力 工 程 学 院 ， 南 洛 阳 ４ １０ ） 河 ７ ０ ３
摘 要 ：研 究 一 类 由任 意 有 限 多 个 具 有 参 数 不 确 定 性 和 状 态 时 滞 的 线 性 子 系 统 组 成 的切 换 系 统 的 状 态 反 馈 鲁 棒日 控 制 问题 ， 用 Ｌ ａｕ ｏ 利 ｙｐｎ ｖ函数 方 法 和 凸 组 合 技 术 ， 出 由矩 阵不 等 式 表 示 的控 制 器 存 在 的充 分 条 件 ， 给 并 设 计 了 相应 的 子 控 制 器 和 切 换 规 则 。 采 用 变 量 替 代 方 法 ， 该 矩 阵 不 等 式 转 化 为 一 组 线 性 矩 阵 不 等 式 将 （ ＭＩ） 最 后 给 出一个 求 解 状 态 反 馈 控 制 器 增 益 矩 阵 的仿 真 算 例 。 Ｌ ｓ， 关 键 词 ： 换 系 统 ； 棒 日 控 制 ； 态 反 馈 ； 态 时 滞 ； 性矩 阵 不 等 式 切 鲁 状 状 线
时滞倒立摆的H∞反馈控制
究具 有重 要 的理论 意义 和实 际应 用 价值口 ． ］
在倒 立摆 运 动过程 中 ， 由于 控制 器需 要一 定 的响应 时 间 ， 立摆 系统 各部 件之 间存 在摩 擦力 和其 他非 倒 线 性 因素 ， 将不 可避 免地 引起 系统 控 制 的 时滞 ， 时滞 的存 在 是 导 致 系 统 不 稳 定 和影 响 系统 性 能 的 重要 原
式 中 ： Ｅ ， 为具有 适 当维数 的 常数矩 阵 ； ￡ ＥＲ 为未 知时 变不 确定 矩 阵 ， Ｄ， 。 Ｆ（） ” 且满 足 Ｆ （） ￡ ≤Ｊ Ｉ ￡ Ｆ（） ， 为适 当维数 的单位矩 阵 ．
收 稿 日期 ：０ １— ９—１ ； 辑 ： 兆 虹 ２１ ０ ５编 张
时变 结构 不确 定性 ； （） 反 馈输 入 ， （） Ｕ ￡为 Ｕ ￡ 一Ｋｘ ￡ ； 为 控 制 器增 益 ； ￡ 为 系统 在 ［ （） Ｋ （） 一 ， ］ 的初 始 条 ０上
件．
假设 １ 系统 （ ） １ 中参 数不 确定 性 满足 范数有 界性 ， 即 ［ Ａ（） Ａ ２ｆ］一 Ｄ ￡［ Ｅ ］ △ Ｂ （） Ｆ（） Ｅ ， （） ２
基金项 目： 黑龙江省博士后科研启动基金项 目（ Ｂ Ｌ Ｈ—Ｑ０ １ ９ ８５）
作 者 简 介 ： 克 勇 （９ Ｏ ） 男 ， 士 ， 授 ， 要 从 事 鲁 棒 控 制 、 能 控 制 方 面 的 研 究 邵 １７一 ， 博 教 主 智
东
北
石
油
大
学
学
报
第 ３ ６卷
２１ ０ ２年
文 中定 理证 明将 用到 引理 ：
自由权 矩 阵 ， 小 了问 题 的 复 杂 性 ． 时 考 虑 系 统 不 确 定 性 ． 论 可 由 ＭＡＴＬ 减 同 结 ＡＢ软 件 直 接 求解 ， 便 易行 ． 真 结 果 证 实 方 仿
