菱形的判断
菱形的判定
复习与引入
菱形的定义： 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 邻边相等的平行四边形叫做菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质： 菱形的性质：
菱 形 的 性 质 菱形的两组对 菱形的 对 菱形的两条对 菱形的两条对 条对 相平分 相 平分 组对 . 分别相等 边 菱形的两组对边分别平行 菱形的四条边相等
四边相等的四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
应用与提高
如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点， 如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到 ABCD各边的中点 四边形EFGH 求证:四边形EFGH是菱形. EFGH， EFGH是菱形 四边形EFGH，求证:四边形EFGH是菱形.
证明：连接BD、AC. ∵在矩形ABCD中, ∴ AC=BD, 又 E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点,
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
应用与提高
如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点 的对角线AC 相交于点O 例3 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形 是菱形. AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形.
想一想
如果一个四边形是一个平行四边形， 如果一个四边形是一个平行四边形， 则只要再有什么条件就可以判定它是 一个菱形？依据是什么？ 一个菱形？依据是什么？
根据菱形的定义可知： 根据菱形的定义可知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. 一组邻边相等的条件即可 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. A
∴ ∴
菱形的判定
例3. 画一个菱形，使它的两条对角 画一个菱形， 线的长分别为40㎝ 线的长分别为 ㎝和30㎝. ㎝
画法： 画法： B● 画一条线段AC=40㎝； ①画一条线段 ㎝ 作线段AC的中垂线 的中垂线， ②作线段AC的中垂线， ● A 并以垂足为中点截取 ● BD=30㎝； ㎝ D 顺次连结AB、 、 、 ； ③顺次连结 、BC、CD、DA； 则四边形ABCD即为所作的菱形 即为所作的菱形. 则四边形 即为所作的菱形
如图： 例1.如图：在四边形 如图 在四边形ABCD中， 中 AD∥BC，对角线 的垂直平分线 ∥ ，对角线AC的垂直平分线 与边AD、 分别相交于 分别相交于E、 ， 与边 、BC分别相交于 、F， 四边形AFCE是菱形吗？为什么？ 是菱形吗？ 四边形 是菱形吗 为什么？
证明： 证明：∵AD∥BC ∥ ∴∠EAO=∠FCO ∴∠ ∠ 又∠AOE=∠COF OA=OC ∠ ∴△AOE≌△COF ∴OE=OF ≌ 四边形AFCE是平行四边形 ∴四边形 是平行四边形 又∵EF⊥AC ⊥ ∴ AFCE是菱形 是菱形
已知： ABCD中 对角线AC⊥BD. 已知： ABCD中，对角线AC⊥BD. 试说明： ABCD是菱形 是菱形. 试说明： ABCD是菱形. A D
说明∵ABCD是平行四边形 说明∵ 是平行四边形 ∴OB=OD O B C 又AC⊥BD于O ⊥ 于 ∴AB=AD 即：∵AC⊥BD ⊥ ∴ ABCD是菱形 ∴ ABCD是菱形 是菱形. 是菱形 是菱形
∴四边形AFDE是平行四边形 四边形 ∵∠1=∠ ， ∵∠ ∠2，∠1=∠3 ∠ ∴∠2=∠ ， ∴∠ ∠3，∴AF=FD， ， 21 四边形AFDE是菱形 是菱形. ∴四边形 是菱形 (定义判定 定义判定) 定义判定
3
菱形的判定
(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)
画一画
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、 D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C， 连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜， 这是什么四边形？ 你根据什么方法能判定是菱形吗？
有四条边相等的四边形是菱形。 ∵在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩 （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； 矩 形；
预习检测
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D C
O
A B
学习目标
• 掌握菱形的判定定理 • 通过菱形的性质的逆命题得到菱形的 判定 • 培养类比联想、逆向思维和运动的思 维方法 • 重点：菱形的判定定理 • 难点：菱形的性质和判定的灵活应用
B C A O D
∴四边形ABCD是菱形.
思考
用一长一短两根细木条,在它们的中点处 固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周 围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这 个四边形什么时候变成菱形?
猜想
对角线互相垂直的 平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 求证： ABCD 中，AC ⊥ BD ABCD是菱形 B A O C D
AD=BC
已知，如图， ∠ ABC中， ∠ ACB= 900,BF 平分∠ ABC，CD垂直于AB于D，和BF交于 点G ， GE ∥ CA. 求证：CE和FG互相垂直平分。
C F G B A D E
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD;
菱形的判定方法
四条边相等的四边形是菱形.
