一类时滞反馈非线性系统的分岔与控制

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一类非线性不确定时滞系统的记忆与无记忆复合H∞状态反馈控制

一类非线性不确定时滞系统的记忆与无记忆复合H∞状态反馈
控制
王岩青;赵金华;姜长生
【期刊名称】《电光与控制》
【年(卷),期】2006(013)002
【摘要】针对一类具有状态非线性不确定性的线性时滞系统,基于Lyapunov稳定性理论,利用线性矩阵不等式(LMI)方法,讨论了该类时滞系统的记忆与无记忆复合H∞状态反馈控制器的设计问题.在非线性不确定性满足增益有界条件下,得到了该类时滞系统的满足鲁棒H∞性能的一个充分条件.通过求解一个线性矩阵不等式
─LMI,即可获得鲁棒H∞控制器.
【总页数】4页(P35-37,72)
【作者】王岩青;赵金华;姜长生
【作者单位】解放军理工大学理学院,江苏,南京,211101;中国农业发展银行山西省分行,山西,太原,030001;南京航空航天大学自动化学院,江苏,南京,210016
【正文语种】中文
【中图分类】V233.7;TP273
【相关文献】
1.具有非线性扰动的线性多时变时滞系统的有记忆状态反馈控制 [J], 李伯忍
2.一类不确定非线性系统的鲁棒无记忆H∞控制器设计 [J], 张佳成;吴保卫
3.具有非线性扰动的不确定多个变时滞系统的有记忆非脆弱状态反馈控制（英文）
[J], 李伯忍;曾金平
4.线性不确定时滞系统的H_∞无记忆控制器设计 [J], 顾永如;李歧强;钱积新
5.不确定时滞系统的无记忆鲁棒控制 [J], 陆国平
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时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔

时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔刘杰;管俊彪【摘要】研究了一个带时滞反馈控制的三维混沌系统.首先,分析了系统的平衡点的局部稳定性;其次,以时滞作为分岔参数,得到了系统产生Hopf分岔的条件,为实现三维混沌系统的混沌控制提供了必要的理论基础.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2019(039)003【总页数】5页(P88-91,102)【关键词】时滞;Hopf分岔;稳定性【作者】刘杰;管俊彪【作者单位】杭州电子科技大学理学院,浙江杭州 310018;杭州电子科技大学理学院,浙江杭州 310018【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言自从E.N.Lorenz[1]于1963年在实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来，混沌运动的研究引起了国内外学者的广泛关注。

各种新的混沌系统不断被发现，混沌在许多领域获得了巨大的发展[2-3]。

例如，Chen G.R.等[4]在一个简单的三维自治系统中发现了一个新的混沌吸引子——陈系统，它与Lorenz系统类似，但比Lorenz系统具有更复杂的拓扑结构和动力学行为；Lü J.H.等[5]发现了Lorenz系统与它的对偶Chen系统之间的临界混沌系统——Lü系统，并进一步研究了新的混沌吸引子的形成机理；Liu C.X.等[6]提出了一种新的混沌系统——Liu系统，研究了新型蝴蝶吸引子的一些基本动力学性质，如Lyapunov指数，庞加莱映射，分形维数，连续谱和混沌行为等。