在倒 立摆 运 动过程 中 ， 由于 控制 器需 要一 定 的响应 时 间 ， 立摆 系统 各部 件之 间存 在摩 擦力 和其 他非 倒 线 性 因素 ， 将不 可避 免地 引起 系统 控 制 的 时滞 ， 时滞 的存 在 是 导 致 系 统 不 稳 定 和影 响 系统 性 能 的 重要 原
式 中 ： Ｅ ， 为具有 适 当维数 的 常数矩 阵 ； ￡ ＥＲ 为未 知时 变不 确定 矩 阵 ， Ｄ， 。 Ｆ（） ” 且满 足 Ｆ （） ￡ ≤Ｊ Ｉ ￡ Ｆ（） ， 为适 当维数 的单位矩 阵 ．
收 稿 日期 ：０ １— ９—１ ； 辑 ： 兆 虹 ２１ ０ ５编 张
时变 结构 不确 定性 ； （） 反 馈输 入 ， （） Ｕ ￡为 Ｕ ￡ 一Ｋｘ ￡ ； 为 控 制 器增 益 ； ￡ 为 系统 在 ［ （） Ｋ （） 一 ， ］ 的初 始 条 ０上
件．
假设 １ 系统 （ ） １ 中参 数不 确定 性 满足 范数有 界性 ， 即 ［ Ａ（） Ａ ２ｆ］一 Ｄ ￡［ Ｅ ］ △ Ｂ （） Ｆ（） Ｅ ， （） ２
基金项 目： 黑龙江省博士后科研启动基金项 目（ Ｂ Ｌ Ｈ—Ｑ０ １ ９ ８５）
作 者 简 介 ： 克 勇 （９ Ｏ ） 男 ， 士 ， 授 ， 要 从 事 鲁 棒 控 制 、 能 控 制 方 面 的 研 究 邵 １７一 ， 博 教 主 智
东
北
石
油
大
学
学
报
第 ３ ６卷
２１ ０ ２年
文 中定 理证 明将 用到 引理 ：
自由权 矩 阵 ， 小 了问 题 的 复 杂 性 ． 时 考 虑 系 统 不 确 定 性 ． 论 可 由 ＭＡＴＬ 减 同 结 ＡＢ软 件 直 接 求解 ， 便 易行 ． 真 结 果 证 实 方 仿
切换时滞线性系统的状态反馈H∞控制
Ｓ ａ ｅＦｅ ｄ ａ ｋ Ｈ ∞ Ｃｏ ｔ ｏ ｏ ｗｉｃ ｅ ｎ ａ ｙ ｔ ｍ ｓｗｉｈ Ｄｅ ａ ｔ ｔ ｅ ｂ ｃ ｎ ｒ ｌ ｒＳ ｔ ｈ ｄ Ｌｉ ｅ ｒＳ ｓ ｅ ｔ ｌ ｙ ｆ
Ｆ ｈ － ＱＩ Ｌ ａ ．ｕ ＧＡ Ａｉ ｕ Ｆ Ｉ ｈ ． ｉ ＵＺ ｕｍｕ， Ｕ ｉｎ ｋ ｉ ， Ｏ ． ｎ， Ｅ ｕｒ ｎ ｙ Ｓ ｎ
，
Байду номын сангаас
３ Ｓ ｈ ｏ ｆ ｔｍａｉｎ Ｓ ｕｈａｔ ｉｅｓｙ Ｎａｊｎ １０ ６ ． ｃ ｏ ｌ Ａｕｏ ｔ ， ｏ ｔｅｓＵｎｖ ｒｉ ， ｎｉｇ２ ０ ９ ） ｏ ｏ ｔ
［ ｂｔ ｃ］Ｔ ｉ ｐｐ ｒ ｎ ｅｔ ａ ｓ ｈ ｔｅ ｆ ｄ ａｋ Ａ ｓ ａ ｔ ｈｓ ａｅ ｉ ｓｇ ｔ ｅ ｓ ｔ ｅ ｂ ｃ ｒ ｖ ｉ ｅ ｔ ａ ｅ
，
