2016届高考数学(文)一轮复习跟踪检测：6-3+二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时作业34 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．(2014·山东济南一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥1，x ＋y≥1，1＜x≤a，目标函数z ＝x＋2y 的最大值为10，则实数a 的值为( )A ．2 B.83C ．4D ．8解析：不等式组所表示的平面区域如图所示：由图可知，当x ＝a ，y ＝a －1时，z 取得最大值，所以a ＋2(a －1)＝10，解得a ＝4. 答案：C2．(2014·山东青岛二模)已知点P(a ，b)与点Q(1,0)在直线2x ＋3y －1＝0的两侧，且a ＞0，b ＞0，则w ＝a －2b 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，12 解析：由已知，(2a ＋3b －1)(2×1＋3×0－1)＜0,2a ＋3b －1＜0，画出⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －1＜0，a ＞0，b ＞0的区域及直线a －2b ＝0，如图所示．平移w ＝a －2b ，当其经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0时，w max ＝12－2×0＝12； 当其经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，w min ＝0－2×13＝－23，又因为可行域的边界为虚线，所以应选D. 答案：D3．(2014·东北三校一联)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥－1，x －y≥2，3x ＋y≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1} 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥－1，x －y≥2，3x ＋y ≤14表示的区域如图所示．由z ＝ax ＋y 得：y ＝－ax ＋z.当－a ＞0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，a ＝－1时，线段AC 上的所有点都是最优解；当－a ＜0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出 ，当a ＝3时，线段BC 上的所有点都是最优解．故选B.答案：B4．(2014·福建质量检查)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，x ＋y≤1，y≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－1,1]C ．[－2，2]D ．[－1，2] 解析：因为x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，x ＋y≤1，y≥0，所以得到可行域如图所示．目标函数y ＝x －z 过点A(1,0)在y 轴上的截距最小，此时z max ＝1； 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22时，目标函数y ＝x －z 在y 轴上的截距最大，此时z min ＝－ 2.所以z ∈[－2，1]． 答案：A5．(2014·河北衡水一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a ，b ＞0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( )A.613 B.365C.65D.3613解析：满足约束条件的区域如图所示，目标函数z ＝ax ＋by(a ，b ＞0)在过点A(4,6)时，z 取得最大值12，即12＝4a ＋6b,6＝2a ＋3b.而a 2＋b 2的最小值表示(a ，b)与(0,0)两点间距离的平方的最小值，∴d 2＝624＋92＝3613. 答案：D6．(2014·广东汕头一模)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元解析：设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y≥72x ＋y≤122x＋y≤190≤x≤8，x ∈N 0≤y≤7，x ∈N，目标函数z ＝450x ＋350y ，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z 最大，为4 900元．答案：C 二、填空题7．(2014·北京西城一模)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≥0，2x ＋y≤6，x ＋y≤a 表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________．解析：平面区域如图中的阴影部分，直线2x ＋y ＝6交x 轴于点A(3,0)，交直线x ＝1于点B(1,4)，当直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝6在线段AB(不包括线段端点)时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得3＋0＝a ，即a ＝3，将点B 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得a ＝1＋4＝5，故实数a 的取值范围是(3,5)．答案：(3,5)8．(2014·河北唐山一模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x＋1，y≥2x－4，x ＋2y≥2，则目标函数z ＝3x －2y 的最大值为__________．解析：约束条件满足的区域如图所示，z ＝3x －2y ，y ＝32x －z2，要求z 的最大值，即将直线y ＝32x 平移到B 点处－z2最小，所以z 最大，所以目标函数在点B(2,0)处取得最大值为6.答案：69．(2014·北京顺义一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，y≤2，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值为__________．解析：画出可行域，如图所示，z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点(0,0)的距离，由图得，距离的最小值为原点(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝25＝255.答案：255三、解答题10．(2014·合肥模拟)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解析：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x≤y≤x＋5，－52≤x≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y≤4时，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y≤3时，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．(2014·徐州模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？解析：设A ，B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y≥45，5x ＋6y≥55，x ，y ∈N目标函数z ＝2x ＋3y.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z ＝2x ＋3y 变成y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25(m 2)．答：两种金属板各取5张时，用料面积最省． 12．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x≥1.作出(x ，y)的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C(1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC|＝2，d max ＝|OB|＝29.故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝ －3－5 2＋ 2－2 2＝8.故z 的取值范围是[16,64]．。