随着对混沌现象的深入研究，对混沌系统的动力学性质的逐步了解，混沌现象在数据通讯、机械振动分析及故障诊断、信号检测及信息处理、图像处理等领域都得到了有效应用。

当混沌运动有害的时候，需要抑制混沌运动使系统运行到正常有序的状态。

由于混沌运动对初始条件非常敏感，其长期行为具有不可预测性，混沌控制成为混沌应用的重要部分。

混沌控制的目的是通过适当的控制方法来抑制混沌，使系统进入正常有序的周期运动。

一类非线性区间时滞随机系统的控制与仿真_解相朋

1 T ∂V 2 (t ) g (t ) g (t ) 2 ∂x 2 + tanh T ( Lx)(Q + R + h1 Z + h12 S ) tanh( Lx) − tanh T ( Lx1 ) R tanh( Lx1 ) −∫ −∫
t t − h1 t − h1
− (1 − τ (t )) tanh T ( Lxτ )Q tanh( Lxτ ) tanh T ( Lx( s )) Z tanh( Lx( s ))ds tanh T ( Lx( s )) S tanh( Lx( s ))ds tanh T ( Lx( s ))dsV (tanh( Lx) − tanh( Lx1 )) tanh T ( Lx( s ))dsW (tanh( Lx1 ) − tanh( Lxτ ))
(4)
t − h1 0
tanh T ( Lx( s)) R tanh( Lx( s ))ds
t
其中 M , N i (i = 1, 2,3, 4) 为适当维数的已知常数矩阵，F (t ) 是
− h1 t + β − h1
∫
tanh T ( Lx( s )) Z tanh( Lx( s ))dsd β tanh T ( Lx( s )) S tanh( Lx( s ))dsd β
如果存在对称正定矩阵 Q ，向量函数 v (t ) 使
得下述各积分都有意义，则不等式 t − h1 t − h1 t − h1 1 − ∫ v T ( s )Qv ( s )ds ≤ − v T ( s )dsQ ∫ v ( s )ds t − h2 t − h2 h2 − h1 ∫t − h2 成立，其中 h 2 ≥ h1 。引理 2[10] 对于适当维数的矩阵 M, N 和 F (t ) ，若

Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔研究

Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔研究摘要：本文研究了Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔。

首先，根据Shimizu-Morioka系统的动力学特征，建立了Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的数学模型；其次，通过矩阵Lyapunov方法，针对该控制系统的稳定性问题，得出了判定条件；最后，运用中心流形定理和Hopf分岔理论，分析了该控制系统在特定参数条件下的Hopf分岔性质，得到了稳定分岔周期解的存在性和稳定性条件。

以上分析结果表明，Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统具有较好的稳定性和分岔性质，对其相关研究具有一定的理论和实际应用价值。

关键词：Shimizu-Morioka系统；时滞反馈控制；稳定性；Hopf分岔1. 引言Shimizu-Morioka系统是一种具有混沌行为的非线性动力学系统，在众多应用中具有广泛的研究和应用价值。

控制系统中的稳定性和分岔性质是相关研究的重要问题，其中时滞反馈控制是一种有效的控制方法。

本文旨在研究Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔，为Shimizu-Morioka系统的控制与应用提供理论基础。

2. Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的数学模型Shimizu-Morioka系统的动力学行为可以用下列微分方程组表示：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= -a x + yz \\\frac{dy}{dt} &= bx - kyz \\\frac{dz}{dt} &= xy - cz\end{aligned}$$其中，$a,b,c,k$是正实数参数。

为了更好地控制Shimizu-Morioka系统，考虑引入时滞反馈控制。

假设在$t-\tau$时刻对系统施加控制$u(t-\tau)$，则加入时滞反馈控制后的系统可以表示为：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= -a x + yz \\\frac{dy}{dt} &= bx - kyz + u(t-\tau)\\\frac{dz}{dt} &= xy - cz\end{aligned}$$其中，$u(t-\tau)$是时滞反馈项，满足$u(t) = -Kx(t-\tau)$。