２・ ｈ ｃｅ＆ Ｍ ｏｉｅＰ ｗｅ ｇｉｅ ｒｎ ｌｅ ｅ Ｈｅ ｎＵｎｖ ｒｉ ｆＳｃｅ ｃ ｄＴ ｃ ｎｏｏ ｙ Ｌｕ ｙａ ｇ ４ ０ ３； Ｖｅ ｉｌ ｔｖ ｏ ｒ Ｅｎ ｎ ｅｉ ｇＣｏ ｌｇ ． ｎａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｉｎ ｅａ ｅ ｈ ｌｇ ｙ ｎ ｏ ｎ ７１ ０
ｉ ｅ ｆ ｒ ｆ ｍａ ｘ ｉ ｅ ａｉｉ ｓ ｎ ｔ ｍ ｏ ｍ ｎ ｑｕ ｌｔ ．Ｂｏ ｈ ｓ ｂ ｃ ｎ ｏｌ ｒ ｄ ｓ ｔ ｈ ｎ ｓ ａ ｅ ｙ ａ ｅ ｄ ｓｇ ｅ Ｂｙ ｕ ｉ ｇ ｖａ ｉ ｂ ｅ ｓ ｂ ｔ ｕｔ ｎ ｍｅ ｏ ｈ ｅ ｍａ ｘ ｈ ｏ ｅ ｔ ｕ — ｏ ｔ ｌ ｓ ａ ｗｉｃ ｉ ｇ ｔ ｔ ｇ ｅ ｉ ｎ ｄ ｒ ｅ ｎ ｒ ｒ ｓｎ ｒａ ｌ ｕ ｓ ｔ ｉ ｔ ｄ，ｔ ｒ ｉ ｏ ｈ
时滞的大量存在 以及 时滞系统分析和控制 的困难性使得 时滞
时滞网络控制系统的H∞控制器设计
网 络控制 系统 （ Ｃ ） Ｎ Ｓ 是指信 息传 输通过 一个 实时 网络 的闭环 控制 系 统 ． 与传 统 的控 制 系统 相 比 ， 网 络控 制 系统具 有 可实现 资源共 享 、 远程操 作 、 本低 和容 易维 护 等优 点 ， 成 已广 泛应 用 于大 型 工 业 过程 控 制及 小 型局域 系统 （ 如航 天 器 、 船舶 和新 型高性 能汽 车 等） 因而 具有 广 泛 的应 用 前 景… 将 网 络作 为信 ， １．
“ｔ （ ）＝ “ （ — ｒ ）＝ Ｋ （ —ｒ 一ｒ ｔ 。 ｘｔ 。 ）＝ Ｋ （ — ｒ ， ∈ Ｒ ｚｔ ）Ｋ ．
收 稿 日期 ：０５０ ． ２０ ．５２ ９
（） ２
作 者 简 介 ： 天 成 （９７ ）男 ． 教 授 ． 士 ， 要从 事控 制 理 论 与 应用 的 研 究 ．Ｅ—ｍａ）ｕ ｔ 王 １６ 一 ， 副 博 主 （ ｉ ｃｒ ｌ ｅ
一
个具有线性矩 阵不等 式约束 的凸优化 问题 ， 利用 Ｍ ｔｂ软件 中的 Ｌ Ｉ ａａ ｌ Ｍ 工具箱求解 ， 给出 日。 最优 控制 器的
设 计方法 ．
关键词 ： 网络 控 制 系统 ； 时滞 相 关 ； 性 矩 阵 不等 式 （ Ｉ； 控 制 线 Ⅲ ） Ｈ。
中 图 分 类 号 ：Ｐ７ Ｔ ２３ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６３８２ （ｏ６ｏ —１４０ １７—ｏｏ ２ｏ ）３ ６—４ ０
—
ｍ ｃ １ ３． ｏ ＠ ６ ｃｒ ｎ
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第 制 系 统 的 Ⅳ 控 制 器 设 计 等 时
ｌ５ ６
其 中 ｒ： ｒ ＋ ｒ ０＜ ｒ≤ ｄ 即对 给定 的正 常数 ） 在 状态 反馈 （ ） ， ， ． ， ， ２ 下 系统 （ ） 足下 面两 个条 件 ． １满
