《数据结构与算法》第五章-数组和广义表学习指导材料

《数据结构与算法》第五章数组和广义表本章介绍的数组与广义表可视为线性表的推广，其特点是数据元素仍然是一个表。

本章讨论多维数组的逻辑结构和存储结构、特殊矩阵、矩阵的压缩存储、广义表的逻辑结构和存储结构等。

5.1 多维数组5.1.1 数组的逻辑结构数组是我们很熟悉的一种数据结构，它可以看作线性表的推广。

数组作为一种数据结构其特点是结构中的元素本身可以是具有某种结构的数据，但属于同一数据类型，比如：一维数组可以看作一个线性表，二维数组可以看作“数据元素是一维数组”的一维数组，三维数组可以看作“数据元素是二维数组”的一维数组，依此类推。

图5.1是一个m行n列的二维数组。

5.1.2 数组的内存映象现在来讨论数组在计算机中的存储表示。

通常，数组在内存被映象为向量，即用向量作为数组的一种存储结构，这是因为内存的地址空间是一维的，数组的行列固定后，通过一个映象函数，则可根据数组元素的下标得到它的存储地址。

对于一维数组按下标顺序分配即可。

对多维数组分配时，要把它的元素映象存储在一维存储器中，一般有两种存储方式：一是以行为主序（或先行后列）的顺序存放，如BASIC、PASCAL、COBOL、C等程序设计语言中用的是以行为主的顺序分配，即一行分配完了接着分配下一行。

另一种是以列为主序（先列后行）的顺序存放，如FORTRAN语言中，用的是以列为主序的分配顺序，即一列一列地分配。

以行为主序的分配规律是：最右边的下标先变化，即最右下标从小到大，循环一遍后，右边第二个下标再变，…，从右向左，最后是左下标。

以列为主序分配的规律恰好相反：最左边的下标先变化，即最左下标从小到大，循环一遍后，左边第二个下标再变，…，从左向右，最后是右下标。

例如一个2×3二维数组，逻辑结构可以用图5.2表示。

以行为主序的内存映象如图5.3（a）所示。

分配顺序为：a11 ，a12 ，a13 ，a21 ，a22，a23 ; 以列为主序的分配顺序为：a11 ，a21 ，a12 ，a22，a13 ，a23 ; 它的内存映象如图5.3（b）所示。

图5.2 2×3数组的逻辑状态(a) 以行为主序(b) 以列为主序图5.3 2×3数组的物理状态设有m×n二维数组A mn，下面我们看按元素的下标求其地址的计算：以“以行为主序”的分配为例：设数组的基址为LOC(a11)，每个数组元素占据l个地址单元，那么a ij 的物理地址可用一线性寻址函数计算：LOC(a ij) = LOC(a11) + ( (i-1)*n + j-1 ) * l这是因为数组元素a ij的前面有i-1行，每一行的元素个数为n，在第i行中它的前面还有j-1个数组元素。

在C语言中，数组中每一维的下界定义为0，则：LOC(a ij) = LOC(a00) + ( i*n + j ) * l推广到一般的二维数组：A[c1..d1] [c2..d2]，则a ij的物理地址计算函数为：LOC(a ij)=LOC(a c1 c2)+( (i- c1) *( d2 - c2 + 1)+ (j- c2) )*l例5．1若矩阵A m×n 中存在某个元素a ij满足：a ij是第i行中最小值且是第j列中的最大值，则称该元素为矩阵A的一个鞍点。

试编写一个算法，找出A中的所有鞍点。

基本思想：在矩阵A中求出每一行的最小值元素，然后判断该元素它是否是它所在列中的最大值，是则打印出，接着处理下一行。

矩阵A用一个二维数组表示。

算法如下：void saddle (int A[ ][ ],int m, int n)/*m,n是矩阵A的行和列*/{ int i,j,min;for (i=0;i<m;i++) /*按行处理*/{ min=A[i][0]for (j=1; j<n; j++)if (A[i][j]<min ) min=A[I][j];/*找第I行最小值*/for (j=0; j<n; j++)/*检测该行中的每一个最小值是否是鞍点*/if (A[I][j]==min ){ k=j; p=0;while (p<m && A[p][j]<min)p++;if ( p>=m) printf (＂%d,%d,%d\n＂, i ,k,min);} /* if */} /*for i*/}算法的时间性能为O(m*(n+m*n))。

5.2 特殊矩阵的压缩存储对于一个矩阵结构显然用一个二维数组来表示是非常恰当的，但在有些情况下，比如常见的一些特殊矩阵，如三角矩阵、对称矩阵、带状矩阵、稀疏矩阵等，从节约存储空间的角度考虑，这种存储是不太合适的。

下面从这一角度来考虑这些特殊矩阵的存储方法。

5.2.1 对称矩阵对称矩阵的特点是：在一个n 阶方阵中，有a ij =a ji ，其中1≤i , j ≤n ，如图5.5所示是一个５阶对称矩阵。

对称矩阵关于主对角线对称，因此只需存储上三角或下三角部分即可，比如，我们只存储下三角中的元素a ij ，其特点是中j ≤i 且1≤i ≤n ，对于上三角中的元素a ij ，它和对应的a ji 相等，因此当访问的元素在上三角时，直接去访问和它对应的下三角元素即可，这样，原来需要n*n 个存储单元，现在只需要n(n+1)/2个存储单元了，节约了n(n-1)/2个存储单元，当n 较大时，这是可观的一部分存储资源。