一类参数激励系统的非线性时滞反馈分岔控制

一类参数激励系统的非线性时滞反馈分岔控制钱长照;陈昌萍【摘要】采用平均化方法,研究参数激励和强迫激励联合作用的非线性动力系统.以平均方程研究系统平衡点附近流形,利用分岔响应方程,研究系统的分岔动力特性与主要参数的关系.通过对两种非线性时滞控制器与线性时滞控制器的比较,分析非线性时滞控制器的分岔控制特点,比较与线性时滞控制器的优劣性.结果表明,两种平方非线性时滞控制器的控制效果均与激励幅值有关,在同等增益的条件下,激励幅值越大控制效果越好,但对于没有强迫激励的参数激励系统,该类非线性时滞控制器失效.【期刊名称】《福州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(047)003【总页数】6页(P379-384)【关键词】非线性动力系统;参数激励;分岔控制【作者】钱长照;陈昌萍【作者单位】厦门理工学院土木工程与建筑学院风工程实验研究中心,福建厦门361024;厦门理工学院土木工程与建筑学院风工程实验研究中心,福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】O19;O231.20 引言参数激励非线性动力学问题是工程中常见的一类动力学问题，常具有分岔、浑沌、分维和分形等复杂的非线性动力学行为［1－2］.Nayfeh等［3］利用多尺度法详细研究含参数激励非线性动力系统的非线性特性，发现该类系统具有多种分岔模式和混沌现象.Sethna等［4］通过理论研究参数激励的van der Pol－Duffing系统的鞍－结分岔、叉形分岔、Hopf分岔等多种分岔模式.Holmes等［5］为深入研究含有参数激励的非线性动力系统的分岔与混沌问题，提出一系列研究方法.20世纪80年代中期，国内学者开始研究含有参数激励的非线性动力系统，在全局分岔的研究方法方面取得了一系列研究成果［6－9］.非线性参数激励系统中常见的分岔模式有鞍－结分岔和跨临界分岔，这些分岔在工程中表现为动力响应的跳跃、滞后及动力失稳，需要避免或加以利用.符文彬［10］针对非线性参数激励系统在稳态解的鞍－结分岔，提出利用受控系统Jacobi矩阵的非线性控制器设计方法.Ji［11］利用实验研究了基于梁端部滑模控制的轴向激励后屈曲梁这一类参数激励系统的分岔控制问题.非线性系统的时滞控制方法在近些年来引起了人们的关注，有相关成果见诸报端［12］，针对参数激励系统的线性时滞控制也有较少的研究［13－14］，但未见有对于参数激励系统的非线性时滞控制的研究.因此，本研究讨论参数激励系统非线性时滞控制的理论性，比较了线性时滞控制器和非线性时滞控制器对一类参数激励系统分岔控制的优缺点，得到一些有益的结论.1 平均方程及分岔方程的理论推导一些工程问题，如受轴向激励的屈曲梁振动［11］、斜拉索的振动［15］等，利用无量纲化等方法，其运动微分方程可表示为参数激励和强迫激励联合作用的非线性系统:考虑系统(1)受到时滞位移反馈控制作用，通过设计时滞反馈控制器，受控系统可写为:式中:gi(i=1，2，3)为反馈增益;τi(i=1，2，3)为时滞量;g1u(t－τ1)为线性时滞位移控制项;g2uu(t－τ2)和g3u2(t－τ3)分别为两种非线性时滞位移控制项，每种时滞控制项分别对应一种时滞控制器，三种时滞控制器互相独立，可以自由组合. 为利用平均法分析控制参数及控制效果，引入小参数ε并使用参数代换如下:则方程(2)可改写为:为研究控制器对系统(1)的分岔控制作用，利用平均化方法，假设方程(4)的解可写为:其中:对方程(5)求导得:其中:满足条件方程(6)求导得:将方程(5)，(6)，(8)代入到式(4)并与式(7)联立，可得平均方程:系统平均方程(9)、(10)用矩阵可以表示为:其中:分析平均方程可知，方程存在零解和非零解，分别对应于系统的零平衡点(0，0)和非零平衡点，其中非零解对应的平衡点(x*，y*)可由如下方程解出其中，零解的稳定性可由线性化矩阵的特征方程判断:由式(12)、(13)可见，非零解对应的平衡点(x*，y*)及零解的稳定性均与时滞反馈增益系数及时滞量有关.为讨论平衡点的数目随参数的变化关系，令为调谐参数，代入到方程(12)，并简化得:其中:方程(15)中μe和σe与控制器参数有关，但分别具有阻尼和频率调谐参数的意义，因此可定义为等效阻尼和等效频率调谐参数.方程(14)除了存在平凡解a=0外，还可能存在非平凡解，并满足方程:解方程(17)，可得:根据解的个数对(18)式讨论可知，当选定σe和μe时，随着参数激励幅值f的变化，系统可能从单一的零解变化为同时存在零解和非零解，还会出现多个非零解，即非受控系统存在折迭分岔和跨临界分岔两种分岔模式.以激励幅值为分岔参数，则折迭分岔点可由下式确定:而跨临界分岔点处激励幅值fcrit也可由下式得到:2 分岔响应分析由于式(12)和式(14)均是比较复杂的非线性方程和非线性方程组，直接求解比较困难，需要依靠数值计算的方法才能求解.因此，利用数值方法，获得非控制系统分岔响应曲线如图1所示，计算所取参数值:μ =1.5，ε =0.1，α =－ 1，β=0.1，p=1，ω0=1，g1=g2=g3=0，f作为变化的分岔参数.