具有时滞依赖系统的H∞动态输出反馈控制
文章编号 ：１７ —１６ ２０ ）４０ ８ —３ ６ ３５ ９ （０ ６ ０ －０ ７０
具有时滞依 赖 系统 的 Ｈ∞ 动态输 出反馈控 制
付 兴建 ，童朝南 ，李迎春。
（＿ １ 北京信息科 技大学 计算机与 自 动化 系， 北京
工程 系，北京 １０８） ０ ０ ３
１０８ ； ． ００５ ２ 北京科技 大学 信息工程学院 ， 北京
ｒ ｓｒ ｉｔ Ｆ ｎ ｌ ，ａ ｓ ｌ ｔ ｎ ｍ ｅｈ ｄ Ｏ ｈ ａａ ｅｅ ｓ０ ｈ ｓｃ ｎ ｒ ｌ ｒｗａ ｉｅ ． ｅ ｔａｎ ． ｉ ａｌ ｙ ｏｕ ｉ ｔ ｏ ｆｔ ｅｐ ｒ ｍ ｔ ｒ ｆｔ ｉ ｏ ｔｏ ｌ ｓｇ ｖ ｎ ｏ ｅ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｔｍｅｌｇ ｓ ｓ ｅ ；ｏ ｔ ｕ ｅ ｄ ａ ｋ；ｌ ｅ ｒｍａ ｒｘ ｉｅ ｕ ｌ ｙ；Ｈቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｏ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ｉ －ａ ｙ ｔｍ ｕ ｐ ｔｆｅ ｂ ｃ ｉ ａ ｔｉ ｑ ａｉ ｎ ｎ ｔ 。ｃ ｎ ｒ ｌ
Ｆ Ｘｉｇｊ ｎ ， Ｕ ｎ － ａ ＴＯＮＧ Ｃ ａ — ａ Ｉ ｎ －ｈ ｎ ｉ ｈ ｏｎ ｎ ，Ｌ ｇｃ ｕ 。 Ｙｉ
（．Ｄ ｐ．ｏ ｏ ｕｅ ｎ ｔｍａｉｎ ＢｅｉｇＵｎｖｒｉ ｆ ｎｏｍａｉｎＳ ｉ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ， ｉｎ １ ０ ８ ，Ｃ ｉａ ．Ｓ ｈ ｏ ｆ ｎ １ ｅ ｔ ｆ ｍｐ ｔｒａｄＡｕｏ ｔ ， ｉｎ ｉｅｓｔ ｏ ｆｒ ｔ ｃｅ ｅａｄＴｅｈ ｏｏ ｙ Ｂｅｉｇ ０ ０ ５ ｈｎ ；２ ｃ ｏｌ — Ｃ ｏ ｊ ｙ Ｉ ｏ ｎ ｊ ｏＩ
１０８ ； ．中 国矿业大学北京校 区 机 电 ００３ ３
摘要 ： 对于 一类具 有时滞依赖 的线性 系统， 究 了其 动态输 出反 馈 Ｈ 控制器 的设计． 于线 性矩 阵不 等式 ， 研 基 通过 构造 Ｌ ａ ｕ ｏ 函， 出 了一种动态输 出反馈 Ｈ ｙｐ ｎ ｖ泛 给 控制器 的设计方 法， 并证 明 了该 控 制器 在使 闭环 系统渐 近稳定 的同时， 能保证 闭环 系统满 足 一定 的 也 的求解方法． 关键 词 ：时滞系统；输 出反馈 ；线性矩 阵不等式；Ｈｏ控制 ，
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维普资讯