图5.5 5阶对称方阵及它的压缩存储如何只存储下三角部分呢？对下三角部分以行为主序顺序存储到一个向量中去，在下三角中共有n*(n+1)/2个元素，因此，不失一般性，设存储到向量SA[n(n+1)/2]中，存储顺序可用图5.6示意，这样，原矩阵下三角中的某一个元素a ij 则具体对应一个sa k ，下面的问题是要找到k 与i 、j 之间的关系。

对于下三角中的元素a ij ，其特点是：i ≥j 且1≤i ≤n ，存储到SA 中后，根据存储原则，它前面有i-1行，共有1+2+…+i -1=i*(i-1)/2个元素，而a ij 又是它所在的行中的第j 个，所以在上面的排列顺序中，a ij 是第i*(i-1)/2+j 个元素，因此它在SA 中的下标k 与i 、j 的关系为：k=i*(i-1)/2+j-1 (０≤k<n*(n+1)/2 )若i<j ，则a ij 是上三角中的元素，因为a ij =a ji ，这样，访问上三角中的元素a ij 时则去访问和它对应的下三角中的a ji 即可，因此将上式中的行列下标交换就是上三角中的元素在SA 中的对应关系：k=j*(j-1)/2+i-1 (０≤k<n*(n+1)/2 )综上所述，对于对称矩阵中的任意元素a ij ，若令I=max(i,j)，J=min(i,j)，则将上面两个式子综合起来得到： k=I*(I-1)/2+J-1。

5.3 稀疏矩阵设m*n 矩阵中有t 个非零元素且t<<m*n ，这样的矩阵称为稀疏矩阵。

很多科学管理及n(n+1)/2- 1A=图5.6 一般对称矩阵的压缩存储工程计算中，常会遇到阶数很高的大型稀疏矩阵。

如果按常规分配方法，顺序分配在计算机内，那将是相当浪费内存的。

为此提出另外一种存储方法，仅仅存放非零元素。

但对于这类矩阵，通常零元素分布没有规律，为了能找到相应的元素，所以仅存储非零元素的值是不够的，还要记下它所在的行和列。

于是采取如下方法：将非零元素所在的行、列以及它的值构成一个三元组（i,j,v ），然后再按某种规律存储这些三元组，这种方法可以节约存储空间。

下面讨论稀疏矩阵的压缩存储方法。

5.3.1 稀疏矩阵的三元组表存储将三元组按行优先的顺序，同一行中列号从小到大的规律排列成一个线性表，称为三元组表，采用顺序存储方法存储该表。

如图5.11稀疏矩阵对应的三元组表为图5.12。

显然，要唯一的表示一个稀疏矩阵，还需要存储三元组表的同时存储该矩阵的行、列，为了运算方便，矩阵的非零元素的个数也同时存储。

这种存储的思想实现如下：defineSMAX 1024 /*一个足够大的数*/ typedef struct{ int i,j; /*非零元素的行、列*/ datatype v; /*非零元素值*/ }SPNode; /*三元组类型*/ typedef struct{ int mu,nu,tu; /*矩阵的行、列及非零元素的个数*/ SPNode data[SMAX]; /*三元组表*/ } SPMatrix; /*三元组表的存储类型*/这样的存储方法确实节约了存储空间，但矩阵的运算从算法上可能变的复杂些。

下面我们讨论这种存储方式下的稀疏矩阵的两种运算：转置和相乘。

1．稀疏矩阵的转置设SPMatrix A; 表示一m*n 的稀疏矩阵，其转置B 则是一个n*m 的稀疏矩阵，因此也有 SPMatrix B; 由A 求B 需要：A 的行、列转化成B 的列、行；将A.data 中每一三元组的行列交换后转化到B.data 中；看上去以上两点完成之后，似乎完成了B ，没有。

因为我们前面规定三元组的是按一行一行且每行中的元素是按列号从小到大的规律顺序存放的，因此B 也必须按此规律实现，A 的转置B 如图5.13所示，图5.14是它对应的三元组存储，就是说，在A 的三元组存储基础上得到B 的三元组表存储（为了运算方便，矩阵的行列都从1算起，三元组表data 也从1单元用起）。

算法思路：图5.11 稀疏矩阵A=①A 的行、列转化成B 的列、行；②在A.data 中依次找第一列的、第二列的、直到最后一列，并将找到的每个三元组的行、列交换后顺序存储到B.data 中即可。

算法如下：void TransM1 (SPMatrix *A) { SPMatrix *B;int p,q,col;B=malloc(sizeof(SPMatrix)); /*申请存储空间*/B->mu=A->nu; B->nu=A->mu; B->tu=A->tu;/*稀疏矩阵的行、列、元素个数*/if (B->tu>0) /*有非零元素则转换*/{ q=0;for (col=1; col<=(A->nu); col++) /*按A 的列序转换*/ for (p=1; p<= (A->tu); p++) /*扫描整个三元组表*/ if (A->data[p].j==col ){ B->data[q].i= A->data[p].j ; B->data[q].j= A->data[p].i ;B->data[q].v= A->data[p].v; q++; }/*if*/} /*if(B->tu>0)*/return B; /*返回的是转置矩阵的指针*/ } /*TransM1*/算法5.1 稀疏矩阵转置分析该算法，其时间主要耗费在col 和p 的二重循环上，所以时间复杂性为O(n*t)， (设m 、n 是原矩阵的行、列，t 是稀疏矩阵的非零元素个数)，显然当非零元素的个数t 和m*n 同数量级时，算法的时间复杂度为O(m*n 2)，和通常存储方式下矩阵转置算法相比，可能节约了一定量的存储空间，但算法的时间性能更差一些。