A
在四边形ABCD中
∵AB=AD=BC=CD B
D
∴四边形ABCD是菱形
C
活动： 我们知道，当平移一个平行四边形成菱形时 ，它的两条对角线互相垂直，反过来，对角线互 垂直的平行四边形是菱形吗？
A
B
O
D
C
菱形的判别方法3：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.A在□ABCD中
拓展与延伸：
将两张等宽的矩形纸片重叠在一起(如 图)，你知道重叠的部分即四边形ABCD是 什么图形？
A
D
B C
作业:
F.分别连结AF和CE.
(1)说明四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=4cm，BC=8cm，求BF的长.
A
E
D
O
B
F
C
例题选讲：
例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点. 四边 形BCDE是菱形吗？为什么？
D
C
A
E
B
练习：
1.在四边形ABCD中，AB//DC，AD//BC.请再 添加一个条件，使四边形ABCD是菱形.你添 加的条件是____A_B__=_A_D____.(写出一种即可)
9.4.4 菱形的判别方法
数学问题：
一 个四边形满足什么条件，它就是菱形 呢？ 定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
在□ABCD中
∵AB=BC
B
D
∴□ABCD是菱形
C
活动：
我们知道，菱形的四条边相等，反过来， 四边相等的四边形是菱形吗？
四条边相等的四边形是菱形.请你说 明理由.
A
菱形的判定和性质
BCADO菱形的判定和性质一、基础知识一菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.. 二菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分;每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称三菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； 四菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算S=21底×高 2、用对角线计算面积的两对角线的积的一半 S=21ab二、例题讲解BCDE（A ） 一组对边相等;另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有 A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD 相交于点O;M 、N 分别是边AB 、AD 的中点;连接OM 、ON 、MN;则下列叙述正确的是A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图;在三角形ABC 中;AB ＞AC ;D 、E 分别是AB 、AC 上的点;△ADE 沿线段DE 翻折;使点A 落在边BC 上;记为A '．若四边形ADA E '是菱形;则下列说法正确的是A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABDEA '练习4：如图;下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为 ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③DBA NM O例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形 请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形 请说明理由．练习1：如图;AD 是Rt △ABC 斜边上的高;BE 平分∠B 交AD 于G;交AC 于E;过E 作EF ⊥BC 于F;试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图;E 是菱形ABCD 边AD 的中点;EF ⊥AC 于点H;交CB 延长线于点F;交AB 于点G;求证：AB 与EF 互相平分.. ABCDA H GEDA B练习3：如图;在Rt △ABC 中;∠ACB ＝90°;∠BAC ＝60°;DE 垂直平分BC;垂足为D;交AB 于点E;又点F 在DE 的延长线上;且AF ＝CE;求证：四边形ACEF 是菱形..考点二：菱形的性质例1：如图;四边形ABCD 中;∠ADC ＝90°;AC ＝CB;E 、F 分别是AC 、AB 的中点;且∠DEA ＝∠ACB ＝45°;BG ⊥AE 于G;求证：1四边形AFGD 是菱形； 2若AC ＝BC ＝10;求菱形的面积..练习1：如图;在菱形ABCD 中;E 是AB 中点;且DE ⊥AB;AB ＝4; 求：1∠ABC 的度数； 2菱形ABCD 的面积.. FE DCBAED CBAGFED CBA例2 ：如图 5;ABCD 是菱形;对角线AC 与BD 相交于O ;306ACD BD ∠==°，． 1求证：△ABD 是正三角形； 2求 AC 的长结果可保留根号．练习1：若菱形的边长为1cm;其中一内角为60°;则它的面积为 A．2cm 2B2 C ．22cm D．2 练习2：若菱形的周长为16cm;两相邻角的度数之比是1：2;则菱形的面积是（A ） 4错误!cm B8错误!cm C16错误!cm D20错误!cm练习3：已知菱形的周长为96㎝;两个邻角的比是1︰2;这个菱形的较短对角线的长是A ．21㎝B ．22㎝C ．23㎝D ．24㎝例3： 如图;将一个长为10cm;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cmA BCDO DB A练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm;则菱形的周长是 A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm练习2：若菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC 于E;AE ＝1cm;则BC 的长是 A1cm B2cm C3cm D4cm练习3:若菱形周长为52cm;一条对角线长为10cm;则其面积为A ．240 cm 2B ．120 cm 2C ．60 cm 2D ．30 cm 2例4:如图;菱形ABCD;E;F 分别是BC;CD 上的点;∠B ＝∠EAF ＝60°;∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数..练习1:如图;菱形ABCD 中;∠B ＝60°;AB ＝2;E 、F 分别是B C ．