２０ ０ ８年 ６月
湖南 鲜 报 一 彝学
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｎ ｎ Ｆ ｒｔＮｏｍａ ｏｌｇ ｏ ｒａ ｆＨｕ ａ ｉ ｒ ｌＣ ｌ ｅ ｓ ｅ
Ｊｎ ２ｏ ｕ。 ｏ８
Ｖ０． Ｎｏ ２ １８ ．
第８ 卷第 ２ 期
线 性 时滞 系统 的状 态 反 馈 Ｈ∞控 制
林 敏
（ 湖南第一师范学院数理系 ， 湖南 长沙 ４ ００ ） １２５
摘 要： 基于 Ｌ ａｕｏ —Ｋ ａｏｓｉ泛函方法 ， Ｌ （ ｙｐ ｎ ｖ ｒｓｖｋｉ 以 ＭＩ 线性 矩阵不等式） 的形式 ， 出了一般 的状 态滞后 自治 系统 内稳 给
定且具有 范数界 的一个充分条件 和一般 的状 态滞后 系统 问题有解 的一个充分条件 ， 并通过 Ｌ Ｉ Ｍ 获得控制 器的解。数值例
成 立
收 稿 日期 ：０ ８ ０ —２ ２０— ２ ５
作者简 介： 林
敏 （９ Ｏ ） 女 ， １ ８一 ， 湖北 随州人 ， 湖南第一 师范学院数理系助教 ， 主要从事鲁棒控制方面的研究 。
１ ６７
维普资讯
２闭环系统具有 Ｈ 范数约 ｙ即 Ｉ（ ｌ ＜ ｌ （ ） 束 ， ｌ ￡ ｌ ｙｌ ） ２ ∞ ）
引理 １ ［ 对任 意常数矩 阵， ∈Ｒ ， ＝Ｗｒ ， ： ４ 一 ＞０ 某一
ｖ ｘ ＝ （） ￡ ＋ 一 （） 喀 ＋ 一（ 一 ＋ （ Ｐ （ 』 ＾ Ｑ （） 』 ＾＾ ｔ ） ）
一
ｙ０ （ ＋ ） ｘ ｔ 喀 』 ￡ Ｗ （ ＋ ） ＿
控制理论 是鲁棒 控制 的一 个重要 分 支。在许 多实 际系统 中， 由予测量的 不灵 敏性 、 件 的老化 、 械传输 等 元 机 原 因， 系统中 出现 时滞 现 象极 为普 遍 。因此 ， 滞系 统 的 时
日 控制问题一 直是人们最感兴趣的课题 之一 。ｌ 但是 儿 儿
均具有时滞 的一般线性 时滞系统 的 控制 问题 。
２ ．问题 描 述
对于系统 （ ） 当 ｕ ｔ ０时便 得到如下 时滞 系统 １ ， （）＝
ｒ
（） Ａ （） Ａ ｔ ）＋ ∞ ｔ ， ｔ ＝ ｘ ｔ ＋ ｌ（ —ｈ 曰 （）
Ｊ （ ＝ ｘ ｔ ＋ ｌ（— ） Ｄ （） ｔ Ｃ （） ｃ ｔ ｈ ＋ ｗ ｔ， ）
【（） （）ｔ 一 ，］ ｔ ＝ ￡，∈［ ＾０
（） ４
定理 １ 对某 个给定的 Ｙ＞ ０和 ＾ ， ≥Ｏ 如果存在实 数矩
考虑如下具有状 态时滞 的线性 系统 ：
ｒ （）＝ ｘ Ａ ｔ ｈ 曰 ｔ ｘ ｔ Ａ （）＋ ｌ（ ～ ）＋ ∞（）＋Ｂ （） ｌ ｔ，
阵 Ｐ＝ ＞ ， Ｐ Ｏ Ｑ＝Ｑ ＞Ｏ Ｒ＝ Ｏ满足 下列不等式 ， Ｒ＞
） （ （Ｒ） 筵 ） ｈ （ ） 其 中 Ｐ， Ｒ是未知的正定矩阵 ， Ｑ， 则