也就是说，该图反映了原系统的非线性分岔状态.综合图1和相关研究［13］，可明确如下几点:1)对某一给定频率，当激励幅值增加到某一数值fcrit(该数值由式(20)确定，如本算例中，当σ =－2时，fcrit≈6.45;σ =0时，fcrit≈5.33;σ =2时，fcrit≈6.63)，系统发生动态失稳，由于该类分岔是零平衡位置从稳定状态转换为非稳定状态，在一定情况下必然发生，所以是无法消除的亚临界分岔.但从分岔图中可以看出，可以通过控制器设计增大(或减小)fcrit的值，即改变分岔点的位置，从而保证系统在一定激励幅值范围内具有较好的稳定性;2)从式(20)中可以看出，亚临界分岔点与μe有关，而μe与时滞控制器参数有关，因此在设计时滞控制器时主要考虑控制器参数对μe的影响规律;3)当σ取某些值时，如本例中，σ=－2时，在f=fT时，解的个数发生变化，即产生折迭分岔，其特征是系统由一个稳定的零解变成三个解，而且只有当σe＜0时存在;4)折迭分岔对结构危害较大，需要消除.为进一步研究折迭分岔特性，利用平均方程(9)、(10)分析平衡点附近的流形，如图2～4所示.图1 非受控系统的分岔响应曲线Fig.1 Bifurcation curves of uncontrolled system图 2 f=4.5，σ=2的流形图Fig.2 Manifold of uncontrolled system with f=4.5，σ=2图3 f=6，σ=2的流线图Fig.3 Manifold of uncontrolled system with f=6，σ=2图4 f=7.5，σ=2的流线图Fig.4 Manifold of uncontrolled system with f=7.5，σ=2由图2～4可以看出，随着参数激励幅值f的增加，平衡点数目发生变化.当f＜fT 时，存在唯一的零平衡点，该平衡点为稳定焦点;当fT＜f＜fcrit时，存在5个平衡点，其中零平衡点为稳定焦点，2个非零鞍点和2个稳定结点;当f＞fcrit时，系统有3个平衡点，其中零平衡点退化为鞍点，另外两个平衡点为稳定结点.这与通过方程(18)分析的平衡点个数一致.本例中，由方程(19)可解得fT≈5.38，由方程(20)可解得fcrit≈ 6.45.3 时滞反馈分岔控制分析值得注意的是，参数μe，σe对分岔方程(18)的平衡点个数起决定性的作用，而参数μe，σe的大小可以通过时滞控制器控制.为控制系统分岔，可以利用方程(15)选择控制器类型和设计时滞参数.分析方程(15)可知，由于两种非线性时滞控制器对阻尼及频率调谐均与激励幅值有关.如果只存在参数激励f，不存在强迫激励p，则非线性时滞控制器起不到控制作用;而当同时存在强迫激励和参数激励时，非线性时滞控制器作用明显，而且控制效果与强迫激励幅值相关.为直观显示三种时滞控制器对系统分岔的控制作用，利用数值方法获得三种控制器作用下的系统分岔响应曲线如图5所示.图 5中计算所取参数值:μ =1.5，ε =0.1，α =－ 1，β =0.1，p=1.2，ω0=1，σ=2，τ1= τ2=τ3=π，各时滞控制器增益参数如图中所示.这样选取的目的是为了使各控制器分别独立工作，从而能够进行比较.图中，g1=g2=g3=0与原系统的分岔响应曲线对应;g1=g2=0，g3=5与非线性时滞控制器g3u2(t－τ2)单独作用下的分岔响应曲线对应，与原系统分岔响应曲线相比，消除了鞍结分岔点;g2=g3=0，g1=5对应于线性时滞控制器g1u(tτ1)单独作用，同样可以消除鞍结分岔点，同时跨临界分岔点也有较大的改变;g1=g3=0，g2=5对应于非线性时滞控制器g2uu(t－τ1)单独作用，未能消除鞍结分岔点，但鞍点－结点共存区域减小.总之，各控制器均能对系统的分岔点进行控制.其控制参数的选取原则是根据方程(15)和方程(18)的讨论.一般而言，为控制操作方便，控制器可设计只对μe和σe其中一个参数进行控制，而使另一个参数保持不变，这就是选择时滞量为τ1=τ2=τ3=π的原因.因为，此时μe保持原μ值不变，而σe随增益参数改变.由图比较可知，该参数条件下，同等增益时，g3u2(t－τ3)控制器不仅能消除鞍结分岔，还使跨临界分岔点后移，即临界值增大，同时响应幅值减小，效果最好.但值得指出的是，这是在强迫激励幅值p＞1的情况下进行的比较.事实上，由于两种非线性控制器控制效果均与强迫激励幅值有关，因此只能用于该类有强迫激励的参数激励系统中，而且强迫激励幅值越大越好.为直观显示各时滞控制器对阻尼及频率参数的调谐控制作用，取μ=0，σ=－2作时滞参数，对μe、σe的影响曲线如图6、7所示.图5 受控系统分岔图Fig.5 Bifurcation curves of controlled system图6 μe随时滞参数变化曲线Fig.6 μechanged with delay parameters图7 σe随时滞参数变化曲线Fig.7 σechanged with delay parameters由图6～7可以看出，对于参数激励和强迫激励联合作用的非线性动力系统，各类时滞控制器的时滞参数均对μe，σe有调节作用，但线性时滞控制器的调节范围只取决于控制器本身的增益参数和时滞量，而非线性控制器的调节范围不仅取决于控制器本身，还与强迫激励幅值p有关，强迫激励幅值越大，调节范围越大，相应地，对于选定时滞量情况，控制效果越好.4 结语以参数激励幅值为分岔参数，研究参数激励和强迫激励联合作用的非线性振动系统的分岔特点.