CD 的中点;连接AE 、EF 、AF ;则△AEF 的周长为A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3AD F CEBF D CB A EBCADO练习2：如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=°;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是_____________．练习3：如图所示;已知菱形ABCD 中;E 、F 分别在BC 和CD 上;且∠B=∠EAF=60°;∠BAE=15°; 求∠CEF 的度数..例5：如图;菱形ABCD 是边长为13cm;其中对角线AC=10cm; 求1菱形ABCD 的面积；2作BC 边上的高AH;求出AH 的长度BCADO练习1：如图;在菱形ABCD 中;∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2;周长是48cm ． 求：1两条对角线的长度； 2菱形的面积．例6： 已知：如图;在菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且CE=CF..过点C 作CG ∥EA 交AF 于H;交AD 于G;若∠BAE=25°;∠BCD=130°;求∠AHC 的度数..练习1： 如图所示;已知菱形ABCD 中E 在BC 上;且AB=AE;∠BAE=21∠EAD;AE 交BD 于M;试说明BE=AM..HGF EDC B A练习2：如图;菱形ABCD 的边长为2;BD ＝2;E 、F 分别是边AD ;CD 上的两个动点;且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；(2) 判断△BEF 的形状;并说明理由； (3) 设△BEF 的面积为S ;求S 的取值范围．考点三：综合例1：如图;菱形111AB C D 的边长为1;160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ;以2AD 为一边;做第二个菱形222AB C D ;使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ;以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ;使360B ∠=；依此类推;这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ．例2：菱形ABCD 的对角线交于O;AO=1;且∠ABC ∶∠BAD=1∶2;∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8;其中正确的有 A ．①②③④⑤ B ．①②④⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③ 1D B 3A C 2B 2C 3D 3 B 1D 2C 1 ABCDO例3：如图所示;在Rt ABC △中;90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上;再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． 1求证：四边形AFCD 是菱形；2连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形 为什么课后练习:1、若菱形的边长是它的高的2倍;则它的一个较小内角的度数是 ..2、如图1;在菱形ABCD 中;AB = 5;∠BCD = 120°;则对 角线AC 等于 A ．20 B ．15 C ．10D ．53、菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC ;垂足为E ;AB ＝4cm ．那么;菱形ABCD 的面积是 ;对角线BD 的长是 ．ADFCEGBBACD114、如图;在菱形ABCD 中;∠A =110°;E ;F 分别是边AB 和BC 的中点;EP ⊥CD 于点P ;则∠FPC = A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°5、已知：如图;四边形ABCD 是菱形;过AB 的中点E 作AC 的垂线EF;交AD 于点M;交CD 的延长线于点F. 1求证：AM=DM ；2若DF =2;求菱形ABCD 的周长．第21题图ABC D E F MBADEP CB F。
菱形的判定
╳
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□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 （2）若AC=BD，则□ABCD是 菱 形； 矩 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D
O A B
C
一个平行四边形的一条边长为9， 两条对角线长是12和6√ 5 ，这是一个 特殊的平行四边形吗？为什么？求出 它的面积。
E
A
B
5、已知：如图，矩形ABCD的对角线相交 于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、PC相 交于点P。 P (1)猜想：四边形PCOD是什么 特殊的四边形？ D
C
(2)试证明你的猜想。
O B
A （3) PO与CD有怎样的关系？
6、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点， 得到四边形EFGH， 求证：四边形EFGH是菱形。
5 5
5
对角线互相垂直的平行 四边形是菱形
5 5
有四条边相等的四边形是菱形。
如图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6 （1）AC、BD互相垂直吗？为什么？ （2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
D 解： （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 A O ∵ AB=5 ∴ AB2=OA2+OB2 0 B ∴AC⊥BD 9 0 ∴ ∠AOB=
A D
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 AB=AD
B O C
∴四边形ABCD是菱形
思考
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定 一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根 橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么 时候变成菱形?