Ｖｘ） ｘ（）ｘｔ＋ （ Ｐ（） （）ｘｔ 一 ｒ — ）ｘｔ ｈ （ ＝ ｔ （ ｔ ｘｔ ＋ ｔ （ ｘ（ ｈＱ（— ） ｒ Ｐ ） ） Ｑ ） ｔ
给定标量 ， Ｏ 和向量 函数 Ⅳ ［ ，］ Ｒ ， 下列不 等式 ， ＞ ：－ ０ 一 则 ｙ
ｒ ｃ） 】 ） （ 卜）Ｗ ｙ ￡ ｙ－ 【 ） 】㈤
３ 。主 要 结 果 ３１ ． 性 能 分 析
出于时滞系统的复杂性 ， 时滞系统的 控制 问题研究仍然
处在发展阶段。大多数文献都是研究某种特殊 的时滞系统 的 控 制问题。２ 本 文 考虑 状态 方程 和控 制输 出 方程 ｎ
子 说 明 了 方 法 的 正确 性 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关键词 ： 线性 时滞 系统 ； 制； 控 线性矩 阵不等式 （ ＭＩ Ｌ ） 中图分类 号： Ｐ ７ Ｔ２ １ 文 献标 识码 ： Ａ 文章编号 ：６ １－ ３ ９ ２ ０ ０ ０ ６ ０ １ ７ ４ ６ （ ０ ８）２－ １ ７— ３
１ ｉ 。弓 言
ＰＲ ＋
Ｃ
— － ＱＲ
０ Ｃ １
一
１ ０ ｈ Ｂ Ｄ —１ ０
加 ０ 一 Ｒ
Ｍ
Ｍ１
阵 ；≤＾ 是 时滞 常数 ， Ｏ ≤＾ 向量值初 始 函数 ， ｔ ∈ ［一 ， （） ｃ ｈ
０ ， ｔ ∈Ｌ ［ ， ． ］∞（） ２ ０ ∞） 本文研究 的 目的 是 ： 于某 一 给定 的常 数 Ｙ＞０ 如 何 对 ，
Ａｐ Ｐ ＋ — Ａ＋ ｒ＋Ａ Ｑ Ｒ Ｐ１Ｒ
Ａ ｒ
ｘ
咫 ０
Ｃ ｃ
ｈ Ａ ｈ Ａ
｛（ ＝ ｔ＋ ｌ ｔ ｈ ＋ ∞ ｔ ＋ ｌ ｔ， （） ｔ ｃ（ ｃ （— ） Ｄ （ Ｄｕ ） ） ） ） （ １
【 ｔ ＝ ｔ ，∈［一＾ ０ （） （） ，］ 其 中 －（） ＇ ｔ ∈Ｒ 是系统状态 向量 ， ｔ Ｘ ∞（）∈Ｒ 是干 扰输 入向量 ， （）∈ 是 控制输 出 向量 ， （）∈ 是 控制 输入 Ｚｔ ｕｔ 向量； Ａ ， 口 ， ｃ ， Ｄ 是 具有相应 维数 的实常 数矩 Ａ， ｌ口， ｌｃ， ｌＤ， ｌ
ｙｌ ｔ ｌ． ∞（）ｌ ｌ ２
使得系统 （ ） １ 同时满足 下列 两个条件 ：
Ｉ 闭环系统是渐近稳定 的， ）
令 Ｌ ＝』 （）（）一 ∞ （） ｔ ］ｔ ０【 ￡ ￡ ￡∞（） ｄ 选取以下的 Ｌａ ｕｏ Ｋ ａｏｓｉ函数 ： ｙｐ ｎｖ— ｒｓｖｋｉ
设计一个状态反馈控 制器 （）＝Ｉ （） ｉ ｔ ｘ （） ２
则系统（ ） ４ 是渐近稳定 的 ， 且满足 以 范数 约束 Ｙ 即 ｉ ， ｉ
（）ｌ ＜ ∞（）ｌ 。 ｔ ｌ ｙＩ ｔ ｌ ２ ｉ ２
证明 ： 先证系统 （ ） ４ 具有 范数约束 Ｙ 即 ｌ ｔ ｌ ＜ ， ｌ ）ｌ （
２０ ０ ８年 ６月
湖南 鲜 报 一 彝学