结果表明，系统存在跨临界分岔和鞍结分岔两种形式.通过分岔控制方程，利用增益参数设置，分析线性时滞控制和非线性时滞对等效阻尼及等效调频参数的影响，得到了一些有意义的结论:1)对于参数激励和强迫激励联合作用的非线性系统，线性时滞控制器和非线性时滞控制器均可以改变系统的等效阻尼和等效频率调谐参数，也就是说，均能对系统的分岔进行控制.2)线性时滞控制器对阻尼及频率调谐参数的控制范围只与控制器本身的增益有关，而非线性时滞控制器的调节范围还与强迫激励幅值有关.强迫激励引起的强迫振动幅值越大，时滞控制的调节范围也就越大，相同条件下更有利于系统的分岔控制.3)当强迫激励幅值趋于零时，所设计的两类非线性时滞控制器失去作用，因此，建议把线性和非线性时滞控制器联合使用.参考文献:【相关文献】［1］BOGOLIUBOV N N，MITROPOLSKI Y A.Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations［M］.New York:Gordon and Breach，1981.［2］HSU C S.Some simple exact periodic responses for a nonlinear system under parametric excitation［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1974，41:1135－1137. ［3］NAYFEH A H.Introduction to perturbation techniques［M］.New York:Wiley－Interscience，1979.［4］ SETHNA P R，BAJAJ A K.Bifurcations in dynamical systems with internal resonances ［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1978，45:895－902.［5］GUCKENHEIMER J，HOLMES P J.Nonlinear oscillations，dynamical systems and bifurcations of vector fields［M］.New York:Springer－Verlag，1983.［6］陈予恕.非线性振动系统的分岔与混沌理论［M］.北京:高等教育出版社，1993.［7］张伟.非线性振动、分岔及混沌［M］.天津:天津大学出版社，1992.［8］TANG J S，FU W B，LI K A.Bifurcations of a parametrically excited oscillator with strong nonlinearity［J］.Chinese Physics，2002，11(10):1004－1007.［9］LU Q S，TO C W S.Principal resonance of a nonlinear system with two－frequency parametric and self－excitation［J］.Nonlinear Dynamics，1991(2):419－444.［10］符文彬.非线性动力系统的分岔控制研究［D］.长沙:湖南大学，2004.［11］JIJ C，HANSEN C H.Nonlinear response of a post－bulked beam subjected to a harmonic axial excitation［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，237(2):303－318. ［12］QIANC Z，TANG J S.A time delay control for a nonlinear dynamic beam under moving load［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，309(1/2):1－8.［13］钱长照.非线性动力系统的时滞反馈分岔控制研究［D］.长沙:湖南大学，2005.［14］唐驾时，符文彬，钱长照，等.非线性系统的分岔控制［M］.北京:科学出版社，2016. ［15］QIANC Z，CHEN C P.Nonlinear dynamics analysis for taut inclined cables excited by deck vibration［J］.Nonlinear Engineering，2017，6(3):241－248.。