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．一、菱形的性质【例1】⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？课堂练习：1.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B．C．4 D．F EDCBA2.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、B 、16C 、D 、83. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4）C 、M （5，0），N （7，4）D 、M （4，0），N （7，4）二、填空题4. 如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积 为5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离6. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于二、菱形的判定【例5】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．【例6】☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ， 求证：四边形BEDF 是菱形第4题第5题第6题ODEFCABC'DCB A E【例7】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.【例8】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '. 求证：四边形CDC E '是菱形．【例9】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．PMF E DG CBA巩固练习：一．选择题1．已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、16错误！未找到引用源。
菱形的判定
P
D
A O B
2 3
E
1
D O
C
C
F
A
B
注： 对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形。
B A C
A B C
D
D
若 ABCD的对角线AC⊥BD ，则 不是菱形？为什么？
ABCD是
已知：在
求证：
ABCD 中,对角线AC⊥BD
ABCD是菱形。
Aபைடு நூலகம்
B
O
D
C
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD 又∵AC⊥BD ∴AB=AD ∴ ABCD是菱形。
5.对角线互相垂直
小结：
菱形的判定方法：
四条边相等
四边形 菱形
平行四边形
作业：
1、已知： ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、 BC分别交于E、F 求证：四边形AFCE是菱形。 2、已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC， PC∥BD，PD、PC相交于点P。 (1)猜想：四边形PCOD是什么特殊的四边形？ (2)试证明你的猜想。
符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD，
菱形判定方法3: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
∴
ABCD是菱形。
练习巩固
一.选择： （一） 的平行四边形是菱形。（ 1 5 ）
（二）
1.一组邻边相等
的四边形是菱形。
2.四条边相等
（2
6 ）
3.对角线相等
4.对角线相等且互相平分
6.对角线互相垂直且平分
B
AB=AD
∴ ABCD是菱形。
A
D
C
菱形的判定
2.四条边相等的四边形是菱形吗？ 已知：四边形ABCD中， A AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形。
菱形的判定
20．3菱形的判定第1课时课前诊断1、定义: 的平行四边形是菱形2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的所有性质外,还有1）两条对角线互相2）四条边都3) 每条对角线 一组对角4）菱形既是 对称图形,又是 对称图形 导读思考：1、 写出菱形的性质：“菱形的两条对角线互相垂直平分”的逆命题： 我们知道, 对角线互相平分的四边形是平行四边形,则上述命题可以写成: 的平行四边形是菱形。
你能验证吗?推理验证：（从定义出发证明） 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ⊥BD 。
求证：四边形ABCD 是菱形 证明：由此得到菱形的判定定理1：2、由此,我们知道菱形的判定方法有两种:1）菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2）菱形的判定定理1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
即:要证明一个四边形是菱形，先证它是 ，再证 ；O DC B A20．3菱形的判定第2课时课前诊断：菱形的判定方法:1） 菱形定义:有一组邻边 的平行四边形是菱形2）菱形的判定定理1:对角线 的平行四边形是菱形即:要证明一个四边形是菱形，先证它是 ，再证有一组邻边 或两条对角线导读思考：1、对于一般的四边形,能否找到判定它是菱形的方法?写出菱形的性质：“菱形的四条边都相等”的逆命题：上述命题是否成立?你能验证吗?推理验证：（从定义出发证明）已知：求证:证明：由此得到菱形的判定定理2：2、写出菱形的性质：“菱形的每一条对角线平分一组对角”的逆命题：上述命题是否成立?你能验证吗?推理验证：（从定义出发证明）已知：求证:证明：由此得到菱形的判定定理3：3、综上,我们知道菱形的判定方法有:1）菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2) 菱形的判定定理1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3) 菱形的判定定理2: 四条边都相等的四边形是菱形． A C D B4) 菱形的判定定理3: 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.。
菱形的判定6种方法
菱形的判定6种方法
菱形是一种常见的几何形状，它有许多应用，比如在数学中用于判定某些条件是否成立。
下面我们来介绍一下菱形的判定方法。
1. 对角线相等法：如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个菱形。
这是最基本的判定方法。
2. 边长相等法：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较容易理解，但是实际应用中不太常见。