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｎ ｎ Ｆ ｒｔＮｏｍａ ｏｌｇ ｏ ｒａ ｆＨｕ ａ ｉ ｒ ｌＣ ｌ ｅ ｓ ｅ
Ｊｎ ２ｏ ｕ。 ｏ８
Ｖ０． Ｎｏ ２ １８ ．
第８ 卷第 ２ 期
线 性 时滞 系统 的状 态 反 馈 Ｈ∞控 制
林 敏
（ 湖南第一师范学院数理系 ， 湖南 长沙 ４ ００ ） １２５
摘 要： 基于 Ｌ ａｕｏ —Ｋ ａｏｓｉ泛函方法 ， Ｌ （ ｙｐ ｎ ｖ ｒｓｖｋｉ 以 ＭＩ 线性 矩阵不等式） 的形式 ， 出了一般 的状 态滞后 自治 系统 内稳 给
定且具有 范数界 的一个充分条件 和一般 的状 态滞后 系统 问题有解 的一个充分条件 ， 并通过 Ｌ Ｉ Ｍ 获得控制 器的解。数值例
成 立
收 稿 日期 ：０ ８ ０ —２ ２０— ２ ５
作者简 介： 林
敏 （９ Ｏ ） 女 ， １ ８一 ， 湖北 随州人 ， 湖南第一 师范学院数理系助教 ， 主要从事鲁棒控制方面的研究 。
１ ６７
维普资讯
２闭环系统具有 Ｈ 范数约 ｙ即 Ｉ（ ｌ ＜ ｌ （ ） 束 ， ｌ ￡ ｌ ｙｌ ） ２ ∞ ）
引理 １ ［ 对任 意常数矩 阵， ∈Ｒ ， ＝Ｗｒ ， ： ４ 一 ＞０ 某一
ｖ ｘ ＝ （） ￡ ＋ 一 （） 喀 ＋ 一（ 一 ＋ （ Ｐ （ 』 ＾ Ｑ （） 』 ＾＾ ｔ ） ）
一
ｙ０ （ ＋ ） ｘ ｔ 喀 』 ￡ Ｗ （ ＋ ） ＿
控制理论 是鲁棒 控制 的一 个重要 分 支。在许 多实 际系统 中， 由予测量的 不灵 敏性 、 件 的老化 、 械传输 等 元 机 原 因， 系统中 出现 时滞 现 象极 为普 遍 。因此 ， 滞系 统 的 时
日 控制问题一 直是人们最感兴趣的课题 之一 。ｌ 但是 儿 儿
均具有时滞 的一般线性 时滞系统 的 控制 问题 。
２ ．问题 描 述
对于系统 （ ） 当 ｕ ｔ ０时便 得到如下 时滞 系统 １ ， （）＝
ｒ
（） Ａ （） Ａ ｔ ）＋ ∞ ｔ ， ｔ ＝ ｘ ｔ ＋ ｌ（ —ｈ 曰 （）
Ｊ （ ＝ ｘ ｔ ＋ ｌ（— ） Ｄ （） ｔ Ｃ （） ｃ ｔ ｈ ＋ ｗ ｔ， ）
【（） （）ｔ 一 ，］ ｔ ＝ ￡，∈［ ＾０
（） ４
定理 １ 对某 个给定的 Ｙ＞ ０和 ＾ ， ≥Ｏ 如果存在实 数矩
考虑如下具有状 态时滞 的线性 系统 ：
ｒ （）＝ ｘ Ａ ｔ ｈ 曰 ｔ ｘ ｔ Ａ （）＋ ｌ（ ～ ）＋ ∞（）＋Ｂ （） ｌ ｔ，
阵 Ｐ＝ ＞ ， Ｐ Ｏ Ｑ＝Ｑ ＞Ｏ Ｒ＝ Ｏ满足 下列不等式 ， Ｒ＞
） （ （Ｒ） 筵 ） ｈ （ ） 其 中 Ｐ， Ｒ是未知的正定矩阵 ， Ｑ， 则