时滞反馈非线性扭振系统的稳定性与Hopf分岔研究

动力学方程，得到了连续传动轴的频响函数。文献
类自治系统的稳定性控制，重研究了时滞参数着
对自治系统极限环幅值的影响以及Ｈｐ分岔产生ｏｆ的条件。最后用数值仿真的方法证明了该控制方法的有效性，为实现该类自治系统的控制机理提供理
摘要：究了具有Ｄｕｎ — ａｒｏ组合振子和时滞特性两惯量非线性扭振系统的稳定性和Ｈｐ分岔问题。研ｉｆｇＶｎｅｐｌｄｏｆ建立了两惯量非线性扭振系统的动力学方程，通过设计线性位移和速度时滞反馈控制器构造了扭振受控系统。采用多尺度法推导出极限环幅值与时滞参数之间的关系。在对系统零解稳定性分析的基础上，出Ｈｐ分岔产得ｏｆ
１动力学方程的建立
对于两惯量旋转机械扭振系统，设、为系
统集中惯量的转动惯量，０、０为集中惯量的转角，。２０、为集中惯量的转速，、为外力矩。两惯量非线性扭振系统力学模型如图１所示。图中Ｃ一０）示系统线性阻尼，￣（广０，。２示１（２表ｃｏ２一０）ｆ表
一
防等领域发挥着无可替代的作用。旋转机械常常由于出现扭振而影响其正常工作甚至导致设备损坏，造成重大的经济损失。年来，关于旋转机械扭振近系统的机理及控制方法研究日趋活跃。文献［］３采用传递矩阵法建立了含连续质量的单轴扭转系统