3. 顶角相等法：如果一个四边形的相邻两个顶角相等，那么它就是一个菱形。
这个方法也比较容易理解，但是需要注意的是，只有相邻的两个顶角相等才行。
4. 垂直平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相垂直，并且它们的交点处的两条垂直平分线相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较复杂，需要一定的几何知识。
5. 对角线平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相平分，并且它们的交点处的两条对角线平分线相等，那么它就是一个菱形。
这个方法也比较复杂，需要一定的几何知识。
6. 内角相等法：如果一个四边形的内角都相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较特殊，只有在某些特殊情况下才能使用。
以上就是菱形的六种判定方法，它们各有优缺点，可以根据实际情况选择合适的方法。
在实际应用中，我们通常会结合多种方法来判定一个四边形是否为菱形，以提高判定的准确性。
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《菱形的判定》教学设计
一、教材分析
在本章的学习中，教材已研究了平行四边形性质和判定、矩形性质和判定、菱形的定义和性质，学生已初步了解并掌握了特殊四边形的一些判定方法。
本节知识,既是前面所学知识的延续和拓展，也为下一节学习梯形和其他平面图形作必要的知识储备。
本节课，将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括问题的能力和审美意识的发展，进一步渗透了“转化、类比”等数学思想方法。
二、学情分析
学生在此前已经学习了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、菱形的定义和性质，掌握了菱形性质的简单应用，学生在此基础上探究菱形的判定方法。
由于八年级的学生对事物的感性认识丰富，正在向抽象思维转型，所以本节课本节课让学生在丰富的实践活动中，利用菱形的判定方法解决问题，促使学生从感性认识向理性思维发展，从形象思维向抽象思维转型。
三、教学目标及重、难点分析
【教学目标】
1、会判定一个四边形或平行四边形是菱形，会合理论证和计算。
2、经历探究菱形判定条件的过程，并会利用菱形的判定方法解决实际问题。
3、从学生已有的知识出发，让学生在动手操作、讨论交流、归纳总结的过程中，加深对菱形判定方法的理解，感受身边的数学，以及合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学习数学的热情，树立学好数学的信心。
【重点】菱形的判定方法。
【难点】引导学生探究菱形的判定方法,并利用菱形的判定方法解决实际问题。
四、教学策略分析
基于对教材和学生认知规律的考虑，在讲授新课时，我会引导学生回顾平行四边形、矩形的判定方法，然后引导学生通过数学活动猜想菱形的判定方法，再利用图形验证猜想，最后进行逻辑证明。
为了充分尊重学生、体现学生学习的主体作用，本节课，我将充分发挥自主学习与合作学习的优势，让每个学生都活动起来，参与到整个教学中去。
同时把时间给学生，让他们有足够的思考时间和充分的表达机会，鼓励他们创新思维和严谨的表达。
五、教学过程设计
(一)、创设问题，引入新课
【问题引入】本章我们一直在研究四边形，那么一个四边形具备了什么条件才能成为平行四边形呢？然后我们又学了两种特殊的平行四边形，矩形和菱形。
那么，一个四边形具备了什么条件才能成为矩形呢？一个四边形具备了什么条件才能成为菱形呢？菱形还有其他的判定方法吗？
【设计意图】本环节，我将引导学生回忆平行四边形、矩形、菱形的判定方法，培养学生归纳、类比思想。
因为本环节的问题相对比较基础，所以我会把提问的对象锁定在基础相对薄弱的学生，激发他们学习数学的热情。
(二)、合作探究，感悟新知
【探究活动】
探究一：用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
探究二：先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？根据画图，你能得到还有什么方法能判定一个四边形是菱形吗？
【活动方案】在本次探究活动前，将班级里的学生按照男女比例、学习程度、性格爱好等因素，分成八个小组，每组六个成员，每组由一个组长负责。
课前，每个人配发一份学案，每个组一块小黑板，组员先独立思考，然后小组合作交流，教师巡视指导，最后由组长指派成员，进行板书和汇报，其他不展示的同学把结果写在学案上。
【设计意图】从现实的情景出发，通过学生小组合作交流，经历亲自动手操作，到理论验证的过程，促进学生从感性认识向理性认识发展。
最后，通过数学的活动，归纳证明一个四边形是菱形的方法。
（三）、综合应用，提升思维
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)一组邻边相等的四边形是菱形；
2.如图，
的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB= 5 ，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD 是菱形.
3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 就是菱形，为什么？
【设计意图】本环节，我将出示一组有梯度的练习题，及时的巩固应用。
第一题相对比较简单，我将采取口答的形式。
第二题和第三题是体现了菱形判定方法的综合应用，是本节课的一个重点和难点。
为了突出重点，攻克难点，我依然会采取小组合作交流的方式，有由学生 本环节，让学生在亲身实践中，加深对在小组合作交流中自主探索化解重难点，真正做到“学生是数学学习的主体”。
菱形判定方法的理解,训练学生的逻辑推理能力，以及书写的条理性和语言表达能力。
4.教学例题：例1 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点. 四边 形BCDE 是菱形吗？为什么？
D C
A E B
5.(四)、课堂小结,自我评价
1、菱形具有那些判定方法?
2、本节课，你已经掌握的知识有哪些？你不明白或需要进一步理解的地方是什么？
(五)、巩固练习
(六)、课后作业 ：（见PPT ）
1. 在四边形ABCD 中，AB//DC ，AD//BC .请添加一个条件，使四边形ABCD 是菱形.你添 加的条件是_____________.(写出一种即可)
2.下列关于菱形的说法中正确的是( )
A ．对角线相等的四边形是菱形
B ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C ．菱形的对角线互相垂直且相等
D ．菱形的对角线相等且互相平分
3 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，
DE ∥AC ，CE ∥BD ．请判断四边形OCED
的形状，并说明理由.。