Ｖｘ） ｘ（）ｘｔ＋ （ Ｐ（） （）ｘｔ 一 ｒ — ）ｘｔ ｈ （ ＝ ｔ （ ｔ ｘｔ ＋ ｔ （ ｘ（ ｈＱ（— ） ｒ Ｐ ） ） Ｑ ） ｔ
给定标量 ， Ｏ 和向量 函数 Ⅳ ［ ，］ Ｒ ， 下列不 等式 ， ＞ ：－ ０ 一 则 ｙ
ｒ ｃ） 】 ） （ 卜）Ｗ ｙ ￡ ｙ－ 【 ） 】㈤
３ 。主 要 结 果 ３１ ． 性 能 分 析
出于时滞系统的复杂性 ， 时滞系统的 控制 问题研究仍然
处在发展阶段。大多数文献都是研究某种特殊 的时滞系统 的 控 制问题。２ 本 文 考虑 状态 方程 和控 制输 出 方程 ｎ
子 说 明 了 方 法 的 正确 性 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关键词 ： 线性 时滞 系统 ； 制； 控 线性矩 阵不等式 （ ＭＩ Ｌ ） 中图分类 号： Ｐ ７ Ｔ２ １ 文 献标 识码 ： Ａ 文章编号 ：６ １－ ３ ９ ２ ０ ０ ０ ６ ０ １ ７ ４ ６ （ ０ ８）２－ １ ７— ３
１ ｉ 。弓 言
ＰＲ ＋
Ｃ
— － ＱＲ
０ Ｃ １
一
１ ０ ｈ Ｂ Ｄ —１ ０
加 ０ 一 Ｒ
Ｍ
Ｍ１
阵 ；≤＾ 是 时滞 常数 ， Ｏ ≤＾ 向量值初 始 函数 ， ｔ ∈ ［一 ， （） ｃ ｈ
０ ， ｔ ∈Ｌ ［ ， ． ］∞（） ２ ０ ∞） 本文研究 的 目的 是 ： 于某 一 给定 的常 数 Ｙ＞０ 如 何 对 ，
Ａｐ Ｐ ＋ — Ａ＋ ｒ＋Ａ Ｑ Ｒ Ｐ１Ｒ
Ａ ｒ
ｘ
咫 ０
Ｃ ｃ
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｛（ ＝ ｔ＋ ｌ ｔ ｈ ＋ ∞ ｔ ＋ ｌ ｔ， （） ｔ ｃ（ ｃ （— ） Ｄ （ Ｄｕ ） ） ） ） （ １
【 ｔ ＝ ｔ ，∈［一＾ ０ （） （） ，］ 其 中 －（） ＇ ｔ ∈Ｒ 是系统状态 向量 ， ｔ Ｘ ∞（）∈Ｒ 是干 扰输 入向量 ， （）∈ 是 控制输 出 向量 ， （）∈ 是 控制 输入 Ｚｔ ｕｔ 向量； Ａ ， 口 ， ｃ ， Ｄ 是 具有相应 维数 的实常 数矩 Ａ， ｌ口， ｌｃ， ｌＤ， ｌ
ｙｌ ｔ ｌ． ∞（）ｌ ｌ ２
使得系统 （ ） １ 同时满足 下列 两个条件 ：
Ｉ 闭环系统是渐近稳定 的， ）
令 Ｌ ＝』 （）（）一 ∞ （） ｔ ］ｔ ０【 ￡ ￡ ￡∞（） ｄ 选取以下的 Ｌａ ｕｏ Ｋ ａｏｓｉ函数 ： ｙｐ ｎｖ— ｒｓｖｋｉ
设计一个状态反馈控 制器 （）＝Ｉ （） ｉ ｔ ｘ （） ２
则系统（ ） ４ 是渐近稳定 的 ， 且满足 以 范数 约束 Ｙ 即 ｉ ， ｉ
（）ｌ ＜ ∞（）ｌ 。 ｔ ｌ ｙＩ ｔ ｌ ２ ｉ ２
证明 ： 先证系统 （ ） ４ 具有 范数约束 Ｙ 即 ｌ ｔ ｌ ＜ ， ｌ ）ｌ （