一类不确定非线性时变时滞系统的鲁棒控制

２问题描述
考虑非线性不确定时变时滞系统
ｆ（）Ａ（）ｔ＋１）（— （）＋ｚｔ）厂ｔ，）￡＝ｔ）Ａ（ｔｄｔ）６（（）＋（（）ｔ（ ‘
【（）（）ｔ一ｄ￡，］ｚｔ＝ｔ，∈［（）０ ’
，．、
２１００年１ ห้องสมุดไป่ตู้月
广西师范学院学报：自然科学版
ＪｕｎｌｆＧｕｎｘｅｃｅｓＥｕａｉｎＵｎｖｒｉ：ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａａｇｉａｈｒｄｃｔｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｄｔｏＴｏｙＳｏ
（） △ ｔＡ￡］ｔ由［Ａ（）Ａ（）＝ＤＦ（）Ｅ０］出，中Ｄ，。Ｅ￡［Ｅ１给其Ｅ，是具有适当维数的矩阵，Ｆ（）而￡是具
Ｌｓｅｇｅｅｂｓｕ可测元的不确定矩阵，满足Ｆ（）Ｆ（），ｂ且ｔｔ ≤ ， ∈Ｒ．
、 ‘
其中：￡ ∈尺为状态向量，（）（） ” Ｕ￡ ∈Ｒ为系统的输入，Ｊ记为单位矩阵．不确定矩阵Ａ（）Ａ。ｔ满ｔ，（）
足Ａ（）ｔ＝Ａ＋△ ｔ，（）Ａ（）Ａｌｔ＝Ａ１Ａ１￡，中Ａ∈Ｒ， ∈Ｒ，已知实矩阵，Ａ（） △ ＋△ （）其Ａ１是 △ ｔ、Ａ。
（），为已知实０
收稿日期：００１３２１一ｌ —０
基金项目：国家自然科学基金资助（０６０１６８４０）作者简介：李杰（９３，，１８一）男硕士研究生，研究方向：非线性时滞系统及神经网络

一类具有未知控制方向非线性时滞系统的输出反馈镇定

＝１ … ，，，ｎ时滞常数ｄ＞．０
首先，我们引入以下的坐标变换
１
＝，
ｉ＝１ … ，．，ｎ
（）２
ｇ
因为（）＝００和ｈ（）＝，所以（（）００Ｙｔ）和ｈ（（ —ｄ）可以分别表示为Ｙｔ）
（（）＝ＹｔＹｔ）ｈ（（ —ｄ）＝Ｙｔ）Ｙｔ）．Ｙｔ）（）（），Ｙｔ）（（ —ｄｈ（（ —ｄ）（）３
维普资讯
２０
曲阜师范大学学报（自然科学版）
２００８年
那函）（厂（，（在０）界中∈ 非常，∈ 某当数么数（，）。（）ｔ［。有，ｇｔｔ Ⅳ ｔ，，上其是零数ｃ是适常．和））。
维普资讯
第３４卷
第３期
２００８年７月
曲阜师范大学学报ＪｕｎｌｏＱｆＮｒｌＵｉｅｓｙｏｒａｆｕｕｏｍａｎｖｒｉｔ
Ｖｏ．４Ｎｏ３１３．
Ｊｌ０８ｕｙ２０
一
文献［ —］１等．最近，３控制方向未知的非线性系统的自适应控制设计是一个颇受关注的问题．文献［］４首次提出了基于Ｎｓａｍ增益的自适应控制策略，ｕｓｕｂ文献［］５对一类控制方向未知的不确定性
非线性系统设计了全局鲁棒跟踪控制．献［７研究了一类控制方向未知非线性系统的输出反馈镇定问文６，］题．后来，文献［］一步解决了一类不确定非线性时滞系统的输出反馈镇定问题．献［研究了具有未８进文９］知控制方向的非线性时滞系统的状态反馈自适应控制问题．本文基于文献［］［０，７和１］首次利用反推方法研究了一类控制方向未知非线性时滞系统的输出反馈自适应控制问题，它是通过一系列坐标变换，助于Ｌａｕｏ借ｙｐｎｖ函数和Ｎｓｂｕ增益函数方法，计了一个基ｕｓａｍ设于观测器的输出反馈自适应控制器．所设计的光滑控制器使得闭环系统的所有信号有界，系统的状态收且

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・
＋。２＋（＋０２＋
２）是＋（ｃｏｓ￡）＝８［ｇ１（￡一ｒ１）＋ｇ２曼（ｔ — Ｔ２）］
（）
其中，和为时滞量，ｇ和ｇ：为增益系数。首先，通过多尺度法得到受控系统的分岔响应方程，给出了极限环幅值与控制参数之间的关系；其次，通过零解稳定性分析，得到Ｈｏｐｆ分岔产生的条件以及控制参数的取值范围；最后，通过数值模拟说明理论结果的正确性和控制的有效性。
受控的系统可以描述为
收稿日期：２Ｏ１３ —ｏ６ —２５
基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１１７２０９３，１１０３２００４），湖南省研究生创新项目（ＣＸ２０１２Ｂ１５９）作者简介：蔡萍（１９７９一），女，福建莆田人，讲师，硕士，研究研究方向为非线性动力学．
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９—２７１４．２０１３．０４．００４
０引言
分岔和混沌是非线性科学的一个重要研究领域，也是非线性微分方程研究的重要组成部分。虽然，关于分岔理论的研究近年来十分活跃，取得了众多成果－】Ｊ，但在控制方面，分岔远不及混沌成熟。分岔控制是指设计一个控制器，它能够修改一个非线性系统的分岔特性，从而实现人们所要的理
第３３卷
第４期
湖北师范学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎｌａｏｆＨｕｂｅｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒｌａＳｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｏ１．３３Ｎｏ．３，２０１３
＋。２＋（＋ｔＸＸ＋／３互）曼＋（ｃｏｓＹ２ｔ）ｘ＝０（１）
含参数激励的非线性系统有着丰富的动力学性态，１／２亚谐共振是其中之一。唐驾时等１做了该
Ｍａｔｈｉｅｕ — ｖａｎｄｅｒＰｏｌ系统在强非线性下的分岔分析，但相关的分岔控制并未有文献给出。本文研究的目的是设计线性位移和速度时滞反馈控制器，对系统（１）的１／２亚谐共振下的分岔响应进行控制。
想动力学行为。Ｈｏｐｆ分岔是一种动态分岔，具有重要的理论意义和实际价值。关于Ｈｏｐｆ分岔的控
制已引起了许多科学工作者的极大关注。刘爽等设计非线性反馈控制器对一类耦合非线性相对转动系统的Ｈｏｐｆ分岔进行了控制。郁培等利用非线性状态反馈，给出了推迟、消除Ｈｏｐｆ分岔以及
改变分岔解稳定性的控制方法。刘曾荣等结合反馈与非反馈控制，对一类三维系统的Ｈｏｐｆ分岔进行了控制。近年来，Ｈｏｐｆ分岔控制理论也成功地应用于神经网络模型中引，成为神经网络非线性动
力学的一个重要组成部分。然而，在没有办法或没有必要消除Ｈｏｐｆ分岔的情形下，理想的目标是对极限环的振幅与频率进行控制，这方面也有很多的工作。ｖａｎｄｅｒＰｏｌ振子是一个著名的自激振动系统，最早出现在非线性电路中，后来在机械、生物、化学等很多工程和科学领域中发现了它的存在。以往对ｖａｎｄｅｒＰｏｌ振子的分岔控制研究，主要集中在ｖａｎｄｅｒＰｏｌ振子、广义的ｖａｎｄｅｒＰｏｌ振子和耦合的ｖａｎｄｅｒＰｏｌ振子这三类系统。对参数激励作用下的广义ｖａｎ．ｄｅｒＰｏｌ振子的研究并不多见。本文考虑如下含有参数激励的广义ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程
一
类时滞反馈非线性系统的分岔与控制
蔡萍２，唐驾时２，李震波２
（１．闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州３６３０００；２．湖南大学机械与运载工程学院，湖南长沙４１００８２）
摘要ｉ考虑含参数激励的广义ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｈｏｐｆ分岔与控制问题。通过设计线性位移和速度时滞反馈控制器构造了受控系统，着重研究了控制器对该类参数激励系统的１／２亚谐共振的分岔响应控制。采用多尺度法从理论上推导出时滞动力系统的分岔响应方程，并进一步得到Ｈｏｐｆ分岔的存在条件。通过数
值模拟，验证了所设计的控制器不仅能控制极限环的幅值，也能控制Ｈｏｐｆ分岔的产生。
关键词：Ｈｏｐｆ分岔；极限环；时滞反馈控制；多尺度法中图分类号：０３２２文献标识码：Ａ文章编号：１０ｏ９７１４（２０１３）０４－００１４ — ０５